$Id: reihen.tex,v /01/30 18:27:25 hk Exp hk $ n a n. c := lim

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1 Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag 3. $Id: reihen.tex,v. 9//3 8:7:5 hk Exp hk $ III. Analysis Reihen. Absolute Konvergenz Bei den meisten Aufgaben, die sich überhaupt mit dem Wurzelkriterium rechnen lassen, ist es so das sogar der Grenzwert c := lim n a n existiert. In diesem Fall ist das Wurzelkriterium genau dann erfüllt, wenn c < ist. Das Wurzelkriterium deckt keinesfalls alle Beispiele absolut konvergenter Reihen ab. Zum Beispiel hatten wir bereits gesehen, dass die Reihe n= /n absolut konvergent ist, aber beim Versuch dies über das Wurzelkriterium einzusehen stoßen wir auf n n = n, n das Wurzelkriterium ist also nicht erfüllt. Das Wurzelkriterium ist also keinesfalls perfekt, deckt aber trotzdem recht viele Beispiele ab. Nur leider ist die Bedingung des Wurzelkriteriums aufgrund der auftauchenden n-ten Wurzeln oft rechnerisch nur schwer zu überprüfen. Ein etwas schwächeres Kriterium, das sich dann aber oftmals viel bequemer rechnen läßt ist das sogenannte Quotientenkriterium, das wir nun vortstellen wollen. Satz.6 (Quotientenkriterium) Sei (a n ) n N eine Zahlenfolge. Es gebe einen Index n N und eine reelle Zahl c < mit a n und a n+ c a n für alle n N mit n n. Dann ist die Reihe n= a n absolut konvergent. Diesen Satz werden wir hier nicht beweisen. Es läßt sich zeigen, dass eine Folge die das Quotientenkriterium erfüllt auch das Wurzelkriterium erfüllt, und in diesem Sinne ist das Wurzelkriterium stärker als das Quotientenkriterium. Als ein Beispiel behandeln wir einmal die Reihe ( ) n q n n = q q 3 + q3 5 q 7 + n= -

2 Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag 3. wieder für q C. Rechnen wir die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder einmal aus ( ) n qn+ n+ ( ) n q n = n q q. n + n Das Quotientenkriterium ergibt damit, dass n= ( )n q n /(n ) für q < absolut konvergiert. Diese Summe werden wir später in 5 explizit berechnen. Wie beim Wurzelkriterium ist es auch bei der Anwendung des Quotientenkriteriums oft so, dass sogar der Limes c := lim a n+ / a n existiert, und die Bedingung des Quotientenkriteriums wird dann zu c <..3 Das Cauchy Produkt Wie bereits bemerkt wollen wir die Summe der Reihe n= nqn explizit berechnen. Bisher haben wir nur eingesehen, dass diese für q < zumindest absolut konvergent ist. Diese Einsicht wird sich tatsächlich als hilfreich zur Berechnung herausstellen. Um die Reihe aber effektiv angehen zu können, benötigen wir noch eine weitere Regel für das Rechnen mit unendlichen Summen. Bisher haben wir es strikt vermieden über Multiplikation von Reihen zu sprechen. Diese ist leider auch etwas komplizierter als die Multiplikation von Folgen. Das Produkt der Summen zweier Reihen ist nicht die Summe der Einzelprodukte, dies ist ja nicht einmal bei endlichen Summen so (a + a + a 3 ) (b + b + b 3 ) = a b + a b + a b 3 + a b + a b + a b 3 + a 3 b + a 3 b + a 3 b 3. Als eine etwas optimistische Erwartung könnten wir schauen ob eine entsprechende Rechnung auch für unendliche Summen wahr ist, ob also so etwas wie ( ) ( ) a n b n = a b + a b + a b + + a b + a b + a b + + a b + a b + a b + gilt? Hierzu müssten wir uns zunächst einmal überlegen was die rechte Seite denn überhaupt bedeuten soll, so eine doppelt unendliche Summe haben wir bisher nicht behandelt. Eine naheliegende Möglichkeit ist es, die Summanden einfach in irgendeiner Reihenfolge nacheinander hinzuschreiben, etwa nach Diagonalen geordnet als a b + a b + a b + a b + a b + a b + Dass dies möglich ist klingt zunächst nicht sehr glaubhaft, wir hatten doch gesehen, dass unendliche Summen von der Reihenfolge der Summanden abhängen können, und. -..

3 Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag 3. nun soll es auf einmal keine Rolle spielen in welcher Reihenfolge wir unsere Summanden durchlaufen. Dies ist aber kein hoffnungsloses Problem, wir haben ja bereits in Satz festgehalten, dass wir absolut konvergente Reihen in beliebiger Reihenfolge aufsummieren können. Sind beide Summen a n und n= b n absolut konvergent, so werden wir sehen, dass wir die Produkte a k b l in jeder beliebigen Reihenfolge summieren können, und stets das Produkt der Summen der beiden einzelnen Reihen erhalten. Aus Gründen die im nächsten Teilabschnitt klar werden, ist es üblich jetzt noch eine kleine Variante dieser Summationstechnik einzuführen. Wir fassen die Summanden entlang der Diagonalen zusammen, schreiben also a b +a b +a b +a b +a b +a b + = a b +(a b + a b )+(a b + a b + a b )+ Dies endlichen Summen in den Klammern fassen wir als eine neue Folge (c n ) n N auf, und diese Folge ist das sogenannte Cauchyprodukt. Der erste Summand a b hat = + als Summe der auftauchenden Indizes, die beiden Terme a b, a b im zweiten Summanden haben beide die Indexsumme + = + =, die drei Terme a b, a b, a b im dritten Summanden haben alle die Indexsumme + = + = + =, und dies geht immer so weiter. Numerieren wir die Diagonalen mit n =,,, 3,... durch, so sind die Produkte a k b l auf der n-ten Diagonalen gerade durch k +l = n beschrieben. Definition.3: Seien (a n ) n N, (b n ) n N zwei Zahlenfolgen. Das Cauchyprodukt dieser beiden Folgen ist dann die Folge (c n ) n N definiert durch c n := n a k b n k = a k b l k= k+l=n für n N. Die ersten vier Glieder des Cauchyprodukts sind also die Summen der unten jeweils eingekästelten Produkte: a b a b a b a b 3 a b a b a b a b 3 a b a b a b a b 3 a 3 b a 3 b a 3 b a 3 b 3 c a b a b a b a b 3 a b a b a b a b 3 a b a b a b a b 3 a 3 b a 3 b a 3 b a 3 b 3 c a b a b a b a b 3 a b a b a b a b 3 a b a b a b a b 3 a 3 b a 3 b a 3 b a 3 b 3 c a b a b a b a b 3 a b a b a b a b 3 a b a b a b a b 3 a 3 b a 3 b a 3 b a 3 b 3 c 3 Beispiele für Cauchyprodukte werden wir dann im nächsten Teilabschnitt sehen, jetzt wollen wir nur noch den angekündigten Satz über Produkte unendlicher Reihen angeben: Satz.7 (Cauchyprodukte von Reihen) Seien a n, b n zwei absolut konvergente Reihen. Dann ist auch das Cauchy- -3

4 Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag 3. produkt c n dieser beiden Reihen absolut konvergent, und es gilt c n = k= ( n ) ( ) a k b n k = a n b n. Ist weiter d, d, d 3,... eine Aufzählung der Produkte a k b l (k, l N ), so ist auch die Reihe n= d n absolut konvergent mit ( ) ( ) d n = a n b n. n= Tatsächlich reicht es wenn eine der beiden Reihen im Cauchyprodukt absolut konvergiert und die andere überhaupt konvergent ist. Dann ist auch das Cauchyprodukt konvergent, und seine Summe ist das Produkt der Summen der beiden einzelnen Reihen. Diese Verfeinerung hat allerdings erstaunlich wenige Anwendungen.. Potenzreihen Potenzreihen sind ein spezieller, und besonders wichtiger Typ, unendlicher Reihen. In einem gewissen Sinne kann man sich Potenzreihen als Polynome von Grad vorstellen, und wir werden sehen, dass sich viele wichtige Funktionen als Potenzreihen beschreiben lassen. Definition.: Seien (a n ) n N eine Zahlenfolge und x C. Die zur Folge (a n ) n N gehörige Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x ist für x C dann definiert als a n (x x ) n. Warum wir x als Entwicklungspunkt bezeichnen, wird erst in 5 klar werden. Meistens wird der Entwicklungspunkt auch einfach x = sein und die Potenzreihe wird zu a n x n. Eine Grundidee ist es nun eine Potenzreihe a n(x x ) n als eine Funktion der komplexen Zahl x aufzufassen. Ist eine solche Potenzreihe gegeben, so interessieren wir uns für die Menge { } D := x C a n (x x ) n konvergiert, -

5 Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag 3. all derjenigen Punkte x in denen die Reihe konvergiert, in denen wir also unsere Funktion von x überhaupt definieren können. Wir wollen als ein erstes Beispiel einmal die Potenzreihe betrachten. Da dies einfach eine geometrische Reihe ist, wissen wir das sie genau dann konvergiert wenn x < ist, d.h. in diesem Fall ist x n D = {x C : x < } das Innere des Einheitskreises in der komplexen Ebene. Auch die durch die Potenzreihe gegebene Funktion von x kennen wir bereits, für x < haben wir ja bereits x n = x ausgerechnet. Es stellt sich heraus, daß die Menge D der Konvergenzpunkte einer Potenzreihe im wesentlichen immer das Innere eines Kreises ist, dessen Mittelpunkt der Entwicklungspunkt der Potenzreihe ist. Den Radius dieses Kreises nennen wir dann den Konvergenzradius der Potenzreihe. r Divergenz x (absolute) Konvergenz Im Inneren des Kreises konvergiert die Potenzreihe absolut, und außerhalb des Kreises divergiert sie. Auf dem Kreis selbst, also auf dem Rand, kann alles Mögliche passieren, das hängt ganz von der konkreten Potenzreihe ab. Daher haben wir oben auch etwas vorsichtig gesagt, dass der Konvergenzbereich der Potenzreihe im wesentlichen das Innere eines Kreises ist. Zwei Randfälle müssen wir hier gesondert erwähnen. Für x = x konvergiert die Potenzreihe a n(x x ) n = a natürlich immer, aber es kann passieren, dass die Potenzreihe in keinem anderen Punkt konvergiert. In diesem Fall denken wir uns den Konvergenzbereich als einen Kreis mit Radius, nehmen also r = als Konvergenzradius. Im anderen Extremfall konvergiert die Potenzreihe für überhaupt -5

6 Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag 3. alle komplexen Zahlen x. Dann denken wir uns den Konvergenzbereich als einen Kreis von Radius, und verwenden r = als Konvergenzradius der Potenzreihe. Zur Bestimmung des Konvergenzradius können wir uns an das Wurzelkriterium Satz 5 erinnern. Wenden wir das Wurzelkriterium auf die Potenzreihe a n(x x ) n an, so müssen wir den folgenden Ausdruck betrachten lim sup n am (x x ) n = lim sup ( n a n x x ) = ( ) n lim sup an x x. Wir brauchen das dies kleiner als ist, das also x x < /(lim sup n a n ) gilt. Damit erhalten wir die folgende Formel für den Konvergenzradius einer Potenzreihe: Satz.8 (Konvergenzradius einer Potenzreihe) Seien (a n ) n N eine Zahlenfolge und x C. Dann ist der Konvergenzradius r der Potenzreihe a n(x x ) n gleich r = {x R x } n lim sup an Dabei lesen wir / wie schon bei Folgen als. Dem normalerweise sinnlosen Ausdruck / weisen wir für diese Formel (und nur für diese Formel) den Wert zu. Streng genommen brauchen wir eine kleine Verschärfung des Wurzelkriteriums um diesen Satz zu beweisen, aber dies wollen wir hier nicht so eng sehen. Überprüfen wir den Satz einmal an einem uns schon bekannten Beispiel, nämlich der Potenzreihe xn. Hier ist a n = für jedes n N und für den Konvergenzradius erhalten wir r = lim sup n = =. Als ein weiteres Beispiel nehmen wir einmal die Potenzreihe nxn, also a n = n für jedes n N. Als Konvergenzradius ergibt sich r = lim sup n n = =, da wir aus die Formel lim n n = kennen. Als ein letztes Beispiel betrachten wir einmal die Potenzreihe x n n!, also a n = /n! für jedes n N. Nach einer Übungsaufgabe gilt lim n n! =, -6

7 Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag 3. und mit den Formeln für Folgengrenzwerte.Satz folgt hieraus n lim n! = lim n = n! n =. n! Als Konvergenzradius ergibt sich r = lim sup n n! lim = =, wobei hier die in Satz 8 erwähnte Interpretation von / verwendet wird. Bei Addition von Potenzreihen addieren sich offenbar die dargestellten Funktionen. Das Verhalten von Potenzreihen unter Multiplikation ist interessanter. Gegeben seien zwei Potenzreihen a n(x x ) n und b n(x x ) n mit demselben Entwicklungspunkt. Seien r beziehungsweise s die Konvergenzradien dieser beiden Potenzreihen. Weiter sei ein x C mit x x < min{r, s} gegeben. Dann sind die Reihen a n(x x ) n und b n(x x ) n absolut konvergent. Wir bilden nun das Cauchyprodukt c n dieser beiden Reihen. Für jedes n N ist dann c n = ( n n ) (a k (x x ) k ) (b n k (x x ) n k ) = a k b n k (x x ) n, k= und nach dem Satz über das Cauchyprodukt Satz 7 ist auch ( ) ( ) ( n ) a n (x x ) n b n (x x ) n = a k b n k (x x ) n. Das Cauchyprodukt zweier Potenzreihen mit demselben Entwicklungspunkt ist also wieder eine Potenzreihe mit demselben Entwicklungspunkt, dessen dargestellte Funktion gerade das Produkt der durch die einzelnen Potenzreihen dargestellten Funktionen ist. Beachte das die Multiplikation von Potenzreihen für Polynome mit dem Produkt von Polynomen übereinstimmt. Potenzreihen multiplizieren sich also genauso wie Polynome. Dies wollen wir nun in einem Satz festhalten: Satz.9: Seien a n(x x ) n und b n(x x ) n zwei Potenzreihen mit demselben Entwicklungspunkt. Es bezeichne r den Konvergenzradius und f die dargestellte Funktion der ersten Potenzreihe und s, g die entsprechenden Werte der zweiten Potenzreihe. Dann ist der Konvergenzradius des Cauchyprodukts ( n k= a kb n k )(x x ) n mindestens min{r, s} und die vom Cauchyprodukt dargestellte Funktion ist das Produkt der durch die beiden einzelnen Potenzreihen dargestellten Funktionen. Wir wollen diesen Satz einmal anwenden. Da wir bisher nur die geometrische Reihe explizit berechnet haben, bilden wir notgedrungen das Cauchyprodukt der Potenzreihe xn mit sich selbst, und erhalten für alle x C mit x < die Gleichung ( ) ( n ) ( x) = = x n = (n + )x n. x -7 k= k= k=

8 Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag 3. Dies liefert weiter nx n = (n + )x n n= x n = ( x) x = ( x) ( x) = x ( x). Damit haben wir die schon mehrfach angekündigte Summe tatsächlich berechnet. Setzen wir zum Beispiel konkret x = / ein, so wird n = n ( ) =. n= Mit Hilfe von Potenzreihen läßt sich für viele der Standardfunktionen eine einfache, und oftmals gut zu handhabende, Definition angeben. Wir haben bereits gesehen, dass die Potenzreihe x n n! den Konvergenzradius r = hat. Folglich erhalten wir eine auf ganz C definierte Funktion e z z n := exp(z) := n! = + z + z + z3 6 + Dass dies für reelle x tatsächlich die vertraute Exponentialfunktion ist, ist nicht unmittelbar klar. Wir werden erst in 5 eine Begründung hierfür sehen, daher wollen wir es jetzt erst einmal glauben. Die Gestalt der reellen Exponentialfunktion 3 3 sollte Ihnen bekannt sein. Wir wollen uns nun die komplexe Exponentialfunktion etwas näher anschauen. Hierzu rechnen wir e iz (iz) n = = i n zn n! (n)! + i n+ z n+ (n + )! = ( ) n zn (n)! + i ( ) n z n+ (n + )! -8

9 Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag 3. da i n = (i ) n = ( ) n ist. Definieren wir also sin z := cos z := ( ) n z n+ (n + )! = z z3 6 + z5, ( ) n zn (n)! = z + z, so wird e iz = cos z + i sin z für alle z C. Auch für diese beiden Formeln müssen wir bis 5 warten, bis wir eine Begründung erhalten warum die obigen Formeln für reelle Zahlen die übliche Sinus und Cosinus Funktion beschreiben. Erinnern wir uns an die in verwendete Schreibweise e(t) = cos t + i sin t, so sehen wir nun, dass einfach e(t) = e it ist. Weiter stellen sich die Polarkoordinaten im wesentlichen als die Exponentialfunktion heraus e r+it = e r e it = e r cos t + ie r sin t. Der einzige Unterschied ist, dass der Abstand zu Null zu e r umskaliert ist. Wir wollen uns nun auch die komplexe Exponentialfunktion e z einmal graphisch anschauen, aber dazu müssen wir uns zunächst überlegen wie man eine komplexe Funktion überhaupt zeichnen will. Direkt einen Graphen von u + iv = f(x + iy) malen kann man nicht, da wir x, y für die Argumente brauchen und dann keine zwei Achsen u, v in den R 3 reinpassen. Es gibt mehrere Möglichkeiten hier vorzugehen. Ein Weg ist es den Betrag z = f(x + iy) zu zeichnen, dies wird dann gerne als das analytische Gebirge der Funktion f bezeichnet. Für die Exponentialfunktion ergibt sich das folgende Bild -9

10 Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag y 3 x Wir sehen hier, dass der Betracg von e z nur vom Realteil von z abzuhängen scheint. Dies ist tatsächlich wahr, für alle x, y R gilt e x+iy = e x cos y + ie x sin y = e x cos y + e x sin y = e x (cos y + sin y) = e x, also e z = e Re z. Eine andere Darstellungsform ist die sogenannte konforme Darstellung, bei dieser malen wir die Bilder der horizontalen Linien Im z = const und die Bilder der vertikalen Linien Re z = const für mehrere Werte der jeweiligen Konstanten in die Ebene. Man zeichnet also wie die komplexe Funktion f das Standardgitter -

11 Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag 3. deformiert. Als konforme Darstellung der Exponentialfunktion erhalten wir Die Kreise sind hierbei die Bilder der Vertikalen Re z = const und die radialen Linien sind die Bilder der Waagerechten Im z = const. Wir kommen nun zum komplexen Sinus uns Cosinus, und hierzu können wir unsere oben hergeleitete Formel e iz = cos z + i sin z -

12 Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag 3. noch etwas weiter ausnutzen. Setzen wir hier z für z ein, so wird und damit erhalten wir e iz = cos( z) + i sin( z) = cos z i sin z, cos z = eiz + e iz, sin z = eiz e iz. i Sinus und Cosinus lassen sich also durch die Exponentialfunktion beschreiben. Für reelle Argumente gibt es keinen Zusammenhang zwischen der Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen, aber unsere Formel zeigt, daß Sinus und Cosinus bei Betrachtung komplexer Argumente sich nicht groß von der komplexen Exponentialfunktion unterscheiden. Sinus und Cosinus dürften Ihnen im Reellen wohlbekannt sein Sinus Cosinus und wir wollen uns einmal die komplexe Sinusfunktion anschauen. Zunächst einmal das analytische Gebirge:.5.5 y x Die erkennbaren Löcher sind gerade die bekannten Nullstellen der Sinusfunktion bei den ganzzahligen Vielfachen von π. Im konformen Bild haben wir -

13 Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag 3. Die geschlossenen Linien entsprechen dabei den Horizontalen Im z = const und die seitlichen Kurven stammen von den Vertikalen Re z = const. Diese seitlichen Kurven sind Hyperbeln, den Grund dafür werden wir noch kennenlernen. Auch für den Tangens und den Cotangens haben wir eine komplexe Version, die einfach durch den üblichen Quotienten definiert wird tan z := sin z cos z, cot z := cos z sin z. Auch für diese beiden Funktionen dürften Ihnen die reellen Graphen 3 3 y y Tangens Cotangens -3

14 Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag 3. geläufig sein. Etwas interessanter sind der Betrag und der komforme Plot des Tangens y x.5 3 Die nach oben gehenden Kreise sind dabei die Bilder der horizontalen Geraden Im z = const, und die seitlichen Kreise sind die Bilder der vertikalen Linien Re z = const. -