Kapitel 1. Einführung in die Maßtheorie und das Lebesgue-Integral. 1.1 Ringe und Algebren von Mengen - σ-algebren

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1 Kapitel 1 inführung in die Maßtheorie und das Lebesgue-Integral 1.1 Ringe und Algebren von Mengen - σ-algebren Definition Sei Ω (diese Bedingung werden wir in diesem Kapitel generell stellen, ohne dies jedesmal explizit zu erwähnen) eine beliebige Menge und M ein nichtleeres System von Teilmengen der Menge Ω, das heißt M P(Ω). 1. Das Mengensystem M heißt (Mengen)-Ring über Ω, wenn gilt (a) aus A, B M folgt A B M, und (b) zu jedem Paar A, B M ist auch A \ B M. in Mengenring M heißt eine (Mengen)-Algebra falls er die Grundmenge Ω enthält (Ω M). 2. in (Mengen-) Ring bzw. eine Mengen-Algebra M heißt σ-ring bzw. σ-algebra, wenn für A n M, n N, die abzählbare Vereinigung wieder in M enthalten ist, A n M. (1.1) n=1 1

2 2KAPITL 1. INFÜHRUNG IN DI MASSTHORI UND DAS LBSGU-INTGRAL Proposition Sei M ein Mengen-Ring über Ω, und A, B M. Dann gilt A B M. 2. Sei M ein σ-ring über Ω, und A k M, k N. Dann gilt A k M. Beweis A B = A \ (A \ B). A k = A 1 A k = A 1 \ (A 1 \ A k ) = A 1 \ (A 1 \ A k ). k=2 k=2 k=2 Proposition in (nichtleeres) System M von Teilmengen der Menge Ω ist genau dann eine 1. (Mengen)-Algebra über Ω, falls (a) Ω M, (b) zu jedem A M auch die Komplementärmenge A c := Ω \ A M ist, (c) aus A, B M folgt A B M, und 2. eine σ-algebra, falls (a) Ω M (b) zu jedem A M auch die Komplementärmenge A c := Ω \ A M ist (c) aus A n M, n N folgt n N A n M, Beweis. s genügt 1) zu zeigen. ( ) Wir wählen B = Ω. ( ) Wir zeigen für A, B M mit den de Morganschen Regeln zuerst A B = Ω \ (Ω \ (A B)) = Ω \ (A c B c ) M.

3 1.1. RING UND ALGBRN VON MNGN - σ-algbrn 3 Damit ist dann auch A \ B = A (Ω \ B) M. Beispiel s sei Ω = R, dann ist die endliche Vereinigung M = n I k von lementarintervallen ein Mengen-Ring. I k = {(a, b], [a, b), (a, b), [a, b] : a < b beliebig reell} 2. s sei Ω = R n, dann ist die endliche Vereinigung M = n I k von lementar-quadern (Zellen) ein Mengen-Ring. I k = {Π n i=1(a i, b i ], [a i, b i ), (a i, b i ), [a i, b i ] : a i leqb i beliebig reell} 3. Sei Ω eine (unendliche) Menge und so ist M eine Mengen-Algebra. 4. Sei Ω eine (überabzählbare) Menge, dann ist eine σ-algebra. M = {A Ω : A oder Ω \ A endlich}, M = {A Ω : A oder Ω \ A höchstens abzählbar} Dabei zeigt man die Beziehung (1.1) wie folgt. Seien A n M, n N, beliebige Mengen aus M. Sind alle A n höchstens abzählbar, so folgt, dass auch n=1 A n höchstens abzählbar ist. Sei nun etwa A 1 überabzählbar, so ist Ω \ A 1 höchstens abzählbar. Aus A := Ω \ A n = n=1 (Ω \ A n ) Ω \ A 1. ergibt sich, dass A höchstens abzählbar ist und weiterhin Ω \ A = n=1 A n M. n=1 Satz Die Potenzmenge P(Ω) einer Menge Ω ist eine σ-algebra 2. Der beliebige Durchschnitt von σ-ringen, bzw. σ-algebren ist wieder ein σ-ring, bzw. σ-algebra. Beweis. Klar.

4 4KAPITL 1. INFÜHRUNG IN DI MASSTHORI UND DAS LBSGU-INTGRAL Definition Sei M P(Ω) ein beliebiges System von Teilmengen. Der bezüglich der Inklusion kleinste σ-ring, bzw. die kleinste σ-algebra, die das Mengensystem M umfasst heißt der von M erzeugte σ-ring R(M), bzw. σ-algebra σ(m). (Dies ist der Schnitt aller M umfassenden Ringe, bzw. σ-algebren.) Die von M erzeugte σ-algebra σ(m) wird auch Borelsche rweiterung σ(m) von M genannt. 2. Die von M = {Π n i=1(a i, b i ], [a i, b i ), (a i, b i ), [a i, b i ] : a i < b i beliebig reell} { } endlich erzeugte σ-algebra B heisst die Menge der Borel-Lebesgueschen Teilmengen (Borel- Lebesgue Mengen) Die Borelsche σ-algebra B ist die kleinste σ-algebra, die die Menge aller offenen, bzw. abgeschlossenen Mengen enthält. Lemma Jede offene Teilmenge G R n lässt sich schreiben als abzählbare Vereinigungen offener (als auch abgeschlossener) n-zellen Ik n, k N, der Form I n := {x R n : a i < x i < b i } = n (a i, b i ). i=1 Beweis. Ist G Ω offen, so existiert zu jedem Punkt x = (x 1,..., x n ) G Q ein r i Q, i = 1,..., n und m N, so dass die n-zelle Ix n = {y = (y 1,..., y n ) R n : r i 1m < y i < r i + 1m } 1 i n G den Punkt x enthält. (Wir bemerken, dass wir die Ix n auch als abgeschlossene n-zellen wählen können.) Dabei ist die Gesamtheit aller n-zellen Ix n abzählbar. Wegen Ix n G gilt einerseits x G Q In x G, und andererseits existiert zu jedem x G eine n-zelle Ix n i mit x Ix n i, und daher auch G x G In x. Dies bedeutet wegen der Abzählbarkeit von G Q mit gewissen x i G Q. G = x G Q I n x = i=1 I n x i Korollar Jede offene sowie jede abgeschlossene Teilmenge von R n Lebesgue-Menge. ist eine Borel-

5 1.1. RING UND ALGBRN VON MNGN - σ-algbrn 5 Definition Sei Ω eine beliebige nichtleere Menge und M P(Ω) eine σ-algebra. Dann heißt (Ω, M) messbarer Raum über Ω. Desweiteren heißt die Menge A Ω genau dann messbar, falls sie in der σ-algebra enthalten ist, d.h. A M.

6 6KAPITL 1. INFÜHRUNG IN DI MASSTHORI UND DAS LBSGU-INTGRAL 1.2 Mengenfunktionen und Maße Definition Sei M ein nichtleeres Mengensystem von Teilmengen der Menge Ω. 1. ine eindeutige Abbildung µ : M R + = [0, ] heißt eine auf M definierte (nichtnegative) Mengenfunktion. Wir wollen verlangen, dass ein inm existiert mit µ() <. 2. Die Mengenfunktion µ : M R + heißt additiv oder Inhalt auf M, wenn aus A, B, A B M mit A B = stets folgt µ(a B) = µ(a) + µ(b). (1.2) 3. Die additive Mengenfunktion µ : M R + heißt σ-additiv, (oder auch volladditiv oder abzählbar additiv,) wenn aus A n M, n N, mit A i A j = für i j und n N A n M folgt ( µ n N ) A n = µ(a n ). (1.3) n N 4. ine σ-additive Mengenfunktion µ : M R + auf einem Mengen-Ring M heißt ein Prämaß, falls M ein σ-ring ist. 5. Wir sprechen von einem Maß, falls M sogar eine σ-algebra ist. In diesem Fall heißt das Tripel (Ω, M, µ) ein Maßraum. 6. in Maß µ heißt endlich, falls µ(ω) < ist. 7. in Maß µ heißt ein Wahrscheinlichkeitsmaß falls µ(ω) = 1 ist. 8. in Maßraum heißt σ-endlich, falls A n M existieren mit µ(a i ) < und Ω = n=1 A i. 9. ine Teilmenge A M heißt eine µ-nullmenge, (oder auch Menge vom µ Maß 0), falls µ(a) = 0 ist. Proposition Für (Prä)-Maße gelten folgende hilfreiche Beziehungen 1. µ(a B) + µ(a B) = µ(a) + µ(b). 2. A B µ(b \ A) + µ(a) = µ(b) µ(a) µ(b) (Monotonie). 3. µ( ) = µ( n i=1 A i) n i=1 µ(a i) (Subadditivität).

7 1.2. MNGNFUNKTIONN UND MASS 7 Beweis Übung. Beispiel Sei Q = Π n i=1i i R n, I i = (a i, b i ); (a i, b i ]; [a i, b i ); [a i, b i ], a i b i, ein n-quader (bzw. n-zelle), so ist sein Volumen (elementargeometrischer Inhalt) µ(q) := Π n i=1(b i a i ). (1.4) Lemma Das oben definierte Volumen ist ein Prämaß, d.h. σ-additiv, auf dem von n- Quadern endlich erzeugten Mengen-Ring M (endliche Vereinigung von (disjunkten) Quadern). Beweis. Seien A k, k = 1,..., n paarweise disjunkte Quader A i A j =, i j, und A := n i=1 A i. Durch Fortsetzung von µ auf endliche Vereinigungen paarweise disjunkter Quader gilt folgende Additivität n n µ(a i ) = µ( A i ) = µ(a). i=1 Da dies für beliebiges n N gilt, folgt n n µ(a i ) = µ( (A i ) µ(a), n N. i=1 i=1 i=1 Somit gilt für A = i=1 A i, dass i=1 µ(a i) µ(a). Wir zeigen nun die umgekehrte Abschätzung µ(a) i=1 µ(a i). Sei G k mit A k G k offen mit µ(g k ) µ(a k ) + ɛ2 k und F eine abgeschlossene Teilmenge von A mit µ(a) µ(f ) + ɛ. Dann ist, da A M dass A beschränkt ist und auch F beschränkt und damit kompakt ist. F n G k und daher folgt µ(a) µ(f ) + ɛ n µ( G k ) + ɛ n µ(g k ) + ɛ n (µ(a k ) + ɛ2 k ) + ɛ n µ(a k ) + 2ɛ µ(a k ) + 2ɛ, ɛ > 0.

8 8KAPITL 1. INFÜHRUNG IN DI MASSTHORI UND DAS LBSGU-INTGRAL Satz Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum, und A k M, k N dann gilt 1. Falls A k = A und A k A k+1, k N, dann konvergiert lim k µ(a k ) = µ(a). 2. Falls A k = A und A k+1 A k, k N, und es existiert A j mit µ(a j ) <, dann konvergiert lim k µ(a k ) = µ(a). 3. Die abzählbare Vereinigung von µ-nullmengen ist wieder eine µ-nullmenge. Beweis. 1.) Wir setzen B 1 := A 1 und B k := A k \ A k 1 ; k = 2,...,. Dann gelten B j B k =, j k, n A n = B k, n N, und A = Wegen der σ-additivität des Maßes µ folgt µ(a n ) = µ(a) = B k. n µ(b k ) sowie µ(b k ) = lim µ( n B k ) = lim µ(a n ). Der Beweis der restlichen Behauptungen ist Übung. 1.3 Messbare Funktionen Im Folgenden werden wir immer einen Maßraum (X, M, µ) zugrunde legen, auch wenn dies nicht immer explizit angegeben wird. In diesem Abschnitt benötigen wir aber vorerst noch kein konkretes Maß.

9 1.3. MSSBAR FUNKTIONN 9 Definition (Messbare Funktionen). 1. Seien (X, M) und (Y, N ) zwei messbare Räume, dann heißt eine Funktion f : X Y genau dann X Y -messbar, kurz messbar, falls für alle B N gilt f 1 (B) M, dies bedeutet, das Urbild jeder in Y messbaren Menge ist in X messbar. 2. Sei f : X R := R { + } { }, dann heißt f Borel-messbar, falls die Menge für jedes a R messbar ist. X(f > a) := {x X : f(x) > a} = f 1 ((a, ]) Proposition Seien (X, M), (Y, N ), (Z, A) messbare Räume, und g : X Y, f : Y Z messbar, dann ist auch die Komposition h := f g : X Z messbar. D.h. für alle A A gilt h 1 (A) = (f g) 1 (A) = g 1 (f 1 (A)) M. Definition Sei X und (Y, M) ein messbarer Raum, und f : X Y eine Abbildung. Mit σ(f) bezeichnen wir die von f induzierte, d.h. erzeugte, σ-algebra über X, definiert als die kleinste σ-algebra über X, für die f : X Y messbar ist. Lemma Seien (X, M); (Y, N ) messbare Räume, f : X Y und sei N = σ(c) eine von C erzeugte σ-algebra. Falls f 1 (C) M für alle C C ist, dann ist f eine X Y -messbare Funktion, d.h. σ(f) = σ{f 1 (B) : B M}. Beweis. s gelte f 1 (C) M für alle C C N, Sei dann ist F eine σ-algebra. Denn es gilt u.a. F := {A N : f 1 (A) M}, f 1 ( n C n ) = n f 1 (C n ) M, f 1 (Y \ C n ) = X \ f 1 (C n ) M,

10 10KAPITL 1. INFÜHRUNG IN DI MASSTHORI UND DAS LBSGU-INTGRAL und C F. Die σ-algebra N ist nach Voraussetzung und Definition N = σ(c) = T ist σ-algebra,c T T F, da C F ist. Somit ist N F, und wegen F N gilt letztendlich F = N. Aus A N folgt daher f 1 (A) M. Legt man für R die Lebesgue-Borel-Algebra zugrunde, d.h. (Y, N ) = (R, B), dann ist f : X R genau dann messbar, wenn es Borel-messbar ist. Wir werden im Rest dieses Kapitels ausschließlich diesen Fall betrachten, und sprechen hier kurz von messbaren Funktionen. Beispiel Die Funktion f : R R, x f(x) = { 1/x, x 0,, x = 0, ist messbar bezüglich der Borel-Lebesgue σ-algebra, die von Intervallen erzeugt wird. Korollar Sei f : R n R n stetig und X = R n. Sei weiterhin M die σ-algebra der Borel-Lebesgue-messbaren Mengen, dann ist f messbar. Satz Sei (X, M) ein messbarer Raum und f : X R, dann ist f genau dann messbar, falls eine der folgenden Voraussetzungen erfüllt ist: 1. Die Mengen X(f a) := {x : f(x) a} := {x X : f(x) a} sind für alle a R messbar. 2. Die Mengen X(f < a) := {x : f(x) < a} sind für alle a R messbar. 3. Die Mengen X(f a) := {x : f(x) a} sind für alle a R messbar. Beweis. Die Menge X(f a) := {x : f(x) a} = n N X(f > a 1 ) = n n N {x : f(x) > a 1 } ist messbar. Die Menge X(f a) := {x : f(x) a} = X \ {x : f(x) > a} ist ebenfalls n messbar. Daraus ergibt sich einfach der Rest des Beweises. Satz Sei f messbar, dann ist auch die Funktion f messbar.

11 1.3. MSSBAR FUNKTIONN 11 Beweis. Wir betrachten die Menge X( f > a) = X(f > a) X(f < a). Da f messbar ist, sind die beiden letzten Mengen messbar, das heißt sie sind in der σ-algebra A enthalten. Da M eine σ-algebra ist, ist auch X( f > a) M. Bemerkung Die Umkehrung dieses Satzes gilt im Allgemeinen nicht, wie folgendes Gegenbeispiel zeigt: Für A X mit A M, d.h. A ist nicht messbar, definieren wir { 1, x A, f(x) := +1, x A. Dann gilt f(x) = 1, also ist die Menge X( f > a) für alle a 0 messbar, jedoch ist X(f > 0) = A nach Voraussetzung nicht messbar. Satz Seien für alle n N die Funktionen f n : X R messbar. Dann sind auch die Funktionen g, h : X R definiert durch g(x) := sup f n (x), n N h(x) := inf n N f n(x), sowie die Funktionen p, q : X R definiert durch p(x) := lim sup f n (x), q(x) := lim inf f n(x), messbar. Beweis. s gilt X(g > a) = {x X : g(x) > a} = X(f n > a). Aus der Messbarkeit der Funktionen f n folgt X(f n > a) M. Da M eine σ-algebra ist, ist die abzählbare Vereinigung n=1 X(f n > a) ebenfalls in M. Folglich ist g messbar. Analog zeigt man, dass h messbar ist. Aus p(x) = lim sup f n (x) = inf n=1 sup n N k n f k (x) folgt die Messbarkeit von p analog zum obigen Beweis aus der Messbarkeit von g und h. Analog zeigt man für q(x) = sup inf f k(x) n N k n die Messbarkeit.

12 12KAPITL 1. INFÜHRUNG IN DI MASSTHORI UND DAS LBSGU-INTGRAL Satz Seien (X, M, µ) ein Maßraum und f, g : X R messbare Funktionen. Ist die Funktion F : R 2 R stetig, dann ist die Funktion h : X R definiert vermittels h(x) := F ( f(x), g(x) ) ebenfalls messbar. Beweis. Sei a R beliebig und G a := {(u, v) R 2 : F (u, v) > a}, H a := X(h > a) = {x X : h(x) > a}. Da das Intervall (a, ) offen ist, folgt aus der Stetigkeit von F : R 2 R, dass G a = F 1( (a, ) ) ebenfalls offen ist. Nach dem Lemma existieren folglich Zweizellen mit G a = I2 k. I 2 k = (a k, b k ) (c k, d k ) = {(u, v) : a k < u < b k, c k < v < d k } Nun ist ( f(x), g(x) ) I k genau dann, wenn a k < f(x) < b k und c k < g(x) < d k. Hieraus folgt H a = { x X : ( f(x), g(x) ) } G a { ( ) } = x X : f(x), g(x) Ik = = {x X : a k < f(x) < b k, c k < g(x) < d k } [ ( ) ( ) ( ) ( )] X f(x) > ak X f(x) < bk X g(x) > ck X g(x) < dk M. Korollar Seien f, g : X R messbare Funktionen, dann sind die Funktionen f + g, f g und c f für jedes c R, sowie ebenfalls messbar. f + (x) = max{f(x), 0}, f (x) = min{f(x), 0}, (1.5) Beweis. Die Behauptung ist im Falle c f trivial, während die Messbarkeit von f + g aus dem vorhergehenden Satz mit F (u, v) = u + v folgt. Analog zeigt man auch die Messbarkeit von f g. Die Messbarkeit von f + (x) bzw. f (x) ergibt sich unmittelbar aus der Identität f + (x) = 1 2( f(x) + f(x) ) bzw. f (x) = 1 2( f(x) f(x) ).

13 1.4. DAS LBSGU-INTGRAL - ABSTRAKT INTGRATIONSTHORI 13 Bemerkung s gilt f + (x), f (x) 0 und f(x) = f + (x) f (x) für alle x X. Die Funktion f + heißt positiver Anteil von f während f negativer Anteil von f gennant wird. Definition ine Aussage A(x), die von x M abhängt, heißt fast überall auf oder für fast alle x gültig, falls eine messsbare Teilmenge B M existiert, mit µ(b) = 0, so dass die Aussage A(x) gültig ist für alle x \ B. 1.4 Das Lebesgue-Integral - abstrakte Integrationstheorie Wir legen im Folgenden den messbaren Raum (X, M) und die Kenntnis eines zugehörigen Maßes µ, d.h. einen Maßraum (X, M, µ) zugrunde. Sei f : X R eine messbare (nichtnegative) Funktion, dann wollen wir, sofern möglich, das Integral definieren. µ(f) := f, µ := X fdµ = X f(x)dµ(x) Wir werden dies zuerst auf Treppenfunktionen, bzw. einfachen Funktionen tun, um daraus das allgemeine Integral zu definieren. Wie beim Regelintegral übertragen sich etliche elementare igenschaften sofort. Definition Sei X, dann heißt die Funktion χ : X R mit { 1, x, χ (x) = 0, x, die charakteristische Funktion von. 2. Funktionen ϕ : X R der Form ϕ(x) = n c i χ i (x), x X, i=1 mit den paarweise verschiedenen Funktionswerten c i R, i = 1,..., n, und disjunkten Teilmengen i X mit i j =, i j, heißen Treppenfunktionen oder auch einfache Funktionen

14 14KAPITL 1. INFÜHRUNG IN DI MASSTHORI UND DAS LBSGU-INTGRAL Proposition ine Treppenfunktion ϕ : X R mit ϕ(x) = n c i χ i (x) i=1 ist genau dann eine messbare Funktion, falls für alle i = 1,..., n die Mengen i messbar sind, d.h. i M. Beweis. Ohne inschränkung der Allgemeinheit gelte < c i < c i+1 < für alle i = 1,..., n 1. Sei α R beliebig gewählt. Falls c 1 α < c n, dann gibt es einen Index 1 j n 1, so dass c j < α c j+1. Folglich ist X(ϕ < α) = genau dann messbar, falls i M für alle i = 1,..., j. Für α < c 1 ist X(ϕ < α) = und für α c n ist X(ϕ < α) = n i=1 i. j i=1 i Definition Sei (X, M, µ) ein Maßraum und sei ϕ : M R eine nichtnegative Treppenfunktion. Desweiteren sei ϕ = n c i χ i, c i [0, ), i M (1.6) i=1 Dann heißt n µ(ϕ) := ϕdµ := c i µ( i ) i=1 das Lebesgue-Integral der Treppenfunktion ϕ auf. Die folgende igenschaft ist entscheidend für die Definition des allgemeinen Integrales Satz Sei f : X R eine messbare Funktion, dann existiert eine Folge von messbaren Treppenfunktionen ϕ n, n N, derart, dass lim ϕ n (x) = f(x) für alle x X. (Falls f(x) = ± soll dies bedeuten g n (x), n N, ist monoton und unbeschränkt!) Falls gilt f(x) 0 für ein x X, dann kann die Folge ( ϕ n (x) ) so gewählt werden, dass sie monoton nicht fallend. Ist f beschränkt, so konvergiert die Folge (ϕ n ) sogar gleichmäßig gegen f.

15 1.4. DAS LBSGU-INTGRAL - ABSTRAKT INTGRATIONSTHORI 15 Beweis. Für jedes n N definieren wir und { n (i) := x X : i 1 f(x) < i }, i = 1,..., n 2 n, 2 n 2 n F n = {x X : f(x) n}. Dies sind wegen Satz alles messbare Mengen. Aufgrund der Zerlegung f = f + f mit f +, f 0, können wir nun ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass f 0. Wegen der Messbarkeit von f sind dann die Mengen n (i) und F n alle messbar und für ein festes n N gilt X = F n Wir definieren die Treppenfunktion ϕ n gemäß ϕ n (x) := n 2 n i=1 i 1 n 2 n i=1 2 χ n n (i) (i) n. (x) + nχ F n (x). Nach dem vorhergehenden Satz sind die Funktionen ϕ n für alle n N messbar. Wir zeigen nun die punktweise Konvergenz. Sei x X mit f(x) =, dann ist x F n für alle n N und es gilt lim ϕ n (x) =. Sei x X mit f(x) <, dann existiert für alle n N jeweils ein Index 1 i n 2 n mit f(x) i 1 2 n 1 2 n, i 2 n f(x) < 1 2 n. (1.7) Hieraus folgt schließlich die punktweise Konvergenz f(x) ϕ n (x) 1 2 n 0. Die Monotonie der Folge ( ϕ n (x) ) für festes x X ist klar. Sei f nun beschränkt und ε > 0 beliebig. Wir wählen n N so, dass sowohl f(x) < n, x, als auch 1/2 n < ε gilt. Wir bemerken, dass dann F n = gilt. Folglich existiert zu jedem x X ein Index 1 i n 2 n mit x n (i) und es folgt das heißt ϕ n konvergiert gleichmäßig gegen f. f(x) ϕ n (x) 1 2 n < ε,

16 16KAPITL 1. INFÜHRUNG IN DI MASSTHORI UND DAS LBSGU-INTGRAL Definition Sei (X, M, µ) ein Maßraum und sei f : X M R, M, eine messbare nichtnegative Funktion. Desweiteren sei T f = { ϕ = n i=1 } c i χ i : n N, c i R + 0, i M mit ϕ f (die i können paarweise disjunkt vorausgesetzt werden) die Menge aller Treppenfunktionen, die punktweise kleiner oder gleich der Funktion f sind. Dann heißt fdµ := sup ϕ T f ϕdµ = sup ϕ T f das Lebesgue-Integral der Funktion f auf. n c i µ( i ) i=1 (1.8) Bemerkung Das Lebesgue-Integral einer Funktion f : X R mit f 0 kann den Wert + annehmen. Definition Sei f : R messbar, dann definieren wir, falls f +dµ < oder f dµ <, fdµ := f + dµ f dµ, wobei f ± definiert ist gemäß (1.5). Falls beide Integrale endlich sind, das heißt f +dµ < und f dµ <, dann nennen wir f integrierbar, oder auch summierbar, auf bezüglich µ. Die Menge der integrierbaren Funktionen auf bezüglich µ bezeichnen wir mit L(, µ). In der Literatur bezeichnet man auch oft die Menge aller messbaren Funktionen für die das obige Lebesgue-Integral existiert (d.h. auch ± sein kann) als integrierbar. Die folgenden igenschaften gelten trivialerweise für Treppenfunktionen (siehe Analysis II Kapitel über das Regelintegral), und sie lassen sich unmittelbar durch bilden des Supremums auf den allgemeinen Fall übertragen. Die leichten Beweise verbleiben dem Leser als Übung.

17 1.4. DAS LBSGU-INTGRAL - ABSTRAKT INTGRATIONSTHORI 17 Satz (igenschaften des Lebesgue-Integrals). Seien f, g L(, µ) und c R, dann ist 1. f + g, cf L(, µ) und es gilt (f + g)dµ = fdµ + gdµ, cfdµ = c fdµ. 2. Sei A messbar, dann folgt für f 0 fdµ 3. Aus 0 f(x) g(x) für alle x folgt 0 fdµ A fdµ. gdµ. 4. Gilt m f(x) M für alle x, dann folgt mµ() fdµ Mµ(). 5. Ist µ() = 0 so gilt fdµ = 0 Beweis. Übung! Satz Unter den Voraussetzungen des letzten Satzes gilt die folgende Aussage. Ist f 0, so gilt fdµ = 0 genau dann wenn f(x) = 0 fast überall auf ist. Beweis. Sei fdµ = 0, wir definieren F := {x : f(x) > 0} und für n N { n := x : f(x) > 1 } M. n Dann gilt n n+1 für alle n N und F = n=1 n M. Wegen der Monotonie von µ folgen hieraus die Beziehungen µ( n ) µ( n+1 ) µ(f ) für alle n N, und lim µ( n ) = µ(f ). Nehmen wir µ(f ) > 0 an, so existiert zu µ(f ) > ε > 0 ein n N mit µ(f ) > µ( n ) > ε.

18 18KAPITL 1. INFÜHRUNG IN DI MASSTHORI UND DAS LBSGU-INTGRAL Aufgrund von f(x) > 1/n für alle x n folgt hieraus 0 = fdµ fdµ 1 n n µ( n) 1 n ε > 0. Dieser Widerspruch bedeutet, dass µ(f ) = 0 gelten muss. Die Umkehrung der Aussage ist trivial, so dass die Äquivalenz bewiesen ist. Satz Sei (X, M, µ) ein Maßraum. 1. Ist f : X R messbar mit f 0 auf X, dann ist die Mengenfunktion ν : M R definiert durch ν(a) := fdµ, A M, σ-additiv. Zudem gilt ν ist ein Maß auf (X, M). A A M : µ(a) = 0 ν(a) = 0. (1.9) 2. Falls f L(X, µ), dann ist A ν(a) ebenfalls σ-additiv im Sinne von (1.3). Beweis. 1. Nach Voraussetzung ist ν(a) 0 für alle A M. Sei A M beliebig und seien A n, n N, paarweise disjunkt mit A = n=1 A n. Wir wollen nun die σ-additivität zeigen. Wir bemerken zuerst, dass diese igenschaft falls f = ϕ eine Treppenfunktion ist, leicht gezeigt werden kann. In allgemeinen Fall gilt für alle ϕ T f gemäß (1.8) dass A ϕdµ = = A ( n c i χ i )dµ = i=1 m=1 i=1 n c i µ(a i ) = i=1 n c i µ(a m i ) = m=1 A m ϕdµ Nehmen wir das Supremum über alle ϕ T f, so erhalten wir ν(a) = A fdµ m=1 A m fdµ = n i=1 m=1 ( c i µ ν(a m ). m=1 m=1 ) (A m i ) A m fdµ. (1.10) Die obige Überlegung impliziert ν(a 1 A 2 ) ν(a 1 ) + ν(a 2 ). Wir zeigen nun, dass aus A 1 A 2 = folgt ν(a 1 A 2 ) = fdµ A 1 A 2 fdµ + A 1 fdµ = ν(a 1 ) + ν(a 2 ). A 2

19 1.4. DAS LBSGU-INTGRAL - ABSTRAKT INTGRATIONSTHORI 19 s existieren aber auch zu jedem ε > 0 zwei Treppenfunktionen ϕ 1, ϕ 2 T f mit fdµ A 1 ϕ 1 dµ + ε, A 1 fdµ A 2 ϕ 2 dµ + ε. A 2 Nun sei ϕ(x) = max{ϕ 1 (x), ϕ 2 (x)}, dann ist ϕ T f messbar. Nach (1.10) gilt ν(a 1 ) + ν(a 2 ) ϕdµ + A 1 ϕdµ + 2ε = A 2 ϕdµ + 2ε A 1 A 2 fdµ + 2ε = ν(a 1 A 2 ) + 2ε. A 1 A 2 Für ε 0 bedeutet dies beziehungsweise zusammengefasst ν(a 1 ) + ν(a 2 ) ν(a 1 A 2 ) ν(a 1 A 2 ) = ν(a 1 ) + ν(a 2 ), und ferner gilt für alle m N m m ν(a k ) ν( A k ) ν( A k ) = ν(a), m N. Hieraus folgt die Behauptung. 2. Wir zerlegen f = f + f, dann gilt wegen f L(X, µ) f ±dµ < für alle M. Somit folgt die Behauptung aus der vorherigen Aussage. Die umgekehrte Fragestellung ob zu zwei Massen µ und ν auf M mit der igenschaft (1.9) eine messbare Funktion f existiert, so dass ν(a) = fdµ beantwortet der Satz von Radon- A Nikodym. Korollar Seien A, B M mit B A und µ(a \ B) = 0 und f : A R eine messbare Funktion. Gilt für eines der Integrale fdµ < oder fdµ <, so gilt dies auch für das A B zweite Integral und es folgt fdµ = fdµ <. A B Beweis. Sei ohne inschränkung der Allgemeinheit f 0, dann folgt aus der oben gezeigten Additivität und µ(a \ B) = 0 die Behauptung fdµ = ν(a) = ν(b) + ν(a \ B) = fdµ + fdµ = fdµ, A B A\B B da Integrale über Nullmengen immer Null sind.

20 20KAPITL 1. INFÜHRUNG IN DI MASSTHORI UND DAS LBSGU-INTGRAL Definition Seien M und f, g : R messbar, dann schreiben wir f g, falls µ({x : f(x) g(x)}) = 0, das heißt f und g stimmen fast überall auf überein. Bemerkung Die Relation ist eine Äquivalenzrelation 2. Falls f, g L(, µ) und f g, so gilt fdµ = gdµ. 3. Falls f L(, µ), dann ist f fast überall endlich. Satz Seien g, h : R messbar, M mit g(x) h(x) für alle x. Falls h L(, µ), so ist auch g L(, µ) und es gilt gdµ hdµ. Beweis. Sei ohne inschränkung der Allgemeinheit g 0, dann folgt die Behauptung sofort aus T g T h. Satz Für eine messbare Funktion f gilt f L(, µ) genau dann, wenn f L(, µ). Beweis. Wir zerlegen f = f + f, dann gilt f (x) = f + (x) + f (x) = { f + (x), x A, f (x), x \ A, mit A := {x : f(x) 0}. Aufgrund von Satz folgt, dass f dµ = f + dµ + f dµ = f + dµ + A genau dann definiert und endlich ist, falls f ± L(, µ) bzw. f L(, µ). \A f dµ

21 1.5. KONVRGNZSÄTZ Konvergenzsätze Satz (Satz von Beppo Levi über monotone Konvergenz.). Sei M, und für alle n N seien f n : R messbare Funktionen mit 0 f 1 (x) f 2 (x)... für alle x. Dann gilt lim f n dµ = lim f ndµ = fdµ, mit f(x) := lim f n (x), x. Beweis. Sei ohne inschränkung der Allgemeinheit f ndµ C < für alle n N. Die Funktion f : R sei definiert vermittels f(x) := lim f n (x) für alle x. Sie erfüllt f 0 und ist nach Satz messbar. Setzen wir α n := f ndµ für alle n N, so gilt 0 α 1 α 2... C. Demnach existiert α := lim α n und ist endlich. Wegen f n (x) f(x) für alle x folgt α fdµ. Um die umgekehrte Ungleichung zu zeigen, definieren wir für beliebige aber feste c (0, 1) und ϕ T f die Mengen n = n (ϕ, c) := {x : f n (x) > cϕ(x)}, n N. s gilt n M und n n+1 für alle n N. Wegen f ϕ auf, existiert zu jedem x ein n N mit f n (x) cϕ(x). Hieraus folgt = und wir schließen wegen n, f n dµ f n dµ c n ϕdµ. n n, (1.11) n=1 Lassen wir n streben so ergibt sich aus (1.11) lim f n dµ c lim ϕdµ = c n ϕdµ. (Der Beweis des letzten Schrittes lim n ϕdµ = ϕdµ ist Übungsaufgabe!) Für c 1 erhalten wir f n dµ ϕdµ. lim

22 22KAPITL 1. INFÜHRUNG IN DI MASSTHORI UND DAS LBSGU-INTGRAL Bilden wir nun das Supremum über alle ϕ T f, so folgt lim f n dµ fdµ. Satz (Satz von Lebesgue über monotone Konvergenz). Sei M und für alle n N seien f n : R messbare Funktionen mit f 1 (x) f 2 (x)... für alle x. Gibt es ein m N mit f m L(, µ), und sei f(x) := lim f n (x) für fast alle x, dann ist f messbar, und es gilt fdµ = lim f n dµ. Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei m = 1, das heißt f 1 L(, µ). Wir definieren die Funktionen x g n (x) := f n (x) f 1 (x) für alle x. Für alle n N ist g n messbar mit 0 g n (x) g n+1 (x), x und g n messbar. Sei g(x) := lim g n (x), dann können wir eine messbare Funktion f finden mit f f und g(x) = f(x) f 1 (x), x. Aus dem Satz von Beppo Levi folgt dies ist die Behauptung. ( f f1 ) dµ = = gdµ lim g ndµ = lim g n dµ ( ) = lim f n dµ f 1 dµ, Korollar Sei M und für alle n N seien 0 f n : R messbare Funktionen mit dann gilt f n dµ = f n dµ.

23 1.5. KONVRGNZSÄTZ 23 Satz (Lemma von Fatou). Sei M und für alle n N seien f n : R messbare Funktionen. 1. Falls f n 0 für alle n N gilt 2. falls f n 0 für alle n N gilt lim inf lim sup f ndµ lim inf f n dµ. f n dµ lim sup f n dµ. Beweis. Zur rinnerung bemerken wir dass für a n R, lim inf a n = lim inf k n a k! Wir zeigen nur die erste Aussage, da der Beweis der zweiten vollkommen analog geführt wird. Definieren wir g n (x) := inf k n f k (x) für alle n N, dann sind die Funktionen g n messbar, und es gilt 0 g 1 g Ferner schließen wir g n f k für alle n N, k n und somit beziehungsweise für n g n dµ f k dµ k n, lim g n dµ lim inf f n dµ. Wenden wir nun auf die Folge (g n ) den Satz von Beppo Levi an, so ergibt sich wegen die Behauptung lim inf f n(x) = lim g n (x) lim inf f ndµ = lim g ndµ = lim g n dµ lim inf f n dµ.

24 24KAPITL 1. INFÜHRUNG IN DI MASSTHORI UND DAS LBSGU-INTGRAL Satz (Satz von Lebesgue über dominierte Konvergenz). Seien (f n ) eine Folge messbarer Funktionen f n : R mit f n f (fast überall) auf. Falls eine Funktion g L(, µ) existiert, so dass für alle n N und für (fast) alle x gilt f n (x) g(x), dann ist f L(, µ) mit fdµ f dµ gdµ und fdµ = lim f n dµ. Beweis. (O.B.d.A. können wir annehmen, dass die Voraussetzungen überall statt fast überall gelten.) Offenbar gilt wegen 0 f n g für alle n N als auch 0 f g, so dass aus Satz folgt f, f n L(, µ). Nach dem Lemma von Fatou gelten lim sup f n dµ und umgekehrt (f + g)dµ = Zusammengefasst folgt hieraus gdµ = lim sup (f n g)dµ lim sup(f n g)dµ = (f g)dµ lim inf (f n + g)dµ lim inf (f n + g)dµ = gdµ + lim inf f n dµ. lim sup f n dµ fdµ lim inf f n dµ bzw. f n dµ = lim f n dµ. 1.6 L p -Räume Definition Sei f L(X, µ). Wir bezeichnen mit [f] := {g : g X f} die Restklassen zu f bezüglich der Äquivalenzrelation X.

25 1.6. L P -RÄUM 25 Bemerkung s gilt [g] = [f] genau dann, wenn f = g fast überall auf X, d.h. µ({x X : f(x) g(x)}) = Das Infimum über alle Nullmengen A des Supremum der Menge { f(x) R : x X \ A, µ(a) = 0}, bezeichnen wir mit ess sup x X f(x). s wird das essentielle Supremum genannt, f := ess sup f(x) := x X inf a M,µ(A)=0 sup f(x). x X\A Definition Wir definieren für 1 p vermittels ( 1/p f p := f (x)dµ) p, 1 p <, bzw. f := ess sup x X f(x), die Funktionenräume L p (X, µ) := {[f] : f messbar f p < }. X Lemma Seien a, b > 0, dann gilt für 1 < p, q < mit 1 p + 1 q = 1 die Ungleichung a 1/p b 1/q a p + b q. Siehe Analyis I. Beweis als rgänzung. Sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit t := a/b 1. Wir können die obige Ungleichung vermittels Division durch b umformen in t 1/p t p + 1 q. Setzen wir g(t) := t 1/p, h(t) := t p + 1 q, so müssen wir zeigen g(t) h(t) für alle t 1. Für t = 1 folgt g(1) = 1 = h(1). Weiter gilt für alle t 1 dass t 1/q 1 und somit g (t) = 1 p t1/p 1 = 1 p t 1/q h (t) = 1 p Hieraus folgt in der Tat g(t) h(t) für alle t 1, das heißt die Behauptung

26 26KAPITL 1. INFÜHRUNG IN DI MASSTHORI UND DAS LBSGU-INTGRAL Satz s sei 1 p, q mit 1/p+1/q = 1, wobei p = 1 und q = ebenfalls zugelassen sei. 1. Seien f, g : X R messbar mit f p, g q <, dann gilt die Hölder-Ungleichung f g dµ f p g q. Insbesondere folgt f g L(X, µ). X 2. Seien f p, g p, dann ist [ f + g ] L p (X, µ) und es gilt die Minkowski- Ungleichung f + g p f p + g q. Beweis. 1. Zuerst betrachten wir den Fall 1 < p, q <. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit seien f p, g q 0, denn anderenfalls ist f(x) g(x) = 0 fast überall auf X. Wir setzen dann folgt aus dem vorhergehenden Lemma a := ( f(x) / f p ) p, b := ( g(x) q / g q ) q, 0 a 1/p b 1/q = f(x) f p g(x) g q 1 p ( f(x) f p ) p + 1 ( g(x) q g q ) q für alle x X. Wir integrieren nun über X 1 f p g q X f g dµ 1 p f p f p dµ + 1 p X q g q g q dµ q X 1 p f p f p p + 1 p q g q g q q q = 1 p + 1 q = 1. Hieraus folgt die Hölder-Ungleichung. Im Falle p = 1 und q = ergibt sich die Hölder-Ungleichung aus der Abschätzung f g dµ ess sup f(x) g dµ = f g 1. X x X X 2. s sei p > 1, dann gilt für alle x X die Abschätzung f(x) + g(x) p f(x) (f + g)(x) p 1 + g(x) (f + g)(x) p 1.

27 1.6. L P -RÄUM 27 Integration über X liefert f + g p p = f + g p dµ f f + g p 1 dµ + g f + g p 1 dµ X X X Hieraus ergibt sich für q = p/(p 1) mit Hilfe der Hölder-Ungleichung f + g p p f p (f + g) p 1 q + g p (f + g) p 1 q ( ) 1/q = ( f p + g p ) f + g (p 1)q dµ ( = ( f p + g p ) = ( f p + g p ) f + g p/q p = ( f p + g p ) f + g p 1 p, X X ) 1/q f + g p dµ das heißt f +g p f p + g p. Der Fall p = 1 und q = verbleibt dem Leser als Übung. Satz Für 1 p bildet die Menge L p (X, µ) einen linearen Raum, d.h. einen Vektorraum, mit der Norm p. Beweis. Seien [f], [g] L p (X, µ), das heißt für Representanten f, g dass f p, g p <, dann folgt mit der Minkowski-Ingleichung f +g p f p + g p <, das heißt [f +g] L p (X, µ). Für alle [f] L p (X, µ), das heißt f p <, und für α R gilt α f p p = α f p dµ = α p f p p, (1.12) X dies bedeutet α f p = α f p < und somit [α f] L p (X, µ). Damit ist L p (X, µ) ein Vektorraum. Wir müssen noch zeigen, dass p eine Norm definiert. Offensichtlich gilt f p 0 für alle [f] L p (X, µ), wobei aus f p = 0 folgt X f p dµ = 0, das heißt f(x) = 0 bzw. f(x) = 0 fast überall auf X und folglich f X 0, d.h. [f] = [0]. Die Homogenität von Homogenität p haben wir in (1.12) gezeigt. Schließlich entspricht die Dreiecksungleichung der Minkowski- Ungleichung. Zur Vereinfachung der Schreibweise werden wir, wenn im Kontext keine Missverständnisse entstehen, im Folgenden immer f L p (X, µ) anstatt [f]ınl p (X, µ) schreiben. Dabei tritt dann sowohl f als Repr sentant, d.h. als Funktion auf, als auch synonym für die ganze Restklassse,

28 28KAPITL 1. INFÜHRUNG IN DI MASSTHORI UND DAS LBSGU-INTGRAL und die konkrete Bedeutung ist im Kontext ersichtlich. Dies ist in der mathematischen Literatur allgemein üblich. Satz Die normierten Räume L p (X, µ), 1 p, sind vollständig und folglich Banachräume. Beweis. Sei f n L p (X, µ), n N, eine Cauchy-Folge in L p (X, µ), das heißt zu jedem n N existiert ein N N mit f k f m p p 1 =: ε 22n für alle k, m N. Wir definieren via g n := f N die Teilfolge (g n ) n N von (f n ) n N. Die Behauptung folgt, wenn wir zeigen g := lim g n L p (X, µ). Für Y n = {x X : g n+1 (x) g n (x) p 2 n } gilt µ(y n ) 1 = 2 n Y n 2 dµ g n n+1 (x) g n (x) p dµ g n+1 (x) g n (x) p dµ Y n X = g n+1 g n p p 1 2, 2n das heißt µ(y n ) 2 n. Setzen wir nun Z n = k=n Y k, so folgt Z 1 Z 2... und weiter ( µ(z n ) = µ k=n Y k ) Somit ergibt sich für Z = n=1 Z n dass µ(y k ) k=n 2 k 2 (n 1). k=n µ(z) = lim µ(z n ) = 0, dies bedeutet, Z ist eine Menge vom Maß Null. Wir setzen nun { g 1 (x) + ( n=1 gn+1 (x) g n (x) ), x X \ Z, g(x) := 0, x Z. Aufgrund der Tatsache, dass für alle x X \ Z n gilt folgt aus der Identität g k+1 (x) g k (x) p 1 2 k, k n, g m+1 (x) = g 1 (x) + m ( gn+1 (x) g n (x) ), n=1

29 1.7. ZUSATZ (INSCHUB): TWAS HILBRTRAUMTHORI 29 dass sup g(x) g m (x) p x X\Z n g n+1 g n p n=m n=m 1 2 n = 1 2 m 1 m 0. Folglich konvergiert die Folge (g m ) m N gleichmäßig und absolut gegen g auf X \ Z n für jedes n N, und somit konvergiert g m (x) g(x) auf X \ Z, d.h. fast überall. Betrachten wir auf X \ Z die Funktion G(x) := g 1 (x) + n=1 gn+1 (x) g n (x), so ist g G, und nach Beppo Levi, bzw. dem Satz über monotone Konvergenz gilt X G p dµ = X g 1 p dµ + n=1 X g n+1 g n p dµ g 1 p p + 2 2n <. Aus dem Lebesgue schen Satz über dominante Konvergenz folgt die Messbarkeit von g und g p L(X, µ), und wegen g g m p lim sup k g k g m p 1 <, 22n/p gilt lim m g g m p = 0. Aus g m L p (X, µ) folgt nach Satz 1.6.6, dass g L p (X, µ) und g m g für n in L p (X, µ). Der Fall p = verbleibt als Übung. Satz Im Falle p = 2 induziert die Abbildung, : L 2 (X, µ) L 2 (X, µ) R gegeben durch f, g := fgdµ, f, g L 2 (X, µ), ein Skalarprodukt. s gilt f 2 = f, f. Der Raum L 2 (X, µ) versehen mit, bildet einen Hilbertraum. X 1.7 ZUSATZ (inschub): etwas Hilbertraumtheorie dieser Teil wird später an die entsprechende Stelle in dem Ana II Skript in Zusammenhang mit Fourierreihen angehängt werden

30 30KAPITL 1. INFÜHRUNG IN DI MASSTHORI UND DAS LBSGU-INTGRAL Satz Sei (H,.,. ) ein Hilbertraum mit Skalarprodukt.,. und Norm. H, und V H, V {0}, ein abgeschlossener Unteraum, dann existiert eine lineare Abbildung P : H V mit folgenden igenschaften 1. zu jedem y H existiert genau ein x = P y V mit 2. s gilt y P y, v = 0 v V. 3. für x V ist P x = x und es gilt P 2 = P. y P y H = inf{ y v H : v V } (1.13) 4. y 2 H = P y 2 H + (I P )y 2 H y H, und damit gilt in der Operatornorm P = 1, bzw. P y H y H, y H. P heißt der orthogonale Projektor und P y die orthogonale Projektion von y auf V. Beweis. Wir betrachten zu gegebenem y H das Funktional J : V R definiert durch J(x) := x y 2 H = x y, x y 0, x V. Dann ist wie man leicht sieht, der Hessian (2. Ableitung) J (2) (x) = I, und daher ist für alle x, v V, t [0, 1], J(tx (1 t)v) tj(x) + (1 t)j(v) d.h. dieses Funktional ist konvex mit J(x) für x H. Nach Satz?? (Analysis II) existiert genau ein Minimierer x =: P y V dieses konvexen Funktionals, zunächst auf der konvexen Mengen V B R (0) für beliebig großes R, und dieses Minimum ist dann auch, wie man sofort sieht, das globale Minimum. Damit ist die erste Behauptung gezeigt. An der Minimalstelle x = P y gilt für jede Richtungsableitung in Richtung von v V J (P y)v = 2 P y y, v = 0 v V. Dieses Problem hat ebenfalls genau eine Lösung, nämlich P y, die zudem linear von y H abhängt. Falls y V ist P y = y die Minimalstelle, da J(y) = 0. Insbesondere gilt P y y, P y = 0 mit dem Satz von Phytagoras folgt y 2 H = P y P y + y 2 H = P y 2 H + (I P )y 2 H, da immer (I P )y 2 H 0 folgt P y H y H für alle y H, und somit P 1. Andererseits folgt aus P 2 P 2, dass für nichttriviale Projektoren P 1 ist.

31 1.7. ZUSATZ (INSCHUB): TWAS HILBRTRAUMTHORI 31 Satz Sei (H,.,. ) ein Hilbertraum mit Skalarprodukt.,. und Norm. H. Zu jedem linearen beschränkten Funktional L : H R (C), L = sup h H =1 Lh C <. existiert genau ein g H mit Lh = g, h h H, und g H = L. (Das Skalarprodukt ist hier linear in der zweiten Komponente) Beweis. O.B.d.A. sei L nichttrivial. Sei X := kerl = {x H : Lx = 0}, dann ist X H eine abgeschlossener Teilraum und X := {y H : y, x = 0 : x X} der orthogonale Komplementärraum ebenso. Da x H existiert mit Lx 0 ist X, und es existiert ein u X mit u H = 1. Sei α = Lu C dann ist für beliebiges x H und weiter für g := αx H L(uLx xlu) = LuLx LxLu = 0, x H αx, u = x, u Lu = x, ulu = x, (ulu + ulx xlu) = u, ulx = u, u Lx = Lx. Umgekehrt definiert jedes g H ein lineares Funktional auf H. Mit Cauchy-Schwarz gilt und falls g 0, für x = g, x g H x H = g H x H = 1 g g H folgt g, x = g, g g h g H, daher gilt sup g, x = g H x H =1 Zum Beweis der indeutigkeit seien g 1, g 2 H mit den gewünschten igenschaften. Dann folgt daraus 0 = Lx = g 1 g 2, x, x H, und somit g 1 g 2 H = sup g 1 g 2, x = 0 g 1 g 2 = 0. x H =1

32 32KAPITL 1. INFÜHRUNG IN DI MASSTHORI UND DAS LBSGU-INTGRAL 1.8 Konstruktion positiver Maße Wir bilden auf einer Mengenalgebra ein Prämaß, oder nehmen ein solches als gegeben an. Nun wollen wir dieses zu einem Maß auf der davon erzeugten σ Algebra fortsetzen. Wir wollen in diesem Kapitel die folgenden Voraussetzungen treffen. Definition Im Folgenden sei M 0 eine Mengen-Algebra über Ω. Und µ 0 : M R + eine nichtnegative σ-additive Mengenfunktion. Wir benötigen zuerst folgende Hilfskonstruktion. Definition Sei G eine Mengen-Algebra über Ω, und λ : G [0, ] eine nichtnegative Mengenfunktion mit µ( ) = 0. L G heißt eine λ-menge falls gilt. Man beachte L c G = G \ L. λ(l G) + λ(l c G) = λ(g) G G Lemma Sei L die Menge aller λ-mengen im Sinne der obigen Definition. Dann ist L eine Mengen-Algebra und λ ein Inhalt auf L, d.h. λ ist additiv. Zudem gilt für paarweise disjunkte L 1,..., L n G, ( n ) n λ (L k G) = λ(l k G) G G. Proof. Wir zeigen zuerst, dass L eine Mengen-Algebra ist. Man sieht sofort, dass Ω L ist. Denn für alle G G gilt λ(ω G) + λ(ω c G) = λ(g) + λ( ) = λ(g). benfalls folgt aus A L auch A c L. Seien A, B L und L := A B. Wir bemerken dass L c B = (A c B c ) B = A c B und L c B c = (A c B c ) B c = B c,

33 1.8. KONSTRUKTION POSITIVR MASS 33 und für beliebiges G G ist L G sowie auch L c G G. Wir berechnen λ(l c G) = λ(b (L c G)) + λ(b c (L c G)) Da A eine λ-menge ist und B G G folgt = λ(b A c G) + λ(b c G) = λ(b A c G) λ(b G) + λ(g). λ(l G) = λ(a B G) = λ(b G) λ(a c B G). Die Addition der beiden Resultate ergibt λ(a B G) + λ((a B) c G) = λ(g) Seien A, B L disjunkte λ-mengen und G G, dann gilt Hieraus folgt, da ((A B) G) G ist, (A B) A = A, (A B) A c = B. λ ( (A G) (B G) ) = λ ( (A B) G ) = λ(a ((A B) G)) + λ(a c ((A B) G)) = λ(a G) + λ(b G). Die Additivität von λ folgt unmittelbar, wenn man B := Ω wählt, da λ( ) = 0 vorausgesetzt wurde. Definition Seien (Ω; M) ein messbarer Raum und µ : M R eine nichtnegative Mengenfunktion. Dann heißt µ ein äußeres Maß, falls folgende Aussagen gelten: 1. s gilt µ ( ) = Die Mengenfunktion µ ist monoton, das heißt aus A B M folgt µ (A) µ (B). 3. µ ist abzählbar subadditiv, d.h. für A n M, n N, erfüllt die Mengenfunktion µ die Ungleichung ( ) µ A n µ (A n ). (1.14) n=1 n=1 Lemma (Caratheodory). Sei µ ein äußeres Maß auf dem messbaren Raum (Ω, M). Dann bilden die µ -Mengen eine σ-algebra L M, auf der µ σ-additiv ist, d.h. (Ω, L, µ ) ist ein Maßraum.

34 34KAPITL 1. INFÜHRUNG IN DI MASSTHORI UND DAS LBSGU-INTGRAL Beweis. In Lemma haben wir schon gezeigt, dass L eine Mengen-Algebra bildet. s bleibt nun noch die σ-igenschaften zu zeigen. Seien L i L, i N paarweise disjunkte Mengen, wir zeigen nun dass dann auch L := L k L und µ (L) = µ (L k ) gilt. Sei M dann gilt wegen = (L ) (L c ) und (1.14) Das Lemma sichert dass M n := n L k L und Wegen L c M c n folgt mit der Monotonie und somit Da dies für alle n N gilt erhalten wir µ () µ (L ) + µ (L c ). (1.15) µ () = µ ( M n ) + µ ( M c n). µ () µ ( M n ) + µ ( L c ), µ () µ (L c ) + µ () µ (L c ) + und infolge der abzählbaren Subadditivität (1.14) n µ (L k ). µ (L k ) µ () µ (L c ) + µ (L ), und zusammen mit (1.15) und der gezeigten oberen Abschätzung Dies beweist dass L L. µ () = µ (L c ) + µ (L ). Wählen wir := L, so zeigt der obige Beweis auch, dass µ (L) = µ (L k ).

35 1.8. KONSTRUKTION POSITIVR MASS 35 Lemma Sei M 0 eine Mengen-Algebra und µ 0 : M [0, ] ein Prämaß, d.h. σ-additiv, und µ( ) = 0. Zu jeder Menge Ω bezeichne U := { { n : n N} : n=1 die Menge aller Überdeckungen von. Die Mengenfunktion definiert ein äußeres Maß von. } n und n M 0 für alle n N. (1.16) µ () = inf { } µ 0 ( n ) : { n : n N} U, (1.17) n=1 Beweis. Man beachte, da Ω M 0 ist, eine solche Überdeckung immer existiert, und damit µ wohldefiniert ist. Für A, B Ω zeigt man leicht die Beziehungen A B µ (A) µ (B) Monotonie, (wegen U B U B ). Um die abzählbare Subadditivität (1.14) zu zeigen, nehmen wir eine Folge von Mengen G n Ω, n N, G := n=1 G n, von der wir o.b.d.a. annehmen können, dass für alle µ (G n ) < ist. Denn sonst ist µ ( n=1 G n) = und wir sind fertig. Seien ɛ > 0 und n N beliebig, dann existieren Mengen nach Definition (1.17) F n,k M 0, k N, mit G n k N F n,k, und µ (G n ) µ 0 (F n,k ) µ (G n ) + ɛ2 n. Da G := n N G n n N k N F n,k erhalten wir µ (G) n=1 µ 0 (F n,k ) (µ (G n ) + ɛ2 n ) = n=1 für jedes ɛ > 0. Womit die obige Behauptung bewiesen ist. µ (G n ) + ɛ, n=1 Bemerkung: Die obige Aussage gilt auch für Mengenringe M, wenn man für den Fall, dass es für A Ω keine Überdeckung gibt, µ (A) := + festlegt.

36 36KAPITL 1. INFÜHRUNG IN DI MASSTHORI UND DAS LBSGU-INTGRAL Lemma Unter den Voraussetzungen des obigen Lemmas gilt µ (A) = µ 0 (A) A M 0. Beweis. Sei A M 0 dann gilt, da trivialerweise A A M 0, dass µ (A) µ 0 (A) ist. Sei A n M 0, n N eine beliebige abzählbare Überdeckung von A, d.h. A A k. Dann können wir paarweise disjunkte Mengen n M 0, n N, finden mit 1 := A 1 ( ) c, n = A n A k. k<n Für diese gelten n A n und A n=1 A n = n=1 n. Unter Verwendung der σ-additivität von µ 0 auf M 0 schließen wir ( µ 0 (A) = µ 0 (A n ) ) = n=1 und aus der Monotonie µ 0 (A n ) µ 0 ( n ) und weiter µ 0 (A) µ 0 ( n ) n=1 µ 0 (A n ), n=1 µ 0 (A n ). n=1 Bilden wir das Infimum über alle möglichen Folgen A k erhalten wir die fehlende Ungleichung M 0, k N mit A = k A k so µ 0 (A) inf µ 0 (A n ) = µ (A). n=1 Lemma s gelten die gleichen Voraussetzungen wie in Lemma Sei L die σ-algebra der µ -Mengen bzgl. G := P(Ω), dann enthält diese bereits M 0 L. Beweis. Sei M 0 und G G = P(Ω). Dann existiert zu jedem ɛ > 0 eine Folge F n M 0, n N, die G überdeckt G n F n und zudem gilt µ 0 (F n ) µ (G) + ɛ. n

37 1.8. KONSTRUKTION POSITIVR MASS 37 Aufgrund der Definition von µ gilt µ 0 (F n ) = n=1 = µ 0 ( F n ) + µ 0 ( c F n ) n=1 µ ( F n ) + n=1 n=1 µ ( c F n ) n=1 µ ( ( F n ) ) + µ ( ( c F n ) ) n=1 n=1 µ ( G) + µ ( c G), wegen G n=1 ( F n) sowie c G n=1 (c F n ). Da dies jedoch für beliebiges ɛ > 0 gilt, folgt µ (G) µ ( G) + µ ( c G). Andererseits ist aber µ als äusseres Maß subadditiv D.h. für M 0 gilt und damit L, was zu beweisen war. µ (G) µ ( G) + µ ( c G). µ (G) = µ ( G) + µ ( c G) G G = P(Ω), Satz (Fortsetzungssatz von Caratheodory). Sei M 0 eine Mengen-Algebra über Ω, und µ 0 : M 0 [0, ] eine σ-additive Mengenfunktion mit µ( ) = 0. M = σ(m 0 ) sei die von M 0 erzeugte σ-algebra. Dann existiert ein Maß µ auf dem messbaren Raum (Ω, M) mit µ = µ 0 auf M 0. Wir nennen µ eine Fortsetzung von µ 0 auf M. Beweis. Wir wählen µ := µ. Dann ist µ ein Maß auf der σ-algebra L der µ -Mengen bzgl. P(Ω). Da M 0 L ist auch M = σ(m 0 ) L eine Teilalgebra, und µ ist ein Maß auf M. Definition in Maßraum (Ω, M, µ) heißt vollständig, falls zu jeder µ-nullmenge N M auch jede Teilmenge M N messbar ist d.h. M M. Zu jedem Maßraum (Ω, M, µ) lässt sich ein vollständiger Maßraum (Ω, M, µ) definieren, mit M M und µ(a) = µ(a), A M, den man die Vervollständigung von (Ω, M, µ) nennt.

38 38KAPITL 1. INFÜHRUNG IN DI MASSTHORI UND DAS LBSGU-INTGRAL Satz Sei M P(Ω) eine σ-algebra mit dem Maß µ, dann ist das Mengensystem M := {A N : A M und N Ω ist Teilmenge einer Menge B vom Maße µ(b) = 0} eine vollständige σ-algebra mit dem Maß µ(a N) := µ(a). Dabei wird µ Vervollständigung von µ genannt. Beweis. Man zeigt leicht dass M eine σ-algebra ist. Sei A M mit µ(a) = 0. Für beliebiges B A gilt dann gilt wegen der Monotonie 0 µ(b) µ(a) = 0. D.h. µ(b) = 0, und hieraus folgt dass B µ-messbar ist und dies bedeutet B M. Sei B(R n ) die Borel-Lebesguesche σ-algebra, dann nennen wir deren Vervollständigung B (R n ) die σ-algebra der Lebesgue messbaren Mengen.

39 1.9. INDUTIGKIT VON MASSN UND RZUGNDNSYSTM indeutigkeit von Maßen und rzeugendensysteme Definition in System von Teilmengen I P(Ω) heißt ein π-system oder durchschnittstabil falls I 1, I 2 I I 1 I 2 I. 2. in System von Teilmengen D P(Ω) heißt ein d-system falls (a) Ω D, (b) falls A, B D und A B dann ist B \ A D, (c) falls A k D, A k A k+1, dann ist auch A k D. 3. in System von Teilmengen D P(Ω) heißt ein Dynkin-System falls (a) Ω D, (b) A D A c = Ω \ A D, (c) für Folgen paarweise disjunkter Mengen A k D, A k A j =, k j, dann auch A k D ist. Sei I P(Ω). Das kleinste Dynkin-System, das I enthält heißt das von I erzeugte Dynkin- System D(I). Analog ist d(i) das kleinste d-system, das I enthällt, (d.h. das von diesem erzeugte d-system ist der Durchschnitt aller d-systeme, die I enthalten. ) Bemerkung Da der Schnitt von Dynkinsystemen (d-systemen) wieder ein Dynkin- System (d-system) ist, macht die letzte Definition Sinn. Man vergleiche mit der analogen Konstruktion der von I erzeugten σ-algebra σ(i). Jede σ Algebra ist sowohl ein Dynkin-System als auch ein d-system (aber nicht notwendigerweise umgekehrt). Satz in System von Teilmengen M ist genau dann eine σ-algebra, falls M sowohl ein π-system als auch ein Dynkin-System (oder ein d-system) ist. Beweis. Jede σ-algebra ist sowohl ein π-,d- wie auch ein Dynkin-System. Umgekehrt, sei D ein durchschnittsstabiles Dynkin-System, und seien A, B D beliebig, dann ist ebenfalls A \ B = A B c D.

40 40KAPITL 1. INFÜHRUNG IN DI MASSTHORI UND DAS LBSGU-INTGRAL Für jede Folge von Teilmengen A k D, k N, bilden wir die paarweise disjunkte Mengen B 1 := A 1, B k := A k \ k 1 i=1 Dann gilt B k D und B k = A k D. A i = A k ( k 1 i=1 A c i) D, k 2. Der Beweis der Aussage für d-systeme verbleibt dem Leser als Übung. Satz (Dynkin-Lemma). Wird ein Dynkin-System D von einem π-system I erzeugt, d.h. D = D(I), so ist D eine σ-algebra, und es gilt Die analoge Aussage gilt für d-systeme. D = D(I) = σ(i). Beweis. Wir zeigen zuerst, dass zu gegebenem B D die Menge selbst wieder ein Dynkin-System ist. Denn sei A D(B), dann ist D(B) := {A D : A B D} D A c B = (A c B c ) B = (A B) c B = ((A B) B c ) c. Aus A B D und B c D folgt A c B D und A c D(B). Für jede Folge disjunkter Mengen A k D(B), k N, ist auch ( ) A k B = (A k B) D, und damit auch A k D(B). Also ist D(B) ein Dynkin-System. Ist B I, so gilt für alle A I nach Voraussetzung A B I D, d.h. A D(B) und damit I D(B) D. Da D(B) ein Dynkin-System ist, und D das kleinste Dynkin-System das I beinhaltet, so folgt D(B) = D für B I. Für alle A D und B I, sowie umgekehrt A I und B D gilt A B D. Dies bedeutet, dass für alle B D ist I D(B) und daher gilt generell D(B) = D und I D. Daraus folgt σ(i) D. Umgekehrt ist D σ(i) klar, da σ(i) ebenfalls ein Dynkin-System ist. Der Beweis für d-systeme verbleibt dem Leser als Übung.

41 1.9. INDUTIGKIT VON MASSN UND RZUGNDNSYSTM 41 Satz (indeutigkeit des Maßes). Seien µ 1, µ 2 beide Maße auf einem messbaren Raum (Ω, M), und sei I ein π-system das M erzeugt, d.h. σ(i) = M, mit der igenschaft, dass eine Folge von Mengen k I exisiert, mit µ 1 ( k ) < und Ω = k. Falls µ 1 () = µ 2 () für alle I gilt, d.h. die Maße auf dem π-system übereinstimmen, dann stimmen sie auf der gesamten σ-algebra M überein, µ 1 (A) = µ 2 (A) A M. Beweis. Wir betrachten zunächst I mit µ 1 () = µ 2 () < und D() := {A M : µ 1 (A ) = µ 2 (A )} M. s gilt u.a. µ 1 ( (Ω \ A) ) + µ1 (A ) = µ 1 ( ((Ω \ A) ) (A ) ) = µ 1 () = µ 2 () = µ 2 ( (Ω \ A) ) + µ2 (A ). Also ist µ 1 ( (Ω \ A) ) = µ2 ( (Ω \ A) ) d.h. A c D(). Auf analoge Art und Weise zeigt man die verbleibenden igenschaften eines Dynkin-Systems. Da I ein erzeugendes π-system ist folgt für das von I erzeugte Dynkinsystem I D(I) D(). Nach Satz ist D() eine σ-algebra. Da M die kleinste σ-algebra, die I umfasst, ist, gilt M D(I) D() M, und somit D() = M, und damit gilt für alle A M µ 1 (A ) = µ 2 (A ). Bilden k I, µ 1 ( k ) = µ 2 ( k ) <, k N, eine Folge von Ω ausschöpfenden Mengen, d.h. Ω = k. Wir bilden B 1 := 1, B k := k \ ( k 1 ) j, k > 1. j=1

42 42KAPITL 1. INFÜHRUNG IN DI MASSTHORI UND DAS LBSGU-INTGRAL Dann gilt für k > 1, µ 1 (A B k ) = µ 1 (A ( k \ Für k = 1 gilt µ 1 (A B 1 ) = µ 2 (A B 1 ). j=1 k 1 j=1 j ) ) ( = µ 1 A ( k 1 ) ) j c k ( = µ 1 A \ ( k 1 ) ) j k j=1 ( = µ 2 A \ ( k 1 ) ) j k = µ 2 (A B k ). Da die B k paarweise disjunkt sind und B k = Ω gilt, so folgt für jede Menge A M ( ) µ 1 (A) = µ 1 (A B k ) = µ 1 (A B k ) = j=1 µ 2 (A B k ) = µ 2 (A). Bemerkung: Falls µ 1 (Ω) < ist, ist die igenschaft () trivialerweise erfüllt. Für Quader in R n und die Borelsche Lesbesgue σ-algebra, erfüllt das unten definierte Borel-Lebesgue-Maß ebenfalls diese igenschaft. Achtung: Allerdings gibt es Situationen, in denen es nicht genügt, das Maß auf einem rzeugendensystem zu kennen! Das Lebesgue-Borel-Maß in R bzw. im R n Sei Ω = R und I := {(a, ) : a R}, dann ist I ein π-system, und d(i) = D(I) = σ(i) die Lebesgue-Borel-σ- Algebra. Im R n betrachten wir n-quader (n-zellen) Q und das zugehörige Volumen µ 0 (Q). Auf dem Mengen-Ring M 0 B der geometrischen lementarfiguren ist die Fortsetzung von µ 0 eine σ-additive nichtnegative Mengenfunktion, mit µ( ) = 0, wie wir in Lemma gezeigt haben. Nach dem Fortsetzungssatz von Caratheodory gibt es eine Fortsetzung µ dieses Maßes auf die Borel-Algebra B. Dieses Maß ist σ-endlich, und dieses Maß ist wegen des indeutigkeitssatzes eindeutig, und heißt das Lebesgue-Borel-Maß. Dieses Maß können wir noch zu einem vollständigen Maß vervollständigen.

43 1.10. PRODUKTMASS 43 Satz s es existiert zu Ω = R n eine σ-algebra M und ein vollständiges Maß µ : M R + mit den folgenden igenschaften 1. auf n-quadern stimmt es mit dem Volumen überein. 2. B M, d.h. M enthält alle Borel-Mengen. 3. µ ist translationsinvariant, d.h. zu allen x R n und M gilt für x + := {x + y : y }. µ(x + ) = µ(). Sei λ : B R + ebenfalls ein translationsinvariantes Maß. Dann existiert c > 0 mit µ() = cλ() B. Beweis. Der erste Teil ist schon gezeigt. Der Beweis der letzten Behauptung ist Übung! Bemerkung Wie man unschwer zeigt, sind alle Regelfunktionen über z.b. dem inheitsintervall [0, 1] Lebesgue messbar. Und für Regelfunktionen stimmt das Regelintegral mit dem Lebesgueintegral überein 1 0 f(x)dx = [0,1] fdµ Produktmaße Das folgende Theorem ist mitunter sehr hilfreich. Satz (Monotone-Klassen-Theorem). Sei H eine Klasse reellwertiger Funktionen f : Ω R auf der Grundmenge Ω, mit den folgenden igenschaften 1. H ist ein linearer Raum über R, 2. Die konstante Funktion x f(x) := 1, x Ω, ist in H, 3. Falls f n H, n N, mit f n (x) f n+1 (x), und lim f n (x) =: f(x), x Ω, dann ist f H. Sei I ein π-system. Falls H alle charakteristischen Funktionen χ mit I beinhaltet, d.h. χ H für alle I, dann sind alle beschränkte und σ(i)-messbare Funktionen in H enthalten.