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1 Lösungen der Trainingsaufgaben aus Toolbo Mathematik für MINT-Studiengänge

2 3 Funktionen Version 22. Dezember 206 Lösung zu Aufgabe 3. Eine Funktion f ordnet jedem Element aus einer Definitionsmenge D genau ein Element des Wertebereichs W zu. Der Graph einer Funktion ist die Menge Graph(f) ={(, f()) D W D} (i) Jedem R wird sein Quadrat 2 zugeordnet. Die Menge {(, 2 ) R} ist der Graph der Funktion f : R R, 2. 2 (ii) Sowohl (, ) als auch (, ) sind Elemente der Menge {( 2,) R}. Damit wird einem Element des Definitionsbereichs kein eindeutiges Element des Wertebereichs zugeordnet, so dass die Menge kein Graph einer Funktion

3 3 2 Kapitel 3 Funktionen ist. 2 (iii) Es gilt: (sin(0), cos(0)) = (0, ), (sin(π), cos(π)) = (0, ). Somit ist z.b. die Zuordnung für 0 nicht eindeutig und es liegt keine Funktion zugrunde. Die Menge parametrisiert einen Kreis mit Radius um den Ursprung, so dass keine Funktion vorliegen kann. cos(t) sin(t) (iv) Sowohl e t als auch cos(t) sind auf R wohldefiniert. Weiterhin ist e t streng monoton steigend in t, sodass jedem Wert = e t (0, ) genau ein Wert y =cos(t) zugeordnet wird. Es liegt also ein Graph einer Funktion vor. cos(t) e t Eine monotone Transformation liefert die zugehörige Funktion f :(0, ) R, cos(ln()). Toolbo Mathematik für MINT-Studiengänge E. Cramer, U. Kamps, J. Lehmann, S. Walcher 207

4 3 3 cos(ln(t)) t Lösung zu Aufgabe 3.2 (i) f g : R R, f(g()) =( 2 ) 2 = (ii) f g : R [0, ), f(g()) = 2 = (iii) f g :[, ] R, f(g()) =2sin() (iv) f g : R R, f(g()) =( 2 ) 2 = 4. Man beachte auch Teil (i). I.Allg. ist die Verknüpfung von Funktionen nicht kommutativ. Lösung zu Aufgabe 3.3 (i) Für R gilt f() = 2 = ( ). Damit besitzt die Gleichung f() =0 die Lösungen =und =0,sodassf nicht injektiv (und damit auch nicht bijektiv) ist. Weiterhin ist f() = 2 = ( 4 = ) die Scheitelpunktform der Parabel, an der sich ablesen lässt, dass ( 2, 4) ein E. Cramer, U. Kamps, J. Lehmann, S. Walcher 207 Toolbo Mathematik für MINT-Studiengänge

5 3 4 Kapitel 3 Funktionen globales Minimum der Funktion ist. f() Damit besitzt die Gleichung f() =c für alle c< 4 keine Lösung. Also ist f auch nicht surjektiv. (ii) Für ein c [0, ) seien, 2 [0, ) mit g( )=c, g( 2 )=c. Dann gilt aufgrund der Positivität der Wurzel: g( )=g( 2 ) = 2 ( ) 2 =) 2 ) 2 = 2. Somit besitzt die Gleichung f() =c für jedes c [0, ) höchstens eine Lösung, so dass g injektiv ist. Sei nun weiterhin c W =[0, ). Dannistc 2 D =[0, ) und g(c 2 )=c, so dass jede derartige Gleichung mindestens eine Lösung besitzt, d.h. g ist surjektiv. Insgesamt ist g daher bijektiv. g() Toolbo Mathematik für MINT-Studiengänge E. Cramer, U. Kamps, J. Lehmann, S. Walcher 207

6 3 5 (iii) Für R gilt h() =h( ), so dass h nicht injektiv ist. Allerdings eistiert für jedes c [0, ) ein = 4 c mit h() = ( 4 c ) 4 = c. Also besitzt jede derartige Gleichung mindestens eine Lösung und h ist surjektiv. h() c 4 c 4 c (iv) Mit den Eigenschaften von trigonometrischen Funktionen und Arcusfunktionen ist die Sinusfunktion auf [ π 2, ] π 2 streng monoton wachsend und somit umkehrbar durch die Arcussinusfunktion, wenn der Wertebereich auf das Intervall [, ] eingeschränkt wird. Wegen [0, ] [ π 2, ] π 2 besitzt die Gleichung sin() =c somit für jedes c R höchstens eine Lösung bzw. genau eine Lösung, sofern arcsin(c) wohldefiniert ist. Damit ist v injektiv. Wegen sin() [, ] für alle R hat die Gleichung sin() =c keine Lösung für c >. Damit ist v nicht surjektiv. v() E. Cramer, U. Kamps, J. Lehmann, S. Walcher 207 Toolbo Mathematik für MINT-Studiengänge

7 3 6 Kapitel 3 Funktionen Lösung zu Aufgabe 3.4 (i) Ist 0 <y R so gilt 3 <y 3.Für<y 0 folgt 0 y < und somit gemäß der vorherigen Aussage ( y) 3 < ( ) 3 ( ) 3 < ( y) 3 3 <y 3. Dabei wurden im ersten Schritt beide Seiten mit multipliziert. Es bleibt der Fall <0 <y.dannist 3 < 0 und y 3 > 0, sodass 3 <y 3. Damit ist die Funktion insgesamt streng monoton wachsend. f() (ii) Der Graph der Funktion ist eine Parabel. g() Damit ist g ohne weitere Einschränkungen an den Definitionsbereich weder streng monoton fallend noch streng monoton wachsend. Konkret gilt etwa: g(0) = < =g(),aber g( 2) = > =g( ). (iii) Für alle 0 <gilt h() =0. Somit ist die Funktion nicht streng monoton auf R. Für 0 gilt h() = 2 0. Also ist die Funktion monoton fallend, denn für <y 0gilt h() >h(y) 2 > 2 y > y. Toolbo Mathematik für MINT-Studiengänge E. Cramer, U. Kamps, J. Lehmann, S. Walcher 207

8 3 7 h() Lösung zu Aufgabe 3.5 (i) Offensichtlich ist 2 0 für alle R und 2 > 0 für alle R\{0}.Also liegt bei =0ein eindeutiges globales Minimum vor. Da f auf (, 0) streng monoton fällt und auf (0, ) streng monoton wächst, gibt es keine weiteren lokalen Etrema. (ii) In der Lösung zu Aufgabe 3.4 wurde gezeigt, dass g auf R streng monoton wachsend ist. Damit kann auf (, ) kein lokales Etremum vorliegen. Bei = liegt also das globale Minimum, bei =das globale Maimum von g. Lösung zu Aufgabe 3.6 Zur Ermittlung der Schnittpunkte sind die Lösungen der Gleichung f() =g() mit R zu bestimmen. Äquivalenzumformungen ergeben nun: f() =g() 2e = e 2 (e ) 2 2e =0. Eine quadratische Ergänzung liefert für y = e die Lösungen: y 2 2y +=2 (y ) 2 =2 y =± 2. Wegen e > 0 für alle R und 2 < 0 kommt nur die Lösung y =+ 2 in Frage: e =+ 2 =ln(+ 2). E. Cramer, U. Kamps, J. Lehmann, S. Walcher 207 Toolbo Mathematik für MINT-Studiengänge

9 3 8 Kapitel 3 Funktionen Mit f(ln( + 2)) = ist (ln( + 2), 2+2 2) der einzige Schnittpunkt. f() Toolbo Mathematik für MINT-Studiengänge E. Cramer, U. Kamps, J. Lehmann, S. Walcher 207

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