Kapitel 8 Absolutstetige Verteilungen

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Samuel Johann Maus
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1 Kapitel 8 Absolutstetige Verteilungen Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung I vom 27. Mai 2009 Lehrstuhl für Angewandte Mathematik FAU 8.

2 Absolutstetige Verteilungen Charakterisierung von Verteilungen P durch einfachere Funktionen, mit denen man Wahrscheinlichkeiten P(B) für die wichtigsten Mengen B mit analytischen Methoden berechnen kann. Definition Eine L-integrierbare Funktion f : R n R mit den Eigenschaften f (x) 0 für fast alle x f (x) dx = heißt eine Wahrscheinlichkeitsdichte Für fast alle x bedeutet: Für alle x mit der eventuellen Ausnahme der x aus einer sog. Nullmenge N mit λ(n) = 0. Andere Bezeichnungen für f : Dichte oder Dichtefunktion 8.2

3 Absolutstetige Verteilungen Theorem Ist f : R n R eine Wahrscheinlichkeitsdichte, so ist die Mengenfunktion P : B n R, definiert durch P(B) = B (x)f (x) dx eine n-dimensionale Verteilung. Zum Beweis ist zu prüfen, ob P die 4 Axiome erfüllt. 8.3

4 Absolutstetige Verteilungen Beweis. Axiom : Wegen 0 B (x)f (x) f (x) für fast alle x ist 0 B (x)f (x) dx f (x) dx und damit 0 P(B). 8.4

5 Absolutstetige Verteilungen Beweis. Axiom : Wegen 0 B (x)f (x) f (x) für fast alle x ist 0 B (x)f (x) dx f (x) dx und damit 0 P(B). Axiom 2: Da R n(x) = für alle x, ist P(R n ) = f (x) dx =. 8.4

6 Absolutstetige Verteilungen Beweis. Axiom : Wegen 0 B (x)f (x) f (x) für fast alle x ist 0 B (x)f (x) dx f (x) dx und damit 0 P(B). Axiom 2: Da R n(x) = für alle x, ist P(R n ) = f (x) dx =. Axiom 3: Es gilt B +B 2 (x) = B (x) + B2 (x) und deshalb P(B + B 2 ) = = = B +B 2 (x)f (x) dx ( B (x) + B2 (x))f (x) dx B (x)f (x) dx + B2 (x)f (x) dx = P(B ) + P(B 2 ) 8.4

7 Absolutstetige Verteilungen Beweis. Axiom : Wegen 0 B (x)f (x) f (x) für fast alle x ist 0 B (x)f (x) dx f (x) dx und damit 0 P(B). Axiom 2: Da R n(x) = für alle x, ist P(R n ) = f (x) dx =. Axiom 3: Es gilt B +B 2 (x) = B (x) + B2 (x) und deshalb P(B + B 2 ) = = = B +B 2 (x)f (x) dx ( B (x) + B2 (x))f (x) dx B (x)f (x) dx + B2 (x)f (x) dx = P(B ) + P(B 2 ) Mehrfache Anwendung dieser Regel ergibt P(B + B B m ) = P(B ) + P(B 2 ) + + P(B m ) 8.4

8 Fortsetzung des Beweises Beweis. Axiom 4: B, B 2, B 3,... sei eine Folge paarweiser disjunkter Borelscher Mengen und für n =, 2, 3,... sei A n = B + B B n = Nach der letzten Rechenregel ist dann k= k= n k= B k n n P(B k ) = P( B k ) = An (x)f (x) dx (A n ) ist eine aufsteigende Mengenfolge: A A 2... mit k= A n = k= B k =: B. Für die Funktionen g n (x) = An (x)f (x) gilt daher (fast überall) g (x) g 2 (x) g 3 (x)... und lim g n (x) = B (x)f (x) n 8.5

9 Fortsetzung des Beweises Beweis. g (x) g 2 (x) g 3 (x)... und lim g n (x) = B (x)f (x) n Aus dem Satz von Beppo Levi oder dem Satz von Lebesgue erhält man damit P(B k ) = lim k= n k= n n P(B k ) = lim An (x)f (x) dx = lim A n n (x)f (x) dx = B (x)f (x) dx = P(B) = P( B k ) k= 8.6

10 Absolutstetige Verteilungen Theorem Ist f : R n R eine Wahrscheinlichkeitsdichte, so ist die Mengenfunktion P : B n R, definiert durch P(B) = B (x)f (x) dx eine n-dimensionale Verteilung. Definition Eine Verteilung der Form P(B) = B (x)f (x) dx heißt eine absolutstetige Verteilung und f Dichte zur Verteilung P. Sind f und f 2 Dichten zur gleichen Verteilung P, so unterscheiden sie sich höchstens auf einer Nullmenge, d.h. locker gesprochen sie sind im wesentlichen gleich. 8.7

11 Dichten Beispiel Die uniforme Verteilung besitzt die Dichte f (x) = { λ(m) M(x) = λ(m) falls x M 0 falls x M Wegen A B (x) = A (x) B (x) ist B (x)f (x)dx = = λ(m) λ(m) B (x) M (x)dx B M (x)dx = λ(b M) λ(m) 8.8

12 Dichten Allgemein Sei g(x) 0 eine L-integrierbare Funktion und c = g(x) dx. Dann ist f (x) = c g(x) eine Dichte. Beispiel 2 g(x) = e 2 x 2 mit c = 2π Definition Die eindimensionale Verteilung mit der Dichte ϕ(x) = 2π e 2 x 2 heißt die standardisierte Normalverteilung oder N (0, )-Verteilung. 8.9

13 Zweidimensionale Dichten Beispiel Ein Stab wird zufällig an zwei Stellen auseinandergebrochen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man aus den drei Bruchstücken ein Dreieck formen kann? Der Stab wird durch das Intervall [0, ] auf der reellen Zahlenachse repräsentiert und die Knickstellen durch zwei reelle Zahlen x und x 2 mit 0 x x 2. 0 x x 2 Verteilungsannahme: Jedes dieser Paare (x, x 2 ) ist gleich möglich. 8.0

14 Verteilungsannahme Uniforme Verteilung auf der Menge M = {(x, x 2 ) ; 0 x x 2 } 0.5 M

15 Ereignis Dreieck 0 x 0.5 x 2 x /2, x 2 /2 und x + ( x 2 ) x 2 x x + ( x 2 ) x 2 x 2(x 2 x ) x x 8.2

16 Ereignis als Menge A = {(x, x 2 ) ; x /2, x 2 /2, x 2 x + /2} 0.5 A M 0.5 P(A) = A M = 4 8.3

17 Variante Beispiel Ein Stab wird an einer zufällig ausgewählten Stelle auseinander gebrochen und das längere der beiden Bruchstücke noch einmal zufällig geteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man aus den drei Stücken ein Dreieck zusammensetzen kann? x x 2 0 Menge M der möglichen Kombinationen: 0 x 2 und x x 2 oder 2 < x und 0 x 2 x 8.4

18 Mögliche Kombinationen x x 8.5

19 Zufallsmechanismus. Schritt: Die Auswahl der Position x erfolgt zufällig, d.h. jede Zahl aus dem Intervall [ 0, ] besitzt die gleiche Chance: Uniforme Verteilung auf [ 0, ] f (x ) = { 0 x 0 sonst 2. Schritt: Liegt x nach Durchführung des. Schritts fest, so wird anschließend x 2 zufällig auf dem längeren Abschnitt ausgewählt: x 2 : uniforme Verteilung auf [ x, ] f 2 (x 2 x ) = { x x x 2 0 sonst 8.6

20 Zufallsmechanismus x > 2 : uniforme Verteilung auf [ 0, x ] { x f 2 (x 2 x ) = 0 x 2 x 0 sonst Definition Eine Funktion f (x y), die bei festem y als Funktion von x eine Wahrscheinlichkeitsdichte und bei festem x als Funktion von y Lebesgue-messbar ist, heißt eine bedingte Dichte. Eine Funktion g : R n R m heißt Lebesgue-messbar, wenn die Urbilder {x R n ; g(x) B} von Borelschen Mengen wieder Borelsche Mengen sind. 8.7

21 Zweistufige Experimente In Analogie zur Formel P(A B) = P(A)P(B A) setzen wir f (x, x 2 ) = f (x )f 2 (x 2 x ) Theorem f (x, x 2 ) ist eine (zweidimensionale) Dichte. Beweis.. Aus f (x ) 0 und f 2 (x 2 x ) 0 folgt f (x, x 2 ) Nach dem Satz von Fubini ist ( ) f (x, x 2 ) d(x, x 2 ) = f (x ) f 2 (x 2 x ) dx 2 dx = f (x ) f 2 (x 2 x ) dx 2 dx = f (x ) dx = 8.8

22 Ereignis Dreieck Erster Fall: x /2: 0 x 0.5 x 2 A = {(x, x 2 ) ; x /2, x 2 /2, x 2 x + /2} 8.9

23 Ereignis Dreieck Zweiter Fall: x > /2: 0 x x A 2 = {(x, x 2 ) ; x > /2, x 2 /2, x 2 x /2} 8.20

24 Ereignis Dreieck x 2 A 0.5 A x 8.2

25 Ereignis Dreieck A = A + A 2, daher P(A) = P(A ) + P(A 2 ) Dichte der Verteilung P f (x, x 2 ) = x 0 x 2, x x 2 x 2 < x, 0 x 2 x 0 sonst 8.22

26 Wahrscheinlichkeiten A = {(x, x 2 ) ; 0 x /2, /2 x 2 x + /2} P(A ) = = = = f (x, x 2 )d(x, x 2 ) A ( ) x + 2 dx 2 dx 0 x 2 ( ) x + 2 dx 2 dx x x x dx 2 = ln(2)

27 Wahrscheinlichkeiten A 2 = {(x, x 2 ) ; /2 < x, x /2 x 2 /2} P(A 2 ) = = = = f (x, x 2 )d(x, x 2 ) A 2 ( x x 2 ( 2 ) dx 2 dx x x 2 x x dx dx 2 ) dx = ln(2)

28 Wahrscheinlichkeiten Zusammen P(A) = P(A ) + P(A 2 ) = 2 ln(2) 8.25

29 Unabhängige Experimente Hängt das Wahrscheinlichkeitsgesetz des zweiten Experiments nicht vom Ergebnis des ersten ab, so ist f 2 (x 2 x ) = f 2 (x 2 ). Werden also zwei Zufallsexperimente unabhängig voneinander gleichzeitig oder nacheinander durchgeführt, so wird das Gesamtexperiment durch eine Dichte der Form f (x, x 2 ) = f (x ) f 2 (x 2 ) beschrieben. 8.26

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