Analysis III. Walter Bergweiler. Wintersemester 2013/14 Fassung vom 3. Februar 2014

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1 Analysis III Walter Bergweiler Wintersemester 2013/14 Fassung vom 3. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis I Das Lebesgue-Integral 1 1 Treppenfunktionen und Hüllreihen Definition und Eigenschaften des Lebesgue-Integrals Messbare Mengen und Nullmengen L p -Räume Volumenänderung unter affinen Abbildungen Konvergenzsätze Parameterabhängige Integrale Der Satz von Fubini Die Transformationsformel II Gewöhnliche Differentialgleichungen 43 1 Beispiele und elementare Lösungsmethoden Differentialgleichungssysteme Der Satz von Picard-Lindelöf Der Existenzsatz von Peano Abhängigkeit von Parametern Lineare Differentialgleichungssysteme Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten 74 8 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung i

2 Literatur Folgende Bücher sind nur eine kleine Auswahl aus der umfangreichen Literatur zu den behandelten Themen. Integrationstheorie K. Königsberger, Analysis 2, Springer, H. Amann, J. Escher, Analysis III, Birkhäuser, O. Forster, Analysis 3, Vieweg, W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1987 Gewöhnliche Differentialgleichungen H. Amann, Gewöhnliche Differentialgleichungen, de Gruyter, H. Heuser, Gewöhnliche Differentialgleichungen, B. G. Teubner, W. Walter, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer, E. A. Coddington & N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw Hill, ii

3 I Das Lebesgue-Integral 1 Treppenfunktionen und Hüllreihen Grundidee bei der Definition des Riemann-Integrals ist die Approximation einer Funktion f : [a, b] R durch Treppenfunktionen. Man zerlegt [a, b] in Teilintervalle und betrachtet Funktionen, die auf diesen Teilintervallen konstant sind; vgl. Abbildung 1. Abbildung 1: Approximation eines Integrals durch Unter- und Obersumme. Dieselbe Idee benutzt man auch in höheren Dimensionen: Sei d N. Eine Teilmenge Q des R d von der Form Q = I 1 I 2... I d = {(x 1,..., x d ) R d : x j I j für alle j} mit beschränkten Intervallen I 1,..., I d heißt Quader. Sind alle I j offen (bzw. abgeschlossen), so ist Q ein offener (bzw. abgeschlossener) Quader. Für ein Intervall I = [a, b], (a, b), [a, b) oder (a, b] heißt I = b a Länge von I. Für einen Quader Q = I 1... I d heißt d υ(q) = I j (d-dimensionales) Volumen von Q. Ausgeartete Intervalle [a, a] mit Länge 0 und ausgeartete Quader mit Volumen 0 sind zugelassen. Für M R d ist die charakteristische Funktion χ M : R d R definiert durch { 1, x M, χ M (x) = 0, x M. j=1 Definition 1.1. Eine Funktion ϕ: R d C der Form n ϕ(x) = c k χ Qk (x), wobei c 1,..., c n C und Q 1,..., Q n R d paarweise disjunkte Quader sind, heißt Treppenfunktion. 1

4 Satz 1.2. Seien c 1,..., c n C und Q 1,..., Q n R d Quader, die aber nicht notwendigerweise paarweise disjunkt sind. Dann ist ϕ = n c k χ Qk Treppenfunktion, d.h., es existieren c 1,..., c m C und paarweise disjunkte Quader Q 1,..., Q m R d mit m ϕ = c jχ Q j. j=1 Der Beweis ist elementar, aber wir verzichten hier darauf. Die Idee ist, die Q k in geeignete Q j zu zerlegen, vgl. Abbildung 2. Alternativ hätte man in der Abbildung 2: Zerlegung der Vereinigung zweier Quader in disjunkte Quader. Definition der Treppenfunktion auf die Disjunktheit der Quader verzichten können. Eine Folgerung aus Satz 1.2 ist, dass die Summe zweier Treppenfunktionen wieder Treppenfunktion ist. Hieraus folgt, dass die Treppenfunktionen einen Vektorraum bilden. Definition 1.3. Sei ϕ Treppenfunktion wie in Definition 1.1. Das Integral von ϕ über R d ist dann durch definiert. ϕ = ϕ(x)dx = R d n c k υ(q k ) Bemerkung. Es muss gezeigt werden, dass das Integral wohldefiniert ist, d.h., dass aus n m c k χ Qk = c jχ Q j mit c k, c j C und (jeweils paarweise disjunkten) Quadern Q k, Q j folgt, dass j=1 n c k v(q k ) = m c jv(q j) j=1 2

5 gilt. Dies kann man wie folgt einsehen: Zunächst zeigt man die Aussage, wenn die Q j eine Verfeinerung der Q k bilden, d.h., jedes Q k Vereinigung gewisser Q j ist. Dann zeigt man, dass die Q k und Q j eine gemeinsame Verfeinerung haben. Wir verzichten hier auf die Details. Für einen Quader Q = I 1... I d gilt offensichtlich d ( ( ( ) ) ) υ(q) = I j =... χ Q (x 1,..., x d )dx jd... dx j2 I jd j=1 I j1 I j2 für eine beliebige Permutation (j 1,..., j d ) von (1,..., d). Entsprechend gilt auch ( ( ( ) ) ) ϕ(x)dx =... ϕ(x 1,..., x d )dx jd... dx j2 dx j1 R d R R R für eine Treppenfunktion ϕ. Durch diese Zurückführung auf eindimensionale Integrale gewinnt man Rechenregeln wie (αϕ + βψ) = α ϕ + β ψ und ϕ für Treppenfunktion ϕ, ψ und α, β C. Sei d = p + q. Wir schreiben die Punkte z R d in der Form ϕ z = (x, y) = (x 1,..., x p, y 1,..., y q ). Sei ϕ: R d = R p R q C, (x, y) ϕ(x, y) Treppenfunktion. Dann ist für festes x R p durch y ϕ(x, y) eine Treppenfunktion auf R q und für y R q durch x ϕ(x, y) eine Treppenfunktion auf R p gegeben. Aus obigen Überlegungen folgt dann, dass ( ) ( ) ϕ(x, y)dx dy = ϕ(x, y)dy dx = ϕ(z)dz. R q R p R p R q R p R q Dieses Resultat heißt Satz von Fubini (für Treppenfunktionen). Im Folgenden ist es sinnvoll, den Wert zu C und R hinzuzufügen, mit x < für x R, c + = für c C und c = für c C\{0}. Außerdem wird die Konvention 0 = 0 benutzt. Wir setzen R = R { } und C = C { }. Definition 1.4. Sei f : R d C. Eine Reihe der Form dx j1 heißt Hüllreihe zu f, falls gilt: Φ = c k χ Qk 3

6 (i) Q k ist offener Quader für alle k, (ii) c k 0 für alle k, (iii) f(x) Φ(x) = c kχ Qk (x) für alle x R d. Weiter heißt Inhalt der Hüllreihe Φ und I(Φ) = c k υ(q k ) heißt L 1 -Halbnorm von f. f 1 = inf{i(φ): Φ Hüllreihe von f} Bemerkung. Es ist zugelassen, dass I(Φ) = und f 1 =. Zum Beispiel gilt für f : R d C, f(x) = 1 für alle x R d, dass f 1 =. Damit ist 1 keine Norm auf der Menge der Funktion von R d nach C. Auch eine zweite Eigenschaft einer Norm gilt nicht: Aus f 1 = 0 folgt nicht, dass f = 0 gilt. Etwa für f : R d C, { 1, x = 0, f(x) = 0, x 0, gilt f 1 = 0. Dies sieht man etwa mit den Hüllreihen Φ ε = c kχ Qk, wobei c 1 = 1, Q 1 = ( ε, ε) d sowie c k = 0 und Q k beliebig für k 2. Es gilt dann I(Φ ε ) = (2ε) d, also f 1 = 0. Die anderen Normeigenschaften gelten aber. Dies ist der Inhalt des folgenden Lemmas. Lemma 1.5. Für f, g : R d C und c C gilt c f 1 = c f 1 und die Dreiecksungleichung f 1 g 1 f + g 1 f 1 + g 1. Des Weiteren folgt aus f g, also f(x) g(x) für alle x R d, dass f 1 g 1. Die sehr einfachen Beweise lassen wir aus. Allgemeiner als die Dreiecksungleichung gilt sogar folgendes Lemma. Lemma 1.6. Sei (f k ) eine Folge von Funktionen von R d nach [0, ]. Dann gilt f k f k

7 Beweis. Zu gegebenem ε > 0 und k N sei Φ k eine Hüllreihe von f k mit I(Φ k ) < f k 1 + ε/2 k. Sei Φ k gegeben durch Φ k = j=1 c j,kχ Qj,k. Wir setzen Φ = c j,k χ Qj,k. j=1 Es gilt also Φ = Φ k. Dann ist Φ Hüllreihe von f k und Die Behauptung folgt. I(Φ) = = < = j=1 c j,k v(q j,k ) I(Φ k ) ( f k 1 + ε ) 2 k ( ) f k 1 + ε. Beispiele. 1. Sei a R d und f = χ {a}, also f(a) = 1 und f(x) = 0 für x a. Weiter sei g : R d R definiert durch g(a) = und g(x) = 0 für x a. Wie oben gilt f 1 = 0. Mit g = f k, wobei f k = f für alle k, folgt g 1 = Sei A R d abzählbar, etwa A = {a 1, a 2,...}. Sei h: R d R, h(x) = für x A und h(x) = 0 für x A. Dann gilt h 1 = 0, denn h = g k mit g k (a k ) = und g k (x) = 0 für x a k. Bemerkung. In Analysis II wurde das Oberintegral f einer beschränkten Funktion f : I R, wobei I abgeschlossenes Intervall ist, definiert. In unserer Ter- I minologie ergibt sich Folgendes: Ist f die triviale Fortsetzung von f auf R, also f(x) = f(x) für x I und f(x) = 0 für x R\I, so gilt { } f = inf ϕ: ϕ Treppenfunktion, f ϕ I { n } n = inf c k v(q k ): f c k χ Qk Der entscheidende Unterschied zwischen dem Oberintegral f und der Halbnorm f 1 ist, dass dort unendliche Reihen zugelassen sind, d.h., I { n } f = inf c k v(q k ): f n c k χ Qk und I { f 1 = inf c k v(q k ): f 5 } c k χ Qk.

8 Offensichtlich gilt also f 1 f, aber zum Beispiel für f : [0, 1] R, I { 1, x Q, f(x) = 0, x Q, gilt 0 = f 1 < 1 = 1 0 f. Satz 1.7. Für jede Treppenfunktion ϕ: R d C gilt ϕ 1 = ϕ(x) dx. R d Zur Vorbereitung des Beweises behandeln wir zunächst einen Spezialfall. Lemma 1.8. Sei A abgeschlossener Quader in R d. Dann gilt χ A 1 = χ A = v(a). Beweis. Zu ε > 0 existiert ein offener Quader Q mit Q A und v(q) < v(a)+ε. Mit der Hüllreihe c kχ Qk, wobei Q 1 = Q, c 1 = 1 sowie c k = 0 und Q k beliebig für k 2 folgt χ A 1 v(q), also χ A 1 v(a). Sei umgekehrt Φ = c kχ Qk Hüllreihe von χ A. Sei ε > 0. Zu x A existiert dann N(x) N mit N(x) c k χ Qk (x) 1 ε. Da die Q k offen sind, gilt das in einer (offenen) Umgebung U(x) von x. Da A kompakt ist, kann A mit endlich vielen dieser Umgebungen überdeckt werden. Damit existiert N N mit für alle x A. Es folgt Mit Lemma 1.5 folgt N R d Andererseits gilt R d N c k χ Qk (x) 1 ε N c k χ Qk (1 ε)χ A. c k χ Qk (x)dx (1 ε) χ A (x)dx = (1 ε)v(a). R d N c k χ Qk (x)dx = N c k v(q k ) Damit folgt I(Φ) v(a), also auch χ A 1 v(a). 6 c k v(q k ) = I(Φ).

9 Beweis von Satz 1.7. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit sei ϕ 0. Sei n m ϕ = c k χ Qk + d j χ Rj eine Darstellung von ϕ mit disjunkten Quadern Q k und R j, wobei die Q k offen sind und die R j Volumen 0 haben. Um einzusehen, dass so eine Darstellung existiert, schreibt man ϕ zunächst als Linearkombination von charakteristischen Funktionen disjunkter Quader, und dann nehme man deren Inneres als die Q k und deren Seitenflächen und Kanten als R j. Es gilt dann c k 0 und d j 0 für alle k, j. Sei ε > 0 und S j offener Quader mit S j R j und v(s j ) < ε. Dann ist n m c k χ Qk + d j χ Sj Hüllreihe zu ϕ und damit Es folgt ϕ 1 ϕ 1 j=1 j=1 n c k v(q k ) + ε m d j. j=1 n c k v(q k ) = ϕ(x)dx. R d Sei nun A abgeschlossener Quader mit ϕ(x) = 0 für x A. Sei M = max x A ϕ(x) und sei ψ = Mχ A ϕ. Dann ist auch ψ Treppenfunktion und nach dem bereits Bewiesenen gilt ψ 1 ψ(x)dx = M R d χ A (x)dx R d ϕ(x)dx. R d Mit Lemma 1.8 folgt ψ 1 M χ A 1 ϕ(x)dx R d und damit R d ϕ(x)dx M χ A 1 ψ 1 Mχ A ψ 1 = ϕ 1. 2 Definition und Eigenschaften des Lebesgue-Integrals Definition und Satz 2.1. Eine Funktion f : R d C heißt (Lebesgue)-integrierbar, wenn es eine Folge (ϕ k ) von Treppenfunktionen mit lim f ϕ k 1 = 0 k gibt. In diesem Fall existiert der Grenzwert lim k ϕ R d k (x)dx und er ist unabhängig von der Folge (ϕ k ). Man nennt f(x)dx = lim ϕ k (x)dx R d k R d das Lebesgue-Integral von f. 7

10 Beweis. Mit Lemma 1.5 und Satz 1.2 gilt ϕ j ϕ k ϕ j ϕ k = ϕ j ϕ k 1 ϕ j f 1 + ϕ k f 1 für j, k N. Gilt f ϕ k 1 0, so folgt hieraus, dass ( ϕ k ) Cauchyfolge und damit konvergent ist. Gilt auch lim k f ψ k 1 = 0 mit Treppenfunktionen ψ k, so folgt analog ϕ k ψ k ϕ k f 1 + ψ k f 1 und damit lim k ϕ k = lim k ψ k. Bemerkung. Für eine Treppenfunktion ϕ stimmt das Lebesgue-Integral aus Definition 2.1 mit dem Integral aus Definition 1.1 überein. (Man wähle ϕ k = ϕ für alle k.) Satz 2.2. Seien f, g : R d C integrierbar und seien α, β C. Dann gilt (i) f ist integrierbar und fdx f dx = f 1. (ii) αf + βg ist integrierbar und αf + βg = α f + β g. (iii) Die komplex konjugierte Funktion f ist integrierbar und f = f. (iv) Aus f g folgt f g. (v) Ist g beschränkt, so ist auch f g integrierbar. Beweis. Aussage (ii) folgt direkt aus den entsprechenden Regeln für Treppenfunktionen. Auch (iii) ist sehr einfach und folgt auch direkt aus (ii). Zu (i): Sei (ϕ k ) Folge von Treppenfunktionen mit ϕ k f 1 0. Dann sind auch die ϕ k Treppenfunktionen und es gilt ϕ k f 1 ϕ k f 1. Damit ist f integrierbar und f = lim k ϕ k lim k ϕ k = f. Außerdem gilt f 1 ϕ k f 1 ϕ k 1 f 1 + ϕ k f 1. 8

11 Wegen ϕ k 1 = ϕ k f folgt mit k, dass f 1 = f. Zu (iv): Wegen g f = g f = g f folgt dies aus (i). Zu (v): Seien ϕ und ψ Treppenfunktionen. Dann gilt f g ϕ ψ = f g g ϕ + g ϕ ϕ ψ g f ϕ + ϕ g ψ. Sei M = sup x R d g(x). Zu ε > 0 wählt man ϕ mit M f ϕ 1 < ε/2. Sei L = max x R d ϕ(x). Nun wählt man ψ mit L g ψ 1 < ε/2. Es folgt dann f g ϕ ψ M f ϕ 1 + L g ψ 1 < ε. Folgerung 1. Eine Funktion f : R d C ist genau dann integrierbar, wenn Re f und Im f integrierbar sind. Es gilt dann f = Re f + i Im f. 2. Sind f, g : R d R integrierbar, so auch max{f, g} und min{f, g}. Dies folgt aus Mit max{f, g} = 1 2 (f + g + f g ) und min{f, g} = 1 (f + g f g ). 2 f + = max{f, 0} und f = max{ f, 0} gilt wegen f = f + f dann, dass f genau dann integrierbar ist, wenn f + und f integrierbar sind. In diesem Fall gilt f = f + f. Daher kann man sich oft auf den Fall f 0 beschränken. Definition 2.3. Sei A B R d und f : B C. Die Funktion f A : R d C, { f(x), x A f A (x) = 0, x R d \A heißt triviale Fortsetzung (von f A ). Man nennt f integrierbar über A, falls f R d A (x)dx existiert und f(x)dx = f A (x)dx A R d heißt dann Lebesgue-Integral von f über A. Satz 2.4. Seien a, b R, a < b, und sei f : [a, b] R Riemann-integrierbar. Dann ist f auch Lebesgue-integrierbar über [a, b] und das Lebesgue-Integral und das Riemann-Integral von f über das Intervall [a, b] stimmen überein. 9

12 Beweis. Nach Riemannschem Integralibitätskriterium existiert eine Folge (Z n ) von Zerlegungen von [a, b] mit und S(Z n ) S(Z n ) 0 S(Z n ) b a f(x)dx. Sei n N. Die Zerlegung Z n bestehe aus den Intervallen I 1,..., I kn. Weiter sei m j = inf x Ij f(x) und M j = sup x Ij f(x). Dann ist ϕ n = k n j=1 m j χ Ij eine Treppenfunktion und es gilt S(Z n ) = k n m j I j = j=1 R ϕ n (x)dx. Weiter gilt f [a,b] ϕ n 1 k n j m j )χ Ij j=1(m 1 k n j=1 (M j m j ) I j = S(Z n ) S(Z n ) Es folgt, dass f [a,b] ϕ n 1 0 für n. Damit ist f Lebesgue-integrierbar über [a, b] und lim ϕ n (x)dx = lim S(Z n ). n R n Die linke Seite ist das Lebesgue-Integral, die rechte das Riemann-Integral von f über [a, b]. Nächstes Ziel ist, die Integrierbarkeit stetiger Funktionen auf kompakten Mengen zu zeigen. Vorbereitend dazu beweisen wir das folgende Ergebnis. Satz 2.5. (Kleiner Satz von Beppo Levi) Sei f : R d R { } und sei (ϕ k ) eine monoton wachsende Folge von Treppenfunktionen, so dass gilt: (i) lim k ϕ k (x) = f(x) für alle x R d. (ii) Die Folge ( ϕ k ) k N ist beschränkt. Dann ist f integrierbar und f = lim k ϕk. 10

13 Beweis. Da ( ϕ k ) monoton wachsend und beschränkt ist, ist ( ϕ k ) konvergent. Mit f ϕ n = (ϕ k+1 ϕ k ) k=n folgt aus Lemma 1.6 und Satz 1.7, dass f ϕ n 1 = = = = ϕ k+1 ϕ k 1 k=n k=n k=n ϕ k+1 ϕ k (ϕ k+1 ϕ k ) ( k=n ( lim k ϕ k+1 ) ϕ k ϕ k ) ϕ n, also Die Behauptung folgt. f ϕ n 1 0. Satz 2.6. Sei U R d offen und beschränkt und sei f : U C stetig und beschränkt. Dann ist f über U integrierbar. Beweis. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann man f 0 annehmen. Leicht sieht man, dass eine Folge (W k ) von Würfeln (d.h., Quadern mit gleicher Seitenlänge) existiert, so dass v(w k ) 0, W k U für alle k und jeder Punkt in U in unendlich vielen W k liegt. Für k N sei m k = inf x W k f(x) und ϕ n = max 1 k n m kχ Wk. Dann ist (ϕ n ) monoton steigende Folge von Treppenfunktionen, und aus der Stetigkeit von f folgt ϕ n (x) f(x) für alle x U. Mit M = sup x U f(x) und einem Quader Q mit U Q folgt außerdem ϕ n M v(q). Die Behauptung folgt mit Satz 2.5. Satz 2.7. Sei K R d integrierbar. kompakt und f : K C stetig. Dann ist f über K Wir werden Satz 2.7 auf Satz 2.6 zurückführen. Dafür benötigen wir folgendes Resultat. Lemma 2.8. Sei K R d kompakt und f : K C stetig. Dann hat f eine stetige Fortsetzung auf R d, d.h., es existiert F : R d C mit F K = f. 11

14 Bemerkung. Dies ist ein Spezialfall des Fortsetzungssatzes von Tietze. Beweisskizze. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit sei f 0. Da K kompakt ist, ist f gleichmäßig stetig. Es seien u, w : [0, ) [0, ) definiert durch u(t) = u(αt) max f(x) f(y) und w(t) = sup x,y K α 1 α. x y t Die Funktionen u und w sind monoton wachsend und es gilt lim t 0 w(t) = 0 = w(0) sowie w(s + t) w(s) + w(t) für s, t [0, ). Außerdem gilt für x, y K. Dann leistet das Verlangte. f(x) f(y) w( x y ) F (x) = sup(f(y) w( x y )) y K Beweis von Satz 2.7. Sei Q offener Quader mit Q K und sei F stetige Fortsetzung von f auf R d. Dann ist F Q beschränkt. Wegen f K = F Q F Q χ Q\K und da F Q und χ Q\K nach Satz 2.6 integrierbar sind, folgt die Integrierbarkeit von f über K mit Satz 2.6, (ii) und (v). Zur konkreten Berechnung von Integralen über Teilmengen des R d führt man diese auf eindimensionale Integrale zurück. Wir schreiben für d = p + q wieder z R d in der Form z = (x, y) mit x R p und y R q. Satz 2.9. Sei U R d = R p R q offen und beschränkt und sei f : U C stetig und beschränkt. Für y R q sei U y = {x R p : (x, y) U}. Dann ist für jedes y R q die Funktion f y : U y C, f y (x) = f(x, y) integrierbar. (Falls U y =, ist U y f y = 0). Des Weiteren ist die durch F (y) = f y (x)dx = U y f(x, y)dx U y gegebene Funktion F : R q C integrierbar und es gilt ( ) f(z)dz = F (y)dy = f(x, y)dx dy. U R q R q U y Die Aussage gilt auch, falls U kompakt und f : U C stetig. Bemerkung. Die Rollen von x und y können vertauscht werden. Mit für x R p folgt ( R p U x U x = {y R q : (x, y) U} ) ( ) f(x, y)dy dx = f(z)dz = f(x, y)dx dy. U R q U y 12

15 Beweis. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit sei wieder f 0. Sei (ϕ k ) monotone Folge von Treppenfunktionen mit ϕ k (z) f U (z) für alle z R d. Für jedes y R q ist dann ϕ y,k : U y C, ϕ y,k (x) = ϕ k (x, y), eine Treppenfunktion. Die Folge (ϕ y,k ) ist monoton wachsend und konvergiert punktweise gegen f y. Da f und U beschränkt sind, ist die Folge ( ϕ y,k ) beschränkt. Nach dem kleinen Satz von Beppo Levi folgt, dass f y integrierbar über U y ist und F (y) = f y = lim ϕ k (x, y)dx U k y R p gilt. Mit Φ k (y) = ϕ k (x, y)dx R p gilt aber Φ k (y) F (y) für alle y R q. Auch die Φ k sind Treppenfunktionen und die Folge (Φ k ) ist monoton wachsend. Es folgt, dass F integrierbar ist und ( ) F (y)dy = lim Φ k (y)dy = lim ϕ k (x, y)dx dy R q k R q k R q R p gilt. Mit dem Satz von Fubini für Treppenfunktionen gilt ( ) ϕ k (x, y)dx dy = ϕ k (z)dz R p R d R q und damit folgt die Behauptung. Den Fall, dass U kompakt ist, führt man wie in Satz 2.7 auf den Fall, dass U offen ist, zurück. Bemerkung. Satz 2.9 heißt auch Kleiner Satz von Fubini. Beispiel. Sei K = {(x, y) R 2 : x 2 y 1} und f : K R, f(x, y) = x 2 y. Es ist K kompakt und f stetig. Für y [0, 1] gilt U y = [ y, y] und es ist U y = für y [0, 1]. Es folgt K f(x, y)d(x, y) = = ( ) y x 2 y dx dy = y y 2 3 y 3 dy = y 1 3 x3 y 5 2 dy = x= y x= y Alternativ kann man dies mit U x = [x 2, 1] auch wie folgt berechnen: 1 ( 1 ) f(x, y)d(x, y) = x 2 ydy dx K 1 x 2 1 = x 2 1 y=1 1 2 y2 dx = 1 1 ( x 2 x 6) dx 2 y=x 2 1 = 1 ( x3 1 ) 1 7 x7 = = dy

16 3 Messbare Mengen und Nullmengen Definition 3.1. Eine Teilmenge A des R d heißt (Lebesgue-)messbar, falls χ A integrierbar ist. In diesem Fall heißt v d (A) = v(a) = 1 dx = A R d χ A das (d-dimensionale) Volumen oder (Lebesgue)-Maß von A. (Im Falle d = 2 spricht man von Flächeninhalt.) Bemerkung. Nach Satz 2.6 und Satz 2.7 sind beschränkte offene Mengen und kompakte Mengen messbar. Beispiele. 1. Sei A das Dreieck mit den Ecken (0,0), (0,1), (1,0). Dann gilt 1 ( 1 x ) 1 1 v 2 (A) = dy dx = (1 x)dx = x x2 = Die Integrationsreihenfolge kann hier auch wieder vertauscht werden. 2. Sei K abgeschlossene Kreisscheibe mit Radius r um 0, also Dann gilt v(k) = K K = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 r 2 }. 1 d(x, y) = r r 1 = 2r 2 1 t2 dt = 1 = 2r 2 π 2 π 2 = r 2 ( u + 0 ( r 2 y 2 dx r 2 y 2 π 2 π 2 cos 2 u du = 2r 2 π 2 sin 2u 2 ) π 2 π 2 ) dy = r r 1 sin 2 u cos u du π 2 = πr 2. 1 (1 + cos 2u)du r 2 y 2 dy Für messbares A, B R d folgt aus χ A B = χ A + χ B χ A B, dass insbesondere also v(a B) = v(a) + v(b) v(a B), v(a B) = v(a) + v(b), falls A B =. Induktiv erhält man ( n ) v A j = j=1 n v(a j ) für paarweise disjunkte Mengen A j. Ebenso gilt v(a) v(b), falls A B. Die konkrete Berechnung von Volumina erfolgt wieder mit dem Satz von Fubini. Der Spezialfall p = d 1, q = 1, f = χ A ist als Cavalierisches Prinzip bekannt: 14 j=1

17 Satz 3.2. Sei A R d kompakt und für t R sei A t = {(x 1,..., x d 1 ) R d 1 : (x 1,..., x d 1, t) A}. Dann gilt v d (A) = v d 1 (A t )dt. R Beweis. Nach Satz von Fubini ist v d (A) = 1 dz = ( ) 1 dx dt = A t A R R v d 1 (A t )dt. Beispiel. Sei K = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 R 2 } die Kugel um 0 vom Radius R. Für z [ R, R] ist dann K z = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 R 2 z 2 } und damit v 2 (K z ) = π(r 2 z 2 ) nach Beispiel zum Satz von Fubini. Also gilt v 3 (K) = R R π ( R 2 z 2) dz = π (R 2 z z3 3 ) R R = 4π 3 R3. Definition 3.3. Eine messbare Menge N mit v(n) = 0 heißt Nullmenge. Lemma 3.4. Eine Teilmenge N des R d ist genau dann eine Nullmenge, wenn χ N 1 = 0. Beweis. Ist N Nullmenge, so gilt 0 = χ N = χ N 1 nach Satz 2.2 (i). Ist aber χ N 1 = 0, so ist χ N auch integrierbar und v(n) = χ N = 0. (Man wähle ϕ k 0 in Definition und Satz 2.1.) Lemma 3.5. (i) Teilmengen von Nullmengen sind wieder Nullmengen. (ii) Abzählbare Vereinigungen von Nullmengen sind Nullmengen. Beweis. (i) mit Lemma 3.4, (ii) mit Lemma 1.6. Folgerung. Abzählbare Mengen sind Nullmengen. Satz 3.6. Sei f : R d C mit f 1 <. Dann ist N := {x R d : f(x) = } Nullmenge. Beweis. Es gilt χ N ε f für alle ε > 0, also χ N 1 ε f 1 für alle ε > 0 und damit χ N 1 = 0. Satz 3.7. Seien f, g : R d C und es sei N = {x R d : f(x) g(x)} Nullmenge. Ist f integrierbar, so auch g und g = f. 15

18 Beweis. Es gilt χ N 1 = 0 und damit gilt für u N : R d R, {, x N, u N (x) = 0, x N, auch u N 1 = 0, da u N = χ N. Sei (ϕ k ) Folge von Treppenfunktionen mit f ϕ k 1 0. Wegen g ϕ k f ϕ k + u N folgt g ϕ k 1 f ϕ k 1. Damit ist auch g integrierbar und g = lim ϕ k = f. k Bemerkung. Sind f und g wie in Satz 3.7, so sagt man, dass f und g fast überall gleich sind oder dass f(x) = g(x) für fast alle x. Ganz allgemein bedeutet fast überall, dass dies außerhalb einer Nullmenge gilt. Satz 3.6 besagt also zum Beispiel, dass für Funktionen f mit f 1 < fast überall f(x) gilt. Satz 3.8. Ist f : R n C integrierbar, so existiert eine integrierbare Funktion f mit (i) f(x) für alle x R n (ii) f(x) = f(x) für fast alle x R n Beweis. Sei N = {x: f(x) = }. Wir definieren f durch { f(x), x N f(x) = 0, x N Diese Funktion leistet das Verlangte. Satz 3.9. Sei f : R d C. Es gilt f 1 = 0 genau dann, wenn f(x) = 0 fast überall. Beweis. Gilt f = 0 fast überall, so ist f 1 = f = 0 = 0 nach Satz 3.7. Es gelte f 1 = 0. Für k N sei { N k = x R d : f(x) 1 }. k Dann gilt v(n k ) = 1 k N k f k f 1 = 0. N k Damit folgt mit Lemma 3.5 (ii), dass ( ) v({x: f(x) 0}) = v N k = k N

19 Wichtig ist folgende Charakterisierung von Nullmengen. Satz Sei N R d. Es ist N genau dann Nullmenge, wenn zu jedem ε > 0 eine Folge (Q k ) von Quadern mit N Q k und v(q k) < ε existieren. Die Q k können als Würfel gewählt werden. Beweis. Existieren zu jedem ε > 0 solche Quader Q k, so gilt χ N 1 χ Qk χ Qk 1 = v(q k ) < ε, 1 also v(n) = 0. Den Beweis der Umkehrung skizzieren wir nur: Es gelte v(n) = 0 und damit χ N 1 = 0. Sei ε > 0. Wir zeigen zuerst, dass eine offene Menge U mit N U und v(u) < ε existiert. Zunächst existieren offene Quader Q k und c k 0 mit 2 χ N c kχ Qk und c kv( Q k ) < ε. Die Menge { } U = x R d : c k χ Qk (x) > 1 ist offen (da die Q k offen sind und für x U ein n N mit n c kχ Qk (x) > 1 existiert). Es gilt außerdem v(u) = χ U c k χ Qk c k v( Q k ) < ε und natürlich U N. Es muss jetzt nur noch eine geeignete Überdeckung der offenen Menge U angegeben werden. Dies erfolgt wie in Abbildung 3 skizziert. Abbildung 3: Ausschöpfung einer offenen Menge durch abgeschlossene Quader. 17

20 4 L p -Räume Da sich das Integral einer integrierbaren Funktion nach Satz 3.7 nicht ändert, wenn man sie auf eine Nullmenge umdefiniert, kann man auch über Integration von Funktionen reden, die auf einer Nullmenge überhaupt nicht definiert sind, d.h. Funktionen, die nur fast überall definiert sind. Ebenso kann man Nullmengen zum Integrationsbereich hinzufügen oder weglassen, d.h., ist f über A integrierbar und N Nullmenge, so gilt f = f = f. A A\N A N Im letzten Integral muss f dabei auf N nicht definiert sein. Sei V der Vektorraum der Funktionen f : R d C. Durch f g : f = g fast überall ist eine Äquivalenzrelation gegeben und U = {f V : f(x) = 0 fast überall} = {f V : f 1 = 0} ist Unterraum von V. Es ist 1 aus zwei Gründen keine Norm auf V : (i) Es existieren f V mit f 1 =. (ii) Es existieren f V \{0} mit f 1 = 0, nämlich alle f U\{0}. Das erste Hindernis können wir durch Einschränkung auf L 1 (R d ) = {f V : f integrierbar} beseitigen. Es ist U auch Teilraum von L 1 (R d ). Wir betrachten nun den Quotientenraum L 1 (R d ) = L 1 (R d )/U. Sei [f] L 1 (R d ) die Äquivalenklasse von f L 1 (R d ). Aus f g, also [f] = [g] folgt dann mit Satz 3.9, dass f 1 = g 1. Wir können also eine Abbildung 1 : L 1 (R d ) R, [f] 1 = f 1, definieren. Nach Konstruktion gilt [f] 1 = 0 genau dann, wenn [f] = [0]. Die anderen Normeigenschaften für die Abbildung 1 : L 1 (R d ) R folgen aus denen von 1 : L 1 (R d ) R. Damit erhalten wir folgendes Ergebnis. Satz 4.1. (L 1 (R d ), 1 ) ist normierter Raum. Es ist allgemein üblich, die Äquivalenzklasse von f nicht mit [f], sondern wieder mit f zu bezeichnen. Anstelle von 1 kann man allgemein auch für p > 1 und f : R d C f p = ( f p 1 ) 1/p betrachten. Auch hier ist f p = möglich, und aus f p = 0 folgt auch nicht f = 0. Diese Defizite lassen sich wie im Fall p = 1 beheben. Von den weiteren Eigenschaften einer Norm ist λ f p = λ f p für λ C klar, die Dreiecksungleichung aber zunächst nicht. Dazu zeigen wir folgendes Lemma. 18

21 Lemma 4.2. Seien a, b 0 und p, q > 1 mit = 1. Dann gilt p q a b 1 p ap + 1 q bq. Beweis. Die Behauptung ist klar, falls a = 0 oder b = 0. Seien a, b > 0. Wir setzen x = log a und y = log b. Dann gilt auf Grund der Konvexität der Exponentialfunktion a b = e x e y = e x+y ( 1 = exp p px + 1 ) q qy 1 p exp(px) + 1 q exp(qy) = 1 p ap + 1 q bq Mit Hilfe dieses Lemmas erhalten wir zunächst folgendes Resultat. Satz 4.3. (Höldersche Ungleichung) Seien f, g : R d C und p, q > 1 mit 1 p + 1 q = 1. Dann gilt f g 1 f p g q Beweis. Man kann f p, g q annehmen. Gilt f p = 0, so ist f = 0 fast überall, also f g = 0 fast überall und damit f g 1 = 0. Analoges gilt, falls g q = 0. Man kann also f p, g q 0 annehmen. Sei F = f und G = g. f p g q Dann gilt F p = G q = 1. Nach Lemma 4.2 gilt F (x) G(x) 1 p F (x) p + 1 q G(x) q. Es folgt F G 1 1 p F p p + 1 q G q q = 1 und damit die Behauptung. Die gewünschte Dreiecksungleichung liefert nun folgender Satz. Satz 4.4. (Minkowskische Ungleichung) Seien f, g : R d C und p > 1. Dann gilt f + g p f p + g p. 19

22 Beweis. Sei q gemäß der Hölderschen Ungleichung gewählt, also 1/p + 1/q = 1. Dann gilt f + g p p = f + g p 1 f f + g p 1 + g f + g p 1 1 f f + g p g f + g p 1 1 f p f + g p 1 q + g p f + g p 1 q = ( f p + g p ) f + g p 1 q. Weiter gilt wegen (p 1)q = p f + g p 1 q = ( ) 1 f + g (p 1)q q 1 = f + g p 1 q 1 p 1 p = f + g p 1 = f + g p 1 p. Die Behauptung folgt. Sei nun L p (R d ) die Menge aller Funktionen f : R d C, so dass (i) f p < (ii) f ist lokal integrierbar, d.h., für alle x R d existiert eine Umgebung X von x, so dass f integrierbar über X ist. Dann ist L p (R d ) ein Vektorraum. Mit der Äquivalenzrelation wie oben definiert man L p (R d ) = L p (R d )/{f L p (R d ): f p = 0}. De facto identifiziert man L p (R d ) und L p (R d ) wieder miteinander, d.h., die Äquivalenzklasse von f L p (R d ) in L p (R d ) wird wieder mit f bezeichnet. Analog zu Satz 4.1 gilt mit der offensichtlichen Definition der Norm p auf L p (R d ) folgender Satz. Satz 4.5. (L p (R d ), p ) ist normierter Raum. Für p = geht man wie folgt vor: Eine Funktion f : R d C heißt wesentlich beschränkt, falls M R existiert, so dass {x R d : f(x) > M} Nullmenge ist. Das Infimum über alle diese M wird mit f bezeichnet. Mit L (R p ) bezeichnet man den Vektorraum der lokal integrierbaren und wesentlich beschränkten Funktionen f : R d C. Wie oben erhält man hieraus einen normierten Raum (L (R d ), ). Analog definiert man für p 1 und eine messbare Teilmenge A von R d auch den Raum L p (A) der (Äquivalenzklasse von) Funktionen f : A C mit f A p < und findet mit f p = [f] p = f A p, dass (L p (A), p ) normierter Raum ist. Tatsächlich reicht es zu fordern, dass A lokal messbar ist, d.h., dass jeder Punkte in A eine Umgebung X besitzt, so dass X A messbar ist. 20

23 Bemerkung. Die Terminologie ist uneinheitlich. In einigen Büchern wird als messbar bezeichnet, was wir lokal messbar genannt haben. Beispiele. 1. Die durch x 1/x gegebene Funktion ist in L p ((1, )) falls p > 1, aber sie ist nicht in L 1 ((1, )). 2. Die durch x 1/ x gegebene Funktion ist in L p ((0, 1)) für 1 p < 2, aber nicht für p 2. 5 Volumenänderung unter affinen Abbildungen Satz 5.1. Sei f : R d C integrierbar und a R d. Sei f a : R d C, f a (x) = f(x a). Dann ist f a integrierbar und f a = f. Beweis. Die Behauptung folgt leicht, wenn man die Treppenfunktionen ϕ k in der Definition von f durch ϕ k,a ersetzt. Folgerung. Ist A R d messbar und a R d, so ist auch a + A = {a + x: x A} messbar und v(a + A) = v(a). Satz 5.2. Sei A R d kompakt und sei L: R d R d linear. Dann ist auch L(A) messbar und es gilt v (L(a)) = det(l) v(a). Beweis. Jede lineare Abbildung lässt sich als Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen darstellen, deren Matrizen (a ij ) von einem der folgenden drei Typen sind: (i) Es existieren k, l {1,..., d}, k l, mit a lk = a kl = 1, a jj = 1 für j {1,..., d}\{k, l} und a ij = 0 für alle anderen i, j. Multiplikation mit dieser Matrix vertauscht die k-te und l-te Zeile (bzw. Spalte). (ii) Es existieren λ 1,..., λ d R mit a jj = λ j und a ij = 0 für i j, d.h., (a ij ) ist Diagonalmatrix. (iii) Es existiert λ R mit a 12 = λ, a jj = 1 für j {1,..., d} und a ij = 0 für alle anderen i und j. Multiplikation mit dieser Matrix addiert das λ-fache der zweiten Zeile (bzw. Spalte) zur ersten. Es genügt, die Behauptung für lineare Abbildungen zu zeigen, deren zugehörige Matrizen von einem dieser drei Typen sind. Zu (i): Ein Quader Q j = I 1 I k I l I d, der in einer Treppenfunktion c j χ Qj in der Definition von χ A auftaucht, wird hier durch I 1 I l I k I d ersetzt. (Man beachte, dass hier die Determinante der Abbildung 1 ist.) Zu (ii): Hier ersetzt man I 1 I d durch λ 1 I 1 λ d I d. 21

24 Zu (iii): Es reicht, den Fall d = 2 zu betrachten, womit L von der Form L(x, y) = ( 1 λ 0 1 ) ( x y ) ( ) x + λy = y ist. Mit A y = {x: (x, y) A} und L(A) y = {x: (x, y) L(A)} erkennen wir, dass L(A) y = λy + A y. Hieraus folgt mit der Folgerung zu Satz 5.1, dass Nach Cavalierischem Prinzip folgt, dass v (L(A)) = R v(l(a) y ) = v(a y ). v (L(A) y ) dy = R v(a y )dy = v(a). Definition 5.3. Seien a 1,..., a d R d. Dann heißt { d } P (a 1,..., a d ) = t j a j : 0 t j 1 für alle j j=1 der von a 1,..., a d aufgespannte Parallelepiped (oder Parallelotop oder Spat). Satz 5.4. Parallelepipede sind messbar und es gilt v d (P (a 1,..., a d )) = det(a 1,..., a d ). für a 1,..., a d R d. Dabei ist det(a 1,..., a d ) die Determinante der Matrix mit den Spalten a 1,..., a d. Beweis. Seien e 1,..., e d die Standard-Einheitsvektoren und sei L die lineare Abbildung mit L(e j ) = a j. Dann gilt P (a 1,..., a d ) = L (P (e 1,..., e d )). Wegen und v (P (e 1,..., e d )) = 1 det(l) = det(a 1,..., a d ) folgt die Behauptung nun direkt aus Satz

25 6 Konvergenzsätze Wir wollen zeigen, dass die Räume (L p (A), p ) vollständig sind. Der Einfachheit halber beschränken wir uns auf den Raum ( L 1 (R d ), 1 ). Eine Folge (fk ) in L 1 (R d ), oder allgemeiner eine Folge (f k ) von Funktionen von R d nach C, heißt Cauchyfolge (genauer L 1 -Cauchyfolge), falls zu jedem ε > 0 ein N N existiert, so dass f m f n 1 < ε für m, n N. Wir wollen zeigen, dass Cauchyfolgen in L 1 (R d ) konvergieren. Allgemeiner zeigen wir folgendes Resultat. Satz 6.1. (Satz von Riesz-Fischer) Sei (f k ) eine L 1 -Cauchyfolge integrierbarer Funktionen von R d nach C. Dann existiert f L 1 (R d ) mit und es gilt lim f k f 1 = 0 k lim k f k = Außerdem existiert eine Teilfolge (f kj ) von (f k ) mit f kj (x) f(x) fast überall. Bemerkung. 1. Sei ([f k ]) Cauchyfolge in ( ) L 1 (R d ), 1. Dann ist der Satz von Riesz-Fischer auf die Folge (f k ) anwendbar. Ist f wie im diesem Satz gewählt, so ist [f] Grenzwert von ([f k ]) in ( ) ( ) L 1 (R d ), 1. Es folgt, dass L 1 (R d ), 1 vollständiger normierter Raum ist. Allgemeiner sind die Räume (L p (A), p ) vollständig für 1 p. 2. Im Allgemeinen gilt nicht f k (x) f(x) fast überall. Ein Gegenbeispiel erhält man wie folgt: Für k N sei n N 0 mit 2 n k 2 n+1 1. Weiter sei [ k I k = 2 1, k + 1 ] 1 n 2 n und f k = χ Ik. Es ist also f k die charakteristische Funktion eines Teilintervalls von [0, 1] der Länge 1/2 n. Es gilt f k 1 0, also f k f 1 0 für f = 0, aber für x [0, 1] und n N 0 existiert k mit 2 n k 2 n+1 1 und f k (x) = 1. Also existiert kein x [0, 1] mit f k (x) f(x) = 0. Beweis von Satz 6.1. Sei (k j ) wachsende Folge mit f. f k f kj 1 < 1 2 j für k k j. Wir zeigen zunächst, dass (f kj ) fast überall konvergiert. Sei dazu g j = f kj+1 f kj. Dann gilt g j 1 < 2 j und mit h(x) := g j (x) = f kj+1 (x) f kj (x) folgt h 1 j=1 g j 1 < 1. Damit existiert eine Nullmenge N mit h(x) für x N. 23

26 Wir definieren nun { fk1 (x) + ( j=1 fkj+1 f(x) = (x) f k j (x) ), x N, 0, x N. Für x N gilt also f(x) = lim n ( n 1 f k1 (x) + j=1 ( fkj+1 (x) f k j (x) )) = lim n f kn (x). Wir zeigen nun, dass f die behaupteten Eigenschaften hat. Zunächst gilt n f f km 1 = lim ( fkj+1 f ) k j g j 1 n j=m und damit f f km 1 0 für m. Die L 1 -Cauchyfolge (f k ) hat also eine bezüglich der L 1 -Halbnorm konvergente Teilfolge. Hieraus folgt die Konvergenz von (f k ) bezüglich der L 1 -Halbnorm mit einem Standardargument: Denn zu ε > 0 existiert m mit 1 j=m f km f 1 < ε 2 und f k f km 1 < ε 2 für k k m. Es folgt f k f 1 f k f km 1 + f km f 1 < ε für k k m, also f k f 1 0. Schließlich existiert eine Folge (ϕ k ) von Treppenfunktion mit ϕ k f k 1 0 für k. Es folgt wegen ϕ k f 1 ϕ k f k 1 + f k f 1, dass ϕ k f 1 0. Damit ist f integrierbar. Außerdem gilt f k f f k f 1 und damit f k f. Satz 6.2. (Satz von Beppo Levi, Satz von der monotonen Konvergenz) Sei (f k ) eine monoton wachsende Folge integrierbarer Funktionen auf R d und sei f der (punktweise) Grenzwert der f k, also f(x) = lim k f k (x) für x R d. Ist die Folge ( f k ) beschränkt, so ist f integrierbar und es gilt f = lim k 24 f k.

27 Beweis. Die Folge ( f k ) ist monoton und beschränkt, also konvergent und damit auch Cauchyfolge. Da f n f m 1 = f n f m = (f n f m ) = f n für n m, ist (f n ) eine L 1 -Cauchyfolge. Die Behauptung erhält man jetzt leicht mit Satz 6.1. Seien A 1, A 2,... Teilmengen des R d mit A 1 A 2 A 3... und sei A = j=1 A j. Wir sagen, dass die Folge (A j ) eine Ausschöpfung der Menge A ist. Wendet man Satz 6.2 auf die Folge (χ Ak ) an, so erhält man, dass mit den A k auch A messbar ist, falls die Folge (v(a k )) beschränkt ist. Außerdem gilt dann v(a) = lim k v(a k ). Allgemeiner gilt der folgende Satz. Satz 6.3. Ist (A k ) Ausschöpfung von A und f : A C über ( jedes A k integrierbar, so ist f genau dann über A integrierbar, wenn die Folge f beschränkt ) Ak ist. Es gilt dann f = lim f. A k A k Beweisskizze. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann man f 0 annehmen. Man wende jetzt Satz 6.2 auf die Folge (f Ak ) an. Es folgt aus Satz 6.3, dass für a < b und eine stetige Funktion f : (a, b) C das Lebesgue-Integral von f über (a, b) genau dann existiert, wenn das uneigentliche Riemann-Integral b f(x) dx existiert. a Sei (B k ) eine Folge paarweise disjunkter Teilmengen des R d. Durch Anwendung des vor Satz 6.3 genannten Resultats auf die Mengen A k = B 1 B 2 B k erhält man folgenden Satz. Satz 6.4. Sei (B j ) eine Folge paarweise disjunkter, messbarer Mengen. Dann ist j=1 B j genau dann messbar, wenn j=1 v(b j) <. Es gilt dann f m ( ) v B j = j=1 v(b j ). j=1 Bemerkung. Nach der Folgerung zu Satz 5.1 und nach Satz 6.4 hat das Lebesguemaß folgende Eigenschaften: (i) v( ) = 0, (ii) v([0, 1] d ) = 1, (iii) v(a + A) = v(a), falls A messbar und a A, ( ) (iv) v j=1 B j = j=1 v(b j), falls die B j messbare, paarweise disjunkt Mengen mit j=1 v(b j) < sind. 25

28 Man kann zeigen, dass (i) (iv) das Lebesguemaß in gewisser Weise charakterisieren: Ist B Teilmenge der Potenzmenge des R d, die alle kompakten und beschränkten offenen Mengen enthält, und ist v : B [0, ) eine Abbildung, die (i) (iv) erfüllt, so ist v das Lebesguemaß. Einen Beweis dieser Aussage geben wir hier nicht. Wie das folgende Beispiel zeigt, kann man B hier nicht gleich der Potenzmenge des R d wählen. Tatsächlich zeigt sich, dass eine auf der ganzen Potenzmenge definierte Funktion v mit den Eigenschaften (i) (iv) nicht existiert. Beispiel. Sei die durch x y x y Q definierte Relation auf [0, 1]. Dann ist Äquivalenzrelation. Sei R ein in [0, 1] enthaltenes Repräsentantensystem dieser Äquivalenzrelation, d.h., es ist R [0, 1] mit r R [r] = [0, 1]/ und es gilt r s für r, s R mit r s. Wir zeigen, dass R nicht messbar ist. Dazu nehmen wir an, R wäre messbar. Dann ist für q Q auch q + R messbar. Sei (q k ) eine Abzählung von Q [0, 1]. Dann gilt [0, 1] A := (q k +R) [ 1, 2] und wir erhalten, dass A messbar ist mit v(a) = v(q k + R) = v(r) und Das ist ein Widerspruch. 1 = v([0, 1]) v(a) v([ 1, 2]) = 3. Satz 6.5. (Satz von Lebesgue, Satz über majorisierte Konvergenz) Sei (f k ) eine Folge integrierbarer Funktionen auf R d, die fast überall (punktweise) gegen eine Funktion f konvergieren. Es existiere eine integrierbare Funktion F : R d R mit f k F für alle k. Dann ist f integrierbar und es gilt f = lim f k. k Bemerkung. Ohne die Voraussetzung, dass eine Funktion F wie angegeben existiert, gilt der Satz nicht. Man betrachte etwa die Funktionen f k : [0, ) R, f k (x) = k 2 xe kx. Hier gilt f 0 k (x) = 1 für alle k N, aber f k (x) 0 für k und alle x [0, ); vgl. Abbildung 4. Beweis von Satz 6.5. Indem man die f k und F gegebenenfalls auf einer Nullmenge umdefiniert, kann man annehmen, dass f k (x) f(x) für alle x und F (x) für alle x. Des Weiteren kann man annehmen, dass die f k reellwertig sind. Für i k sei g i,k = max i j k f j. Es gilt dann g i,k F. 26

29 Abbildung 4: Die Graphen von f k (x) = k 2 xe kx für k = 1, 2, 5, 10. Sei g i = sup f j. j i Dann gilt g i (x) = lim g i,k (x) k für alle x. Mit dem Satz über monotone Konvergenz folgt, dass integrierbar ist, mit g i = lim g i,k F. k Die Folge (g i ) ist monoton fallend und es gilt f(x) = lim i g i (x). Wir erhalten wiederum mit dem Satz über monotone Konvergenz, dass f integrierbar ist und dass f = lim g i. i Mit folgt analog h i = inf j i f j f = lim i Wegen h i f i g i folgt die Behauptung. Bemerkung. Auch wenn die (reellwertige) Folge (f k ) nicht konvergiert, können die Folgen (g i,k ) und (g i ) aus dem obigen Beweis betrachtet werden. Es gilt dann lim sup f i (x) = lim i sup i j i h i. f j (x) = lim i g i (x) = lim i lim k g i,k (x). Mit anderen Worten: Die Grundidee des obigen Beweises ist, den Grenzwert als Limes superior und damit als Grenzwert einer monotonen Folge zu schreiben, so dass der Satz von der monotonen Konvergenz angewandt werden kann. 27

30 Bemerkung. Eine entsprechende Aussage gilt für Funktionenfolgen, die auf einer (lokal messbaren) Teilmenge A von R d definiert sind. Ist A beschränkt, so kann man F konstant wählen. Für eine Folge (f k ) von gleichmäßig beschränkten, auf einer messbaren und beschränkten Menge A integrierbaren Funktionen folgt also aus der punktweisen Konvergenz von (f k ) die Integrierbarkeit von f = lim k f k. Satz 6.6. Sei f : [a, b] R differenzierbar. Ist f beschränkt, so ist f integrierbar und es gilt f(x) f(a) = x a f (t)dt. Bemerkung. Man vergleiche die Aussage mit dem Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung. Dieser liefert die Aussage, falls f stetig ist. Beweis. Es gelte f (x) M für alle x R. Für k N sei f k : [a, b] R, { ( ( ) ) k f x + 1 k f(x), a x b 1 k f k (x) =, 0, b 1 < x b. k Dann ist f k integrierbar. Nach Mittelwertsatz gilt für alle x [a, b]. Außerdem gilt f k (x) M f k (x) f (x) für alle x [a, b). Nach dem Satz über majonisierte Konvergenz folgt, dass f integrierbar ist und dass b a f (x)dx = lim = lim k b a k b 1/k = lim k a ( k f k (x)dx b k ( f ( ) x + k) 1 f(x) dx ) a+1/k f(x)dx k f(x)dx. a b 1/k Nun ist f stetig und damit gilt a+1/k k f(x)dx f(a) a = k a+1/k a (f(x) f(a))dx max f(x) f(a). a x a+1/k Es folgt, dass a+1/k a f(x)dx f(a). 28

31 Analog erhält man Insgesamt folgt Damit gilt auch b a b b 1/k x a f(x)dx f(b). f (x)dx = f(b) f(a). f (t)dt = f(x) f(a) für x [a, b]. 7 Parameterabhängige Integrale Wir wollen untersuchen, inwieweit sich die Reihenfolge von Integration und Differentiation vertauschen lässt. Wir schreiben für d = p + q die Elemente von R d = R p R q wieder in der Form (x 1,..., x p, y 1,..., y q ). Sei X R p, Y R q und sei f : X Y C. Wir nehmen an, dass für jedes x X die durch y f(x, y) definierte Funktion integrierbar ist. Dann kann eine Funktion F : X C, F (x) = f(x, y)dy Y definiert werden. Aus der Stetigkeit von f folgt im Allgemeinen nicht die von F. Etwa für X = Y = R und f(x, y) = x exp ( (xy) 2 ) folgt für x > 0, dass F (x) = x exp ( (xy) 2) dy = e t2 dt = π. Es folgt π, x > 0, F (x) = 0, x = 0, π, x < 0. Damit ist F unstetig. Es gilt aber folgendes Resultat. Satz 7.1. Seien f : X Y C und F : X C wie oben. Es gelte: (a) Für alle y Y ist x f(x, y) stetig. (b) Es existiert eine integrierbare Funktion Φ: Y [0, ) so dass f(x, y) Φ(y) für alle x X und y Y. Dann ist F stetig. 29

32 Beweis. Wir müssen zeigen, dass aus x k folgt, dass F (x k ) F ( ) gilt. Sei also (x k ) Folge in X mit x k X. Sei f k : Y C, f k (y) = f(x k, y). Da die f k integrierbar sind und f k Φ gilt, folgt mit dem Satz über majorisierte Konvergenz und f 0 : Y C, f 0 (y) = f(, y), dass F (x k ) = f(x k, y)dy = f k f 0 = f(, y) = F ( ). Y Y Satz 7.2. Seien f : X Y R und F : X R wie vorher. Weiterhin sei X offen und es gelte: (a) Für alle y Y ist x f(x, y) stetig differenzierbar (oder äquivalent dazu: alle partiellen Ableitungen f/ x k existieren und sind stetig in X). (b) Es existiert eine integrierbare Funktion Φ: Y [0, ), so dass f (x, y) x k Φ(y) für alle x X, y Y und k {1,..., p}. Dann ist F stetig differenzierbar. Außerdem ist die durch Y y f x k (x, y) gegebene Funktion von Y nach R für alle x X und alle k {1,..., p} integrierbar und es gilt F f (x, y) = (x, y)dy. x k Y x k Beweis. Sei ξ X und e k der k-te Einheitsvektor. Sei weiter (h j ) Nullfolge in R\{0} und g j : Y R, Dann gilt g j (y) = f(ξ + h je k, y) f(ξ, y) h j. g j (y) f x k (ξ, y) für j und alle y Y. Aus dem Mittelwertsatz folgt g j Φ, vgl. den Beweis von Satz 6.6. Damit kann der Satz über majorisierte Konvergenz auf die Folge (g j ) angewandt werden. Es folgt, dass y f/ x k (ξ, y) integrierbar ist und Andererseits gilt Y Y g j (y)dy Y Y f x k (ξ, y)dy. g j (y)dy = F (ξ + h je k ) F (ξ) h j. Es folgt die partielle Differenzierbarkeit von F und die Formel für F/ x k. Die Stetigkeit der partiellen Ableitungen folgt aus Satz

33 Beispiel. Sei F : (0, ) R, Wegen F (x) = 1 0 y x dy = x. y x x = yx log y log y und der Integrierbarkeit von y log y über (0, 1) folgt 1 0 y x log y dy = F 1 (x) = (1 + x). 2 Das hätte man natürlich mit partieller Integration auch direkt ausrechnen können. 8 Der Satz von Fubini Sei wieder d = p + q, so dass R d = R p+q = R p R q. Wie zuvor schreiben wir Punkte z R d in der Form z = (x, y) mit x R p und y R q. Satz 8.1. (Satz von Fubini) Sei f : R p+q C integrierbar. Dann ist die durch x f(x, y) definierte Funktion von R p nach C für fast alle y R q integrierbar über R p. Sei F : R q C, mit F (y) = f(x, y)dx R p falls x f(x, y) integrierbar und F (y) = 0 sonst. Dann ist F integrierbar und es gilt f(x, y)d(x, y) = R p+q F (y)dy. R q Bemerkung. 1. Da die Menge der y, für die x f(x, y) nicht integrierbar ist, eine Nullmenge ist, ist eigentlich gleichgültig, wie man F auf dieser Menge definiert. 2. Man kann die letzte Formel im Satz auch in der Form ( ) f(x, y)d(x, y) = f(x, y)dx dy R p+q R q R p schreiben. Aus Symmetriegründen gilt auch ( ) f(x, y)d(x, y) = f(x, y)dy dx. R p+q R p R q 3. Für Treppenfunktionen hatten wir das Resultat bereits im Anschluss an Definition 1.3 notiert. Für beschränkte stetige Funktionen auf beschränkten offenen Mengen sowie stetige Funktionen auf kompakten Mengen hatten wir das Ergebnis als Satz 2.9 bewiesen. 31

34 Zum Beweis benötigen wir folgendes Lemma. Lemma 8.2. Sei A R p+q Nullmenge. Für y R q sei Dann ist A y für fast alle y Nullmenge. A y = {x R p : (x, y) A}. Beweis. Wir betrachten die Funktionen g : R q R, g(y) = χ Ay 1. Wir werden zeigen, dass g 1 = 0. Hieraus folgt mit Satz 3.9, dass g(y) = 0 und damit v(a y ) = 0 für fast alle y R q gilt. Man beachte, dass χ Ay 1 die L 1 -Halbnorm in R p und g 1 die in R q ist. Genauer schreiben wir χ Ay Rp 1 bzw. g Rq 1. Nach Satz 3.10 existiert zu ε > 0 eine Folge (Q k ) von Quadern mit A Q k und v(q k ) < ε. Wir schreiben Q k = Q k Q k mit Quadern Q k Rp und Q k Rq. Es gilt dann v(q k ) = v p+q (Q k ) = v p (Q k ) v q(q k ). Wegen folgt und damit χ Ay (x) = χ A (x, y) g(y) = χ Ay Rp 1 g Rq 1 χ Qk (x, y) = χ Q k (y) χ Q k (x) Rp 1 = v p (Q k) χ Q k (y) Rq 1 = Damit gilt g 1 = 0 und die Behauptung folgt. χ Q k (x)χ Q k (y) χ Q k (y)v(q k) v p (Q k)v q (Q k) < ε. Bemerkung. Sei A = [0, 1] {0} R 2. Dann ist A Nullmenge (in R 2 ), aber A 0 = [0, 1] ist keine Nullmenge (in R). Im Allgemeinen ist in der Situation von Lemma 8.2 die Menge A y also nicht für alle y eine Nullmenge, sondern nur für fast alle. Beweis von Satz 8.1. Nach Definition der Integrierbarkeit existiert eine Folge (ϕ k ) von Treppenfunktionen mit f ϕ k 1 0. Nach dem Satz von Riesz- Fischer können wir annehmen, dass ϕ k f fast überall. Außerdem können wir annehmen, dass ϕ k+1 ϕ k 1 <. Denn wählt man (ϕ k ) mit ϕ k f 1 < 2 k, so folgt ϕ k+1 ϕ k 1 < 2 k k nach Dreiecksungleichung. 32

35 Für y R q sei f y : R p C, f y (x) = f(x, y). Analog definiere man ϕ k,y. Dann ist auch ϕ k,y Treppenfunktion. Wir zeigen zunächst, dass für fast alle y die Folge (ϕ k,y ) gegen f y konvergiert, sowohl punktweise für alle x wie auch bezüglich der L 1 -Halbnorm in R p. Wir beginnen mit der ersten Aussage. Sei dazu A R p R q die Nullmenge, so dass ϕ k (x, y) f(x, y) für (x, y) A, so gilt ϕ k,y (x) f y (x) für x A y. Und nach Lemma 8.2 ist für A y für fast alle y Nullmenge, etwa für y N mit einer Nullmenge N. Um zu zeigen, dass ϕ k,y f y 1 0, sei H k (y) = ϕ k+1 (x, y) ϕ k (x, y) dx = ϕ k+1,y ϕ k,y 1. R p Da ϕ k+1 ϕ k Treppenfunktion ist, gilt nach dem Satz von Fubini für Treppenfunktionen H k (y)dy = ϕ k+1 (x, y) ϕ k (x, y) d(x, y) = ϕ k+1 ϕ k 1, R q R p R q also R q H k (y)dy <. Mit dem Satz von Beppo Levi folgt, dass H k integrierbar über R q ist. Insbesondere gilt H k(y) < für fast alle y, etwa y N mit einer Nullmenge N. Also gilt H k (y) = ϕ k+1,y ϕ k,y < für y N. Damit ist für y N die Folge (ϕ k,y ) eine Cauchyfolge bezüglich der L 1 - Halbnorm. Nach dem Satz von Riesz-Fischer existiert also für y / N eine integrierbare Funktion g y : R p C mit ϕ k,y g y 1 0, und eine Teilfolge von (ϕ k,y ) konvergiert fast überall gegen g y. Für y N konvergiert aber (ϕ k,y ) fast überall gegen f y. Für y N := N N folgt f y = g y und damit ist f y, also x f(x, y), integrierbar für y N. Das liefert die erste Behauptung des Satzes. Wir zeigen jetzt die Integrierbarkeit von F. Nach dem Satz von Riesz-Fischer gilt wegen ϕ k,y f y 1 = ϕ k,y g y 1 0 auch F (y) = f(x, y)dx = f y (x)dx = lim ϕ k,y (x)dx R p R p k R p für y N. Mit gilt also Φ k (y) = ϕ k,y (x)dx R p F (y) = lim k Φ k (y) 33

36 für y N. Weiterhin gilt Φ k+1 (y) Φ k (y) ϕ k+1,y (x) ϕ k,y (x) dx = H k (y). R p Dies liefert und damit Φ k+1 Φ k 1 H k (y)dy = ϕ k+1 ϕ k 1 R q Φ k+1 Φ k 1 <. Hieraus folgt, dass (Φ k ) eine L 1 -Cauchyfolge ist. Damit existiert eine integrierbare Funktion G, so dass eine Teilfolge von (Φ k ) fast überall gegen G konvergiert. Andererseits gilt Φ k (y) F (y) für y N. Damit folgt F = G fast überall. Also ist F integrierbar und F (y)dy = lim Φ k (y)dy R q k R q ( ) = lim ϕ k (x, y)dx dy k R q R p = lim ϕ k (x, y)d(x, y) R p R q = f(x, y)d(x, y). R p R q k Beispiel. Es gilt (nach Übung) 1 ( 1 ) x y (x + y) dx dy ( 1 Dies widerspricht nicht dem Satz von Fubini, denn ist nicht über (0, 1) 2 integrierbar. (x, y) 9 Die Transformationsformel 0 x y (x + y) 3 ) x y (x + y) dy dx. 3 Wir wollen ein höherdimensionales Analogon der Substitutionsregel beweisen. Eine Formulierung der (eindimensionalen) Substitutionsregel ist wie folgt: Ist g : [a, b] R stetig differenzierbar und f : g([a, b]) R stetig, so gilt b a f (g(x)) g (x)dx = g(b) g(a) f(y)dy. Falls g (x) > 0 für alle in x [a, b], so gilt g(a) < g(b), und falls g (x) < 0 für alle in x [a, b], so gilt g(b) < g(a). In beiden Fällen erhalten wir f (g(x)) g (x) dx = f(y)dy. [a,b] 34 g([a,b])

37 Es sei angemerkt, dass unter den obigen Voraussetzungen g bijektiv ist und neben g auch g 1 stetig differenzierbar ist. Definition 9.1. Seien U, V R d offen. Eine Abbildung g : U V heißt Diffeomorphismus, wenn g bijektiv ist und g und g 1 beide stetig differenzierbar sind. Wir bezeichnen mit Dg(x) die totale Ableitung von g im Punkte x U. Die zur linearen Abbildung Dg(x) gehörende Matrix ist die Jacobi-Matrix. Diese bezeichnen wir mit J g (x). (Auch hierfür wird oft die Bezeichnung Dg(x) verwandt. Ebenso ist die Bezeichnung f (x) sowohl für die totale Ableitung wie auch für die Jacobi-Matrix üblich.) Es gilt also Dg(x)(h) = J g (x) h für h R d. Ist g : U V stetig differenzierbar und bijektiv und ist Dg(x) für alle x U invertierbar, so folgt aus dem Umkehrsatz die Differenzierbarkeit von g 1. Mit y = g(x) ist dann Dg 1 (y) = (Dg(x)) 1 und J g 1(y) = (J g (x)) 1. Satz 9.2. (Transformationssatz) Seien U, V R d offen und sei g : U V ein Diffeomorphismus. Sei f : V C. Dann ist f über V genau dann integrierbar, wenn (f g) det Dg über U integrierbar ist. In diesem Fall gilt f (g(x)) det Dg(x) dx = f(y)dy. U Vor dem Beweis machen wir eine Plausibilitätsüberlegung: Wir approximieren U durch eine Vereinigung kleiner Quader Q k und wählen x k Q k. Dann kann f (g(x k )) det Dg(x k ) v(q k ) k als Riemannsche Summe für f (g(x)) det Dg(x) dx angesehen werden. Mit U y k = g(x k ) und R k = g(q k ) kann ebenso f(y k )v(r k ) k als Riemannsche Summe für f(y)dy betrachtet werden. V In Q k wird g(x) gut durch L k (x) = g(x k ) + Dg(x k )(x x k ) approximiert. Mit P k = L k (Q k ) gilt also R k = g(q k ) L k (Q k ) = P k. Nach Satz 5.2 ist P k ein Parallelepiped und es gilt v(p k ) = det Dg(x k ) v(q k ). Es folgt f(y k )v(r k ) f(y k )v(p k ) = f (g(x k )) det Dg(x k ) v(q k ), k k k was mit einem Grenzübergang das gewünschte Ergebnis liefern sollte. Vor dem rigorosen Beweis des Transformationssatzes betrachten wir einige Beispiele. Beispiel 1 (Polarkoordinaten). Sei T : (0, ) ( π, π) R 2 \{(x, 0): x 0}, ( ) ( ) r r cos ϕ. ϕ r sin ϕ 35 V

38 Es ist T Diffeomorphismus und es gilt ( cos ϕ r sin ϕ J T (r, ϕ) = sin ϕ r cos ϕ ). Es folgt, dass det DT (r, ϕ) = det J T (r, ϕ) = r(cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) = r. Man beachte, dass N = {(x, 0): x 0} Nullmenge ist, also das Bild von T bis auf eine Nullmenge der ganze R 2 ist. Sei nun R > 0 und K der durch gegebene Halbkreis. Mit gilt T (L) = K\N. Es folgt, dass K K = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 R 2, y 0} L = {(r, ϕ): 0 < r R, 0 ϕ < π} y d(x, y) = = = = = = 2 K\N L L R 0 R y d(x, y) r sin ϕ det J T (r, ϕ) d(r, ϕ) r 2 sin ϕ d(r, ϕ) ( π ) r 2 sin ϕ dϕ dr 0 R 0 0 r 2 ( cos ϕ) π 0dr r 2 dr = 2 3 R3. Mit v(k) = 1 2 πr2 folgt, dass der Schwerpunkt von K in (0, 4 R) liegt. 3π Beispiel 2 (Zylinderkoordinaten). Wir führen im R 3 Polarkoordinaten in der (x, y)-ebene ein und lassen die z-koordinate unverändert. Wir betrachten also T : (0, ) ( π, π) R R 3 \{(x, 0, z): x 0, z R}, r ϕ z Es ist T ein Diffeomorphismus und es gilt r cos ϕ r sin ϕ z det DT (r, ϕ, z) = r. Außerdem ist N = {(x, 0, z): x 0, z R} Nullmenge, also das Bild von T bis auf eine Nullmenge der ganze R

39 Sei nun 0 < R 1 < R 2 und K = { (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 R 2 2, x 2 + y 2 R 2 1}. Es ist K also der Teil der (abgeschlossenen) Kugel vom Radius R 2 um 0, der außerhalb des Zylinders vom Radius R 1 um die z-achse liegt. Mit { } L = (r, ϕ, z): R 1 r R 2, π < ϕ < π, R2 2 r 2 z R 22 r 2 gilt T (L) = K\N. Es folgt v(k) = v(k\n) = 1 d(x, y, z) K\N = det J T (r, ϕ, z)d(r, ϕ, z) = = = 2π = 2π L R2 π R 1 π R2 π R 1 π R2 R 2 2 r2 r dz dϕ dr R2 2 r2 R2 2 r 2 dϕ dr 2r R 1 R 2 2 R1 2 0 = 4π 3 t3/2 R 2 2 R2 1 = 4π 3 2r R2 2 r 2 dr 0 t dt ( ) R 2 2 R1 2 3/2. Für R 1 = 0 ergibt sich insbesondere wie bereits bekannt das Volumen einer Kugel von Radius R zu 4π 3 R3. Beispiel 3 (Kugelkoordinaten). Sei T : (0, ) ( π, π) ( π 2, π 2 ) R 3, r ϕ θ r cos ϕ cos θ r sin ϕ cos θ r sin θ Hier ist θ der Winkel, den die Verbindungsstrecke von (x, y, z) und dem Ursprung mit der (x, y)-ebene bildet; vgl. Abbildung 5. Es ist auch üblich, stattdessen den Winkel zwischen der Verbindungsstrecke und der z-achse zu nehmen. Es existiert eine Nullmenge N, so dass T : (0, ) ( π, π) ( π 2, π 2 ) R 3 \N ein Diffeomorphismus ist. Eine Rechnung zeigt, dass det DT (r, ϕ, θ) = r 2 cos θ. 37.

40 Abbildung 5: Kugelkoordinaten. Für K aus Beispiel 2 entspricht die Bedingung x 2 + y 2 + z 2 R2 2 der Bedingung r R 2 und die Bedingung x 2 + y 2 R1 2 erhält die Form r 2 cos 2 θ R1, 2 also r R 1 / cos θ. Man beachte bei der letzten Umformung, dass cos θ > 0 für θ ( π, ) π 2 2. Aus R1 / cos θ r R 2 folgt, dass nur Werte von θ betrachtet werden, für die R 1 / cos θ R 2 gilt, also arccos(r 1 /R 2 ) θ arccos(r 1 /R 2 ). Mit L = { (r, ϕ, θ): π < ϕ < π, arccos R 1 R 2 θ arccos R 1 R 2, } R 1 cos θ r R 2 ergibt sich mit obiger Nullmenge N, dass T (L) = K\N. Hieraus folgt, dass v(k) = v(k\n) = 1 d(x, y, z) K\N = det J T (r, ϕ, θ)d(r, ϕ, θ) = L π arccos(r1 /R 2 ) R2 = 4π π arccos(r 1 /R 2 ) arccos(r1 /R 2 ) R 1 / cos θ = 4π 3 R3 2 sin θ R1 3 tan θ 0 = 4π ( ) R2 3 R3 1 sin θ 3 cos θ = 4π ( ) R R1R r 2 cos θ dr dθ dϕ ( R2 3 cos θ R3 1 cos 2 θ arccos(r 1/R 2 ) arccos(r 1/R 2 ) 0 ( ) 2 R1 R 2 ) dθ = 4π 3 ( ) R 2 2 R1 2 3/2. 38

41 Wir kommen nun zum Beweis des Transformationssatzes. Dazu benötigen wir eine Reihe von Lemmata. Dabei sei g : U V wieder ein Diffeomorphismus. Lemma 9.3. Für einen kompakten Würfel W U gilt v(g(w )) max det Dg(x) v(w ). x W Beweis. Wir können v(w ) > 0 annehmen. Sei α 0 mit v(g(w )) = α v(w ). Wir zerlegen W in 2 d kompakte Würfel der halben Seitenlänge. Für einen dieser Würfel, den wir W 1 nennen, gilt v(g(w 1 )) α v(w 1 ). Wir setzen den Prozess induktiv fort und erhalten eine Folge (W k ) kompakter Würfel, so dass W k+1 in W k enthalten ist und die halbe Seitenlänge wie W k hat und außerdem v(g(w k )) α v(w k ) für alle k N gilt. Der Schnitt der W k ist nicht leer und besteht aus genau einem Punkt, den wir mit a bezeichnen, das heißt, es gilt {a} = W k. Sei b = g(a). Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei a = b = 0. Nach Definition der Differenzierbarkeit gilt g(x) = Dg(0)(x) + r(x), wobei r(x)/ x 0 für x 0. Sei s 0 die Seitenlänge von W, so dass W k Seitenlänge s k = 2 k s 0 hat. Zur Abkürzung schreiben wir L = Dg(0). Für gegebenes ε > 0 erhält man g(x) L(x) = r(x) < εs k für x W k und genügend große k. Dies liefert g(w k ) P k := {x R d : dist(x, L(W k )) < εs k }. Hierbei bezeichnet dist(, ) den Abstand eines Punktes zu einer Menge, also Nun gilt dist(x, L(W k )) = inf y x. y L(W k ) und v(g(w k )) α v(w k ) = αs d k v(p k ) = s d k v ({ x R d : dist ( x, L ( s 1 k W )) }) k < ε = s d k v ( {x R d : dist ( x, L([0, 1] d ) ) < ε} ). 39

42 Mit g(w k ) P k folgt Weiter ist α v ( {x R d : dist ( x, L([0, 1] d ) ) < ε} ). v ( L([0, 1] d ) ) = det(l) nach Satz 5.2, und es ist nicht schwer zu sehen, dass v ( {x R d : dist ( x, L([0, 1] d ) ) < ε} ) v ( L([0, 1] d ) ) = det(l) für ε 0. Es folgt, dass α det(l). Lemma 9.4. Sei K U kompakt und sei K Nullmenge. Dann gilt min x K det Dg(x) v(k) v(g(k)) max det Dg(x) v(k). x K Beweis. Sei K das Innere von K. Wir schreiben K als Vereinigung kompakter Würfel W k, deren Inneres paarweise disjunkt ist, vgl. Beweis zu Satz Da v( K) = 0, folgt v(k) = v(k ) = v(w k ). Es folgt mit Lemma 9.3 sowie Satz 6.4, dass ( ( )) v(g(k )) = v g W k Sei nun η > 0, so dass ( ) = v g(w k ) = v(g(w k )) max det Dg(x) v(w k ) x K = max x K det Dg(x) v(k) K = {x: dist(x, K) η} U. Da K Nullmenge ist, existieren zu ε > 0 Würfel V 1, V 2,... mit K j=1 V j und v(v j ) < ε. j=1 Man kann V j K für alle j annehmen. 40

43 Es folgt, dass v(g( K)) v(g(v j )) j=1 max det Dg(x) x K ε max x K v(v j ) j=1 det Dg(x). Dies liefert und wir erhalten v(g( K)) = 0 v(g(k)) max det Dg(x) v(k). x K Die andere Ungleichung erhalten wir, wenn wir g 1 statt g betrachten. Sei A R d und h: A C. Der Abschluss der Menge aller x mit h(x) = 0 heißt Träger von h und wird mit supp(h) bezeichnet. Lemma 9.5. Der Transformationssatz gilt für Treppenfunktionen mit Träger in V. Beweis. Es genügt, den Fall f = χ Q mit einem Quader Q zubetrachten, welcher Q V erfüllt. Da Q und wegen Lemma 9.4 auch g( Q) Nullmengen sind, können wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit Q als kompakt annehmen. Da g 1 (Q) kompakt ist und det Dg stetig ist, folgt die Integrierbarkeit von χ g 1 (Q) det Dg. Zu zeigen bleibt, dass χ Q = χ g 1 (Q) det Dg, also V v(q) = Q U 1 dy = g 1 (Q) det Dg(x) dx. Sei dazu ε > 0. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von g 1 auf Q und der von det Dg auf g 1 (Q) existiert eine Zerlegung von Q in kompakte Quader Q 1,..., Q k mit Q i Q j = für i j, so dass max det Dg(x) min det Dg(x) < ε x g 1 (Q j ) x g 1 (Q j ) für alle j. Es folgt mit Lemma 9.4, dass det Dg(x) dx v(q j ) g 1 (Q j ) max det Dg(x) v(g 1 (Q j )) min det Dg(x) v(g 1 (Q j )) x g 1 (Q j ) x g 1 (Q j ) < ε v(g 1 (Q j )). 41

44 Durch Summation erhält man det Dg(x) dx v(q) < ε v(g 1 (Q)). g 1 (Q) Ebenso folgt g 1 (Q) det Dg(x) dx v(q) > ε v(g 1 (Q)) und mit ε 0 dann die Behauptung. Beweis des Transformationssatzes 9.2. Sei f integrierbar. Dann existiert eine Folge (ϕ k ) von Treppenfunktionen mit ϕ k f 1 0. Man überlegt sich, dass man die (ϕ k ) mit Träger in V wählen kann. Wir verzichten hier auf die Details dieses Arguments. Durch Übergang zu einer Teilfolge, falls nötig, kann man auf Grund des Satzes von Riesz-Fischer auch annehmen, dass ϕ k f fast überall. Mit ϕ k = (ϕ k g) det Dg und f = (f g) det Dg folgt, dass die ϕ k über U integrierbar sind und dass ϕ j ϕ k 1 = ϕ j ϕ k = ϕ j ϕ k = ϕ j ϕ k 1 U wegen Lemma 9.5. Damit ist ( ϕ k ) eine L 1 -Cauchyfolge. Damit konvergiert eine Teilfolge von ( ϕ k ) fast überall gegen eine integrierbare Funktion h. Andererseits folgt aus ϕ k f fast überall leicht, dass auch ϕ k f fast überall. Es folgt, dass f integrierbar ist und dass U f = lim k U V ϕ k = lim ϕ k = k V Ist umgekehrt f integrierbar, so folgt die Integrierbarkeit von f, wenn man das bereits Bewiesene auf g 1 statt g anwendet. V f. 42

45 II Gewöhnliche Differentialgleichungen 1 Beispiele und elementare Lösungsmethoden Bei vielen Wachstums- und Zerfallprozessen ist die zeitliche Änderung einer Größe proportional zu der Größe selbst. Ist y(t) die Größe zum Zeitpunkt t, so erhält man die Gleichung y (t) = αy(t) mit einer reellen Konstanten α. Dabei ist α > 0 bei Wachstumsprozessen und α < 0 bei Zerfallsprozessen. Beispielsweise wird der radioaktive Zerfall durch diese Gleichung beschrieben. Des Weiteren sei die Größe zu einem Zeitpunkt t 0 bekannt, es gelte etwa y(t 0 ) = y 0 > 0. Ist y eine Lösung der gesuchten Gleichung, so gilt in einem geeigneten Intervall I um t 0 dann y(t) > 0 und damit also α(t t 0 ) = t t 0 α ds = t t 0 y (s) y(s) ds = log y(t) log y(t 0) = log y(t) y(t 0 ), y(t) = y(t 0 )e α(t t 0) = y 0 e αt 0 e αt für t I. Man erkennt leicht, dass durch die letzte Formel eine Lösung der Gleichung y (t) = αy(t) auf ganz R gegeben ist und dass diese die eindeutig bestimmte Lösung ist, die der Bedingung y(t 0 ) = y 0 genügt. Denn ist ỹ eine weitere Lösung, so zeigt eine kurze Rechnung, dass (ỹ/y) = 0 und damit ỹ/y konstant ist. Im Folgenden werden wir Gleichungen des obigen Typs untersuchen, wobei aber auch höhere Ableitungen vorkommen können. Da die Variable nicht notwendigerweise die Zeit sein muss, bezeichnen wir die Variable im Allgemeinen mit x statt t. Allgemein heißt eine Gleichung der Form f ( x, y(x), y (x),..., y (n) (x) ) = 0 gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung. Dabei ist n N und f eine auf einer geeigneten Teilmenge von R n+2 gegebene Funktion. Gesucht ist eine n-mal (stetig) differenzierbare Funktion y : I R mit einem Intervall I R, die dieser Gleichung genügt. (Während in Kapitel I auch entartete Intervalle I = [a, a] = {a} zugelassen waren, schließen wir dies im Folgenden aus, da für Funktionen auf solchen Intervallen die Ableitung nicht definiert ist.) Ist die obige Gleichung nach y (n) aufgelöst, also von der Form y (n) (x) = g ( x, y(x), y (x),..., y (n 1) (x) ), so spricht man von einer expliziten (gewöhnlichen) Differentialgleichung. Andernfalls nennt man die Differentialgleichung implizit. In der Regel sind zusätzlich zu der Differentialgleichung noch sogenannte Anfangsbedingungen y( ) = y 0, y ( ) = y 1,..., y (n 1) ( ) = y n 1 43

46 gegeben. Man spricht dann auch von einem Anfangswertproblem. Gelegentlich sind statt Anfangsbedingungen auch andere Bedingungen gegeben, etwa sogenannte Randbedingungen, beispielsweise y(a) = y a und y(b) = y b für Lösungen y auf dem Intervall [a, b]. Es ergeben sich bei Differentialgleichungen die folgenden Fragestellungen: (a) Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen; (b) Berechnung von Lösungen (möglich nur in speziellen Fällen); (c) Eigenschaften von Lösungen (insbesondere falls Berechnung nicht möglich); (d) Numerische Lösung. Hier behandeln wir zunächst (b), dann (a). Später wird auch etwas zu (c) gesagt. Punkt (d) wird in der Numerischen Mathematik behandelt. Wir betrachten zunächst Differentialgleichungen 1. Ordnung, also y (x) = f (x, y(x)). Solche Differentialgleichungen kann man geometrisch wie folgt interpretieren. Gesucht wird eine Funktion x y = y(x), so der Tangentenvektor an den Graphen im Punkte (x, y) durch (1, f(x, y)) gegeben ist; vgl. Abbildung 6. Man nennt die Menge dieser Vektoren auch Vektorfeld. Formal ist ein Vektorfeld nichts anderes als eine Abbildung von einer offenen Teilmenge des R d nach R d. Abbildung 6: Vektorfeld zur Differentialgleichung y = (1 + y 2 )/(1 + x 2 ). Die Lösungen sind von der Form y(x) = tan(arctan(x) + c) mit c R. Wir untersuchen nun Differentialgleichungen gewisser spezieller Typen. Definition 1.1. Seien I, J Intervalle, a: I R und b: J R stetig, I und y 0 J. Die Differentialgleichung y (x) = a(x)b (y(x)), y( ) = y 0, heißt Differentialgleichung mit getrennten Veränderlichen. 44

47 Lösungsverfahren. Ist b(y 0 ) = 0, so ist y(x) y 0 eine Lösung. Wir nehmen an, dass b(y 0 ) 0 gilt. Da b stetig ist, kann man J so wählen, dass entweder b(y) > 0 für alle y J oder b(y) < 0 für alle y J gilt. Wegen a(x) = y (x) b(y(x)) folgt dann Mit erhalten wir x a(t)dt = A(x) = x x y (t) y(x) b(y(t)) dt = ds y 0 b(s). a(t)dt und B(y) = A(x) = B(y(x)). y y 0 ds b(s) Da B = 1/b konstantes Vorzeichen hat, ist B streng monoton. Damit existiert die Umkehrfunktion B 1 : B(J) J. Durch y(x) = B 1 (A(x)) ist dann eine Lösung der Differentialgleichung gegeben, falls die rechte Seite definiert ist, das heißt, falls A(I) B(J). Wegen A( ) = 0 = B(y 0 ) B(J) existiert ein Intervall I 0 mit I 0, so dass A(I 0 ) B(J). Auf I 0 ist dann durch obige Gleichung eine Lösung y gegeben. Wir erhalten folgendes Ergebnis. Satz 1.2. Seien I, J, a, b,, y 0 wie in Definition 1.1, mit b(y) 0 für alle y J. Seien x y ds A(x) = a(t)dt und B(y) = b(s). Weiter sei I 0 Intervall mit I 0 I und A(I 0 ) B(J). Dann ist auf I 0 durch y(x) = B 1 (A(x)) die eindeutige Löung des Anfangswertproblems gegeben. y (x) = a(x)b(y(x)), y( ) = y 0, Beispiel. Wir betrachten das Anfangswertproblem y (x) = x(1 + y(x) 2 ), y(0) = 1. Dieses ist vom obigen Typ, mit I = J = R, a(x) = x und b(y) = 1 + y 2. Wir erhalten (wobei wir hier und im Folgenden statt y(x) oft nur y schreiben) y 0 also x 0 t dt = y 1 ds 1 + s 2, A(x) := 1 2 x2 = arctan y arctan 1 = arctan y π 4 =: B(y). 45

48 Dies liefert ( x 2 y(x) = y = tan 2 + π ). 4 Dies gilt in einem Intervall I 0 um 0. Zur Bestimmung des Intervalls I 0 beachte man, dass der Arcustangens R auf ( π, ) ( π 2 2 abbildet, also B(J) = B(R) = 3π, ) π 4 4 gilt. Wir suchen nun ein Intervall I 0 mit A(I 0 ) ( 3π, ) π 4 4. Mit A(x) = 1 2 x2 erhalten wir schließlich I 0 = ( π, ) π 2 2. Man hätte in diesem Beispiel natürlich auch einfach das größte Intervall um 0 suchen können, in der y(x) = tan (x 2 /2 + π/4) definiert ist. Aber diese naive Methode kann schiefgehen, wie das folgende Beispiel zeigt. Beispiel. Wir betrachten das Auslaufen einer Tonne. Wir bezeichnen mit h(t) die Höhe des Flüssigkeitsstand zur Zeit t und mit v(t) die Auslaufgeschwindigkeit zur Zeit t, siehe Abbildung 7. Abbildung 7: Auslaufen einer Tonne. Die Änderung der potentiellen Energie bei Auslaufen eines Volumens V ist proportional zu V h(t). Die Änderung der kinetischen Energie ist proportional zu V v(t) 2. Wegen der Energieerhaltung ist also h(t) proportional zu v(t) 2. Andererseits ist h (t) offensichtlich proportional zu v(t). Wir erhalten das Anfangswertproblem h (t) = 2c h(t), h(0) = h 0 > 0, mit einer Konstanten c > 0. (Die Konstante ist als 2c gewählt, damit die Formeln später schöner werden.) Mit a(x) = 2c und b(y) = y erhält man also 2ct = t 0 a(u)du = h(t) h 0 ds h(t) b(s) = ds ( ) = 2 h(t) h0, h 0 s h(t) = ( h0 ct) 2. Wir untersuchen jetzt, für welche t-werte dies gilt. Mit J = (0, ) und B(y) = 2 ( y h0 ) erhalten wir B(J) = ( 2 h0, ). Damit folgt, dass 46