Die Fourier Transformation und ihre Anwendungen in der Nachrichtentechnik

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1 A FT I Anwendungen der Fourier-Transformation Die Fourier Transformation und ihre Anwendungen in der Nachrichtentechnik Die Fourier Transformation und damit der Zusammenhang zwischen Zeit und Frequenzbereich ist der Inhalt dieses Kapitels, das sich in 6 Teile gliedert. Es werden darin nicht nur die Formeln der F Transformation besprochen, sondern anhand von Beispielen und Anwendungen deren Umsetzung in praktische Problemstellungen der Signal und Systemtheorie gezeigt und geübt. Dabei werden die Grundlagen für viele technische Anwendungen herausgearbeitet. Neben der Darstellung der Grundlagen werden Querverbindungen zwischen und Gemeinsamkeiten der Anwendungen aufgezeigt. Insgesamt gesehen stellt das gesamte Kapitel über die F Transformation und ihre Anwendungen das Handwerkszeug bereit, das ein Ingenieur in der Praxis (mindestens) benötigt um anschließend die Spezialgebiete der technischen Anwendungen richtig verstehen und beherrschen zu können. Die Darstellung beschränkt sich nicht auf Formeln und Gleichungen, wenngleich man nicht ohne diese auskommt. Die Formeln werden auch interpretiert und bewertet. Die graphische Methode, die zur Interpretation der Gleichungen dient, stellt eine Möglichkeit dar, mit einem Minimum an Formeln ein Maximum an korrekten Ergebnissen zu erzielen. Gleichzeitig ist diese Methode sehr geignet um Zusammenhänge durchschaubar zu machen. Sie dient zusätzlich der Kontrolle der mittels Simulationsprogrammen auf dem PC gewonnenen Ergebnisse. Teil F-Transformation als Grenzübergang aus der F-Reihe Graphische Interpretation Der δ(t) Impuls Physikalische Interpretation: Spekrtum-Analyzer Teil 2 Sätze der F-Transformation Linearität Symmetrien von Zeitfunktion und Spektraldichte Vertauschung Zeit Bandbreiten Gesetz Pulsverrundung und Roll-Off Zeitverschiebung Kamm-Filter und Transversales Filter Teil 3 Frequenzverschiebung Modulation Differentiation Integration Äquivalente Tiefpaß Signale c Prof. Dr. Ing. Dietmar Rudolph 3. Oktober 28

2 A FT II Anwendungen der Fourier-Transformation Teil 4 Faltung im Zeitbereich Faltung mit der δ Funktion Die vereinfachte Faltung Faltung im Frequenzbereich Komplexe Faltung Parseval sches Theorem Asymptotisches Verhalten Gauß Impuls Teil 5 Energie und Leistungs Signale Harmonische Funktionen Eingeschaltete Cos und Sin Schwingung Periodische Funktionen δ Kamm Abgetastete Zeitfunktion Dimensionierung von FIR Filtern FFT Teil 6 Zufalls Signale Verteilungen und Dichten Gauß Verteilung Rayleigh Verteilung Korrelations Koeffizient Korrelations Funktion Charakteristische Funktion Spektrale Leistungsdichte Spektren Digitaler Signale Impulsantwort und Kreuzkorrelation c Prof. Dr. Ing. Dietmar Rudolph 3. Oktober 28

3 A FT III Anwendungen der Fourier-Transformation Inhaltsverzeichnis Grenzübergang, δ Impuls, Zentralordinate Physikalische und Graphische Interpretation. Die Definitionsgleichungen Herleitung der F Transformation aus der komplexen F Reihe Spektraldichte und ihre Dimension Messung der Spektraldichte Beispiel zur Veranschaulichung des Grenzüberganges Einzelner Rechteckimpuls der Breite 2T Berechnung der Spektraldichte mit dem Fourier Integral Das graphische Verfahren zur Gewinnung einer Transformierten Der δ Impuls und seine Spektralverteilung Anwendung des Graphischen Verfahrens auf den δ Impuls Anwendung des graphischen Verfahrens zur Gewinnung der Spektralverteilung des δ Impulses Einheit des δ Impulses Der δ Impuls technisch gesehen Multiplikation mit einem Dirac Impuls δ(t) Die Ausblend Eigenschaft der δ Funktion Bestimmung der Spektraldichte der δ Funktion mit der Ausblend Eigenschaft Physikalische Interpretation der F Transformation: Spektrumanalyzer Tiefpässe als Integratoren Die Schwächen dieses Analysator Konzeptes Blockschaltung für eine technische Realisierung Mehrfachumsetzung bei technischen Analyzern Anzeige negativer Frequenzen Wahl der Ablenkgeschwindigkeit Graphische Interpretation der Fouriertransformation Ungerader Integrand bei symmetrischen Grenzen Graphische Interpretation der F Transformation Zentralordinaten Satz der F Transformation Linearität, Symmetrie, Vertauschung, Ähnlichkeit, Zeitverschiebung, Kammfilter, FIR Filter 5 2. Sätze der Fourier Transformation Linearitätssatz Übungsbeispiele zum Linearitäts Satz Linearität bei Übertragungssystemen, Black Box Näherungsweise Linearität in der Praxis Symmetrien von Zeitfunktion und Spektraldichte Komplexe Zeitfunktionen Symmetrien zur Kontrolle von Ergebnissen Konjugiert komplexe Funktionen Reelle Zeitfunktionen Imaginäre Zeitfunktionen Komplexe Zeitfunktionen bei Basisband Signalen Die Spektraldichte in polarer Darstellung Symmetrien von Betrag und Phase der Spektraldichten reeller Zeitfunktionen Spektraldichte und Übertragungsfunktion Vertauschung von Zeitfunktion und Spektraldichte Vertauschungssatz für gerade Funktionen Vertauschung mit Graphischem Verfahren Technische Interpretation: Idealer Tiefpaß Vertauschungssatz für ungerade Funktionen Technische Interpretation : BIPHASE Codierung Technische Interpretation 2: Hilbertfilter c Prof. Dr. Ing. Dietmar Rudolph 3. Oktober 28

4 A FT IV Anwendungen der Fourier-Transformation 2.5 Ähnlichkeit und Zeit Bandbreiten Gesetz Ähnlichkeit mit graphischer Methode Das Zeit Bandbreiten Gesetz der Nachrichtentechnik Anwendung auf verrundete Datenimpulse Das Bandbreiten Dilemma bei praktischen Übertragungsproblemen Zeitverschiebung Zeitverschiebung bewirkt eine lineare Phasendrehung im Spektrum Signal Laufzeit auf einer Leitung Signal Laufzeit bei Systemen mit nichtlinearer Phase Lineare und nichtlineare Signalverzerrungen Zur Darstellung der Spektralverteilung zeitverschobener Signale Realanteil bzw. Imaginäranteil als Betrag und Phase Addition beider Phasen Anteile Übungsbeispiel zur Zeitverschiebung Technische Anwendung: Kammfilter Anwendung von Kammfiltern beim Farbfernsehen Kammfilter als Prototyp des terrestrischen Funkkanals Transversales Filter Frequenzverschiebung, Modulation, Differentiation, Integration, Äquivalentes Tiefpaßsignal 4 3. Frequenzverschiebung Analytisches Signal: Nur positive Frequenzen Modulationssatz Doppelseitenband Modulation Amplituden Modulation (AM) der Rundfunksender auf LW, MW, KW Digitale I/Q Modulation Beispiel : Schaltmodulator Beispiel 2: Burst Beispiel 3: cos Kuppe im Zeitbereich Beispiel 4: cos 2 Kuppe Beispiel 5: Hilbert Filter Differentiation und Integration Differentiation im Zeitbereich Zusammenhang mit der komplexen Wechselstromrechnung Differentialgleichung aus komplexer Rechnung Herleitung von Korrespondenzen mit Hilfe des Zeitdifferentiationssatzes Ableitung eines Rechteckimpulses T (t) Zweifache Ableitung des Dreieck Impulses Integration im Zeitbereich Die Sprungfunktion σ(t) als Integral über die δ(t) Funktion Die Signum Funktion sgn(t) Zum Auftreten des δ(ω) in der Spektraldichte der integrierten Zeitfunktion Differentiation im Frequenzbereich Elementarsignal eines Quantisierungsgeräusches Bandpaß Signale und äquivalente Tiefpaß Signale Gewinnung der Äquivalenten Tiefpaß Signale Erzeugung des Bandpaß Signals aus dem Äquivalenten Tiefpaß Signal Die Gewinnung des Äquivalenten TP Signals mit Hilfe eines Hilbert Filters Das Hilbert Filter Multiplikation, Faltung, Vereinfachte Faltung, Parseval, asymptotisches Verhalten, Gaußimpuls Faltung und Multiplikation Faltung im Zeitbereich Lineares Zeit invariantes Übertragungssystem Linearität c Prof. Dr. Ing. Dietmar Rudolph 3. Oktober 28

5 A FT V Anwendungen der Fourier-Transformation Zeitinvarianz LTI System im Zeitbereich Ein und Ausgangs Spannung als gewichtete Summe Zur Messung der Impulsantwort Eigenschaften der Faltung Graphische Interpretation der Faltung Impulsantwort des RC Tiefpasses Entladekurve eines Kondensators Kettenschaltung zweier RC-Tiefpässe Technische Interpretation: Transversales Übertragungssystem Glättungseffekt der Faltung Faltung mit der δ Funktion Physikalische Interpretation der Faltung mit einem δ Impuls Verzerrungsfreies System und Zeitverschiebungs Satz Die vereinfachte Faltung Spektraldichten des Pulses und des Sprungs σ(t) Verallgemeinerung Herleitung der vereinfachten Faltung im Zeitbereich Übungsbeispiel: Faltung zweier Rechteckimpulse Die Einheiten und Dimensionen bei der Faltung In einer der Funktionen sind bereits δ Funktionen vorhanden Faltung mit der Sprungfunktion σ(t) Faltung einer approximierten Funktion (Treppen Kurve) Sprungantwort eines Übertragungssystems Sprungantwort des idealen TP und das Gibbs sche Phänomen Rampenfunktion Gewinnung weiterer Korrespondenzen mit Hilfe der Faltung Übungsaufgabe: Biphase Signal & Hilbert Filter Formung eines Rechteckimpulses durch einen RC Tiefpaß Faltung im Frequenzbereich Formung von Daten Symbolen: Roll Off Komplexe Faltung Energie Satz, Parseval sches Theorem Asymptotisches Verhalten von Zeitfunktionen und Spektraldichten Asymptotisches Verhalten von Impulsen endlicher Dauer Asymptote für den Verlauf der Größe der Nebenmaxima eines Daten Symbols Dispersive Übertragungssysteme Beispiele für Fensterfunktionen Das Bode Diagramm Datenübertragung bei endlicher Bandbreite Der Gauß Impuls Zentraler Grenzwertsatz Gauß sche Fehlerfunktion Digitale Übertragung mit Störung durch Rauschen Periodische Signale, δ Kamm, Abtasten, FIR Filter 9 5. Leistungs Signale und Delta Funktionen Energie und Leistungs Signale Konstantgrößen und δ Funktionen Zentralordinate Einheiten der δ Funktion Symmetrie und Skalierungsfaktor der δ Funktion Verschobene δ Impulse und harmonische Funktionen Synchrone Demodulation und Phasendrehung Eingeschaltete Cos bzw. Sin Schwingung Einschaltstrom eines Trafos Unterschied zur Laplace Transformation c Prof. Dr. Ing. Dietmar Rudolph 3. Oktober 28

6 A FT VI Anwendungen der Fourier-Transformation 5.5 Periodische Funktionen und der Zusammenhang mit der Fourier Reihe Der Betrag 2π C n der Linien ergibt die Fläche der δ Funktionen in der Spektraldichte Ersetzen der Fourierkoeffizienten Verallgemeinerung der Ergebnisse Parseval sches Theorem für periodische Funktionen Der δ Kamm Shah Endlich viele δ Linien im Frequenz Bereich Endlich viele δ Linien im Zeit Bereich Faltung und Multiplikation mit dem δ Kamm Übungsbeispiel: Endlich langer Rechteck Impuls Zug Verschobener δ Kamm Verschobener δ Kamm mittels des Linearitätssatzes Verschiebung des δ Kamms um t T/ Abgetastete Zeitfunktionen Ideale Abtastung Das Abtast Theorem Spektrums Begrenzung der abzutastenden Funktion: Anti Aliasing Filter Grenzfrequenz ω c für realisierbare Filter Rückgewinnung der ursprünglichen Zeitfunktion: Rekonstruktions Filter Reales Abtasten Der Einfluß der six Funktion im Frequenzbereich Spektrum des D/A gewandelten Signals Anwendung der Abtastung: Dimensionierung von FIR Filtern Kausalität Rechteck Fensterung Bestimmung der Fenster Breite Fenster Formen Wahl der Abtastfrequenz und Zahl der Filterkoeffizienten Ausblick: Diskrete Fouriertransformation Zufalls Signale, Wahrscheinlichkeit, Ergodizität, Korrelation, Spektrale Leistungsdichte 6 6. Zufalls Signale Messen von Verteilungen und Dichten Wahrscheinlichkeits Verteilungs Funktion der Amplituden Wahrscheinlichkeits Dichte Funktion Amplituden Dichte Verteilung (ADV) von Rauschen Crest Faktor Die Rayleigh Verteilung Amplituden Dichte Verteilung deterministischer Signale Korrelationsfunktion der Random Signale Mittelwerte Charakteristische Funktion Berücksichtigung des zeitlichen Verlaufs der Random Funktion Stationarität und Ergodizität Korrelation und Faltung Korrelation für Energiesignale Der Korrelations Koeffizient Korrelations Funktionen für Energiesignale Physikalische Interpretation der Korrelation Eigenschaften von Korrelation und Faltung Eigenschaften der Korrelation Beispiele für Korrelation von Energie Signalen Korrelation und Spektrale Leistungsdichte Eigenschaften der Spektralen Leistungsdichte Physikalische Interpretation der Spektralen Leistungsdichte Messung der Spektralen Leistungsdichte mit dem Spektrum Analyser c Prof. Dr. Ing. Dietmar Rudolph 3. Oktober 28

7 A FT VII Anwendungen der Fourier-Transformation Korrelationsfunktion und Spektrale Leistungs Dichte von Leistungssignalen Eigenschaften der AKF von Leistungssignalen Kreuz Korrelation von Leistungssignalen Beispiele für Korrelationen von Leistungs Signalen Korrelationsfunktion von Signal mit Rauschen Übertragung eines Leistungssignals über ein LTI System Spektren Digitaler Signale Daten mit statistischer Unabhängigkeit Weisses Gauß sches Rauschen Bestimmung der Impulsantwort eines Systems mit Hilfe der Korrelation Korrelations Dauer und eff. Bandbreite der Spektralen Leistungsdichte c Prof. Dr. Ing. Dietmar Rudolph 3. Oktober 28

8 A FT VIII Anwendungen der Fourier-Transformation Abbildungsverzeichnis. Filterbank (aus LC Schwingkreisen mit Dämpfung ) zur Veranschaulichung der Frequenz. 2.2 Zur Veranschaulichung der Fouriertransformation Grenzübergang F Reihe F Transformation am Beispiel des Rechteckpulses und dessen Spektrum Rechteckimpuls A T (t) und seine Spektraldichte Zur Herleitung des Dirac Impulses δ(t) und seiner Spektraldichte F δ (ω) Jeder gerade Impuls der Fläche A = geht im Grenzwert gegen einen δ(t) Impuls Ideale Abtastung durch einen δ(t) Impuls Blockschaltbild eines Spektrumanalyzers, das direkt aus der Formel für die Fouriertransformation folgt. Imaginär bedeutet technisch eine Phasendrehung von Zur Form der gemessenen Spektrallinien (Cos-Zweig) Form der Linie im Sin-Zweig: Doppel-Linie Blockschaltbild eines Spektrumanalyzers (vereinfacht) Darstellung der Spektrallinien Gemessene Spektralverteilung eines Rechteckpulses Ersatzschaltbild eines nicht idealen Mischers mit Oszillator Durchspeisung Beispiele der Anzeige eines Spektrumanalyzers bei korrekter Ablenkzeit T SW = 2 sec und bei zu kurzen Ablenkzeiten T SW =,5 sec;,2 sec Graphische Deutung der Fouriertransformation Die Zentralordinate der Spektraldichte ist gleich der Fläche unter der Zeitfunktion Addition der Zeitfunktionen Spektren der Addition der Zeitfunktionen Subtraktion der Zeitfunktionen Spektren der Subtraktion der Zeitfunktionen Symmetrien von Zeitfunktion und Spektraldichte I/Q Übertragung digitaler Signale Zur Koordinatentransformation der komplexen Funktion F(ω) Übertragung über ein lineares zeitinvariantes System (LTI System) Symmetrien von Betrag A(ω) und Phase φ(ω) = Θ(ω) der Übertragungsfunktion eines Tiefpaß Systems Betrag A(ω) und Phase φ(ω) = Θ(ω) der Übertragungsfunktion eines RC Tiefpasses Vertauschung bei geraden Funktionen am Beispiel T (t) 2T sin(ωt) ωt Vertauschung bei ungeraden Funktionen (Zeitfunktion jeweils reell) Beispiel für den Ähnlichkeitssatz Beispiele für mittlere Impulsdauer und Breite des Hauptmaximums der Spektralverteilung Beispiel für einen verrundeten Datenimpuls mit endlicher Bandbreite; Verrundung im Spektrum gemäß cos 2 sin(x). Die Zeitfunktion kann als Überlagerung von drei x Kurven dargestellt werden Das Verrundungs Filter mit Cos Roll Off ( = [,.2,.5, ]) Die verrundeten Datensymbole mit Cos Roll Off = [,.2,.5, ] Zur Bandbreite der spektralen Leistungsdichte von rechteckförmigen Daten Symbolen Die Phasenverschiebung ist proportional zur Frequenz ω, wenn die Signallaufzeit konstant ist. (Beispiel: verlustlose Leitung mit Anpassung) Eine nichtlineare Phase bewirkt frequenzabhängige Laufzeiten und diese führen zu (linearen) Signalverzerrungen. Unterschiedliche Laufzeiten bzw. Phasenverschiebungen der Oberschwingung angenommen: (blau), π/2 (magenta, gestrichelt), π (schwarz, gepunktet) Ein δ Impuls als Eingangssignal eines verzerrungsfreien Systems. Ausgangssignal und Spektralverteilungen Beispiel für die polare Darstellung einer reell geraden Spektralfunktion Auswirkung einer Zeitverschiebung auf die Spektraldichte: dreidimensionale und polare Darstellung Auswirkung einer Zeitverschiebung auf die Spektraldichte am Beispiel der Rechteck Impulse T (t T) und T (t + T): Betrag jeweils gleich, Phase ϕ (ω) = φ(ω) + ψ(ω) für Rechtsverschiebung, ϕ 2 (ω) = ϕ (ω) für Linksverschiebung c Prof. Dr. Ing. Dietmar Rudolph 3. Oktober 28

9 A FT IX Anwendungen der Fourier-Transformation 2.25 Die Zeitfunktion des Bildes 2.3 (Seite 7) als zwei zeitverschobene T/4 (t) Spektraldichte F(ω) (links); Betrag F(ω) und Phase φ(ω) der Spektraldichte (rechts) für die Zeitfunktion f(t) in Bild Kammfilter aus der Parallelschaltung zweier verzerrungsfreier Übertragungssysteme Amplituden- und Phasengang eines Kammfilters nach Bild Bei der Summierstelle gilt das + Zeichen: Addition Amplitudengang des Kammfilters Bild 2.27, wenn die Ausgangssignale subtrahiert werden. ( Zeichen in Bild 2.27) Spektrum des PAL TV und Verschachtelung von Helligkeits und Farb Spektrum Zweiwege Modell des Funk Kanals und die Kanal Impulsantwort c(t) Transversale Filterstruktur, FIR Filter Beispiel für die Impulsantwort eines Transversalfilters Beispiel für die gefensterte Impulsantwort eines Transversalfilters Beispiel ωc π sin(ωct) ω ct ωc (ω) Aufspaltung des Spekrums eines Analytischen Signals in seinen geraden und ungeraden Anteil Analytisches Signal (komplex) im Zeitbereich: Modulierter Träger f(t) (reell gerade) und die Quadratur Funktion (imaginär ungerade) Blockschaltbild eines Doppelseitenband-Modulators (Multiplizierer) und symbolische Spektraldichten für die Signale Zeitverläufe von DSB und (gewöhnlicher) AM mit m = Detektor Schaltung für AM Empfang und Hüllkurven Signal Blockschaltbild eines Amplituden-Modulators (Multiplizierer & Summierstelle) und Spektraldichten für Cos förmiges Nachrichten Signal Blockschaltbild eines Digitalen I/Q Modulators Umpolfunktion und deren Spektraldichte; Trägerfrequenz: Ω C = ω Modulierter Rechteckimpuls; Frequenz des Trägers ist hoch Die Cos Kuppe und ihre Spektralverteilung Zur Berechnung der Fläche der Cos Kuppe Die cos 2 Kuppe und ihre Spektraldichte Hilbert Tiefpaß H Hi-TP (ω) = F(ω) und seine Impulsantwort h Hi-TP (t) = f(t) Differentiation im Zeitbereich ergibt Multiplikation mit jω im Frequenzbereich RC Tiefpaß Die Ableitung des T (t) führt auf 2 Delta Impulse. Die Spektraldichte der δ Impulse ist sin förmig Erste und zweite Ableitung des Dreiecksimpulses A T (t) Sprungfunktion σ(t) als Integral über die Deltafunktion δ(t) oder δ(t) als Ableitung von σ(t) Zerlegung der Sprungfunktion σ(t) in eine Signum Funktion sgn(t) und einen Gleichanteil Die Signum Funktion sgn(t) und ihre Spektraldichte Sprungfunktion σ(t) und ihre Spektraldichte Zusammensetzung der Sprungfunktion σ(t) aus Konstant Funktion und Signum Funktion sgn(t) und ihre Spektraldichten in drei dimensionaler Darstellung Die Kennlinie eines ADC zeigt die Stufungen, die zum Quantisierungs Geräusch führen Quantisierungsgeräusch (Elementarsignal) mit Spektralverteilung Bildung des Äquivalenten Tiefpaß Signals im Spektrum (U BP(ω) = U BPe (ω)) Blockschaltbild zur Bildung des Äquivalenten Tiefpaß Signals aus dem Bandpaß Signal Blockschaltbild zur Gewinnung des Bandpaß Signals aus dem Äquivalenten Tiefpaß Signal Blockschaltbild zur Gewinnung des Äquivalenten Tiefpaß Signals aus dem TP Signal Ideales Hilbert Filter und seine Impulsantwort Hilbert Tiefpaß Filter (idealisiert) und seine Impulsantwort Beispiel für die Reaktion eines LTI Systems: linear & zeitinvariant Übertragung über ein lineares zeitinvariantes System Faltung als gewichtete Summe der Impulsantworten eines Systems Graphische Interpretation der Faltung Veranschaulichung des Durchschiebens der umgeklappten Funktion RC Tiefpaß mit δ(t) oder σ(t) als Eingangsgröße Impulsantwort des RC Tiefpasses und Entladekurve eines Kondensators c Prof. Dr. Ing. Dietmar Rudolph 3. Oktober 28

10 A FT X Anwendungen der Fourier-Transformation 4.8 Entkoppelte Kettenschaltung von 2 RC Tiefpässen mit δ(t) als Eingangsgröße Faltung zweier e Funktionen am Beispiel der Kettenschaltung zweier RC Tiefpässe (T 2 = T /2) Zeit und Potential Verlauf der Eingangsspannung Transversale Filterstruktur, FIR Filter Glättungseffekt der Faltung Faltung mit einer δ Funktion Ein δ Impuls als Eingangssignal eines verzerrungsfreien Systems. Ausgangssignal u a (t) h vf (t) Impulsantwort ; U a (ω) H vf (ω) Übertragungsfunktion Die verlustlose Leitung mit Anpassung als Beispiel eines verzerrungsfreien Systems Sprungfunktion σ(t) als Integral über δ(t) oder δ(t) als Ableitung von σ(t) Zusammensetzung eines Rechtecks T (t) aus zwei Sprungfunktionen Approximation eines Funktions Verlaufes f(t) durch eine Treppen Kurve, gebildet aus Sprungfunktionen Beispiel zur Durchführung der vereinfachten Faltung Faltung mit der Sprungfunktion am Beispiel der Cos Kuppe als Beispiel für eine Integration mit laufender oberer Grenze t Der ideale Tiefpaß H(ω) = ωc (ω) (mit Phase ) und seine Impulsantwort h(t) = ω c /π sin(ωct) ω ct Der Integral Sinus Sprungantwort des idealen Tiefpaß Systems (mit Phase ) Sprung und Rampen Funktion Dreiecksfunktion mit Transformierter six Formung eines Rechtecks durch einen RC-Tiefpaß Gewinnung der Übertragungs Funktion eines Symbol Verrundungs Filters H v(ω) mit Hilfe der vereinfachten Faltung im Frequenzbereich Struktur für eine komplexe Faltung im Basisband Bereich Beispiel zur Berechnung der Energie; Die schraffierten Flächen sind gleich Asymptotisches Verhalten der Spektraldichte verschiedener Impulsformen: Die Anzahl der Ableitungen bis δ Impulse auftreten bestimmt die Ordnung n mit der die Nebenmaxima der Transformierten abnehmen. Gestrichelt gezeichnet: Asymptoten Zur Ableitung einer cos 2 Kuppe (in der Spektraldichte): die 3. Ableitung enthält δ Impulse, also nehmen die Nebenmaxima der zugehörigen Symbolform proportional zu t 3 ab, bezogen auf den Zeitpunkt des Maximums des Symbols Beispiele für Impulse gleicher Breite und gleicher Fläche und deren Spektralverteilung im Bode Diagramm; Hanning: cos 2 Form, Hamming: ( + cos 2 ) Form Beispiel für einen verrundeten Datenimpuls mit endlicher Bandbreite; Verrundung im Spektrum gemäß cos 2, d.h. Roll Off Faktor ρ =. Datentakt: T Die Gauß Funktion in normierter Darstellung Die Gauß Funktion und ihre Transformierte Zentraler Grenzwert Satz: Mehrfache Faltung führt auf Verläufe, die im Grenzfall zu Gauß Glocken werden Gauß Glocke (σ t = ), Error Function erf(x), Komplementäre Error Function erfc(x), Q Funktion und gespiegelte Q Funktion Gauß Glocke (σ t = ), Q Funktion und gespiegelte Q Funktion dazu flächengleiches Rechteck und Tangenten Die Q Funktion in logarithmischer Darstellung und ihre Grenzkurven Bit Fehler Wahrscheinlichkeiten für bipolare und unipolare digitale Übertragung im Basisband Konstante Funktionen haben δ förmige Transformierte Zwei Impulse (symmetrische) im Zeitbereich Harmonische Schwingung im Frequenzbereich Harmonische Zeitfunktion 2 δ Impulse im Spektrum Auswirkung der Zeitverschiebung bei einer harmonischen Funktion Eingeschalteter Cosinus bzw. Sinus Beispiel für die Spektraldichte einer periodischen Funktion Der δ Kamm T (t)und seine Transformierte Ω Ω (ω); Ω = 2π/T Fünf δ Linien Überlagerung von Gleichanteil und 2 Cos-Schwingungen c Prof. Dr. Ing. Dietmar Rudolph 3. Oktober 28

11 A FT XI Anwendungen der Fourier-Transformation 5.9 Der δ Kamm T (t)als Grenzwert der Überlagerung von Cos Schwingungen mit ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz Die Multiplikation eines δ Kamms mit einem Rechteckimpuls ergibt eine endliche Anzahl N von Linien Spektralverteilung von N äquidistanten δ Linien Endlich viele Rechteckimpulse Der um eine halbe Periode verschobene δ Kamm Eine ideal abgetastete Funktion f i (t) hat eine periodische Spektraldichte F i (ω) Alias Bildung durch Unter Abtastung Zur Rückgewinnung (Interpolation) der ursprünglichen Funktion f(t) Real abgetastete Zeitfunktion (Flat Top Sampling) mit τ < T A Ausgleich des si Verlaufes durch ein Filter mit inversem Amplitudengang bei Flat Top Sampling Zeitfunktion und Spektrum eines D/A rückgewandelten Signals Transversale Filterstruktur, FIR Filter Idealer TP und seine six Impulsantwort (Ausschnitt). Abgetastete Impulsantwort und periodische Übertragungs Funktion. (h(t) zeitlich symmetriert: nicht kausal) Betrag der Übertragungsfunktion H i(ω) des FIR Filters für 2 Koeffizienten in linearer und logarithmischer Darstellung (Rechteck Fensterung) Kausaler Idealer TP und seine six Impulsantwort. Der Ausschnitt aus h(t) wird durch eine rechteckförmige Fensterfunktion w der Breite L W = 2t erzeugt. h(t) und h i (t) sind symmetrisch bezüglich t = t Die Fensterung (mit der Fensterfunktion t (t)) der Impulsantwort h(t) hat eine Faltung der Übertragungsfunktion H(ω) mit W(ω) zur Folge Die üblichen Fenster Funktionen in analoger Darstellung Die gefensterte Impulsantwort eines Transversalfilters (Chebwin Fenster) Amplitudengang eines Transversalfilters mit Rechteck Fensterung und mit Chebwin Fensterung Zur Herleitung der diskreten Fourier Transformation Zur Messung der Amplituden Verteilung einer Rausch Spannung Zur Bestimmung der Amplituden Dichte Verteilung (PDF) einer Stochastischen Funktion Typischer Verlauf einer Wahrscheinlichkeits Verteilungs Funktion (CPD) P(X) und einer Wahrscheinlichkeits Dichte Funktion (PDF) p(x) am Beispiel von Normal Verteilung und komplementäre Q Funktion; Links: σ =, Rechts: σ = Rauschen und Gauß förmige ADV (Amplituden Dichte Verteilung) Der Crest Faktor von Rauschen mit Gauß förmiger ADV Rayleigh Verteilungs Dichte und Rayleigh Verteilungs Funktion Amplituden Dichte Verteilung einer cos oder sin Schwingung Ein Ensemble von Random Funktionen Zur Messung von Erwartungswerten von Random Funktionen Histogramm einer Sichproben Verteilung und Verteilungs Dichte Funktion (PDF) Die Wahrscheinlichkeits Dichte Funktion einer Summe von statistisch unabhängigen random Sägezahn Schwingungen nähert sich der Form einer Gauß Glocke Zwei Ensembles mit unterschiedlicher Zeitdehnung Unterteilung einer Random Funktion in Abschnitte gleicher Länge L Die Abschnitte gleicher Länge L bilden ein Ensemble Blockschaltbild eines Korrelators für AKF ff (τ) KKF gf (τ) Zusammenhang zwischen Faltung und Korrellation AKF eines Rechteckimpulses Kreuzkorrelation zweier orthogonaler Signale. Die KKF gf (τ) ist zeitgespiegelt zur KKF fg (τ) Zur Messung der Spektralen Leistungsdichte Blockschaltbild eines modernen Spektum Analyzers: die Display Logic ist ein PC AKF der verschobenen Cos Schwingung AKF eines Signals, das von Rauschen überlagert ist Modell der Sender Seite einer binären Datenübertragung im Basisband c Prof. Dr. Ing. Dietmar Rudolph 3. Oktober 28

12 A FT XII Anwendungen der Fourier-Transformation 6.24 Die Spektrale Leistungs Dichte von rechteckförmigen Daten Symbolen, die statistisch von einander unabhängig sind. (lineare und logarithmische Darstellung) AKF und Spektrale Leistungs Dichte von Weißem Rauschen (WGN) Anordnung zur Messung der Impulsantwort eines LTI Systems mit Hilfe der Korrelation. Die Messung kann als unterlagerter Vorgang ablaufen, wenn die Amplitude des WGN Signals genügend klein gewählt wird Effektive Bandbreite der spektralen Leistungsdichte eines Tiefpaß Signals c Prof. Dr. Ing. Dietmar Rudolph 3. Oktober 28

13 A FT Anwendungen der Fourier-Transformation Die Fourier Transformation und ihre Anwendungen in der Nachrichtentechnik Grenzübergang, δ Impuls, Zentralordinate Physikalische und Graphische Interpretation Im Kapitel Spektren periodischer Zeitfunktionen hat es sich gezeigt, daß sich die Fourieranalyse einer periodischen Funktion besonders dann übersichtlich ausführen läßt, wenn die Kurvenform im Grundintervall T getrennt analysiert und dann die Eigenschaft der Periodizität im Anschluß daran betrachtet wird. Die Analyse der Kurvenform im Grundintervall führt direkt auf die Fouriertransformation, indem noch formal ein Grenzübergang T durchgeführt wird. Nach den vorausgegangenen physikalischen Überlegungen zu den Begriffen Frequenz und Spektrum, an welche hier wiederum angeknüpft werden soll, werden nun zunächst die Definitionsgleichungen für die F Transformation angegeben. Im Anschluß daran wird gezeigt, wie sich diese aus den Gleichungen der F Analyse gewinnen und wie sich diese Definitionsgleichungen schließlich physikalisch interpretieren und technisch anwenden lassen. Dieser Weg ist anschaulicher als ein formaler Beweis der F Transformation. Im weiteren Verlauf werden dann die Gesetzmäßigkeiten der F Transformation behandelt und mit Hilfe von Beispielen für typische Anwendungen in der Technik vertieft. Auf diese Weise gewinnt man schließlich quasi einen Baukasten für die Fourier Transformation, der sich bequem und anschaulich handhaben läßt.. Die Definitionsgleichungen Die Fourier-Transformation dient zunächst zur spektralen Zerlegung von nichtperiodischen (Zeit )Funktionen. Die formale Erweiterung auf periodische Zeitfunktionen wird später gezeigt (Kapitel 5). Die Definitions Gleichungen für die Fourier Transformation lauten: F(ω) = f(t) = 2π f(t) e jωt dt Fourier Transformation: Spektraldichte von f(t) (.) F(ω) e jωt dω Fourier Integral: Zeitfunktion aus Spektraldichte (.2) Der Zusammenhang zwischen Zeitfunktion und Spektralverteilung ist eineindeutig, d.h. zu jedem Zeitverlauf gibt es genau eine Spektralverteilung und zu jeder Spektralverteilung genau einen Zeitverlauf. Eine solche Korrespondenz wird durch ein eigenes Symbol gekennzeichnet: f(t) F(ω) bzw. F(ω) f(t) (.3) Bei diesem Symbol soll die Zeitfunktion stets durch den Kreis, die Spektralverteilung stets durch den Punkt gekennzeichnet sein: Zeitfunktion Spektralverteilung Da die Fouriertransformation als Grenzübergang aus der Fourierreihe ableitbar ist, kann sie ebenfalls mit Hilfe der Filterbank veranschaulicht werden, Bild.. Die Fouriertransformation liefert eine Spektralzerlegung in diesem Fall eine Spektraldichte auch für den Fall einer einmaligen d.h. nichtperiodischen Zeitfunktion, Bild.2. Der Begriff der Spektraldichte, der bei der F Transformation an Stelle des Spektrums der F Reihe vorkommt, wird anläßlich des Grenzübergangs von der Reihe zum Integral erklärt. c Prof. Dr. Ing. Dietmar Rudolph 3. Oktober 28

14 A FT 2 Anwendungen der Fourier-Transformation Filterbank s(t) Fourier-Analyse F-Zerlegung s(t) Fourier-Synthese ω g ω Frequenzachse Bild.: Filterbank (aus LC Schwingkreisen mit Dämpfung ) zur Veranschaulichung der Frequenz Bild.2: Zur Veranschaulichung der Fouriertransformation.2 Herleitung der F Transformation aus der komplexen F Reihe Die Definitionsgleichungen der Fourier Transformation lassen sich aus den Formeln für die komplexe Fourier Reihe wie folgt herleiten. Für eine periodische Funktion gilt mit der komplexen Fourier Reihe: C n = T T/2 f(t) e jnωt dt Fourierkoeffizienten: Spektrum von f(t) (.4) f(t) l.i.m. = f(t) = T/2 n= C n e jnωt Synthese der Zeitfunktion 2 (.5) Man gelangt von einem periodischen Vorgang zu einem einmaligen Vorgang, wenn man die Periodendauer T im Grenzfall gegen (T ) gehen läßt. Dazu wird der Kurvenverlauf im ursprünglichen Intervall unverändert beibehalten und außerhalb alles zu Null gesetzt. In diesem Fall werden jedoch die F Koeffizienten C n in Gl. (.4) zu : C n = T T/2 f(t) e jnωt dt für T (.6) T/2 Für einen einmaligen Vorgang kann somit kein Spektrum angegeben werden. Mathematisch hilft man sich so, daß in Gl. (.4) beide Seiten mit T multipliziert werden. Dann nimmt zwar der Ausdruck T C n die Form an, jedoch ergibt sich trotzdem ein definierter Wert, wie man aus der Gleichung (.8) erkennt. 2 Die synthetisierte Zeitfunktion f(t) ist nur im quadratischen Mittel gleich der ursprünglichen Zeitfunktion f(t). c Prof. Dr. Ing. Dietmar Rudolph 3. Oktober 28

15 A FT 3 Anwendungen der Fourier-Transformation T C n = T/2 f(t)e jnωt dt (.7) T/2 für T wird daraus gemäß Gleichung (.): F(nω ) = f(t)e jnωt dt (.8) Dieser Grenzübergang führt auf folgende Konsequenzen: Indem die Periodendauer T geht, ergibt sich für den Linienabstand ω : ω = 2π/T d.h. Linienabstand (.9) Da ω infinitesimal klein wird, ändert man zweckmäßigerweise die Symbole und schreibt statt dessen: Wird nun Gl. (.5) mit dem Ausdruck ω = 2π/T erweitert, 3 f(t) = 2π ω dω (.) n ω ω (.) F(nω ) F(ω) (.2) n= so führt der Grenzübergang T zum Fourierintegral Gl. (.2):.2. Spektraldichte und ihre Dimension f(t) = 2π T C n e jnωt ω, (.3) F(ω) e jωt dω (.4) Wie sofort aus Gl. (.4) hervorgeht, hat C n die gleiche Einheit wie f(t), also z.b Volt. Dann erhält aber der Ausdruck T C n z.b. die Einheit Volt mal Sekunde V s. Dies kann man auch als V /s schreiben. Da /s die Dimension Frequenz hat, erhält man als Dimension Spannung/Frequenz, also z.b. V /Hz, wenn die natürliche Frequenz f statt der Kreisfrequenz ω = 2πf verwendet wird. Damit erhält der Ausdruck T C n die Dimension einer Spektraldichte. Somit hat auch F(ω) die Dimension Spektraldichte. Für einen einmaligen Vorgang kann also kein Spektrum, sondern nur noch eine Spektraldichte angegeben werden..2.2 Messung der Spektraldichte Die Spektraldichte kann näherungsweise mit einem Spektrumanalyzer gemessen werden. Im Unterschied zur Fouriertransformation, welche (wie die Fourieranalyse) eine Filterbank mit vielen infinitesimal schmalen LC Filtern unterstellt, hat ein realisierbarer Spektrumanalyzer Filter endlicher Bandbreite. Damit wird mathematisch gesehen F(ω) über diese Bandbreite integriert. Der Spektrumanalyzer stellt also nicht F(ω), sondern F(ω)dω, integriert über die Bandbreite seines Filters, dar 4. Dieses Integral hat damit wieder die gleiche Einheit wie f(t). Damit mißt der Spektrumanalyzer ein Spektrum, das in seiner Form näherungsweise (dem Betrag) der Spektraldichte von f(t) entspricht. Die Näherung wird umso besser, je schmaler das Filter des Analyzers eingestellt wird. 3 Zur Vereinfachung wird ab hier nicht mehr f(t) geschrieben, sondern nur noch f(t). Siehe jedoch Bilder. und.2. 4 Genaueres zum Spektrumanalyzer in den folgenden Abschnitten. c Prof. Dr. Ing. Dietmar Rudolph 3. Oktober 28

16 A FT 4 Anwendungen der Fourier-Transformation.3 Beispiel zur Veranschaulichung des Grenzüberganges Es wird der periodische Rechteckpuls betrachtet, dessen Spektrum mit der komplexen Fourierreihe berechnet wurde, Bild.3. f(t): Einzelimpuls τ A f (t) T f 2(t) f (t) 3 f(t) T T T t t t t C n C n C n y = * si(x) C n Aτ/T x x x x Grenzübergang T T C n T C n T C n y = si(x) T C n x x x x Bild.3: Grenzübergang F Reihe F Transformation am Beispiel des Rechteckpulses und dessen Spektrum Durch den Grenzübergang T ergibt sich, wie man sofort aus Bild.3 sieht: Der Linienabstand ω. Die Linien rücken also dicht zusammen. Die Nullstellen der Hüllkurve ändern sich nicht: ω N = 2 π/τ. Da sich die Impulsbreite τ nicht ändert (die Breite des Einzelimpulses bleibt gleich), ändern sich auch die Nullstellen der Hüllkurve des Spektrums nicht. Die Zentralordinate, das ist Amplitude der Linie bei ω =, wird zu A τ/t. Damit werden alle Linien verschwindend klein, ein Spektrum ist nicht mehr darstellbar, sondern nur noch eine Spektraldichte, die sich aus dem Grenzübergang mit T C n ergibt, Bild.3 rechts..4 Einzelner Rechteckimpuls der Breite 2T förmige Spektraldich- Ein einzelner Rechteck Impuls T (t) hat gemäß dem Grenzübergang eine six = sin(x) x te, Bild.4. 5 Die Breite 2T des erscheint mit ihrem halben Wert T als Index in der Formel f (t) = A T (t). In der Transformierten, dem sin(x) x, erscheint dieser Wert wieder: F (ω) = 2AT sin(ωt) ωt. Zusammen mit dem Satz über die Zentralordinate (2AT = Fläche unter der Zeitfunktion), siehe Kapitel.9.3, läßt sich aus der Graphik unmittelbar die Formel bestimmen. Der mit gekennzeichnete Index T in der Zeitfunktion des Rechecks A T (t) erscheint entsprechend in der Spektraldichte als Faktor wieder, f (t) = A T(t) F (ω) = 2A T sin(ω T) } {{ } Fläche ω T (.5) Da durch den Grenzübergang der Linienabstand = geht, müßte man eigentlich die si Kurve schwarz ausfüllen, was aber üblicherweise nicht gemacht wird. Man zeichnet vielmehr nur die Berandungskurve. 5 Achtung: in Bild.4 werden andere Symbole verwendet als in Bild.3. Wie groß ist jetzt die Impulsbreite? Hier zeigt es sich wieder, daß es vorteilhaft ist, in Begriffen zu denken und nicht in Symbolen! c Prof. Dr. Ing. Dietmar Rudolph 3. Oktober 28

17 A FT 5 Anwendungen der Fourier-Transformation Bild.4: Rechteckimpuls A T (t) und seine Spektraldichte.4. Berechnung der Spektraldichte mit dem Fourier Integral Durch Einsetzen in die Definitionsgleichung (.2) erhält man F (ω) wie folgt: f (t) = A T (t) = A; T < t < T (.6) F (ω) = f(t)e jωt dt = = A e jωt e +jωt jω Mit Hilfe der Euler schen Formel wird daraus: T T A e jωt dt = A T T = A 2T e+jωt e jωt j2tω e jωt dt (.7) (.8) F (ω) = 2AT sin(ωt) ωt (.9) Dies ist einer der wenigen Fälle, wo eine Spektraldichte explizit berechnet werden muß. Mit Hilfe der Gesetzmäßigkeiten der F Transformation gelingt es ohne große Mühe, sehr viele Anwendungsbeispiele sin(x) auf diese eine Korrespondenz zurückzuführen. x.5 Das graphische Verfahren zur Gewinnung einer Transformierten Der Rechteckimpuls T (t) spielt in der Technik eine sehr wichtige Rolle. Im weiteren Verlauf wird sich zeigen, daß sehr viele Funktionsverläufe auf einen Rechteckimpuls zurückführbar sind. Auf dieser Tatsache beruht das graphische Verfahren zur Bestimmung der Transformierten. Durch Vergleich zwischen F (ω) aus den Gleichungen (.5), (.5) und F(ω) aus Bild.4 erkennt man, daß nicht nur das Bild eindeutig durch die Formel beschrieben wird, sondern daß man genau so eindeutig aus dem Bild die Formel gewinnen kann. Diese Idee liegt dem graphischen Verfahren zugrunde. Im Falle des Rechteckimpulses findet man folgende Zusammenhänge: Rechteck im Zeitbereich six im Frequenzbereich Impulsbreite 2T. Nullstelle des six bei ω N = 2π/2T = π/t Fläche des Rechtecks A T (t) : 2AT Zentralordinate des six : 2AT Index T bei A T (t) Wert T in der Formel 2A T sin(ω T) Damit ist die Spektraldichte F (ω) des Rechteckimpulses f (t) auch formelmäßig einfach anzugeben. Das graphische Verfahren, bei dem die Begriffe zusätzlich zu den Formeln graphisch interpretiert werden, wird durch weitere Beispiele und durch die Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation erweitert und ausgebaut. ω T c Prof. Dr. Ing. Dietmar Rudolph 3. Oktober 28

18 A FT 6 Anwendungen der Fourier-Transformation.6 Der δ Impuls und seine Spektralverteilung.6. Anwendung des Graphischen Verfahrens auf den δ Impuls Der δ Impuls oder Dirac Impuls 6 δ(t) ist die (mathematische) Idealisierung eines technisch realisierbaren sehr kurzen und sehr hohen Impulses 7, der anschaulich als Nadel Impuls bezeichnet wird. Zur Herleitung des δ Impulses und seiner Spektralverteilung kann man von jedem geraden Impuls ausgehen. Als Beispiel soll der Rechteckimpuls (/2T) T (t) verwendet werden. Dieser hat eine Fläche der Größe A =, Bild.5. f(t)=(/2t) Π T (t) T Fläche = δ(t) Fläche = -T T t t F Π( ω) F δ( ω) ω N ωn= π/t ω ω Bild.5: Zur Herleitung des Dirac Impulses δ(t) und seiner Spektraldichte F δ (ω) Wird die Breite 2T des Rechteckimpulses (/2T) T (t) bis auf verkleinert, wobei aber seine Fläche A = konstant bleiben soll, muß die Höhe /2T schließlich gehen. Man erhält durch diesen Grenzübergang den Dirac Impuls δ(t). δ(t) wird graphisch durch einen Pfeil dargestellt. Dieser Pfeil symbolisiert die große Höhe des δ Impulses. Gleichzeitig wählt man die Länge des Pfeils proportional zur Fläche des Dirac Impulses (A δ = in Bild.5)..6.2 Anwendung des graphischen Verfahrens zur Gewinnung der Spektralverteilung des δ Impulses Das Graphische Verfahren geht hier von einem Rechteckimpuls (/2T) T (t) aus und verfolgt, wie sich die Änderung eines Parameters, hier die Impulsbreite 2 T bei konstanter Fläche A =, im Zeit und damit im Frequenzbereich, also in der Transformierten, auswirkt (Bild.5). In der Spektraldichte F (ω) des Rechteckimpulses geht die. Nullstelle (und damit auch alle anderen) gegen, wenn seine Breite 2T gegen Null geht, d.h. ω N = π/t. Da die Fläche unter der Zeitfunktion konstant bleibt (in diesem Fall ist A = A δ = ), bleibt auch die Zentralordinate der Transformierten konstant. Also wird F δ () =. Somit ergibt sich die Korrespondenz: δ(t) F δ (ω) = (.2) Die Spektraldichte F δ (ω) eines Dirac Impulses δ(t) ist demnach konstant für alle Frequenzen, oder technisch ausgedrückt: In der Spektraldichte von δ(t) sind alle Frequenz Komponenten gleich stark enthalten. 6 P. A. M. Dirac hat diese Impulsform als erster im Rahmen der Quantenmechanik benutzt. 7 Der Dirac-Impuls δ(t) ist streng mathematisch keine Funktion, sondern eine Distribution. Von den Eigenschaften dieser Distribution werden in der Übertragungstechnik nur wenige verwendet, die zudem unmittelbar einsichtig sind. c Prof. Dr. Ing. Dietmar Rudolph 3. Oktober 28

19 A FT 7 Anwendungen der Fourier-Transformation.6.3 Einheit des δ Impulses Der Grenzübergang gibt auch Auskunft über die Einheit des δ Impulses, da sich durch diesen Grenzübergang an der Einheit nichts ändert 8. Der δ Impuls hat also die Einheit 2T T (t) Einheit : δ(t) Einheit : sec sec [ ], was einer Frequenz entspricht. sec (.2) (.22).6.4 Der δ Impuls technisch gesehen Aufgrund des Grenzübergangs wird erkennbar, daß nicht nur ein Rechteckimpuls, sondern jeder gerade (even) Impuls mit ansonsten beliebiger Form, dessen Fläche A Impuls = ist, in der Grenze auf einen Dirac Impuls δ(t) führt [6], Bild.6. Bild.6: Jeder gerade Impuls der Fläche A = geht im Grenzwert gegen einen δ(t) Impuls. Dies ist der Grund dafür, daß technisch gesehen kurze Impulse durch δ Impulse dargestellt werden können, was zu einer Vereinfachung in der Berechnung führen wird. Technisch gibt es weder einen Nadelimpuls, der infintesimal schmal und hoch ist, noch eine Spektralfunktion die bis zur Frequenz ω konstant ist. Diese Feststellung kann andererseits zur Entscheidung herangezogen werden, ab wann ein Nadelimpuls als δ Impuls dargestellt werden kann. Hierfür betrachtet man das Übertragungssystem, auf das dieser Nadelimpuls wirkt: Ist die Spektralverteilung des Nadelimpulses innerhalb des Durchlaßbereiches dieses Systemes konstant, so kann der Nadelimpuls als δ-impuls dargestellt werden, ohne daß durch diese Idealisierung ein Fehler entsteht..6.5 Multiplikation mit einem Dirac Impuls δ(t) Da der δ Impuls an der Stelle t = ist (und nur da ist!), wird δ(t) = für t. Damit gilt für das Produkt von einer beliebigen Zeitfunktion mit einer δ Distribution: 8 Die Fläche A = A δ wird für diese Betrachtung zu angesetzt. c Prof. Dr. Ing. Dietmar Rudolph 3. Oktober 28

20 A FT 8 Anwendungen der Fourier-Transformation f(t) δ(t) = f() δ(t) (.23) Durch die Multiplikation mit einer δ Funktion wird ein einzelner Wert aus einer Funktion f(t) ausgeblendet. Die δ Funktion erhält damit die Fläche f()..6.6 Die Ausblend Eigenschaft der δ Funktion Soll der Funktionswert f() gewonnen werden, also ein Abtastwert aus einer Funktion, muß folgendes Integral gebildet werden; f(t) δ(t)dt = f() δ(t)dt = f() δ(t)dt } {{ } =(per Definition) = f() = f() (.24) Von dem Integranden interessiert nur der Wert, wo sich δ(t) befindet, hier also die Stelle t = bzw. bei δ(t t ) die Stelle t = t, weil überall sonst das Produkt im Integranden den Wert hat, Bild.7. f(t) f(t ) δ(t-t ) f(t ) t t t t Bild.7: Ideale Abtastung durch einen δ(t) Impuls. Eine der angenehmen Eigenschaften der δ Funktion ist, daß sich ein Integral, bei dem δ im Integranden steht, offensichtlich ganz einfach berechnen läßt..6.7 Bestimmung der Spektraldichte der δ Funktion mit der Ausblend Eigenschaft Auf die Fourier Transformation der δ(t) Funktion angewendet, ergibt sich, da in e jωt im Integral wegen der δ(t) Funktion für t = eingesetzt werden kann: F δ (ω) = δ(t) e jωt dt = δ(t) e dt = Damit ist das mit der Graphischen Methode erzielte Ergebnis bestätigt. Technische Anwendung der Ausblend Eigenschaft δ(t)dt = (.25) Die Ausblend Eigenschaft der δ Funktion spielt beim Abtasten von Zeitfunktionen eine wichtige Rolle, Bild.7. Abgetastete Zeitfunktionen kommen z.b. bei den Pulsmodulationsverfahren oder in der Digitalen Signalverarbeitung vor..7 Physikalische Interpretation der F Transformation: Spektrumanalyzer Es soll hier gezeigt werden, daß die Funktionsweise eines Spektrumanalysators unmittelbar aus den Formeln für die Fourier Transformation interpretiert werden kann. Hierfür wird zunächst mittels der Eulerschen Formeln die Fourier Transformation geschrieben als: c Prof. Dr. Ing. Dietmar Rudolph 3. Oktober 28