MIII (WS 03/04) BERNHARD HANKE

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1 MIII (WS 03/04) BERNHARD HANKE 1. Konstruktion des Lebesgue-Integrals Unter einem n-dimensionalen (achsenparallelen) Quader im R n verstehen wir eine Teilmenge Q R n der Form Q = I 1... I n wobei alle I ν R Intervalle der Form [a ν, b ν ], (a ν, b ν ], [a ν, b ν ) oder (a ν, b ν ) sind mit a ν, b ν R, a ν b ν. Wir definieren das n-dimensionale Volumen von Q als n vol n (Q) := (b ν a ν ). ν=1 Der Quader Q ist entartet, falls für mindestens ein ν die Gleichheit a ν = b ν gilt. Es ist offensichtlich vol n (Q) = 0 genau dann, falls Q entartet ist. Definition. Eine Teilmenge N R n heißt n-dimensionale Nullmenge, falls es für alle ɛ > 0 eine Überdeckung N ν N Q ν durch abzählbar viele n-dimensionale Quader gibt, so dass vol n (Q ν ) < ɛ ν N In diesem Fall schreiben wir auch µ n (N) = 0. Proposition 1.1. a) µ n (N) = 0 und A N impliziert µ n (A) = 0. b) Ist (N ν ) ν N eine abzählbare Familie von Nullmengen im R n, so gilt µ n ( ν N N ν) = 0. c) Ist m > 0 und ist N R n Nullmenge, so auch R m N R m+n. Beweis. a) ist klar. Für den Beweis von b) sei ein ɛ > 0 gegeben. Für alle ν finden wir eine Überdeckung von N ν durch eine Familie von Quadern (Q ν,λ ) λ N, so dass λ vol(q ν,λ ) < ɛ 2 ν. Die Familie (Q ν,λ ) ν,λ N ist abzählbar, es gilt ν N ν ν,λ Q ν,λ und ν,λ vol(q ν,λ) < ɛ. Zu c): Es existiert eine Überdeckung R m λ P λ durch Quader mit vol m (P λ ) = 1. Sei nun ɛ > 0 beliebig. Da N Nullmenge ist, existiert für alle λ eine Familie (Q λ,ν ) ν N, so dass N ν Q λ,ν und ν vol n(q λ,ν ) < 1 ɛ 2 λ.

2 2 BERNHARD HANKE Die Familie (P λ Q λ,ν ) λ,ν N von Quadern im R m R n ist dann abzählbar, es gilt R m N λ,ν P λ Q λ,ν und λ,ν vol m+n(p λ Q λ,ν ) < ɛ. Beispiel. Die Menge der rationalen Zahlen Q R ist abzählbar und hat damit Maß 0. Seien 1 k n natürliche Zahlen, c R und die Hyperebene H k,c := {(x 1,..., x n ) x k = c} R n gegeben. Dann ist H k,c abzählbare Vereinigung entarteter Quader der Form [a 1, b 1 ]... [c, c]... [a n, b n ] und damit eine Nullmenge. Der Rand jedes Quaders Q R ist Teilmenge der Vereinigung solcher Hyperebenen und damit ebenfalls eine Nullmenge. Lemma 1.2. Es sei N R n eine Nullmenge. Dann existiert für alle ɛ > 0 eine Familie (Q ν ) ν N von offenen Quadern im R n, so dass N ν Q ν und ν vol(q ν) < ɛ. Beweis. Wur wählen zunächst eine Überdeckung (P ν ) ν N von N durch (nicht notwendig offene) Quader mit ν vol(p ν) < ɛ 2. Es sei ν N und P ν = [a 1, b 1 ]... [a n, b n ]. Mit P ν,δ := (a 1 δ, b 1 + δ)... (a n δ, b n + δ) für δ > 0 gilt lim vol(p ν,δ) = vol(p ν ). δ 0 Wir setzen nun Q ν := P ν,δ, wobei δ > 0 so klein ist, dass vol(p ν,δ ) vol(p ν ) < ɛ 2 2 ν. Man sagt, eine (für eine Teilmenge M R n definierte) Eigenschaft gilt fast überall in M, falls es eine Nullmenge N R n gibt, so dass die betrachtete Eigenschaft für alle x M \ N richtig ist. Zwei Quader P, Q R n heißen fast disjunkt, falls µ n (P Q) = 0. Dies ist offensichtlich genau dann der Fall, wenn der Schnitt von P und Q im Schnitt ihrer Ränder enthalten ist. Lemma 1.3. Jede offene Teilmenge U R n ist die Vereinigung abzählbar vieler paarweise fast disjunkter kompakter Quader. Beweis. Für k N 0 sei W k die Familie aller abgeschlossenen Würfel mit Kantenlänge 2 k, deren Eckpunkte sämtlich Koordinaten der Gestalt 2 k j haben mit j Z. Jedes W k ist abzählbar. Zwei Würfel W W k, W W k (k k) sind entweder fast disjunkt oder es gilt W W. Wir konstruieren nun die gesuchte Menge induktiv: Sei I 0 die Menge aller Würfel aus W 0, die

3 MIII (WS 03/04) 3 ganz in U enthalten sind. Sei I k die Menge aller Würfel aus W k, die ganz in U liegen, aber in keinem der Würfel aus ν<k I ν enthalten sind. Wir setzen I := I k. k=0 Die Menge der Würfel aus I hat die gesuchte Eigenschaft. Definition. Eine Funktion φ : R n R heißt Treppenfunktion, falls es endlich viele disjunkte Quader Q 1,..., Q k R n und reelle Zahlen c 1,..., c k R gibt, so dass k φ = c ν χ Qν. ν=1 Das n-dimenisonale Integral einer Treppenfunktion φ : R n R ist definiert als k φ(x) dx 1 dx 2... dx n := c i vol(q i ). R n (Der Kürze wegen schreiben wir manchmal auch dx statt dx 1... dx n oder lassen diese Symbole - ebenso wie den Integrationsbereich R n - ganz weg). Es sei C 0 (R n ) (kurz: C 0 ) die Menge aller Treppenfunktionen R n R. Sind Treppenfunktionen φ, ψ C 0 gegeben und λ R, dann sind auch φ + ψ, λφ, max(φ, ψ), min(φ, ψ), φ + := max(φ, 0), φ := max( φ, 0) und φ = φ + + φ Treppenfunktionen. (Insbesondere ist also C 0 ein reeller Vektorraum.) Dies benutzt die folgende Tatsache: Sind Q 1,..., Q k (nicht notwendig disjunkte Quader) im R n, so gibt es eine Überdeckung von k i=1 Q i durch endliche viele paarweise disjunkte Quader S 1,..., S m, so dass zusätzlich für alle 1 i k und für alle 1 j m i=1 S j Q i oder S j Q i = gilt. Dazu seien Q i = I i,1... I i,n für alle 1 i k (mit Intervallen I i,ν R). Wie man sich direkt überlegt, gibt es dann für alle 1 ν n beschränkte, paarweise disjunkte Intervalle K ν,1,..., K ν,lν R, so dass I 1,ν... I k,ν = K ν,1... K ν,lν und so dass für 1 i k, 1 ν n, 1 l l ν entweder K ν,l I i,ν oder K ν,l I i,ν = gilt. Die Quader S j sind nun sämtliche möglichen Produkte K 1,m1... K n,mn R n, wobei 1 m ν l ν für alle 1 ν n ist.

4 4 BERNHARD HANKE Die folgenden Eigenschaften des Integrals für Treppenfunktionen sind offensichtlich: (Linearität) λφ = λ φ, (φ + ψ) = φ + ψ. (Monotonie) Gilt φ ψ, so auch φ ψ. Zum weiteren Aufbau der Theorie beweisen wir das folgende technische Lemma. Falls f : R n R eine Funktion ist, so nennt man den Träger von f. supp(f) := {x R n f(x) 0} R n Lemma 1.4. a) Sei (φ ν ) eine monoton fallende Folge von Treppenfunktionen R n R, so dass φ ν (x) 0 fast überall. Dann gilt lim ν φν = 0. b) (Schwache Form des Satzes von der monotonen Konvergenz) Sei C R und (φ ν ) eine monoton wachsende Folge von Treppenfunktionen R n R mit φ ν C für alle ν. Dann konvergiert φ ν fast überall gegen einen endlichen Grenzwert in R. Beweis. a) Jede der Treppenfunktionen φ ν kann allenfalls auf einer Teilmenge des R n vom Maß 0 negative Werte annehmen. Wir können daher ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass alle φ ν 0 sind. Da φ ν monoton fallend ist, sind dann die Träger aller φ ν in einem kompakten Quader K R n enthalten. Sind weiterhin Q 1, Q 2,..., Q k R n beliebige Quader und φ : R n R eine nichtnegative Treppenfunktion, so sind die Funktionen φ χ Qν ebenfalls Treppenfunktionen und es gilt die Ungleichung φ φ χ Q φ χ Qk. Nach diesen vorbereitenden Überlegungen sei nun ɛ > 0 beliebig gegeben. Die Menge A := {x R n φ ν (x) konvergiert nicht gegen 0} {x x ist Unstetigkeitstelle von φ ν } R n ν N hat nach Voraussetzung Maß 0 (denn Ränder von Quadern haben Maß 0). Nach Lemma 1.2 existiert daher eine Folge von offenen Quadern (Q ν ) ν N mit A ν N Q ν und vol(q ν ) < ɛ. Für alle x / ν Q ν existiert weiterhin nach Voraussetzung ein j x N, so dass φ ν (x) < ɛ ist für alle ν j x. Jedes solche x ist keine Unstetigkeitsstelle von φ jx (nach Wahl der Q ν ) und daher hat x eine offene quaderförmige Umgebung J x R n, auf der φ jx konstant ist. Insbesondere gilt φ ν (y) < ɛ für alle y J x und alle ν j x. Das Kompaktum K R n wird von endlich vielen offenen Teilmengen Q 1,..., Q k, J x1,..., J xl überdeckt. Mit N := max{j x1,..., j xl } ist also φ ν (x) < ɛ

5 MIII (WS 03/04) 5 für alle ν N und alle x J x1... J xl. Mit M := max φ 1 gilt für alle ν N nun mit den Überlegungen am Anfang des Beweises und der Linearität und Monotonie des Integrals für Treppenfunktionen φ ν (φ ν χ Q φ ν χ Qk + φ ν χ Jx1... J xl ) = φ ν χ Q φ ν χ Qk + φ ν χ Jx1... J xl M(vol(Q 1 ) vol(q k )) + ɛ vol n (K) (M + vol(k)) ɛ, (hier benutzen wir, dass J x1... J xl paarweise disjunkte Vereinigung von endlich vielen Quadern ist). Da M und vol(k) nicht von ɛ abhängen, folgt die Behauptung von Teil a) des Lemmas. b) Wir können durch eventuellen Übergang von (φ ν ) auf die Folge (φ ν φ 1 ) annehmen, dass alle φ ν 0 sind. Zu zeigen ist, dass die Menge A := {x R n φ ν (x) }. eine Nullmenge ist. Sei ɛ > 0 beliebig und setze A ɛ := {x es existiert ein ν mit φ ν (x) C ɛ } A. Mit Σ ɛ,ν := {x φ ν (x) C ɛ } gilt A ɛ = Σ ɛ,ν. ν=1 Da φ ν Treppenfunktion ist, ist Σ ɛ,ν Vereinigung von endlich vielen disjunkten Quadern. Es sei V ɛ,ν die Summe ihrer Volumina. Dann ist nach Voraussetzung C φ ν Σɛ,ν V ɛ,ν C ɛ und folglich V ɛ,ν ɛ für alle ν. Da Σ ɛ,ν Σ ɛ,ν+1 und Σ ɛ,ν+1 \ Σ ɛ,ν aus endlich vielen disjunkten Quadern besteht (für alle ν), ist A ɛ Vereinigung von Quadern mit Gesamtvolumen höchstens gleich ɛ. Da ɛ beliebig war, ist A Nullmenge. Wir definieren nun C 1 als die Menge derjenigen Funktionen f : R n R, so dass es eine monoton wachsende Folge (φ ν ) von Treppenfunktion gibt mit Es gibt eine Konstante C R mit φ ν C für alle ν (wir sagen auch, die Integrale φ ν sind uniform beschränkt). φ ν f fast überall.

6 6 BERNHARD HANKE Ist f C 1, so wählen wir eine entsprechende Folge (φ ν ) und setzen f dx := lim φ ν. ν Die rechte Seite existiert als Limes einer beschränkten monoton wachsenden Folge. Wir müssen aber noch zeigen, dass die rechte Seite auch unabhängig von der speziellen Wahl der Folge (φ ν ) ist. Dies folgt aus Lemma 1.5. Seien (φ ν ) und (ψ ν ) monoton wachsende Folgen von Treppenfunktionen R n R mit uniform beschränkten Integralen und es seien f, g : R n R Funktionen mit φ ν f, ψ ν g fast überall. f g (d.h. für alle x R n gilt die Ungleichung f(x) g(x)). Dann ist lim φ ν lim ψ ν. Beweis. Für festes k N ist die Folge (φ k ψ ν ) + := max(φ k ψ ν, 0), ν N monoton fallend und es gilt (φ k ψ ν ) + 0 fast überall. Nach Lemma 1.4 a) gilt also lim (φ k ψ ν ) + = 0. ν Wegen φ k ψ ν = (φ k ψ ν ) + (φ k ψ ν ) für alle ν und (φ k ψ ν ) 0, ist also wegen der Monotonie des Integrals für Treppenfunktionen φ k g = lim (φ k ψ ν ) 0, ν d.h. φ k g. Da dies für alle k richtig ist, folgt die Behauptung. Beispiel. Die Funktion χ Q [0,1] : R R ist ein Element von C 1. Denn die Folge der konstanten Treppenfunktionen φ ν = 0 approximiert f von unten fast überall (und hat natürlich ein uniform beschränktes Integral). Die Folge (φ ν ) approximiert auch die Funktion f von unten fast überall, also (χ Q [0,1] ) C 1. Proposition 1.6. Es sei K R n kompakt. Dann ist χ K C 1. Beweis. Nach dem Satz von Heine-Borel ist K R n abgeschlossen und beschränkt. Es sei T R n ein offener Quader mit K T. Die offene Menge U := T \ K ist Vereinigung abzählbar vieler (nicht notwendig paarweise disjunkter) Quader Q ν. Wir setzen { 1 falls x T \ (Q1... Q φ ν (x) := ν ) 0 sonst.

7 MIII (WS 03/04) 7 die Mengen T \ (Q 1... Q ν ) und Q 1... Q k sind jeweils Vereinigungen von endlich vielen paarweise disjunkten Quadern (mit einer Überlegung ähnlich wie oben, als wir zeigten, dass C 0 abgeschlossen unter Summenbildung ist). Daher sind alle φ ν Treppenfunktionen. Offensichtlich ist (φ ν ) monoton wachsend mit uniform beschränkten Integralen und konvergiert überall gegen χ K. Aus Lemma 1.4 b) folgt, dass jede Folge von Treppenfunktionen mit uniform beschränktem Integral ein Element aus C 1 definiert. Man sieht direkt, das C 1 abgeschlossen unter Summenbildung und Multiplikation mit nichtnegativen Skalaren ist und das Integral auf C 1 mit diesen Operationen verträglich ist. Es existieren jedoch Beispiele, die zeigen, dass im allgemeinen χ K / C 1, falls K R n kompakt ist. Zusammen mit Proposition 1.6 folgt, dass C 1 (im Gegensatz zu C 0 ) nicht abgeschlossen unter Multiplikation mit beliebigen Skalaren ist. Das folgende Beispiel zeigt allerdings, dass im allgemeinen χ K / C 1 ist, falls K R n kompakt. Zusammen mit Proposition 1.6 folgt, dass C 1 (im Gegensatz zu C 0 ) nicht abgeschlossen unter Multiplikation mit beliebigen Skalaren ist. Beispiel. Es sei 0 < a 1 3. Wir betrachten das verallgemeinerte Cantorsche Diskontinuum C a := A a,ν [0, 1] ν=1 zum Parameter a. Dabei ist A a,1 := [0, 1] und A a,ν+1 entsteht aus A a,ν durch Weglassen der Mittelstücke der Länge a ν aus sämtlichen Teilintervallen von A a,ν. Die Menge C a ist kompakt, überabzählbar und hat Maß 0 genau dann, wenn a = 1 3. Außerdem ist V a := [0, 1] \ C a dicht in [0, 1] (d.h. V a = [0, 1].) Es sei nun A := C 1. Es ist U := [0, 1] \ A eine offene Teilmenge von 6 R und dicht in [0, 1] und weder A noch U sind Nullmengen. Es sei nun f = χ A : R R die charakteristische Funktion von A. Wir behaupten, dass f / C 1. Sei dazu (φ ν ) eine monoton steigende Folge von Treppenfunktionen, die fast überall gegen f konvergiere. Wir betrachten die Nullmenge E := {x [0, 1] x ist Unstetigkeitsstelle eines φ ν oder (φ ν (x)) ν N konvergiert nicht gegen f(x)}. Angenommen, es gibt ein x [0, 1] \ E und ein k mit φ k (x) = a > 0. Nach Definition von E gibt es eine (in R) offene Umgebung W R von x mit φ k W = a. Da die offene Teilmenge U R dicht in [0, 1] ist, gilt U W und daher eine offene Teilmenge V U mit φ k V = a. Ist y V, so konvergiert die monoton wachsende Folge (φ k (y)) also sicher nicht gegen f(y) = 0. Daher gilt V E. Die offene Teilmenge V [0, 1] enthält aber ein

8 8 BERNHARD HANKE Intervall und hat daher nicht Maß 0. Daraus ergibt sich ein Widerspruch. Es gilt also φ k (x) = 0 für alle x [0, 1] \ E und alle k. Es gilt also insbesondere A E, denn f A = 1. Dies steht im Widerspruch zur Tatsache, dass E Maß 0 hat. Die Menge C 2 := {f : R n R f 1, f 2 C 1 mit f = f 1 f 2 } ist nun ein reeller Vektorraum (mit punktweiser Addition und Skalarenmultiplikation). Falls f C 2 mit f = f 1 f 2, f i C 1, so setzen wir f := f 1 f 2, wobei wir auf der rechten Seite das (bereits definierte) Integral für Funktionen aus C 1 einsetzen. Gilt f = f 1 f 2 = g 1 g 2 mit f i, g i C 1, so haben wir folgende Gleichheit von C 1 -Integralen: f 1 + g 2 = (f 1 + g 2 ) = (g 1 + f 2 ) = g 1 + f 2, also f 1 f 2 = g 1 g 2. Dies zeigt, dass wir mit obiger Definition tatsächlich ein wohldefiniertes Integral für Funktionen in C 2 erhalten. Wir nennen die Elemente in C 2 Lebesgue-integriebare Funktionen und das soeben definierte Integral auf C 2 das Lebesgue-Integral. Ist f : R n R Lebesgueintegrierbar, g : R n R eine Funktion mit f = g fast überall, so ist auch g Lebesgue-integrierbar und es gilt f = g. Dies folgt (fast) direkt aus den Definitionen. Proposition 1.7. Seien f und g Lebesgue-integrierbare Funktionen R n R und λ R. Dann sind auch λf, f +g, max(f, g), min(f, g), f + := max(f, 0), f := max( f, 0) und f = f + + f Lebesgue-integrierbar und es gilt (Linearität) λf = λ f, (f + g) = f + g. (Monotonie) f g fast überall impliziert f g. f f. Beweis. Dies folgt unmittelbar aus der Definition von C 1 und den entsprechenden Aussagen über Integrale von Treppenfunktionen. Wir zeigen exemplarisch die Aussage max(f, g) C 2. Seien f = f 1 f 2, g = g 1 g 2 mit f i, g i C 1. Es gilt { f1 f 2, falls f 1 + g 2 f 2 + g 1 max(f, g) = g 1 g 2, falls f 1 + g 2 f 2 + g 1 = max(f 1 + g 2, f 2 + g 1 ) (f 2 + g 2 ). Es genügt also zu zeigen: Falls f, g C 1, so ist auch max(f, g) C 1. Seien (φ ν ) und (ψ ν ) monoton wachsende Folgen von Treppenfunktionen mit uniform beschränkten Integralen, die fast überall gegen f, bzw. g konvergieren.

9 MIII (WS 03/04) 9 Es ist dann max(φ ν, ψ ν ) ebenfalls eine monoton wachsende Folge von Treppenfunktionen mit uniform beschränkten Integralen. Außerdem konvergiert max(φ ν, ψ ν ) fast überall gegen max(f, g). 2. Integralkonvergenzsätze, parameterabhängige Integrale, Satz von Fubini Im folgenden bedeutet integrierbar immer Lebesgue-integrierbar. Satz 2.1 (Satz von der monotonen Konvergenz von B. Levi). Es sei (f ν ) eine monoton wachsenden Folge von integrierbaren Funktionen mit uniform beschränktem Integral. Dann konvergiert (f ν ) fast überall gegen eine integrierbare Funktion f : R n R und es gilt f = lim f ν. Dieser Satz zeigt insbesondere, dass die nochmalige Anwendung des Verfahrens, das zur Definition der Funktionenklasse C 1 und damit auch von C 2 führte, die Klasse C 2 nicht weiter vergrößert. Der Satz von B. Levi gilt natürlich auch für monoton fallende Funktionenfolgen (f ν ) mit uniform beschränktem Integral (betrachte einfach die Folge ( f ν )). Korollar 2.2 (Beppo Levi, F. Riesz). Es sei (f ν ) eine Folge von integrierbaren Funktionen R n R. Es existiere die unendliche Summe f ν+1 f ν. ν=1 Dann konvergiert (f ν ) fast überall gegen eine integrierbare Funktion f : R n R und es gilt f = lim f ν. ν Satz 2.3 (Satz von der majorisierten Konvergenz von H. Lebesgue). Die Folge (f ν ) integrierbarer Funktionen konvergiere fast überall gegen eine Funktion f : R n R. Es existiere eine integrierbare Funktion g, so dass f ν (x) g(x) für alle ν und alle x R n. Dann ist auch f Lebesgueintegrierbar und es gilt f(x) = lim f ν (x). Der Beweis des Satzes von B. Levi erfolgt in mehreren Schritten. Es sei C eine Konstante mit f ν C für alle ν. Sei zunächst f ν C 1 eine monoton wachsende Folge mit uniform beschränktem Integral. Wir wählen für alle ν eine monoton wachsende Folge von Treppenfunktionen (φ ν,λ ) λ N, die fast überall gegen f ν konvergiert. Mit φ ν := max λ ν φ λ,ν

10 10 BERNHARD HANKE gilt dann φ ν = max λ ν φ λ,ν max λ ν φ λ,ν+1 max λ ν+1 φ λ,ν+1 = φ ν+1, d.h., die Folge (φ ν ) ist monoton wachsend. Für alle λ ν ist weiterhin φ λ,ν f λ f ν fast überall, somit ist auch φ ν f ν fast überall und φ ν fν C für alle ν. Aus Lemma 1.4 b) folgt die Existenz einer Funktion f C 1 gegen die (φ ν ) fast überall konvergiert. Für alle λ ν ist φ λ φ ν,λ. Wegen lim λ φ λ = f und lim λ φ ν,λ = f ν fast überall gilt also für alle ν φ ν f ν f fast überall. Da lim ν φ ν = f fast überall, folgt somit lim f ν = f fast überall. Aus der vorangegangenen Ungleichung folgt weiterhin φ ν f ν f für alle ν N. Nach Definition des Integrals auf C 1 gilt aber lim φ ν = f. Daher ist auch lim f ν = f, und dies erledigt den Fall einer monoton wachsenden Folge f ν C 1 mit uniform beschränktem Integral. Sei nun f ν C 2 eine Folge wie im Satz von B. Levi. Wir definieren eine Folge von Funktionen in C 2 durch k ν := (f ν+1 f ν ). für ν 1. Offensichtlich ist k ν 0 für alle ν 1. Weiterhin gilt für alle N N k ν = f N+1 f 1 C + f 1 ν=1 und damit konvergiert die Reihe ν=1 kν. Jedes k ν besitzt eine Darstellung k ν = g ν h ν mit g ν, h ν C 1, g ν h ν. Wir wollen erreichen, dass zusätzlich h ν 1 2 ν, und g ν, h ν 0 für alle ν. Dies ist möglich, wenn wir uns damit begnügen, dass k ν = g ν h ν fast überall: Es existiert eine monoton wachsende Folge von Treppenfunktionen (ψ ν,λ ) λ N, die fast überall gegen h ν konvergiert und lim λ ψν,λ = h ν. Wir ersetzen nun g ν und h ν durch g ν ψ ν,λ, h ν ψ ν,λ mit einem genügend großen λ, so dass die obige Bedingung an das Integral erfüllt ist. Nach Konstruktion (insbesondere auch wegen g ν h ν ) gilt dann g ν, h ν 0 fast überall. Wir ersetzen dann noch g ν und h ν durch g + ν und h + ν.

11 MIII (WS 03/04) 11 Dies ändert g ν und h ν nur auf einer Menge von Maß 0. Insgesamt ist also k ν = g ν h ν fast überall. Nach Konstruktion konvergieren die beiden Reihen h ν und g ν. ν=1 Jede der Folgen (G ν ) und (H ν ) mit ν=1 ν 1 ν 1 G ν := g λ, H ν := λ=1 ist monoton wachsend (wegen g ν, h ν 0) mit uniform beschränktem Integral. Nach Teil i. konvergieren diese Folgen fast überall gegen gewisse Funktionen G, H C 1 und lim G ν = G, lim H ν = H. Wegen f ν = f 1 + G ν H ν fast überall folgt die Behauptung des Satzes von B. Levi. Wir wenden uns nun dem Beweis des Satzes von Lebesgue zu. Für ν N betrachten wir die Funktion max(f 1, f 2,..., f ν ) C 2 und erhalten so eine monoton wachsende Folge in C 2. Nach Voraussetzung gilt für alle x R n λ=1 max(f 1 (x),..., f ν (x)) max( f 1 (x),..., f ν (x) ) g(x) und damit für alle ν max(f 1,..., f ν ) Nach dem Satz von der monotonen Konvergenz konvergiert die Folge (max(f 1,..., f ν )) ν N fast überall gegen eine Funktion g 1 C 2. Offensichtlich ist fast überall g 1 = sup(f 1, f 2,...) Ganz analog zeigt man, dass für alle ν auch g ν := sup(f ν, f ν+1,...) fast überall existiert und eine Funktion in C 2 definiert (an Stellen x R n, wo das Supremum nicht existiert, setzen wir g ν (x) := 0). Die Folge (g ν ) ist monoton fallend, g ν g fast überall und lim g ν (x) = lim sup f ν (x) = f(x) fast überall. Da g ν g für alle ν ist nach dem Satz von B. Levi also f C 2 und lim g ν = f. Man betrachtet analog die monoton wachsende Folge h ν := inf(f ν, f ν+1,...) in C 2 mit h ν g fast überall und lim h ν (x) = lim inf f ν (x) = f(x) fast überall. Wieder nach dem Satz von B. Levi folgt auch hier lim h ν = f. h λ g.

12 12 BERNHARD HANKE Da für alle ν die Ungleichung h ν f ν g ν fast überall gilt, folgt h ν f ν für alle ν. Aus dem zuvor Gezeigten folgt somit lim f ν = f. Damit ist der Beweis des Satzes von Lebesgue abgeschlossen. Korollar 2.4. Es sei f eine integrierbare Funktion und f = 0. Dann ist fast überall f = 0. Beweis. Dies folgt aus dem Satz von B. Levi durch Betrachtung der monoton wachsenden Folge von integrierbaren Funktionen ν f, ν N. Als Anwendung dieses Korollars vergleichen wir die Lebesguesche mit der Riemannschen Integrationstheorie. Definition. Es sei f : R n R eine Funktion mit kompaktem Träger. Wir sagen, f sei Riemann-integrierbar, falls es für alle ɛ > 0 Treppenfunktionen φ und ψ gibt mit φ f ψ und (φ ψ) < ɛ. Falls f Riemann integrierbar ist, so folgt leicht, dass sup{ φ φ f, φ C 0 } = inf{ ψ ψ f, ψ C 0 }. Man definiert das (Riemann-)Integral R R f(x)dx als diesen gemeinsamen Wert. Falls n = 1, so erhalten wir unsere alte Definition Riemann- n integrierbarer Funktionen R R mit kompaktem Träger. Man überlegt sich leicht, dass jede stetige Funktion R n R mit kompaktem Träger Riemannintegrierbar ist. Satz 2.5. Es sei f : R n R eine Funktion mit kompaktem Träger. Falls f Riemann integrierbar ist, so gilt f, f C 1. Insbesondere ist also f Lebesgue-integrierbar. Weiterhin gilt L f = R f. Gilt f, f C 1, so existiert eine Riemann integrierbare Funktion g, so dass f = g fast überall. Beweis. Ist f Riemann-integrierbar, so existieren Treppenfunktionen φ ν f ψ ν mit lim (ψ ν φ ν ) = 0. Durch Übergang von φ ν zu max(φ 1,..., φ ν ) und ψ ν nach min(ψ 1,..., ψ ν ) können wir annehmen, dass φ ν eine monoton wachsende und ψ ν eine monoton fallende Folge von Treppenfunktionen mit beschränkten Integralen ist. Nach dem Satz von B. Levi konvergieren also fast überall die Folgen (φ ν ) und (ψ ν ) gegen Lebesgue-integrierbare Funktionen g, bzw. h. Außerdem ist nach Definition g, h C 1. Die fast überall bestehende Ungleichung g(x) f(x) h(x), sowie die Gleichung L (h g) = lim (ψ ν φ ν ) = 0 g ν

13 MIII (WS 03/04) 13 zeigt mit Korollar 2.4, dass h(x) = g(x) = f(x) fast überall. Insbesondere gilt also f, f C 1 und L f = lim φ ν = R f. Seien nun f, f C 1. Dann existiert eine monoton wachsende Folge von Treppenfunktionen (φ ν ), sowie eine monoton fallende Folge von Treppenfunktionen (ψ ν ), so dass lim φ ν = f, lim ψ ν = f fast überall. Wir können φ ν und ψ ν auf einer Nullmenge so abändern, dass φ ν f ψ ν für alle ν gilt. Durch Ersetzen von φ ν durch max(φ 1,..., φ ν ) und ψ ν durch min(ψ 1,..., ψ ν ) ist (φ ν ) weiterhin monoton wachsend und (ψ ν ) monoton fallend, insbesondere gilt lim φ ν = L f = lim ψ ν. Da (φ ν ) monoton wachsend und beschränkt ist, konvergiert diese Folge punktweise (überall) gegen eine Funktion g : R n R mit φ ν g ψ ν für alle ν (insbesondere hat g auch kompakten Träger). Die Gleichung lim (ψ ν φ ν ) = L (f f) = 0 zeigt nun, dass g Riemann-integrierbar ist und die Tatsache, dass lim φ ν = f fast überall, zeigt, dass g = f fast überall. Jede stetige Funktion R n R mit kompaktem Träger ist also Lebesgueintegrierbar. Definition. Es sei M R n eine Teilmenge. Eine Funktion f : M R heißt integrierbar über M, falls die Funktion F : R n R, { f(x), für x M, F (x) = 0 sonst, (Lebesgue-)integrierbar ist. Wir setzen dann f := F. M R n Wir werden später sehen, dass die Integrierbarkeit einer Funktion f : R n R im allgemeinen nicht die Integrierbarkeit von f M : M R für beliebige M R n impliziert. Falls Q R n ein Quader ist, so ist mit jeder integrierbaren Funktion f : R n R auch f Q integrierbar, wie man sich anhand der Definition von C 2 überlegt. Proposition 2.6. Es seien < a < b und es sei f : [a, b) R eine stetige Funktion. Dann gilt: a) die Funktion f ist genau dann Lebesgue-integrierbar, falls die Funktion f Lebesgue-integrierbar ist. b) Ist f im uneigentlichen Sinne Riemann-integrierbar, so auch f.

14 14 BERNHARD HANKE c) f ist genau dann Lebesgue-integrierbar, falls die Funktion f uneigentlich Riemann-integrierbar ist. In diesem Falle gilt b R a b f(x)dx = L f(x)dx. Beweis. Es sei (b ν ) eine monoton wachsende Folge mit a b ν < b und lim b ν = b. Wir setzen f ν := f χ [a,bν]. Jedes f ν ist triviale Fortsetzung einer stetigen Funktion auf [a, b ν ], daher Riemann-integrierbar und somit auch Lebesgue-integrierbar mit übereinstimmenden Integralen. a) Ist f Lebesgue-integrierbar, so auch f nach Proposition 1.7. Sei umgekehrt f Lebesgue-integrierbar. Da alle f ν Lebesgue-integrierbar sind und f ν f, folgt aus dem Satz von Lebesgue, dass auch f Lebesgueintegrierbar ist. b) Ist f im uneigentlichen Sinne Riemann-integrierbar, so existiert der Limes der Folge R f ν und mit dem Satz von der monotonen Konvergenz ist f Lebesgue-integrierbar. Da alle f ν Lebesgue-integrierbar sind und f ν f, folgt aus dem Satz von Lebesgue, dass auch f Lebesgue-integrierbar ist und lim R f ν = lim L f ν = f Der linke Grenzwert existiert also und f ist somit uneigentlich Riemannintegrierbar. c) Die Äquivalenz der Bedingungen folgt zusammen mit a) aus dem Satz von der monotonen Konvergenz, weil der Grenzwert lim R f ν genau dann existiert, falls der Grenzwert lim L f ν existiert (die entsprechenden Integrale stimmen ja überein.) Die angegebene Formel folgt nun aus dem Satz über die majorisierte Konvergenz. Die Funktion [1, ) R, x sin(x) x zeigt, dass die Umkehrung von b) in der obigen Proposition nicht gilt. Wir erinnern als Beispiel an die Gammafunktion Γ : R >0 R, die in Analysis 1 als das uneigentliche Integral Γ(x) := 0 a t x 1 e t dt definiert wurde. Für 0 < ɛ < S < erhält man mit partieller Integration S ɛ t x e t dt = [ t x e t] t=s t=ɛ + x S und anschließend (!) durch Grenzübergang xγ(x) = Γ(x + 1) ɛ t x 1 e t dt für alle x R >0. Da Γ(1) = 1 folgt auch Γ(n + 1) = n! für alle n N.

15 MIII (WS 03/04) 15 Als Anwendung des Satzes der über die monotone Konvergenz zeigen wir für s > 1, wobei 0 x s 1 e x dx = Γ(s)ζ(s) 1 ζ(s) := die Riemannsche Zetafunktion ist (die Konvergenz dieser Reihe kann man z.b. mit dem Integralvergleichskriterium beweisen). Für eine natrliche Zahl k 1 definieren wir dazu die Funktion f k : R R >0 durch { x f k (x) = s 1 e kx, für x > 0, 0, für x < 0. ν=1 Mit der Substitution t = kx erhält man für 0 < ɛ < S < S ɛ f k (x)dx = S ɛ 1 ν s x s 1 e kx dx = 1 ks k s t s 1 e t dt, also ist f k über R integrierbar und R f k(x)dx = Γ(s) k. Daraus folgt s f k (x)dx = Γ(s)ζ(s). k=1 k=1 R Andrerseits ist für x > 0 f k (x) = x s 1 e kx = xs 1 e x xs 1 = 1 e x e x 1 k 1 und die Behauptung folgt aus dem Satz über die monotone Konvergenz. Eine weitere Anwendung der Integralkonvergenzsätze sind die beiden folgenden Sätze über parameterabhängige Integrale. Satz 2.7. Es sei U R m eine Teilmenge, a U ein Punkt und f : U R n R eine Funktion mit den folgenden Eigenschaften: i. Für jedes feste t U ist die Funktion x f(t, x) integrierbar. ii. Für fast alle x R n ist die Funktion t f(t, x) stetig in a. iii. Es gibt eine integrierbare Funktion g : R n R, so dass für alle t U und x R n die Abschätzung gilt. Dann ist die durch f(t, x) g(x) F (t) := f(t, x)dx definierte Funktion F : U R im Punkt a stetig. kɛ

16 16 BERNHARD HANKE Beweis. Es sei (t ν ) eine Folge in U mit lim t ν = a. Es ist zu zeigen, dass F (a) = lim F (t ν ). Zur Abkürzung setzen wir g ν (x) := f(t ν, x). Dann ist lim g ν (x) = f(a, x) für fast alle x nach ii. Nach dem Satz von der majorisierten Konvergenz folgt lim g ν (x)dx = f(a, x)dx, also die Behauptung. Als Anwendung erhält man die Stetigkeit der Gammafunktion: Ist a R >0 und 0 < ɛ < a, so ist für alle x (a ɛ, a + ɛ) und für alle t > 0 t x 1 e t (t a ɛ 1 + t a+ɛ 1 ) e t und die rechte Funktion ist über R integrierbar (mit Wert Γ(a ɛ) +Γ(a+ɛ). Satz 2.8. Es sei U R offen und f : U R n R eine Funktion, mit den folgenden Eigenschaften: i. Für jedes feste t U ist die Funktion x f(t, x) integrierbar. ii. Für alle x R n ist die Funktion t f(t, x) auf U differenzierbar. iii. Es gibt eine integrierbare Funktion g : R n R, so dass für alle t U und x R n die Abschätzung f (t, x) g(x) t gilt. Dann ist die Funktion x f t f(t, x) für alle t U integrierbar. Die durch F (t) := f(t, x)dx definierte Funktion F : U R ist differenzierbar und es gilt f F (t) = f(t, x)dx t für alle t U. Beweis. Es sei a U und (a ɛ, a + ɛ) U. Für 0 < h < ɛ sei f(a + h, x) f(a, x) f h (x) :=. h Es gilt lim h 0 f h (x) = f t (a, x). Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung existiert für alle h ein Θ(h, x) mit 0 Θ(h, x) 1 und f h (x) = f (a + tθ(h, x), x). t Nun folgt aus dem Satz von Lebesgue, dass für jede Nullfolge (h ν ) mit h ν 0 gilt: f (a, x) = lim f hν (x). t ν F (a+h Die rechte Seite ist aber gerade lim ν) F (a) ν h ν.

17 MIII (WS 03/04) 17 Der folgende Satz zeigt, wie man mehrdimensionale Integrale schrittweise berechnen kann. Satz 2.9 (Fubini). Sei f : R p R q R eine integrierbare Funktion. Für x R p sei f x : R q R durch f x (y) = f(x, y) definiert. Dann ist f x für fast alle x R p über R q integrierbar. Die Funktion g : R p R sei definiert durch { x R f q x (y)dy, falls f x integrierbar, beliebige Zahl, falls f x nicht integrierbar. Dann ist g integrierbar und es gilt g(x)dx = f(x, y)dxdy. R p R p R q Offensichtlich ist der Satz von Fubini im Falle von Treppenfunktionen richtig. Den Beweis des allgemeinen Falls bereiten wir mit folgendem Lemma vor. Lemma Es sei N R p R q eine Nullmenge. Für x R p setzen wir N x := {y R q (x, y) N} R q. Dann ist für fast alle x die Menge N x eine (p-dimensionale) Nullmenge. Beweis. Da N Nullemenge ist, existiert eine monoton wachsende Folge von Treppenfunktionen (φ ν ), mit uniform beschränktem Integral, so dass lim φ ν (x, y) = für alle (x, y) N. Nach B. Levi konvergiert φ ν fast überall gegen eine integrierbare Funktion f : R p+q R. Für x R p sei nun ψ ν (x) := φ ν (x, y)dy. R q Die Folge ψ ν ist eine monoton wachsende Folge von Treppenfunktionen mit Integralen, die durch R p R q f(x, y)dxdy uniform beschränkt sind. Daher konvergiert ψ ν (x) für fast alle x nach dem Satz von der monotonen Konvergenz. Sei ein solches x fest gegeben. Dann ist die Folge R q φ ν (x, y)dy nach oben beschränkt. Die Folge von Funktionen R q R, y φ ν (x, y) ist aber auch monoton wachsend. Wieder nach B. Levi konvergiert also φ ν (x, y) für fast alle y R q. Daraus folgt die Behauptung, denn für alle y N x gilt lim φ ν (x, y) =. Nun zum Beweis des Satzes von Fubini. Es genügt offensichtlich, den Satz unter der Annahme zu zeigen, dass f C 1. Es sei (φ ν ) eine monoton wachsende Folge von Treppenfunktionen mit uniform beschränktem Integral, die fast überall gegen f konvergiert. Wir bezeichnen mit N R p R q die Nullmenge, wo diese Konvergenz nicht eintritt. Für fast alle x R p ist dann N x = {y R q (x, y) N} R q eine Nullmenge nach Lemma Sei M 1 := {x R p N x ist Nullmenge}. Für x R p setzen wir ψ ν (x) := R q φ ν (x, y)dy. Da lim R p ψ ν (x)dx <, ist nach dem Satz von der monotonen Konvergenz das Komplement der Menge M 2 := {x R p lim ψ ν (x) < } R p

18 18 BERNHARD HANKE eine Nullmenge. Für x M 1 M 2 gilt dann f x (y) = lim φ ν (x, y) für fast alle y und außerdem ist lim y R φ q ν (x, y) <. Also ist für fast alle x die Funktion f x : R q R integrierbar und g(x) = f x (y)dy = lim φ ν (x, y)dy. R q ν R q Die Funktionen ψ ν (x) bilden eine monoton wachsende Folge von über R p integrierbaren Funktionen mit uniform beschränktem Integral und lim ψ ν (x) = g(x) fast überall. Daher ist g über R p integrierbar und g(x)dx = lim ψ ν (x)dx = lim φ ν (x, y)dxdy = f. R p ν R p R p+q R p+q Dabei wurde benutzt, dass der Satz von Fubini für Treppenfunktionen trivialerweise gilt. Definition. Es sei K R n eine kompakte Teilmenge. Nach Proposition 1.6 ist χ K : R n R integrierbar. Wir nennen vol n (K) := χ K R 0 R n das (n-dimensionale) Volumen von K. Korollar (Cavalierisches Prinzip) Sei K R n ein Kompaktum. Für t R bezeichne K t die (n 1)-dimensionale Schnittmenge Dann gilt K t := {(x 1,..., x n 1 ) R n 1 (x 1,..., x n 1, x t ) K}. vol n (K) = R vol n 1 (K t )dt. Das klassiche Cavalierische Prinzip besagt: Seien zwei Kompakta K, L R n. Für alle t R gelte Dann ist vol n (K) = vol n (L). vol n 1 (K t ) = vol n 1 (L t ). 3. Transformationsformel Als vierten fundamentalen Satz der Lebesgueschen Integrationstheorie behandeln wir den Transformationssatz, die Verallgemeinerung der Substitutionsregel für eindimensionale Integrale. Satz 3.1 (Transformationssatz). Es seien U, V R n offen und Φ : U V ein C 1 -Diffeomorphismus. Eine Funktion f : V R ist genau dann integrierbar, wenn die Funktion g : U R integrierbar ist, wobei In diesem Fall gilt g(ξ) := f(φ(ξ)) det(dφ(ξ)),. V f(x)dx = U g(ξ)dξ.

19 MIII (WS 03/04) 19 Bevor wir die Transformationsformel beweisen, leiten wir einige wichtige Folgerungen her. Korollar 3.2 (Ebene Polarkoordinaten). Sei Φ : R 0 [0, 2π] R 2 gegeben durch (r, φ) (r cos(φ), r sin(φ)). Dann ist eine Funktion f : R 2 R genau dann integrierbar, wenn die Funktion (r, φ) rf(φ(x, φ)) über R 0 [0, 2π] integrierbar ist. Es gilt dann 2π f(x, y)dxdy = f(r cos(φ), r sin(φ))rdrdφ. R Beweis. Sei U := R >0 ]0, 2π[ und V := R 2 \ (R 0 0). Dann liefert Φ einen C 1 -Diffeomorphismus U V. Es gilt det DΦ(r, φ) = r und die Behauptung folgt aus Theorem 3.1, da R 2 \ V und (R >0 [0, 2π]) \ U Nullmengen sind. Als Beispiel erhalten wir das Volumen der Kreisscheibe B 2 := {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1}: 2π vol 2 (B 2 ) = χ B 2(x, y)dxdy = χ B 2(r cos(φ), r sin(φ))rdrdφ R = 2π 1 Entsprechend zeigt man 0 0 rdrdφ = π. Korollar 3.3 (Kugelkoordinaten). Sei Φ : R 0 [0, π] [0, 2π] R 3 die Abbildung (r, θ, φ) (r sin(θ) cos(φ), r sin(θ) sin(φ), r cos(θ)). Dann ist eine Funktion f : R 3 R genau dann integrierbar, wenn die Funktion (r, θ, φ) f(φ(r, θ, φ))r 2 sin(θ) über R 0 [0, π] [0, 2π] integrierbar ist und es gilt dann 2π π f(x, y, z)dxdydz = f(φ(r, θ, φ))r 2 sin(θ)drdθdφ. R Proposition 3.4 (Volumen eines Kegels). Es sei B R n 1 eine kompakte Menge und h eine positive reelle Zahl. Es sei C h (B) := {((1 λ)ξ, λh) R n 1 R ξ B, 0 λ 1} der Kegel über B mit Höhe h. Es gilt dann vol n (C h (B)) = h n vol n 1(B).

20 20 BERNHARD HANKE Beweis. Wir verwenden das Cavalierische Prinzip. Für t R ist (C h ) t leer, falls t < 0 oder t > h und es gilt sonst. Daher ist vol n (B) = h 0 C h (B) t = (1 t h ) B vol n 1 ((1 t h )B)dt = vol n 1(B) h 0 (1 t h )n 1 dt, wobei die zweite Gleichheit deshalb gilt, weil für r R 0 die Abbildung R n 1 R n 1, x rx, die Funktionaldeterminante r n 1 hat. Die Aussage der Proposition folgt nun leicht. Der Beweis des Transformationssatzes erfolgt in mehreren Schritten. Zunächst benötigen wir ein Lemma über das Verhalten von Nullmengen unter differenzierbaren Abbildungen. Lemma 3.5. Es seien U, V R n offen und Φ : U V einmal stetig differenzierbar. Ist N U eine Nullmenge, so gilt dies auch für Φ(N) V. Beweis. Da sich U als Vereiningung abzählbar vieler kompakter Quader schreiben läßt, genügt zu zeigen, dass Φ(K N) eine Nullmenge ist, falls K U ein Quader ist. Da die partiellen Ableitungen von Φ auf K beschränkt sind, gibt es eine Konstante C R >0, so dass Φ(x) Φ(y) C x y für alle x, y K. Daraus folgt: Ist W U ein Würfel der Seitenlänge a, so ist Φ(W K) in einem Würfel der Seitenlänge dca enthalten, dessen Volumen d d/2 C d vol(w ) beträgt. Da N K in einer Vereinigung von Würfeln beliebig kleinen Gesamtvolumens enthalten ist, folgt die Behauptung. Für den Beweis des Transformationssatzes genügt es, den Fall zu betrachten, dass f integrierbar ist. Ansonsten betrachte man (f φ) det Dφ und Φ 1 statt Φ. Wir werden uns im folgenden daher auf diesen Fall beschränken. Proposition 3.6. Angenommen, die Transformtationsformel gilt für alle C 1 -Diffeomorphismen Φ : U V (U, V R n offen) und alle Treppenfunktionen f : V R (d.h. für Treppenfunktionen f : V R deren Träger ganz in V enthalten ist). Dann gilt die Transformationsformel allgemein in Dimension n. Beweis. Sei f : V R eine beliebige integrierbare Funktion. Wir setzen f durch 0 zu einer integrierbaren Funktion f : R n R fort und schreiben f = f 1 f 2 mit f i C 1. Es seien (φ ν ) und (ψ ν ) monoton wachsende Folgen von Treppenfunktionen mit uniform beschränktem Integral, die fast überall gegen f 1 bzw. gegen f 2 konvergieren. Die Folge h ν := φ ν ψ ν erfüllt dann die Voraussetzungen des Satzes von Levi-Riesz und konvergiert fast überall gegen f. Es sei (Q j ) j N eine abzählbare Familie von paarweise fast disjunkten Quadern, so dass V = Q j. Dann definiert ω ν := h ν χ K(ν)

21 MIII (WS 03/04) 21 mit K(ν) := j ν Q j eine Folge von Funktionen, die fast überall gegen f konvergiert und ω ν+1 ω ν h ν+1 h ν + h ν+1 <, Q ν+1 ν=1 ν=1 denn die erste Summe auf der rechten Seite ist endlich nach Konstruktion der h ν und außerdem gilt für alle N N N h ν+1 χ Qν+1 ( φ ν+1 φ 1 + ψ ν+1 ψ 1 ) χ Qν+1 + φ 1 + ψ 1 ν=1 ν=1 ν=1 f 1 φ 1 + f 2 ψ 1 + φ 1 + ψ 1 fast überall ((φ ν φ 1 ) und (ψ ν ψ 1 ) sind monoton wachsend, nichtnegativ und konvergieren fast überall gegen f 1 φ 1, bzw. f 2 ψ 1 ). Nach dem Satz von Levi-Riesz ist also f = lim ω ν. V ν V Jede Funktion ω ν ist aber eine Treppenfunktion mit Träger in V. Daher gilt nach Voraussetzung der Transformationssatz (ω ν Φ(x)) det DΦ(x)) dx = für alle ν. U ω ν V Auch ω ν+1 ω ν sind Treppenfunktionen, wieder nach Voraussetzung ist also (ω ν+1 ω ν )(Φ(x)) det DΦ(x)) dx = ω ν+1 ω ν <. ν=1 U Da nach Lemma 3.5 (angewandt auf Φ 1 ) die Folge von Funktionen (ω ν Φ) det DΦ fast überall auf U gegen (f Φ) det DΦ konvergiert gilt also mit dem Satz von Levi-Riez (f Φ) det DΦ = lim (ω ν Φ) det DΦ U U und aus lim (ω ν Φ) det DΦ = lim ω ν = f U V V (siehe oben), folgt schließlich die Behauptung. Wir zeigen nun die Transformationsformel durch Induktion über n. Aufgrund des vorangegangenen Satzes können wir uns dabei für alle n auf Treppenfunktionen f : V R beschränken (V R n offen). Der Fall n = 1 ist einfach: Aufgrund der Linearität des Integrals können wir uns darauf beschränken, dass f : V R die charakteristische Funktion ν=1 V

22 22 BERNHARD HANKE eines abgeschlossenen Intervalls [a, b] V R ist. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechung gilt mit Φ(α) = a, Φ(β) = b β Φ (x)dx = Φ(β) Φ(α) = f(t)dt. Es ist aber α Φ 1 ([a,b]) det Φ (x) dx = β α R Φ (x)dx, denn es ist α < β genau dann, falls Φ (x) > 0 für alle x [α, β] und β > α genau dann, falls Φ (x) < 0 für alle x [α, β]. Es sei nun n > 1 und die (allgemeine) Transformationsformel für alle kleineren n schon bewiesen. Wir beweisen, dass die Transformationsformel dann auch für alle f : V R gilt (V R n offen), wenn f die charakteristische Funktion eines in V enthaltenen Kompaktums ist. Daraus folgt dann nach Proposition 3.6 die allgemeine Transformationsformel in der Dimension n. Lemma 3.7. Seien U, V R n offen, Φ : U V ein C 1 -Diffeomorphismus und f : V R die charakteristische Funktion eines Kompaktums K V. Wenn Φ = (Φ 1,..., Φ n ) eine Koordinate unverändert lässt (d.h. es gibt ein ν {1,..., n} mit Φ ν (x 1,..., x n ) = x ν für alle x U), dann gilt auch die Transformationsformel für Φ und f. Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei ν = n, also Es sei Φ n (x 1,..., x n ) = x n. T := pr n (V ) R die Projektion von V auf die n-te Koordinate. Für t T, sei und U t := {x R n 1 (x, t) U} V t := {y R n 1 (y, t) V }. Nach Voraussetzung sind die Mengen T R, U, V R n 1 offen und für alle t T existiert ein C 1 -Diffeomorphismus φ t : U t V t, so dass für alle t T, x U t gilt Φ(x, t) = (Φ t (x), t). Nach dem Satz von Fubini existiert für fast alle t T das Integral V t f(y, t)dy (in der Tat existiert für unsere spezielle Wahl von f dieses Integral für alle t, wie man sich leicht überlegt) und f(y, t)dy = ( f(y, t)dy)dt. V T V t

23 MIII (WS 03/04) 23 Die rechte Seite wird nach dem Transformationssatz in der Dimension (n 1) zu ( f(φ t (x), t) det DΦ t (x) dx)dt. T U t Nun hat aber DΦ an der Stelle (x, t) U die Gestalt Φ t,1 Φ x 1... t,1 Φ 1 x n 1 x n φ t,n 1 Φ x 1... t,n 1 Φ n 1, x n 1 x n da ja Φ n (x 1,..., x n ) = x n ist. Es folgt det DΦ t (x) = det DΦ(x, t) und das letzte Integral wird zu ( f(φ t (x), t) det DΦ(x, t) dx)dt T U t Die Funktion f Φ : U R ist die charakteristische Funktion des Kompaktums Φ 1 (K) U und damit integrierbar nach Proposition 1.6. Da det DΦ(x, t) auf diesem Kompaktum eine beschränkte stetige Funktion ist, ist damit auch f(φ(x), t) det DΦ(x, t) über U integrierbar (dies zeigt man z.b. indem man det DΦ(x, t) durch Treppenfunktionen approximiert und dem Satz von Lebesgue anwendet). Nach dem Satz von Fubini ist f(φ(x, t)) det Φ(x, t) = ( f(φ t (x), t) det DΦ(x, t) dx)dt. U T U t Es gilt also die Transformationsformel für Φ und f. Lemma 3.8. Seien U, V R d offen, Φ : U V ein C 1 -Diffeomorphismus und f : V R die charakteristische Funktion eines Kompaktums K V. Wenn es Indizes i 0 und j 0 gibt, so dass auf U stets Φ i 0 x j0 0, so gilt die Transformationsformel für Φ und f. Beweis. Wir können uns auf den Fall beschränken, dass U wegzusammenhängend ist und dass i 0 = j 0 = n (letzteres kann deshalb angenommen werden, weil die Transformationsformel nach Fubini sicher gilt, wenn Φ nur gewisse Koordinaten vertauscht). Da dann Φn x n 0 stets dasselbe Vorzeichen hat, ist für alle (x 1,..., x n 1 ) die Funktion x n Φ n (x 1,..., x n ) streng monoton und insbesondere injektiv. Die Funktion Ψ(x 1,..., x n ) mit { Φn (x Ψ j (x 1,..., x n ) = 1,..., x n ), j = n, x j, 1 j n 1

24 24 BERNHARD HANKE ist ein C 1 -Diffeomorphismus von U auf eine offene Menge W R n. Sei Ω : W V der Diffeomorphismus Ω = Φ Ψ 1. Dann ist Ω n (z 1,..., z n ) = z n für alle (z 1,..., z n ) W. Nach Lemma 3.7 gilt also der Transformationssatz für Ω und f (insbesondere ist (f Ω) det DΩ über W integrierbar). Aber auch Ψ lässt einige Koordinaten unverändert, so dass die Transformationsformel auch für Ψ und (f Ω) det DΩ gilt. Da Φ = Ω Ψ, gilt die Transformationsformel nun aber auch für Φ und f (benutze die Kettenregel). Nach diesen Vorbereitungen können wir nun den Transformationssatz zeigen, falls U, V R n sind, Φ : U V ein C 1 -Diffeomorphismus und f : V R eine Treppenfunktion ist. Wir beschränken uns auf den Fall, dass f die charakteristische Funktion eines kompakten Quaders K V ist. Wir können K in endlich viele kompakte paarweise fast disjunkte Quader Q 1,..., Q N einteilen, so dass für jeden dieser Teilquader Q ein Indexpaar (i 0, j 0 ) existiert mit Φ i 0 x j0 0 auf einer offenen Umgebung Ũ U von Φ 1 (Q). Nach Lemma 3.8 gilt dann der Transformationssatz für Φ Ũ und χ Q Ṽ, wobei Ṽ := Φ(Ũ). Daraus folgt direkt, dass die Transformationsformel für Φ und χ Q gilt. Mit Lemma 3.5 gilt schließlich auch die Transformationsformel für Φ und f = N ν=1 χ Q. Zusammen mit Proposition 3.6 ist damit die Transformationsformel in Dimension n vollständig gezeigt und der Induktionsschritt beendet. Wir berechnen nun noch einige wichtige Integrale Proposition 3.9 (Integral rotationssymmetrischer Funktionen). Es sei F : R n R integrierbar und F (x) = F (y), falls x = y, d.h. es existiert eine Funktion f : R R mit F (x) = f( x ). Dann ist die Funktion R 0 R, integrierbar und r f(r)r n 1 Rn F (x)dx = 2Γ( 1 2 )n Γ( n 2 ) f(r)r n 1 dr. R 0 Beweis. Die Vereinigung der Hyperebenen x ν = 0 ist eine Nullmenge im R n. Schneiden wir diese heraus, so erhalten wir f( x )dx = 2 n f( x )dx. R n Mit der Substitution x ν = y 1/2 ν ist R n + dx 1... dx n = 1 2 n y 1/ yn 1/2 dy 1... dy n

25 und damit erhält man F (x)dx = R n R n + Insbesondere ist die Funktion MIII (WS 03/04) 25 f( y y n )y 1/ y 1/2 n dy 1... dy n. (y 1,..., y n ) f( y y n )y 1/2... y 1/2 n über R n + integrierbar. Wir ersetzen nun die Variablen y 1,..., y n durch die Variablen y 1,..., y n 1, t mit t = y y n. Die Bedingung (y 1,..., y n ) R n + transformiert sich dann in die Bedingung (y 1,..., y n 1, t) R n +, t > y y n 1. Sei D := {(y 1,..., y n 1, t) R n + t > y y n 1 }. Mit der Transformationsformel erhalten wir f( y y n )y 1/ yn 1/2 dy 1... dy n = R n + f( t)y 1/ yn 1/2 (t (y y n 1 )) 1/2 dy 1... dy n 1 dt. D Mit dem Satz von Fubini ist das letzte Integral gleich f(t 1/2 )y 1/ y 1/2 n 1 (t (y y n 1 ) 1/2 dy 1... dy n 1 dt, t=0 D(t) wobei D(t) := {(y 1,..., y n 1 ) R n 1 + y y n 1 < t}. Für ν = 1,..., n 1 führen wir nun die Variablentransformation y ν = tz ν durch. Da die Abbildung (z 1,..., z n 1 ) (tz 1,..., tz n 1 ) Funktionaldeterminante t n 1 hat, wird das letzte Integral zu f(t 1/2 )t n 2 1/2 2 z 1... z 1/2 n 1 (1 (z z n 1 )) 1/2 dzdt 0 D(1) und dies ist gleich wobei C := D(1) C 0 f(t 1/2 )t n 2 2 dt, (1 (z z n 1 )) 1/2 z 1/ z 1/2 n 1 dz 1... dz n 1. Mit der speziellen Wahl f(t) := e t2 in unserem Ausgangsintegral ist nach dem Satz von Fubini f( y y n )y 1/ yn 1/2 dy 1... dy n = Γ( 1 2 )n R n +

26 26 BERNHARD HANKE und die Rechnung zeigt Γ( 1 2 )n = Γ( n 2 ) C Mit der Substitution r = t 1/2 ist R 0 f(t 1/2 )t n 2 2 dt = 2 R 0 f(r)r n 1 dr und die Proposition ist bewiesen. Setzen wir in Satz 3.9 f(r) := χ [0,1] so erhalten wir das Volumen der n-dimensionalen Einheitskugel: vol n (B n ) = 2Γ( 1 2 )n Γ( n 2 ) 1 0 r n 1 dt = 2 Γ( 1 2 )n n Γ( n 2 ). Wir können also die Formel aus Proposition 3.9 auch so schreiben: F (x)dx = n vol(b n ) f(r)r n 1 dr. R n R Man sieht nun auch direkt, dass Γ( 1 2 ) = e x2 = π, denn vol 2 (B 2 ) = π, wie wir oben schon mit Polarkoordinaten gezeigt hatten. Setzen wir dieses Ergebnis in die Volumenformel für die Kugel ein und benutzen wir Γ(x + 1) = xγ(x), so erhalten wir Satz Es ist vol(b 2n ) = πn n!, volb2n+1 = 2 n+1 π n (2n + 1), Insbesondere erhlt man das paradox erscheinende Ergebnis lim vol n(b n ) = 0. n 4. Messbare Funktionen In diesem Abschnitt stellen wir den Zusammenhang her zwischen der Lebesgueschen Integrationstheorie und der Maßtheorie. Zu Beginn beweisen wir ein weiteres nützliches Integrierbarkeitskriterium. Proposition 4.1. Es sei (f ν ) eine Folge integrierbarer Funktionen R n R die fast überall gegen eine Funktion f : R n R konvergiert. Es gebe eine integrierbare Funktion g : R n R mit f(x) g(x) für alle x. Dann ist f integrierbar.

27 MIII (WS 03/04) 27 Beweis. Es sei die Folge g ν : R n R definiert durch f ν (x), f ν (x) g(x) g ν (x) := g(x), f ν (x) > g(x) = min(g(x), max(f ν(x), g(x))). g(x), f ν (x) < g(x) Da jedes g ν integrierbar ist und g ν (x) g(x) für alle ν und alle x, folgt die Behauptung aus dem Satz von Lebesgue. Man beachte, dass in der Situation dieser Proposition im Allgemeinen Limesbildung und Integration nicht vertauscht werden dürfen. Definition. Eine Funktion f : R n R heißt messbar, wenn es eine Folge von Treppenfunktionen R n R gibt, die fast überall gegen f konvergiert. Proposition 4.2. a) Jede Lebesgue integrierbare Funktion f : R n R ist messbar. b) Ist f meßbar und existiert eine Lebesgue-integrierbare Funktion g mit f g fast überall, so ist f integrierbar. Beweis. a) Sei f = f 1 f 2 mit f i C 1 und seien (φ ν ) ν N, bzw. (ψ ν ) Folgen von Treppenfunktionen, die fast überall gegen f 1, bzw. f 2 konvergieren. Dann konvergiert die Folge (φ ν ψ ν ) fast überall gegen f. b) Dies folgt aus Proposition 4.1. Lemma 4.3. a) Es seien f, g : R n R messbar und λ R. Dann sind auch λf, f ± g, fg, max(f, g), min(f, g) messbar. Ist g(x) 0 für fast alle x, so ist auch f g messbar. b) Seien f ν : R n R messbar und lim f ν = f fast überall. Dann ist auch f messbar. Beweis. a) folgt direkt aus Eigenschaften von Treppenfunktionen. Sei z.b. g messbar und g(x) 0 fast überall. Wir wählen eine Folge von Treppenfunktionen (φ ν ) die fast überal gegen g konvergiert. Setze { 1 ψ ν (x) := φ, φ ν(x) ν(x) 0 0, φ ν (x) = 0 Dann sind alle ψ n Treppenfunktionen und es gilt lim ψ ν = 1 g fast überall. b) Es sei h : R n R eine integrierbare Funktion mit h(x) > 0 für alle x, z.b. h(x) := e x. Es sei für ν N g ν := h(x)f ν(x) h(x) + f ν (x). Alle g ν sind messbar und lim g ν (x) = g(x) := h(x)f(x) h(x)+ f(x) fast überall. Da g ν (x) < h(x) für alle x und ν sind alle g ν integrierbar nach Lemma 4.2.

28 28 BERNHARD HANKE Einsetzen von g zeigt f(x) = g(x)h(x) h(x) g(x) uns h(x) g(x) 0 für alle x. Mit a) ist somit auch f messbar. Definition. Eine Teilmenge A R n heißt Lebesgue-messbar, wenn die charakteristische Funktion χ A : R n R messbar ist. Das (n-dimensionale) (Lebesgue)-Maß von A ist dann { χa (x)dx, falls χ µ n (A) := A integrierbar,, falls χ A nicht integrierbar. Falls M R n messbar und f : R n R integrierbar ist, so setzen wir f := χ M f. M R n Da χ M f nach Lemma 4.3 messbar ist und χ M f f, ist die rechte Seite nach Lemma 4.2 wirklich definiert. Beispiel. a) Nach Proposition 1.6 ist jede kompakte Teilmenge K R n messbar mit endlichem Maß. Lemma 1.3 und 4.3 zeigen, dass jede offene Teilmenge U R n messbar ist: Ist U = Q ν eine Überdeckung von U durch abzählbar viele Quader, so definiert χ Q1... Q ν eine Folge von Treppenfunktionen, die gegen χ U konvergiert ( Ausschöpfung von U ). Ist A R n eine abgeschlossene Teilmenge, so ist χ A = 1 χ R n \A und damit ist auch A messbar. b) A R n ist eine Menge vom Maß 0 (im früheren Sinne) genau dann, wenn A messbar ist mit Maß 0. Denn ist A eine Menge vom Maß 0, dann ist χ A = 0 fast überall und damit ist χ A integrierbar. Ist umgekehrt χ A integrierbar und χ A dx = 0, dann ist χ A = 0 fast überall nach Korollar 2.4 wegen χ A 0. Mit anderen Worten: A ist eine Nullmenge. Proposition 4.4. a) Sind A, B R n messbar, so auch A \ B. b) Ist (A ν ) ν N eine abzählbare Familie messbarer Mengen, so sind auch ν A ν und ν A ν messbar. Beweis. a) Sind χ A und χ B messbar, so auch χ A\B = χ A (1 χ B ). b) Die Funktionen χ k := χ k ν=1 A ν = max(χ A1,..., χ Ak ) sind messbar und konvergieren punktweise gegen χ νa ν. Daher ist nach Lemma 4.3 auch χ νa ν messbar. Ähnlich argumentiert man im anderen Fall: Die Funktionen χ k ν=1 A ν = min(χ A1,..., χ Ak ) sind messbar und konvergieren punktweise gegen χ νa ν.