Ferienkurs Experimentalphysik 2

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1 Ferienkurs Experimentalphysik 2 Sommersemester 2015 Gabriele Semino, Alexander Wolf, Thomas Maier Vorlesung 3 Zeitlich veränderliche Felder und elektromagnetische Schwingungen Nach dem Skript "Konzepte der Experimentalphysik 2: Elektromagnetismus" von Abel Perera, Andrea Meraner, Gabriele Semino und Adonia Siegmann

2 Inhaltsverzeichnis 4 Zeitabhängige elektrische Felder Rückblick: Zeitunabhängige Felder Faraday sches Induktionsgesetz Integralform Differentielle Form Lenz sche Regel Selbstinduktion Energie des Magnetfeldes Der Maxwell sche Verschiebungsstrom Maxwell-Gleichungen Wechselstromkreise Wechselstromkreis mit Induktivität Wechselstromkreis mit Kapazität Induktive und kapazitive Widerstände Impedanz und Admittanz Lineare Netzwerke Wechselstromleistung Elektromagnetische Schwingkreise Der elektromagnetische Schwingkreis Offene Schwingkreise: der Hertz sche Dipol Abbildungsquellen 20 I

3 4 Zeitabhängige elektrische Felder 4.1 Rückblick: Zeitunabhängige Felder div E = ρ ε 0 div B = 0 rot E = 0 rot B = µ 0 j (4.1.1) E = grad φ B = rot A j = σ E Diese bisher kennengelernten Gleichungen beschreiben zusammen mit der Lorentzkraft alle Phänomene der Elektrodynamik, die auf ruhenden Ladungen und stationären Ströme beruhen (Elektro- und Magnetostatik). Alle behandelten elektrischen und magnetischen Felder gelten hier als zeitlich konstant. 4.2 Faraday sches Induktionsgesetz Integralform Nun betrachten wir einen magnetischen Kraftfluss (siehe dazu Gleichung 3.1.1), welcher zeitlich veränderlich ist. Nach dem Faraday schen Induktionsgesetz wird durch die Veränderung des Kraftflusses eine Induktionsspannung U ind induziert, die man wie folgt berechnen kann. U ind = d dt Φ mag = d dt A B d A (4.2.1) Aus dieser Gleichung wird deutlich, dass eine Induktionsspannung erst dann entsteht, wenn das Magnetfeld oder die dazu effektive Fläche ( B d A, nur die Fläche senkrecht zum Feld wird eingebracht) sich zeitlich verändert. Beispiele: Eine Stabmagnet wird relativ zu einer Spule bewegt veränderliches Magnetfeld In einem homogenen Magnetfeld wird eine Spule zusammengedrückt Fläche der Spule ändert sich In einem homogenen Magnetfeld wird ein quadratische Spule um eine Symmetrieachse senkrecht zum Magnetfeld gedreht Änderung der effektiven Spulenfläche Hinweis: Bei einer mehrmals gewickelten Spule mit N Windungen zählt jede Windung zu ihrer Gesamtfläche A ges = NA. 1

4 4.2.2 Differentielle Form Die differentielle Form des Faraday schen Induktionsgesetzes lautet: rot E = d dt B (4.2.2) Demnach erzeugt ein zeitlich veränderliches magnetisches Feld ein elektrisches Wirbelfeld. Eine einfache Herleitung erhält man folgendermaßen: Aus dem Auftreten einer Spannung, hier U ind, können wir schließen, dass es ein elektrisches Feld geben muss (vgl. Gleichung ): U ind = E d s (4.2.3) A Das geschlossene Integral bezieht sich beispielsweise auf eine Leiterschleife mit der Oberfläche A (mit dem Rand A), welche vom Magnetfeld B durchsetzt wird. Nun wenden wir den Satz von Stokes an: U ind = E d s = rot E da (4.2.4) A Dies setzen wir mit der Integralform des Faraday schen Induktionsgesetzes gleich. Wenn wir nun annehmen, dass nur das magnetische Feld variiert wird (was durchaus berechtigt ist, da jede Änderung der Fläche auch als Änderung des Magnetfeldes innerhalb dieser aufgefasst werden kann), lässt sich die Zeitableitung in das Integral ziehen: d ( B da dt = d ) B dt da = rot E da (4.2.5) A A Lassen wir nun das Flächenintegral weg, kommen wir auf die oben genannte Gleichung A A Lenz sche Regel Nach dem Faradayschen Induktionsgesetz verursacht eine magnetische Flussänderung eine induzierte Spannung. Diese Spannung verursacht in einem Leiter einen Stromfluss, welcher wiederum ein (induziertes) Magnetfeld erzeugt, welches der (ursprünglichen) Änderung des magnetischen Flusses entgegenwirkt (Lenz sche Regel). Die durch Induktion entstehenden Ströme, Felder und Kräfte versuchen also stets den die Induktion verursachenden Vorgang zu verhindern. Ist die Ableitung des magnetischen Flusses negativ (verkleinert sich z.b das Magnetfeld B 0 bzw. die Fläche), so richtet sich das induzierte Magnetfeld B ind in Richtung des ursprünglichen Magnetfeldes B 0 und verstärkt somit dieses. Ist hingegen die Ableitung des magnetischen Flusses positiv (wird z.b B 0 größer), so richtet sich das induzierte Magnetfeld B ind in entgegengesetzter Richtung zu B 0 und vermindert dieses somit. 2

5 Mathematisch wird die Lenz sche Regel durch das Minus im Faradayschen Induktionsgesetz ausgedrückt. Gegebenenfalls ist diese Entgegenwirkung mit mechanischen Kraftwirkungen verbunden. Man betrachte dazu das folgende Beispiel (oder auch das sog. Waltenhofen sche Pendel). Abbildung 4.1: Bewegung eines Stabmagnets durch einen leitenden Ring (18) Man bewege einen Stabmagneten auf einen frei aufgehängten, leitenden Ring zu. Das sich (durch die Bewegung) ändernde (vergrößernde) Magnetfeld im Ring induziert in diesem einen Strom, dessen Magnetfeld wiederum nach Lenz dem des Stabmagneten entgegengerichtet ist. Die beiden Magnetfelder stoßen sich ab und der Ring bewegt sich vom Stabmagneten weg. Bewegt man nun den Stabmagneten vom Ring weg, dreht sich die Situation um: der Ring folgt dem Stabmagneten. Man kann somit durch eine periodische Bewegung den Ring zum Schwingen bringen Selbstinduktion Stromdurchflossene Leiterschleifen erzeugen ein magnetisches Feld (wie z.b. beim Biot- Savart-Gesetz diskutiert, siehe Abschnitt 3.2.2). Wird dieser Strom zeitlich variiert, verändert sich auch das magnetische Feld und es muss laut Faraday sche Gesetz wieder eine Induktion vorliegen. Somit erzeugt die Änderung des Felds der Schleife in der Schleife selbst eine Induktionsspannung, welche nach der Lenz schen Regel der Änderung der Stromstärke entgegenwirkt. Die Eigenschaft, eine Induktionsspannung durch die Änderung des selbst erzeugten Magnetfeldes zu erzeugen, wird als (Selbst-)Induktivität L bezeichnet. Sie ist die Proportionalitätskonstante zwischen dem magnetischen Fluss und der elektrischen Stromstärke in der Spule Φ mag = L I (4.2.6) bzw. die Konstante, welche die Induktionsspannung und die zeitliche Änderung der Stromstärke verbindet. U ind = L di dt (4.2.7) Die Einheit der Induktivität ist [L] = 1 V s A = 1 H = 1 Henry. 3

6 Beispiel: Selbstinduktivität einer zylindrischen Spule Eine Spule mit n Windungen pro Meter, welche von der Stromstärke I durchflossen wird, hat im Inneren ein zur Stromstärke proportionales Magnetfeld von B = µ 0 ni. D.h. der magnetische Fluss durch eine Windung der Fläche A ist gegeben durch: Φ mag = B da = B A = µ 0 nai (4.2.8) Die Induktionsspannung ist sowohl durch als auch gegeben: U ind = N ( A d dt Φ mag ) = µ 0 n 2 la di dt = L d dt I (4.2.9) wobei N die Gesamtwindungszahl n l ist. Die Selbstinduktivität ergibt sich zu: wobei V das Volumen der Spule ist. L = µ 0 n 2 A l = µ 0 n 2 V (4.2.10) Energie des Magnetfeldes Analog zur in Kondesatoren gespeicherten Energie kann die in Induktivitäten gespeicherte Energie wie folgt berechnet werden. W el = 1 2 CU 2 W mag = 1 2 LI2 w el = 1 2 ε 0E 2 w mag = 1 2 µ 0H 2 = 1 2µ 0 B 2 (5.3.14) D.h. die Energiedichte des gesamten elektromagnetischen Feldes beträgt (c 2 = 1 ε 0 µ 0 ): ) (ε 0 E 2 + 1µ0 B 2 w em = 1 2 = 1 2 ε 0 ( E 2 + c 2 B 2) (4.2.12) Verallgemeinern wir diese Formeln auf Felder in Materie mit der Verschiebungsdichte D = ε 0 ε r E und der magnetischen Erregung H = 1 µ 0 µ r B: w em = 1 (ED + BH) (4.2.13) 2 4

7 4.3 Der Maxwell sche Verschiebungsstrom Das Ampere sche Gesetz, wie wir es bisher definiert haben, ist unvollständig. Dies soll am folgenden Beispiel klar werden. Abbildung 4.2: Zur Herleitung des Verschiebungsstromes (1) Die beiden Flächen S 1 und S 2 haben den gleichen Rand S. Wir nutzen das Ampere sche Gesetz zur Bestimmung des Magnetfeldes auf dem Rand mithilfe der unterschiedlichen Flächen. B d r = µ 0 j da S = µ 0 I 1 S S B d r = µ 0 S 2 j d A = 0 Die Ergebnisse der zwei Berechnungen führen zu zwei unterschiedlichen Ergebnissen, was nicht möglich sein dürfte. Die Unvollständigkeit des Ampere sche Gesetz wird auch aus folgenden Messergebnissen deutlich. Betrachten wir nämlich folgenden Stromkreis, Abbildung 4.3: Im Kondensator wird ein Magnetfeld gemessen (9) so ergäbe sich nach dem Ampere schen Gesetz, dass, wenn wir um die gestrichelte Linie im Kondensator integrieren, das Magnetfeld innerhalb des Kondensators gleich 0 ist. Messungen zeigen aber das Gegenteil bei zeitlich veränderlichen elektrischen Feldern (z.b bei der Ladung/Entladung des Kondensators). Maxwell schloss daraus auf eine Art Stromstärke, einen Verschiebungsstrom zwischen den Kondensatorplatten I V (bzw. eine Verschiebungsstromdiche j V ). Dieser lässt sich folgendermaßen herleiten: variiert man die Stromstärke im System, so 5

8 wird auch die Zahl der Ladungen Q = A σ = A (ε 0 E) auf den Platten verändert. Vektoriell folgt: I V = dq dt = ε d 0 dt ( A E) = ε 0A E t (4.3.1) Mit der Stromdichte: Verschiebungsstromdichte j V = ε 0 t E (4.3.2) Um diese Stromdichte wird das Ampere sche Gesetz erweitert: B d s = µ 0 ( j + j V ) da (4.3.3) F Differentiell ergibt sich mit dem Stokes schen Satz: ( ) rotb = µ 0 ( j + j V ) = µ 0 j + ε 0 E t bzw.: Erweitertes Ampere sches Durchflutungsgesetz A (4.3.4) rot B = µ 0 j + 1 c 2 t E (4.3.5) D.h. Magnetfelder können ebenfalls von zeitlich veränderlichen elektrischen Feldern erzeugt werden. In Materie gilt analog: rot H = j + t D (4.3.6) 4.4 Maxwell-Gleichungen Nun fassen wir noch einmal alle Maxwell-Gleichungen zusammen. Diese beschreiben zusammen mit der Lorentz-Kraft die Gesamtheit aller elektromagnetischen Phänomene: Im Vakuum In Materie div E = ρ el ε 0 div D = ρ el div B = 0 div B = 0 rot E = t B rot B = µ 0 j + 1 c 2 t E rot E = t B rot H = j + t D 6

9 Bemerkungen: Die Maxwell-Gleichungen sind lorentzinvariant. Aus den korrigierten Maxwell-Gleichungen wird klar, dass die bisherige Definition des elektrischen Feldes in Abhängigkeit des elektrischen Potentials nicht konsistent ist. Man muss also folgende Korrektur einbringen. rot E = rot grad φ el = 0 t B (4.4.1) E = grad φ el A t (4.4.2) Dabei muss die Coulomb-Eichung (siehe Gleichung 3.1.8) durch die Lorentz sche Eichung ersetzt werden. div A = 1 c 2 φ el t (4.4.3) 7

10 5 Wechselstromkreise Spulen und Kondensatoren haben in Wechselstromkreisen eine ähnliche Wirkung wie Widerstände. Diese zusätzliche Eigenschaft wird Impedanz oder Wechselstromwiderstand (komplexer Widerstand) genannt. In einer Spule hinkt der Strom der Spannung nach; dies ist durch die Lenz sche Regel ersichtlich, da die Induktionsspannung den in die Spule geleiteten Strom abbremst. In Kondensatoren eilt der Strom der Spannung voraus, denn die Spannung muss im Kondensator kontinuierlich aufgebaut werden. Von nun an wird als äußere Spannung verwendet. U e = U 0 cos(ωt) (5.0.1) 5.1 Wechselstromkreis mit Induktivität Abbildung 5.1: Wechselstromkreis mit Spule, der Strom hinkt der Spannung hinterher (4) Nach der Maschenregel gilt hier: Für die induzierte Spannung U ind = L di dt also: I(t) = U 0 L ˆ t 0 U e + U ind = 0 erhalten wir: U 0 cos(ωt) = L di dt 5.2 Wechselstromkreis mit Kapazität cos(ωt ) dt = U 0 ωl sin(ωt) = U 0 ωl cos(ωt 90 ) (5.1.1) Abbildung 5.2: Wechselstromkreis mit Kondensator, der Strom eilt der Spannung voraus (4) 8

11 Die Maschenregel führt diesmal zu : U e U Q = 0 Q(t) C Wir multiplizieren mit C und bilden die Ableitung: = U e(t) I(t) = C d dt U e(t) = ωcu 0 cos(ωt + 90 ) (5.2.1) 5.3 Induktive und kapazitive Widerstände Für die Stromstärken erhalten wir insgesamt: für L: für C: I L (t) = I L,0 sin(ωt) I C (t) = I C,0 sin(ωt) Beide Stromstärken sind in verschiedene Richtungen zur Spannung um 90 phasenverschoben. Um den bereits erwähnten Widerstandswert zu erhalten, definiert man sozusagen phasenabhängige Widerstände. Ihren Betrag erhält man, wann man die Amplitude von U e (= U 0 ) und der Stromstärken I L bzw. I C über U = RI in Beziehung setzt. Man behandelt sie also so, als wären sie Gleichstromwiderstände. Wir erhalten: für L: R L = U ( ) 0 U0 = U 0 / = ωl I 0,L ωl (5.3.1) für C: R C = U 0 = U 0 /(ωcu 0 ) = 1 I 0,C ωc (5.3.2) Dieser Betrag berücksichtigt aber noch nicht die Phasenverschiebung. 5.4 Impedanz und Admittanz Ein Vektor V = V x e x + V y e y, welcher vom Betrag V 0 konstant ist, vom Ursprung ausgeht und sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω um den Ursprung dreht, besitzt in der x-y- Ebene die Komponenten: V x = V 0 cos(ωt) V y = V 0 sin(ωt) Anstatt Vektoren zu verwenden, können wir komplexe Zahlen benutzen: der Realteil übernimmt die Rolle der x-komponente und der Imaginärteil die der y-komponente. Es folgt als Analogon: V = V x + iv y = V 0 cos(ωt) + iv 0 sin(ωt) = V 0 e iωt Dieses Konstrukt lässt sich exakt gleichwertig auf die induktiven und kapazitiven Widerstände übertragen: Z = R + ix Z = Z e iφ (5.4.1) Man bezeichne nun als Z die Impedanz (oder komplexer Widerstand). R ist der Ohm sche Widerstand, während X den Blindwiderstand darstellt. 9

12 Abbildung 5.3: Zur Erläuterung der komplexen Schreibweise von Impedanzen (1) Stellen wir nun die Wechselspannung ebenfalls komplex dar: Nun lässt sich das Ohm sche Gesetz erweitern: U(t) = U 0 e iωt (5.4.2) Ohm sches Gesetz für komplexe Widerstände R U = ZI mit Z = Z L = iωl Z C = 1 = i iωc ωc Widerstand Spule Kondensator (5.4.3) Diese komplexe Darstellung kann komplizierte Wechselstromschaltungen stark vereinfachen. Die Kirchhoff schen Gesetze gelten weiterhin. Wenn wir nun diese komplexen Widerstände in das erweiterte Ohm sche Gesetz einsetzen, erhalten wir neben der Widerstandswirkung auch die erwartete Phasenverschiebung: I = U Z = U 0e iωt = U 0 1 Z L ωl i eiωt = U 0 ωl ( i)eiωt (5.4.4) Mit ( i = 0 + i( 1) = cos π ) ( + i sin π ) = e i( π 2 ) 2 2 erhalten wir zuletzt: I = U 0 π ωl ei( 2 ) e iωt = U 0 π ωl ei(ωt Man definiere dazu noch den komplexen Leitwert (Admittanz) als 2 ) (5.4.5) Y = 1/Z (5.4.6) Dieser ist besonders hilfreich bei der Behandlung von Parallelschaltungen. Es folgen einige Beispiele zur Erläuterung der komplexen Darstellung der Impedanzen und Admittanzen. 10

13 Abbildung 5.4: Einfache Schaltelemente (1) Abbildung 5.5: Einige Kombinationen von Schaltelementen (1) 5.5 Lineare Netzwerke Im allgemeinen Fall ist die Stromstärke nicht mehr proportional zur Spannung. Man kann in solchen komplizierteren Systems aber dennoch durch Superposition Spannungen und Stromstärken berechnen: U(t) = k U k (ω k ) = k U 0,k e i(ω kt φ k ) (5.5.1) I(t) = k I k (ω k ) = k I 0,k e i(ω kt ψ k ) (5.5.2) 11

14 Hochpass-Filter Abbildung 5.6: Der Hochpassfilter: nur Wechselströme mit hoher Frequenz werden durchgelassen (21) Der Hochpass ist so konstruiert, dass, wenn eine Wechselspannung mit tiefer Kreisfrequenz ω als Eingangsspannung U e angelegt wird, der Wechselstromwiderstand des Kondensators C entsprechend sehr hoch steigt und der Großteil dieser Spannung an C abfällt. Hohe Spannungen im Gegenzug fallen größtenteils am Widerstand R ab, welcher durch ein entsprechendes Gerät ersetzt werden kann. Man erhält als Ergebnis der Ausgangsspannung U a : U a = Der Betrag der Übertragungsfunktion lautet: H(ω) = R R + 1 U e (5.5.3) iωc U a U = e ωrc 1 + ω2 R 2 C 2 (5.5.4) Die Phasenverschiebung zwischen Ein- und Ausgangsspannung beträgt: tan(φ) = Im(Z) Re(Z) = 1 ωrc (5.5.5) Abbildung 5.7: Die physikalischen Größen im Hochpassfilter. Oben das Spannungsverhältnis, unten der Phasenunterschied (4) 12

15 Tiefpass-Filter Abbildung 5.8: Der Tiefpassfilter: nur Wechselströme mit niedriger Frequenz werden durchgelassen (22) Der Tiefpass ist das genaue Gegenstück vom Hochpass, d.h. nach dem selben Prinzip werden nun hochfrequente Wechselströme blockiert, indem die Positionen von Widerstand und Kondensator vertauscht werden. Bei großen ω ist R im Vergleich zu ωc sehr groß, sodass die Ausgangsspannung zum Großteil am Widerstand abfällt. Die Ausgangsspannung beträgt dieses Mal: 1 iωc U a = R + 1 U e (5.5.6) iωc Der Betrag der Übertragungsfunktion lautet: U H(ω) = a = 1 (5.5.7) 1 + ω2 R 2 C 2 Die Phasenverschiebung ist: U e tan(φ) = ωrc (5.5.8) Abbildung 5.9: Die physikalischen Größen im Tiefpassfilter: links das Spannungsverhältnis, rechts der Phasenunterschied (1) 5.6 Wechselstromleistung Die Leistung kann man in Wechselstromschaltungen in allgemeinerer Form über die effektive Spannung/Stromstärke darstellen. Allgemein gilt: P (t) = U(t)I(t) = U 0 sin(ωt)i 0 sin(ωt + φ) (5.6.1) Der zeitliche Mittelwert ist, wie bereits beschrieben, durch Integration über die Periodendauer zu erhalten: P el = U 0I 0 cos(φ) (5.6.2) 2 13

16 Für reine L- oder C-Schaltungen ist cos(φ) = 0, d.h. es wird an Spule und Kondensator keine Leistung verbraucht. Wir definieren nun drei neue Größen: Die Wirkleistung Die Scheinleistung und die Blindleistung P W = I eff U eff cos(φ) = P el (5.6.3) P S = I eff U eff (5.6.4) P B = I eff U eff sin(φ) (5.6.5) Wirk-, Schein- und Blindwiderstand werden mit Z = P i I eff definiert. und diesen Leistungsgrößen 14

17 6 Elektromagnetische Schwingkreise 6.1 Der elektromagnetische Schwingkreis Eine Schaltung, in der sich eine Induktivität L und ein Kondensator C befinden, nennt man elektromagnetischer Schwingkreis. In einem solchen Aufbau entstehen elektromagnetische Schwingungen, die man analog zu den bekannten mechanischen Schwingungen beschreiben kann. Im folgendem Bild lässt sich diese Analogie verdeutlichen. Abbildung 6.1: Analogon zwischen mechanischen und elektromagnetischen Schwingungen (4) Bei einer mechanischen Schwingung geht periodisch die kinetische Energie in potentielle Energie über und umgekehrt, während in einem Schwingkreis die Energie zwischen elektrische im Kondensator und magnetische in der Induktivität wechselt. Zur Beschreibung dieses Phänomens betrachten wir folgende Schaltung. Abbildung 6.2: RLC-Schwingkreis (1) Mithilfe der Maschenregel lässt sich für diese Schaltung folgende Gleichung schreiben. L di dt + RI + Q C = 0 (6.1.1) Ableiten dieser Gleichung nach der Zeit führt zu einer Differentialgleichung für den Strom. L d2 I dt 2 + RdI dt + 1 C I = 0 (6.1.2) 15

18 Zur Lösung benutzen wir folgenden Ansatz. I(t) = Ae λt wobei A und λ im Allgemeinen komplexe Zahlen sind. Einsetzen in die Differentialgleichung liefert folgende mögliche Werte für λ λ 1,2 = R R 2 ± }{{ 2L } 4L 1 2 LC }{{} α β Abhängig von den verschiedenen Werten, die in der Gleichung vorkommen, lassen sich zwei Fälle unterscheiden. (a) Kriechfall (& aperiodischer Grenzfall) R 2 4L > 1 2 LC Mit den allgemeinen Anfangsbedingungen I(0) = I 0 und I(0) = I0 β R (6.1.3) erhält man folgende Werte für A. A 1,2 = I 0 2 ( 1 ± α β ) I ± 0 2β Setzt man I(0) = 0, so erhält man die spezielle Lösung I(t) = I 0 e αt [ cosh(βt) + α β sinh(βt) ] Ist dagegen β = 0, so folgt der sogenannte aperiodischer Grenzfall: I(t) = e [ αt I 0 + ( ) ] I0 + αi 0 t (6.1.4) (6.1.5) In beiden Fällen geht I(t) 0 für t. Dies geschieht aber im aperiodischen Fall am schnellsten. (b) Gedämpfte Schwingung R 2 4L < 1 2 LC Die allgemeine Lösung in diesem Fall lautet: β iω I (6.1.6) I(t) = e αt [ A 1 e iωt + A 2 e iωt] (6.1.7) Damit I(t) eine reelle Größe ist, müssen A 1 = a + ib und A 2 = a ib komplex konjugiert sein. Die Lösung wird dann zu I(t) = 2 A e αt cos(ωt + ϕ) (6.1.8) wobei ω = 1 R2, A = a LC 4L 2 + b 2 und tan ϕ = b/a ist, mit a und b Konstanten, die 2 man aus den Anfangsbedingungen bestimmen kann. In diesem Fall schwingt der Strom mit einer Cosinus-Form und wird dabei von einem exponentiell abfallenden Term gedämpft. 16

19 6.2 Offene Schwingkreise: der Hertz sche Dipol Die bisher betrachteten Schwingkreise sind geschlossene Schaltungen. Im folgenden Bild lässt sich aber verdeutlichen, wie solche geschlossenen Schwingkreise auch in offene Kreise überführt werden können (von links nach rechts). Abbildung 6.3: Kontinuierlicher Übergang vom geschlossenen zum offenen Schwingkreis (4) Der entscheidende Unterschied zwischen diesen zwei Arten von Schwingkreisen ist die räumliche Ausdehnung der erzeugten Felder. Während in einem geschlossenen Schaltkreis die Felder räumlich begrenzt sind (elektrische Felder im Kondensator und magnetische Felder in der Induktivität), breiten sich die Felder im offenen Fall weit im Raum aus (siehe folgende Abbildung). Abbildung 6.4: Ausdehnung der Felder in den verschiedenen Versionen des Schwingkreises (4) Die Ausbreitung dieser Felder geschieht mit Lichtgeschwindigkeit in Form von elektromagnetischen Wellen (siehe dazu Kapitel 7). Eine schematische Darstellung der Funktionsweise einer Stabantenne ist in der folgenden Abbildung zu finden. Abbildung 6.5: Schematische Darstellung einer Stabantenne (4) 17

20 In der Antenne fließt ein Strom mit den Randbedingungen I(0) = I(l) = 0, wobei l die Länge des Stabes ist. Im Stab bildet sich also eine stehende Welle mit der Wellenlänge λ = 2l. Die niedrigste Resonanzfrequenz ω 0 im Stab ist gegeben durch wobei ω 0 = 2πv P h λ v P h = c εµ = = π l v P h (6.2.1) 1 εε0 µµ 0 (6.2.2) die Geschwindigkeit ist, mit der sich elektromagnetische Felder im Stab ausbreiten. Zur Beschreibung der Felder, die durch eine solche stehende Welle innerhalb des Leiters entstehen, betrachten wir folgende Abbildung. Abbildung 6.6: Darstellung der elektromagnetischen Felder eines Dipols (12) Durch die periodische Verschiebung der Ladungsträger innerhalb des Leiters erhält man eine Abwechslung von elektrischen und magnetischen Felder. Die ersten kommen zustande, wenn zwischen den zwei Enden des Stabes eine Spannung vorliegt, während die zweiten wegen der Ströme im Stab entstehen. Die in der Abbildung gezeigten Fälle sind nur die Grenzfälle, in denen man nur eine Art von Feldern hat, während im Allgemeinen eine Überlagerung der zwei Felder vorliegt. Wie schon besprochen, breiten sich diese Felder im Raum aus; in der folgenden Abbildung soll diese Ausbreitung schematisch dargestellt werden. Abbildung 6.7: Ausbreitung der Felder im Raum (13) 18

21 Die genaue Beschreibung der Felder eines solchen Dipols ist relativ kompliziert, weswegen wir hier nur die wesentlichen Ergebnisse zusammenfassen werden. Das von einer solchen Antenne abgestrahlte Magnetfeld hat die Form: B = [ 1 4πεc 2 r 3 ( p r) }{{} 1. Term + r ] c ( p r) }{{} 2. Term (6.2.3) wobei p(t) = q d = qd 0 sin ωt e z. Dabei ist zu beachten, dass der erste Term mit 1/r 2, der 2. Term aber nur mit 1/r abfällt, wodurch dieser bei einer Fernfeldentwicklung eine größere Bedeutung hat. Für das elektrische Feld erhält man: 1 E( r, t) = 4πε 0 r [3( p e 3 r ) e r p 1 [ ] ] + p(t r/c) er er 4πε }{{} 0 c 2 r }{{} 1. Term 2. Term (6.2.4) mit p = p(t r/c) + r c p(t r/c). Da der zweite Term nur mit 1/r, während der erste mit 1/r 3 abfällt, ist nur dieser bei einer Fernfeldnäherung von Bedeutung. Es stellt sich jetzt die Frage nach der abgestrahlten Leistung eines solchen Dipols. Man betrachte hierzu die Energiedichte ω em (siehe dazu Abschnitt 4.2.5). ω em = 1 2 ε 0(E 2 + c 2 B 2 ) = ε 0 E 2 (6.2.5) Der letzte Schritt ist aus dem Vergleich der für eine Fernfeldnäherung relevanten Terme der verschiedenen Felder berechtigt, woraus der Zusammenhang B = 1 c E ersichtlich wird. Man berechne darüber hinaus die Energiestromdichte I. I = ε 0 ce 2 (6.2.6) Dies gibt an, wie viel Energie pro Zeiteinheit durch ein Flächenelement transportiert wird. Einsetzten des oben berechneten elektrischen Feldes ergibt (man betrachte weiterhin nur den für die Fernfeldnäherung relevanten Term): I = q2 d 2 0ω 4 sin 2 ϑ 16πε 0 c 3 r 2 sin(ω(t r/c)) (6.2.7) Aus dieser Gleichung wird deutlich, dass keine Abstrahlung in Richtung des Dipols (ϑ = 0) stattfindet, während sie senkrecht zu diesem (ϑ = π/2) maximal ist. Integriert man die Energiestromdichte über eine Kugelfläche mit beliebigem Radius r (für die Definition von S siehe Abschnitt 7.5, hier wichtig: S = I), so erhält man für die Leistung eines Hertz schen Dipols P em = Zeitlich gemittelt ergibt sich S d A = q2 d 2 0ω 4 6πε 0 c 3 sin2 (ω(t r/c)) (6.2.8) P em = q2 d 2 0ω 4 12πε 0 c 3 (6.2.9) 19

22 Abbildungsquellen (1) Hugel, Thorsten (2013): Vorlesungsskript Experimentalphysik 2, München (4) Demtröder, Wolfgang (2009): Experimentalphysik 2, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg (9) elsenbruch.info/ph12_dipol.htm (12) abiweb.de (13) chemgapedia.de (14) commons.wikimedia.org/wiki (18) educentral.de (21) de.wikipedia.org/wiki/hochpass (22) de.wikipedia.org/wiki/tiefpass 20