Stetigkeit. Im Bildungsplan bis 2004 verpflichtend, jetzt nicht mehr. - Soll Stetigkeit in der Schule behandelt werden? Warum?

Transkript

1 1 Nr Stetigkeit Im Bildungsplan bis 2004 verpflichtend, jetzt nicht mehr. - Soll Stetigkeit in der Schule behandelt werden? Warum? 1. Das ist ein ganz einfach zu verstehender Begriff, der sich auch gut veranschaulichen lässt. Stimmt das? 2. Man braucht die Stetigkeit in der Analysis, das ist unabdingbar. Stimmt das für die Schule?

2 2 Ist Stetigkeit ein anschaulicher Begriff? Stetig? Stetig?

3 3 Zwei äquivalente Definitionen Folgen-Definition: Die Funktion f sei auf D definiert, a aus D. f heißt stetigan der Stelle a genau dann, wenn für x aus D gilt: limf (x) x a f (a) (Was steckt hinter dieser kurzen Formulierung lim...?) Epsilon-Delta-Definition: Die Funktion f sei auf D definiert und a aus D. f heißt stetigan der Stelle a genau dann, wenn gilt: Zu jedem ɛ>0 gibt es ein δ>0 mit f(x) f(a) < ɛ für alle x aus D mit x -a <δ. =

4 4 Prüfen Sie mit den Definitionen! Lehrer: Stetigkeit bedeutet ganz einfach, dass man den Graph zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen. Schüler: Warum drücken Sie das dann so kompliziert aus? Und warum ist diese Eigenschaft von Bedeutung?

5 5 Prüfen Sie mit den Definitionen! Stetig bei a = 1,5?

6 6 Variante: Ausschluss von isolierten Punkten Definition: Die Funktion f sei auf D definiert, a aus D und a ein Häufungspunkt von D. f heißt stetigan der Stelle a genau dann, wenn für x aus D gilt: limf (x) x a = f (a) Definition: Die Funktion f sei auf D definiert, a aus D und a ein Häufungspunkt von D. f heißt stetigan der Stelle a genau dann, wenn gilt: Zu jedem ɛ>0 gibt es ein δ>0 mit f(x) f(a) < ɛ für alle x aus D mit x -a <δ.

7 7 Dumme Schülerfrage? Schüler: Im Buch steht, dass die Funktion f mit f(x) = 1/x stetig ist. Sie sagten, das würde bedeuten, dass man den Graphen zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen. Das passt doch nicht zusammen!

8 8 Definitionen, die die genannten Fälle ausschließen Definition: Die Funktion f sei auf einem Intervall J definiert. f heißt stetigan einer Stelle a aus J genau dann, wenn für x aus D gilt: limf (x) x a = f (a) Definition: Die Funktion f sei auf einem Intervall J definiert. f heißt stetigan einer Stelle a aus J genau dann, wenn gilt: Zu jedem ɛ>0 gibt es ein δ>0 mit f(x) f(a) < ɛ für alle x aus J mit x -a <δ.

9 9 Anschaulich jetzt richtig? Ist f auf einem Intervall J stetig, bedeutet dies, dass man den Graphen auf J zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen. J kann ein geschlossenes oder offenes oder halboffenes Intervall sein.

10 10 Prüfen Sie mit den Definitionen! f ( x) = sin( 0, 1 x), x x 0 ; D = R = 0 x sin( (x) = 0, 1 f x), x 0 x = 0, D = R

11 11 Didaktische Fragen Frage: Wozu braucht man eigentlich Stetigkeit? Frage: Die Definitionen erfordern einen sehr hohen begrifflichen und formalen Aufwand! Was ist der Ertrag?

12 12 Stetigkeit: Warum? Satz 1: (Zwischenwertsatz) Ist f auf [a;b] stetig, dann nimmt f(x) jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an. Spezialfall: Nullstellensatz Ist f auf [a;b] stetig, f(a) < 0 und f(b) > 0, dann hat f in (a;b) mindestens eine Nullstelle. Diesen Satz verwendet man in der Schule dauernd. Das führt dazu, dass sehr oft die Voraussetzung gebraucht wird: Sei f stetig auf [a;b] und....

13 13 Stetigkeit: Noch ein Existenzsatz Satz: Ist f auf [a;b] stetig, z aus [a;b] und f(z) > 0. Dann gibt es eine Umgebung U von z mit f(x) > 0 für alle x aus U [a;b]. Didaktische Bemerkung: Schüler halten z.b. den Nullstellensatz kaum für beweisbedürftig. Für sie ist dies eine natürliche Eigenschaft von Funktionen. Das führt zu der Frage, welche Grundvorstellung Schüler von Funktionen haben.

14 14 Stetigkeit: Noch ein Existenzsatz Satz 2: Ist f auf [a;b] stetig, dann ist die Wertemenge W von f auch ein abgeschlossenes Intervall. (evtl. eine einzige Zahl) D.h. es existieren u,vaus [a;b] mit W = [f(u); f(v)] Folgerungen: Satz 3: Ist f auf [a;b] stetig, dann ist die Wertemenge W von f beschränkt (nach oben und nach unten). Satz 4: Ist f auf [a;b] stetig, dann hat die Wertemenge von f ein Maximum und ein Minimum.

15 15 1 Analyse der Sätze 2-4 f(x) = g(x) = x+1 x 1 ; x (0;2] f (x) = x 1,5 ; x = 0 D = (0; 2] D = (0; 2) D = [0; 2] Prüfe: Stetig? Beschränkt? Maximum/Minimum?

16 16 Stetigkeit und Zwischenwerteigenschaft A. f ist auf [0;2] stetig. B. Zwischenwerteigenschaft: f(x) nimmt jeden Wert zwischen f(0) und f(2) an. A falsch; B falsch A falsch; B wahr A wahr; B wahr A B A B A B A B

17 17 Zwischenwerteigenschaft und Stetigkeit Die Zwischenwerteigenschaft auf [a; b] ist nicht äquivalent zur Stetigkeit auf [a; b]. Stetigkeit auf [a; b] ist stärker.

18 18 Zwischenwerteigenschaft Ein Wanderer geht am Am Sonntag geht er Samstag zwischen 8 Uhr zwischen 8 Uhr und und 14 Uhr von A nach B. 14 Uhr von B nach A. A Samstag B 8 Uhr 14 Uhr A Sonntag B 14 Uhr 8 Uhr Es gibt einen Ort, an dem der Wanderer an beiden Tagen zur gleichen Zeit war.

19 19 Zwischenwerteigenschaft Auf jedem Längenkreis um die Erde gibt es zwei gegenüberliegende Punkte mit der derselben Höhe über Normal-Null.

20 20 Bewertung: Vorwissen - Topologische Kenntnisse über Mengen (Häufungspunkt) - Grenzwert einer Funktion für x a - Linksseitiger / Rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion für x a - Grenzwert einer Folge

21 21 Bewertung: Spezifische Schwierigkeiten - Es gibt keine einfache und treffende anschauliche Grundvorstellung - Sehr hoher gedanklicher Anspruch - Praktischer Nutzen in der Schule? Schwerwiegend: Sinn der Begriffsbildung für SuS schwer erschließbar

22 22 Bewertung - Wird zum Nachweis von Existenzsätzen benötigt. Ist damit ein Bestandteil eines deduktiven Aufbaus und auch nur aus dieser Sicht richtig zu verstehen. - Der Schüler setzt Stetigkeit immer voraus, weil er einen allgemeinen Funktionsbegriff nicht hat. - Die Definition ist nicht naheliegend. Naheliegend wäre z.b. die Zwischenwerteigenschaft (aber: aus der Zwischenwerteigenschaft folgt nicht die Stetigkeit) - In der Schule wird der Begriff definiert, aber nicht verwendet. Der Schüler lernt wie Stetigkeit definiert wird, aber nicht warum Stetigkeit definiert wird.