Institut für Analysis und Scientific Computing WS 2013/14 O. Koch. 1. Haupttest (13. Dezember 2013) Gruppe bunt (mit Lösung )

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1 Institut für Analysis und Scientific omputing WS 13/1 O. Koch P R A K T I S H E M A T H E M A T I K I F Ü R T P H 1. Haupttest (13. Dezember 13) Gruppe bunt (mit Lösung ) FAMILIENNAME Vorname Studium / MatrNr kein Taschenrechner; Unterlagen: eigenes Skriptum gestattet (1) () (3) (max. 3)

2 Aufgabe 1. Alexander benutzt einen Wanderweg entlang der Bahnkurve r(t) mit t 3. Die Geschwindigkeit v(t) sowie die Position von Alexander zum Zeitpunkt t = (wo er eine kurze Pause eingelegt hat) sind bekannt: sin ( t) v(t) = sin ( t), r() = cos ( t). a) Berechnen Sie die Bahnkurve r(t) die Alexander entlang wandert mittels v(t) und r()! b) Alexander ist zum Zeitpunkt t = 1 erschöpft und fragt seine Kollegen, wie lang der Restweg ist. Das Ziel befindet sich bei t = 3. (Berechnen Sie den Weg entlang der Bahnkurve vom Zeitpunkt t = 1 bis t = 3). c) Zum Zeitpunkt t = schießt Alexander eine Signalrakete genau gegen seine Bewegungsrichtung ab, wobei die Bewegung als geradlinig und gleichförmig angesehen werden kann. Der Betrag der Geschwindigkeit der Rakete ab dem Abschusszeitpunkt beträgt v Rakete =. Geben Sie die Bahnkurve r Rakete der Rakete an. d) Wo durchstößt die Rakete die Ebene 8x + y z = 6? LÖSUNG a) Die Bahnkurve zum Zeitpunkt t ergibt sich durch Integration des Geschwindigkeitsvektors unter Ausnutzung der bekannten Position an t = : sin ( t) dt r(t) = sin ( t) dt = [Substitution w = ] cos ( t) cos ( t) dt t c 1 = cos ( t) + c sin ( t) c 3 cos ( ) c 1 [ ( r() = cos ( ) + c ) ( ) ] c 1 = cos =, sin = 1 = sin ( ) c 3 + c = c 3 c 1 cos ( t) + = c =, und somit also r(t) = cos ( t) c 3. sin ( t) b) Der Weg entlang der Bahnkurve ergibt sich zu: r ( ) (t) = v(t) = sin t ( ) + sin t ( ) + cos t = s(t) = 3 1 r (t) dt = (3 1) =.

3 c) Die Bewegungsrichtung von Alexander zeigt in dieselbe Richtung wie sin ( ) v(t = ) = sin ( ) = 1 1. cos ( ) Der normierte Vektor, der die Bewegungsrichtung angibt, lautet daher v 1 = Deshalb ist der Geschwindigkeitsvektor der Rakete v Rakete gegeben durch v Rakete = v 1 = Die lineare Bahnkurve r Rakete (t) ergibt sich zu r Rakete (t) = r(t = ) + (t )v Rakete = + (t ) d) Den Durchstoßpunkt mit der Ebene 8x + y z = 6 erhält man durch Einsetzen, x(t) r Rakete (t) = y(t). z(t) ( ) = 8 (t )1 + (t )1 = 6 7(t )1 = 6 8 1(t ) = 1 7(t ) = 1 t = = 11 7 ( = r Rakete t = 11 ) 7 3 =

4 Aufgabe. Ein Drahtring mit Radius R = 3 cm wird auf einer reibungsfreien Unterlage gerollt. Die Bahn eines Massepunkts, der auf dem Reifen sitzt, ist gegeben als: t sin t r 1 (t) = 3 cm, t >. 1 cos t Beachten Sie folgende Skizze des Problems (Der Reifen wurde zu zwei Zeitpunkten eingezeichnet, er dreht sich im Uhrzeigersinn.) a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit (v(t)) des Massenpunkts und die mittlere Geschwindigkeit ( v) des Massenpunkts zwischen zwei Bodenberührungen. b) Geben Sie den Drehimpuls bezogen auf den Koordinatenursprung an. Hinweis: Beachten Sie, dass gilt: L(t) = m(r(t) v(t)). c) Betrachten Sie nun den Drahtring selbst, welcher die Parameterdarstellung r (s) besitzt, r (s) = 3 sin s cos s cm, s. Der Draht wiegt 3 g/cm und befindet sich in einem in die negative z-richtung wirkenden Gravitationsfeld (g = 981 cm/s ). Geben Sie einen Ausdruck für die potentielle Energie des Drahtstücks pro Zentimeter in Abhängigkeit des Parameters s an. Hinweis: Die potentielle Energie ergibt sich zu E = mgh, wobei h der Abstand zwischen einem Punkt und der (x, y) - Ebene ist. d) Berechnen Sie die gesamte potentielle Energie des Drahtrings (in Joule, 1 J = 1 7 g cm /s ). LÖSUNG

5 a) Die erste Bodenberührung findet zum Zeitpunkt t = statt. Daher ergeben sich die gesuchten Geschwindigkeiten zu: 1 cos t v(t) = 3, v = r 3 1() r () =. sin t b) Berechne den Drehimpuls über das Kreuzprodukt: L(t) = m(r(t) v(t)) 3t 3 sin t 3 3 cos t = m 3 3 cos t 3 sin t = m 9t sin(t) + 9 sin(t) cos(t) 9 cos(t) + 9 cos(t) = 9me y (t sin(t) + cos(t)). c) Die potentielle Energie, die ein Zentimeter des Drahts besitzt, beträgt: E(s) = mgz(s) = 3 g/cm 981 cm/s (1 + cos s) 3 cm =, 889 (1 + cos s) J/cm. d) Die potentielle Energie des gesamten Drahts ergibt sich zu: 3 cos s r (s) =, r (s) = 9 cos s + 9 sin s = 3. 3 sin s E ds = E pot = 5, J E(s) r (s) ds =, 889 (1 + cos s) 3 ds = =, 687 (s + sin s) =, 597

6 Aufgabe 3. Gegeben sei das Feld F(x, y) = ( ) 3x y + sin y x 3. y + x cos y Nehmen Sie als bekannt an, dass F ein Gradientenfeld ist. a) Machen Sie sich die Tatsache, dass F ein Gradientenfeld ist, durch Überprüfen der Integrabilitätsbedingung plausibel. b) Gegeben sind Punkte P 1 = (1, ), P = (1, ), P 3 = (, 1), P = (, ). Durch Zusammenfügen der geradlinigen Strecken P P 3, P 3 P, P P 1 entsteht eine Kurve von P nach P 1 (Skizze!). i) Geben Sie eine Parametrisierung von an. ii) Berechnen Sie das Kurvenintegral von F entlang. c) Gegeben sei eine Kurve mit der Parametrisierung ( r(t) = + cos t ) 3 + sin t, t [, ]. Berechnen Sie r() und r() und geben Sie den Wert des Kurvenintegrals von F entlang dieser Kurve an! LÖSUNG a) Die Integrabilitätsbedingung für F lautet Wegen ist (1) für alle x, y IR erfüllt. y F x(x, y) = x F y(x, y). (1) y F x(x, y) = 6x y + cos y, x F y(x, y) = 6x y + cos y b) i) Eine mögliche Parametrisierung r 1 (t) für die Strecke P P 3 ist ( ) ( ) r 1 (t) = P + t(p 3 P ) = + t, t [, 1]. 1 Analog erhält man Parametrisierungen r (t) und r 3 (t) für P 3 P bzw. P P 1 : ( ) ( ) 1 r (t) = P 3 + t(p P 3 ) = + t, t [, 1], r 3 (t) = P + t(p 1 P ) = 1 ) + t ( 1 1 ( ), t [, 1].

7 c) Will man eine Parametrisierung r(t) der gesamten Kurve, müssen die einzelnen Strecken geschickt zusammenfügt werden: r 1 (t), t [, 1], r(t) = r (t 1), t [1, ], r 3 (t ), t [, 3]. ii) Das Kurvenintegral von F entlang ist definiert durch F dr = 3 F(r(t)) r (t) dt. Da aber F ein Gradientenfeld ist, hängt der Wert des Kurvenintegrals nur vom Anfangsund Endpunkt der Kurve ab und wir können die (relativ umständliche) Berechnung des obigen Integrals umgehen, indem wir statt die direkte Verbindung von P mit P 1, also die Strecke P P 1 wählen. Deren Parametrisierung ist (zum Beispiel) Damit ergibt sich F dr = F dr = P P 1 ˆr(t) = P + t(p 1 P ) = 1 ( ) F(ˆr(t)) ˆr (t) dt = + t 1 ( ) 1, t [, 1]. F( t, ) }{{} t ( ) 1 dt = 1 dt =. Bemerkung: Alternativ kann das Kurvenintegral (durch die Tatsache dass F = Φ ein Gradientenfeld ist) über das Potential Φ(x, y) = x 3 y + x sin y berechnet werden mit: F dr = 1 F(ˆr(t)) ˆr (t) dt = Φ(ˆr(1)) Φ(ˆr()) =. r() = r() = ( + 1 ) 3 ( + 1 ) 3 Die Tatsache, dass eine geschlossene Kurve in einem Gradientenfeld F ist, lässt schlussfolgern, dass der Wert des Kurvenintegrals ergibt.