Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie

Transkript

1 Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Dominik Schillo. Quadrant < < ) cos). Quadrant 0 < < ) sin) Universität des Saarlandes 8. Vorlesung, Stand: 08..0, :0 Uhr). Quadrant < < ). Quadrant < < ) Achtung: Wir geben Winkel immer im Bogenmaÿ an! 80 ˆ=) Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Denition Die Funktionen cos: R R, cos) und sin: R R, sin) nennen wir Cosinus bzw. Sinus. y Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Die Funktionen sin und cos sind -periodisch, d. h. es gilt sin + ) = sin) und cos + ) = cos) für alle R. Nach dem Satz des Pythagoras gilt sin) + cos) = für alle R. Es gilt cos) = cos) und sin) = sin) sowie cos) = sin + ) und sin) = cos ) für alle R. Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie

2 Wichtige Werte von Cosinus und Sinus cos) sin) cos) sin) Denition Die Funktion tan: R \ nennen wir Tangens. { ) } + k ; k Z R, sin) cos) y Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 6 Wichtige Werte von Cosinus, Sinus und Tangens tan) cos) sin) tan) / cos) sin) tan) / Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 8

3 imaginäre Achse z z Imz) = z sin) reelle Achse Rez) = z cos) Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 9 Satz Sei z 0 eine komplexe Zahl. Dann existiert ein Winkel R, sodass z = Rez) + i Imz) = z cos) + i z sin) = z cos) + i sin)). Wir können sogar [0; ) erreichen, sodass eindeutig ist. Eine komplexe Zahl z 0 liegt genau dann im. Quadranten, wenn Rez) > 0 und Imz) > 0,. Quadranten, wenn Rez) < 0 und Imz) > 0,. Quadranten, wenn Rez) < 0 und Imz) < 0,. Quadranten, wenn Rez) > 0 und Imz) < 0. Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 0 Denition Eulersche Formel) Für alle R denieren wir e i = cos) + i sin) und für alle a, b R denieren wir Für alle z, w C gilt Für alle R gilt cos) = ei + e i e a+ib = e a e ib. e z+w = e z e w. und Für alle R gilt e i+) = e i. sin) = ei e i. i Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Denition Ist z 0, so nennen wir z = z e i = z cos) + i sin)), wobei [0; ) der eindeutige Winkel von Folie 0 ist, die Polardarstellung von z. Der Winkel wird auch als Argument von z, in Zeichen argz) =, bezeichnet. Ist z 0, so lässt sich das Argument von z durch cos) = Rez) z oder sin) = Imz) z bestimmen. Hierbei muss aber zusätzlich der Quadrant beachtet werden, da z. B. cos ) = = cos ) gilt. Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie

4 Betrachte z = + i. Dann gilt z = + = und sin) =. Es kommen also = und = in Frage siehe Tabelle auf Folie 8). Da Rez) = > 0 und Imz) = > 0 gilt, liegt z im. Quadranten, sodass =. Damit erhalten wir z = + i = e i = ) )) cos + i sin. Betrachte z = i. Dann gilt z = 0 + = und cos) = 0 = 0. Es kommen also = und = in Frage. Da Rez) = 0 und Imz) = > 0, folgt =. Damit erhalten wir ) )) z = i = e i = cos + i sin. Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Betrachte z = + i. Dann gilt z = ) + = 8 und cos) = 8 =. Es kommen also = und = in Frage. Da Rez) = < 0 und Imz) = > 0, liegt z im. Quadranten, sodass = folgt. Damit erhalten wir z = + i = 8e i = ) )) 8 cos + i sin. Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Rechenregeln Seien z, w C mit z = z e i R) und w = w e iψ ψ R). Es gilt z w = z w e i+ψ) = z w cos + ψ) + i sin + ψ)), d. h. das Multiplizieren entspricht dem Multiplizieren der Beträge und dem Addieren der Winkel. Sei w 0. Es gilt z w = z w eiψ) = z cos ψ) + i sin ψ)), w d. h. das Dividieren entspricht dem Dividieren der Beträge und der Subtraktion der Winkel. Insbesondere gilt für alle n Z. w n = w n e inψ Betrachte z = + i = e i und w = + i = 8e i. Also z w = e i 8e i = 6e i + ) = e i =. Betrachte z = + i = e i. Dann gilt z = e i = e i =. Betrachte z = + i = e i und w = i = e. Dann gilt z e i w = = e i ) = e i ) = e i +) e i = e i. Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 6

5 Sei 0 z = z e i mit R. Dann gilt z = z e i = z cos) + i sin)) = z cos) i sin)) = z e i) = z cos ) + i sin )). Sei z = + i. Dann gilt z = ) + = 6 = und cos) = =. Da Rez) = < 0 und Imz) = > 0 gilt, liegt z im. Quadranten, sodass =. Also z = e i. Damit folgt z = e i ) = e i ) = e i. Wir haben bereits gesehen, dass i die Gleichung z + = 0 löst. Frage Ist jede quadratische Gleichung az + bz + c = 0 mit a, b, c C in C lösbar? Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 8 Sei az + bz + c = 0 mit a, b, c C und a 0 eine quadratische Gleichung. Wir gehen vor wie in Vorlesung : Teilen durch a und quadratische Ergänzung ergibt z + b ) = c ) b a a +. a Wir unterscheiden nun zwei Fälle: c a + b a ) = 0: Die doppelte) Lösung ist z = b a. c a + b a ) 0: Schreibe diesen Term in Polardarstellung, d. h. Dann sind z = re i c a + b a ) = re i. b a, z = re i + b a = re i b a die Lösungen der Gleichung. Achtung: Die abc-formel oder pq-formel sind nur anwendbar, wenn c a + ) b a R und c a + ) b a 0! Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 9 Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 0

6 Betrachte z + z + i) = 0. Dann gilt a =, b =, c = i. ) z + = z + ) = i + ) = + i = e i 0. Die Lösungen ergeben sich damit zu z = e i 6 = cos ) = + i = i, z = e i 6 = cos ) = + i ) )) + i sin ) )) + i sin = i. Betrachte z + z + = 0. Dann gilt a =, b =, c =. ) z + = z + ) = + ) = = e i 0. Die Lösungen ergeben sich damit zu z = e i = cos ) )) + i sin = 0 + i) = + i, ) )) z = e i = cos + i sin = 0 + i) = i. Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Sind a, b, c R und z C eine Lösung der quadratischen Gleichung dann ist auch z eine Lösung. z = + i ist eine Lösung von az + bz + c = 0, z + z + = 0. Damit ist z = i ebenfalls eine Lösung. Satz Fundamentalsatz der Algebra) Seien n N und a 0,..., a n C, sodass für mindestens ein a i 0 i =,..., n) gilt. Dann besitzt das nichtkonstante) Polynom n a 0 + a x + a x + + a n x n = a k x k eine Nullstelle. k=0 Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie