In der Mathematik. In der Informatik. 2. Mengen. Wozu Mengen?
|
|
- Ulrich Dieter
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 2. Mengen Wozu Mengen? 2.3 Beziehungen zischen Mengen In der Mathematik u dem Mengenbegri kann man die gesamte Mathematik aubauen: Mengen, Relationen, bbildungen, In der Inormatik Deinition: Ein lphabet ist eine endliche, nichtleere Menge von Symbolen. Deinition: Ein endlicher utomat ist ein System = (Σ, S, δ, s 0, F). Dabei ist Σ das Eingabealphabet und S die Zustandsmenge von, s 0 S ist der Startzustand, F S die Menge der Endzustände und die bbildung δ:s Σ S die Zustandsüberührungsunktion von. 2. Mengen GM Mengen GM 2-2 Beispiele ür Mengen Cantorsche Deinition einer Menge - Die Menge der Studierenden der Hochschule Trier - Die Menge der natürlichen Zahlen zischen 5 und 10: {6, 7, 8, 9} - Die Menge mit den Elementen Liebe, Gesetz und Schornsteineger - Die Menge der Symbole eines lphabets - Die Menge der Zustände eines utomaten - Die Menge der Endzustände eines utomaten - Die Menge aller olsterarben, die sich mit der Lackarbe Tieseeblau kombinieren lassen Lackarbe Glutrot Floraviolett Kaskadenblau Oasengrün Schneeeiß Vulkanrot Tieseeblau Dschungelgrün Meteorgrau Mondsilber Unter einer Menge verstehen ir jede Zusammenassung M von bestimmten ohlunterschiedenen Objekten unserer nschauung oder unseres Denkens (elche Elemente von M genannt erden) zu einem Ganzen. 2. Mengen olsterarbe Schieergrau Blauviolett etrol Ziegelrot GM Mengen GM 2-4 1
2 Deinition 2.1.1: Leere Menge Beschreibung durch uzählung ihrer Elemente: M = { 5, 3, 11, 14 } N = { Liebe, Gesetz, Schornsteineger } O = { 1, blau, 2 } Ø = { x x x } heißt die leere Menge. { 1, 3, 8 } = { 3, 8, 1 } 11 { 5, 3, 11, 14 } 12 { 5, 3, 11, 14 } Beschreibung durch eine charakteristische Eigenschat: M = { x x hat die Eigenschat E } x M genau dann, enn x die Eigenschat E hat. Beispiele: M = { x x =3 oder x=5 } (es gilt dann M = { 3, 5 } M = { x x IN und x>8 } IN = { 0, 1, 2, 3, } bezeichnet die Menge der natürlichen Zahlen. Statt M = { x x IN und x>8 } schreiben ir auch einacher M = { x IN x>8 } Mengen können auch Mengen als Element enthalten: = { 0, 1} B = { 1, 2, 3 } C = {, B } D = {, Ø, 5 } GM 2-5 GM 2-6 Russelsche ntinomie Wen rasiert der Dorbarbier? M = { x x x } Dann ist x M genau dann, enn x x. Gilt M M? D.h. ist x=m auch in M als Element enthalten? Barbier: Ich rasiere alle die Leute im Dor, die sich nicht selber rasieren. Mathematiker: Rasieren Sie sich selbst? Barbier: Ja. Mathematiker: Das kann nicht sein, denn Sie rasieren nur die, die sich nicht selber rasieren. Dann äre M M genau dann, enn M M. Widerspruch! GM 2-7 Barbier: lso nein. Mathematiker: Das kann auch nicht sein, denn Sie rasieren alle Beohner des Dores, die sich nicht selber rasieren. Widerspruch! GM 2-8 2
3 Mehrdeutigkeiten bei und und oder Heiner ist krank und es regnet. Heiner urde krank und der rzt verordnete eine Medizin. Wahrheitserte Logische Verknüpungen Tautologien Quantoren Der rzt verordnete eine Medizin und Heiner urde krank. Hände hoch, oder ich schieße! Die usuhr von Gold oder Edelsteinen ist verboten. Welche olsterarben lassen sich mit der Lackarbe Tieseeblau oder Dschungelgrün kombinieren? Lackarbe Glutrot Floraviolett Kaskadenblau Oasengrün Schneeeiß Vulkanrot Tieseeblau Dschungelgrün Meteorgrau Mondsilber GM 2-9 olsterarbe Schieergrau Blauviolett etrol Ziegelrot GM 2-10 nendung ormaler Logik Deinition 2.2.1: Logische Verknüpungen ussagen können die Wahrheitserte (ahr) oder (alsch) annehmen. Durch olgende Wahrheitstaeln deinieren ir Verknüpungen von ussagen und Q: Wissensbasierte Systeme Negation (nicht ) Konjunktion ( und Q) Disjunktion ( oder Q) Q Q Q Q Wissensbasis Inerenzmaschine Benutzungsschnittstelle Shell Übungsaugabe Implikation (enn, dann Q) Äquivalenz (Q genau dann, enn ) Q Q Q Q GM 2-11 GM
4 Deinition 2.2.2: Tautologie Satz 2.2.1: Tautologien Eine aussagenlogische Formel mit den ussagenvariablen, Q, R,... heißt allgemeingültig (oder Tautologie), enn bei jeder Zuordnung (Belegung) von Wahrheitserten zu, Q, R,... die Formel den Wahrheitsert annimmt. Es seien, Q und R ussagenvariablen. Dann sind die olgenden aussagenlogische Formeln allgemeingültig: a) ( Q) b) ( Q) c) (( Q) (Q R)) ( R) (modus barbara) d) ( ( Q)) Q (modus ponens) e) (( Q) Q) (modus tollens) ) (( Q) ) ( Q) (indirekter Beeis) Übungsaugabe GM 2-13 GM 2-14 Deinition 2.2.3: Äquivalenz von Formeln Satz 2.2.2: Gesetze der ussagenlogik Es gelten olgende Äquivalenzen aussagenlogischer Formeln: Zei aussagenlogische Formeln mit den ussagenvariablen, Q, R,... heißen äquivalent, enn bei jeder Zuordnung (Belegung) von Wahrheitserten zu, Q, R,... beide Formeln den gleichen Wahrheitsert haben. Wir drücken dies durch das Zeichen aus. Q Q Q Q (Q R) ( Q) ( R) (Q R) ( Q) ( R) Kommutativität Distributivität neutrale Elemente Komplement Übungsaugabe GM 2-15 GM
5 Satz 2.2.3: eitere Gesetze der ussagenlogik Deinition 2.2.4: ussageorm und Quantoren Es gelten olgende Äquvalenzen aussagenlogischer Formeln: Idempotenz Ersetzt man in einer ussage irgendeine Konstante durch eine Variable x, so entsteht eine ussageorm (x). ( Q) ( Q) (Q R) ( Q) R (Q R) ( Q) R ( Q) Q ( Q) Q ( ) bsorption ssoziativität De Morgansche Gesetze Die ussage Für alle x M gilt (x) ist ahr genau dann, enn (x) ür alle x M ahr ist. bkürzend schreibt man ür diese ussage x M: (x) Die ussage Es gibt ein x M, sodass (x) ist ahr genau dann, enn (x) ür mindestens ein x M ahr ist. bkürzend schreibt man ür diese ussage x M: (x) GM 2-17 GM 2-18 Satz 2.2.4: Rechenregeln ür Quantoren Beschreibung der Eigenschaten einer Menge Für usageormen (x) und Q(x) gelten olgende Äquvalenzen: x: (x) x: (x) x: (x) x: (x) ( x: (x) x: Q(x)) x: (x) Q(x) ( x: (x) x: Q(x)) x: (x) Q(x) Mit den Verknüpungen der Formalen Logik können ir die Eigenschaten der Elemente einer Menge präziser ormulieren: Beispiele: M = { x x=3 x=5 }= { 3, 5 } M = { x x IN x>8 } = { 9, 10, 11, 12, } M = { x IN x<8 (x=5) } = { 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7 } M = { x IN y IN: x=3y } = { 0, 3, 6, 9, } Übungsaugabe Übungsaugaben bis GM 2-19 GM
6 2.3 Beziehungen zischen Mengen Deinition 2.3.1: Teilmenge Teilmengen Gleichheit von Mengen otenzmengen Es seien und B Mengen. heißt Teilmenge von B, geschrieben B, alls ür alle x gilt: x x B. B x Übungsaugabe Beziehungen zischen Mengen GM Beziehungen zischen Mengen GM 2-22 Deinition 2.3.2: Gleichheit von Mengen Deinition 2.3.3: Echte Teilmenge Es seien und B Mengen. und B sind gleich, geschrieben =B, alls B und B. Für (=B) schreiben ir ie üblich B. Es seien und B Mengen. heißt echte Teilmenge von B, geschrieben B, alls B und B. Übungsaugabe Übungsaugaben und Beziehungen zischen Mengen GM Beziehungen zischen Mengen GM
7 Deinition 2.3.4: otenzmenge Es sei M eine Menge. (M) = { M } heißt otenzmenge von M. Vereinigung Durchschnitt Dierenz Komplement Übungsaugabe Beziehungen zischen Mengen GM 2-25 GM 2-26 Deinition 2.4.1: Vereinigung Satz 2.4.1: Gesetze der Vereinigung Seien und B Mengen. B = { x x x B } heißt Vereinigung von und B. Seien und B Mengen. Dann gilt: a) B = B (Kommutativität) b) Ø = c) B d) B B = B B B Übungsaugabe GM 2-27 GM
8 Deinition 2.4.2: Durchschnitt Satz 2.4.2: Gesetze des Durchschnitts Seien und B Mengen. B = { x l x x B } heißt Durchschnitt von und B. Seien und B Mengen. Dann gilt: a) B = B (Kommutativität) b) Ø = Ø c) B d) B B = B B Übungsaugaben und GM 2-29 GM 2-30 Satz 2.4.3: Distributivgesetze Deinition 2.4.3: Dierenz Seien, B und C Mengen. Dann gilt: a) (B C) = ( B) ( C) b) (B C) = ( B) ( C) Seien und B Mengen. \B = { x l x x B } heißt Dierenz von und B oder auch ohne B. \B B Übungsaugabe Übungsaugabe GM 2-31 GM
9 Deinition 2.4.4: Komplement Satz 2.4.4: Komplement G Sei Teilmenge der Grundmenge G. = G \ heißt Komplement von bezüglich G. Sei Teilmenge der Grundmenge G. Dann gilt: a) = Ø b) = G Übungsaugabe GM 2-33 GM 2-34 Satz 2.4.5: Gesetze der Mengenoperationen Satz 2.4.6: eitere Gesetze der Mengenoperationen Es seien, B und C Teilmengen der Grundmenge G. Dann gilt: Es seien, B und C Teilmengen der Grundmenge G. Dann gilt: B = B B = B (B C) = ( B) ( C) (B C) = ( B) ( C) G = Ø = = Ø = G Kommutativität Distributivität neutrale Elemente Komplement = = Ø = Ø G = G ( B) = ( B) = (B C) = ( B) C (B C) = ( B) C B = B B = B = Idempotenz bsorption ssoziativität De Morgansche Gesetze Ø = G G = Ø GM 2-35 GM
2.1 Beschreibung von Mengen 2.2 Formale Logik 2.3 Beziehungen zwischen Mengen 2.4 Mengenoperationen
2. Mengen 2.1 Beschreibung von Mengen 2.2 Formale Logik 2.3 Beziehungen zischen Mengen 2.4 Mengenoperationen 2. Mengen GM 2-1 Wozu Mengen? In der Mathematik Au dem Mengenbegri kann man die gesamte Mathematik
Mehr4. Abbildungen. Was ist eine Abbildung? Eigenschaften: injektiv surjektiv bijektiv Umkehrabbildung. Rolf Linn. 4. Abbildungen GM 4-1
4. bbildungen Was ist eine bbildung? Eigenschaften: injektiv surjektiv bijektiv Umkehrabbildung 4. bbildungen GM 4-1 Wozu bbildungen? In der Mathematik In fast allen Gebieten der Mathematik spielen bbildungen
MehrGrundlagen der Programmierung
GdP2 Slide 1 Grundlagen der Programmierung Vorlesung 2 Sebastian Ianoski FH Wedel GdP2 Slide 2 Beispiel ür eine Programmveriikation Gegeben sei olgender Algorithmus: i (x>0) ((y+x) 0) then z := x y else
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie 1 Grundlagen der Theoretischen Inormatik Sebastian Ianoski FH Wedel Kap. 2: Logik, Teil 2.1: Aussagenlogik FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie
Mehr4 Logik 4.1 Aussagenlogik
4 Logik 4.1 Aussagenlogik Mod - 4.1 Kalkül zum logischen Schließen. Grundlagen: Aristoteles 384-322 v. Chr. Aussagen: Sätze, die prinzipiell als ahr oder alsch angesehen erden können. z. B.: Es regnet.,
MehrLogik, Mengen und Abbildungen
Kapitel 1 Logik, Mengen und bbildungen Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 1 Logik, Mengen und bbildungen 1 / 26 ussage Um Mathematik betreiben zu können, sind ein paar Grundkenntnisse der mathematischen
Mehr3. Logik 3.1 Aussagenlogik
3. Logik 3.1 Aussagenlogik WS 06/07 mod 301 Kalkül zum logischen Schließen. Grundlagen: Aristoteles 384-322 v. Chr. Aussagen: Sätze, die prinzipiell als ahr oder falsch angesehen erden können. z. B.: Es
MehrDiskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kapitel 1: Grundlagen der Mathematik. Referenzen zum Nacharbeiten:
FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski DM1 Folie 1 Diskrete Mathematik Sebastian Ianoski FH Wedel Kapitel 1: Grundlagen der Mathematik Reerenzen zum Nacharbeiten: Lang 1, 2.1 Meinel 1 Dean 3, 4 Hachenberger
Mehr5.1 Operationen 5.2 Boolsche Algebren 5.3 Monoide, Gruppen, Ringe, Körper 5.4 Quotientenalgebren
5. Algebra 5.1 Operationen 5.2 Boolsche Algebren 5.3 Monoide, Gruppen, Ringe, Körper 5.4 Quotientenalgebren 5. Algebra GM 5-1 Black Box Allgemein ist eine Black Box ein Objekt, dessen innerer Aufbau und
Mehr5. AUSSAGENLOGIK: SEMANTIK
5. AUSSAGENLOGIK: SEMANTIK 5.1 Charakteristische Wahrheitstaeln 5.2 Wahrheitsertzuordnung I 5.3 Die Konstruktion von Wahrheitstaeln 5.4 Wahrheit und Falschheit unter einer Wahrheitsertzuordnung 5.5 Wahrheitsbedingungen
MehrBrückenkurs Mathematik 2015
Technische Universität Dresden Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis Dr.rer.nat.habil. Norbert Koksch Brückenkurs Mathematik 2015 1. Vorlesung Logik, Mengen und Funktionen Ich behaupte aber, dass
MehrAufgabe 1. n b i i i i i 1 i 1. log( a ) b log a, a 0. n b b b b. log( a ) log a a... a. i 1 2 n. i 1 2 n. log( a ) log a log a...
Augabe 1 n n b i i i i i 1 i 1 i log( a ) b log a, a 0 n i 1 b b b b i 1 n log( a ) log a a... a n i 1 n b b b b i 1 n log( a ) log a log a... log a i 1 n i 1 n i log( a ) b log a b log a... b log a i
Mehr3. Relationen. 3.1 Kartesische Produkte 3.2 Zweistellige Relationen 3.3 Äqivalenzrelationen 3.4 Halbordnungen 3.5 Hüllen. Rolf Linn. 3.
3. Relationen 3.1 Kartesische Produkte 3.2 Zweistellige Relationen 3.3 Äqivalenzrelationen 3.4 Halbordnungen 3.5 Hüllen 3. Relationen GM 3-1 Wozu Relationen? Mathematik Theoretische Informatik Kryptographie
MehrMengenlehre. Begriff der Mengenzugehörigkeit x M, x Ê M >x : x { a 1. e e x = a n. } 2 x = a 1. >x : x { y P(y) } 2 P(x) Begriff der leeren Menge
Mengenlehre Grundbegriff ist die Menge Definition (Naive Mengenlehre). Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor) Notation 1. Aufzählung
MehrKapitel 06. Klassische Logik. Grundlage: Inhetveen, Kap. 5; Schöning, Kap.1, 2. Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
: Klassische Logik Grundlage: Inhetveen, Kap. 5; Schöning, Kap.1, 2 Friedrich-lexander-Universität Erlangen-Nürnberg Department Inormatik 1 G. Görz, Inormatik 8 Überblick "Logikbaum" Dialogische Begründung
MehrELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 2: Elementare Logik und Beweise
ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 2: Elementare Logik und Beweise MAA.01011UB MAA.01011PH Vorlesung mit Übung im WS 2016/17 Christoph GRUBER Günter LETTL Institut für Mathematik und wissenschaftliches
MehrVorsemesterkurs Informatik
Vorsemesterkurs Informatik Vorsemesterkurs Informatik Mario Holldack WS2015/16 30. September 2015 Vorsemesterkurs Informatik 1 Einleitung 2 Aussagenlogik 3 Mengen Vorsemesterkurs Informatik > Einleitung
MehrAussagenlogik. Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik. 2 Teil 2: Modellierung und Beweise. Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/25
Aussagenlogik Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik 2 Teil 2: Modellierung und Beweise Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/25 Einführendes Beispiel Falls Lisa Peter trifft, dann trifft Lisa auch Gregor.
MehrMengen. (Nicht-) Elemente einer Menge { 3, 4 } { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } 3 { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } }
Mengen Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor) Notation 1. Aufzählung aller Elemente: { 1,
MehrVorsemesterkurs Informatik
Vorsemesterkurs Informatik Sommersemester 2018 Ronja Düffel 14. März 2018 Theoretische Informatik Wieso, weshalb, warum??!? 1 Modellieren und Formalisieren von Problemen und Lösungen 2 Verifikation (Beweis
Mehrf(1, 1) = 1, f(x, y) = 0 sonst üblicherweise Konjunktion, manchmal auch
Belegungen, Wahrheitsfunktionen 1. Wie viele binäre Funktionen gibt es auf der Menge {0, 1} (d.h., Funktionen von {0, 1} 2 nach {0, 1})? Geben Sie alle diese Funktionen an, und finden Sie sinnvolle Namen
MehrVorlesung 3: Logik und Mengenlehre
28102013 Erinnerung: Zeilen-Stufen-Form (ZSF) eines LGS 0 0 1 c 1 0 0 0 1 0 0 1 c r 0 0 0 c r+1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c m Erinnerung: Information der Zeilen-Stufen-Form Aus der ZSF liest man ab: Folgerung
MehrMengen. Eigenschaften. Spezielle Mengen (1) Prominente Mengen. ! Mengenzugehörigkeit
Mengen! Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor)! Notation 1. Aufzählung aller Elemente: {
MehrWarum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz. 1 Mengen Mengenoperationen Rechenregeln Mengen 4. Funktionen 7
Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz März 2011 Inhalt 1 Mengen 1 1.1 Mengenoperationen.............................. 2 1.2 Rechenregeln.................................. 3 2 Übungsbeispiele zum
MehrGrundlagen der Logik
Grundlagen der Logik Denken Menschen logisch? Selektionsaufgabe nach Watson (1966): Gegeben sind vier Karten von denen jede auf der einen Seite mit einem Buchstaben, auf der anderen Seite mit einer Zahl
MehrVorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer. September/Oktober Lennéstraße 43, 1. OG
Vorkurs Mathematik JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Lennéstraße 43, 1. OG pinger@uni-bonn.de September/Oktober 2017 JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober
MehrVorkurs Mathematik für Informatiker Aussagenlogik -- Thomas Huckle Stefan Zimmer Matous Sedlacek,
Vorkurs Mathematik für Informatiker -- 4 ussagenlogik -- Thomas Huckle Stefan Zimmer Matous Sedlacek, 7..2 ussagenlogik Rechnen mit Wahrheitswerten: oder, oder Objekte, die wir untersuchen, sind jetzt
MehrMengenlehre. Ist M eine Menge und x ein Element von M, so schreiben wir x M. Ist x kein Element von M, so schreiben wir x M.
Mengenlehre Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter und unterschiedlicher Objekte. Für jedes Objekt lässt sich eindeutig sagen, ob es zu der Menge gehört. Die Objekte heißen Elemente der Menge.
MehrAnwendungen der Logik, SS 2008, Martin Goldstern
Anwendungen der Logik, SS 2008, Martin Goldstern Total geordnete Körper Ein total geordneter Körper ist ein Körper (K, +,, 0, 1, ) mit einer totalen (=linearen) Ordnung, die mit den Operationen verträglich
MehrMathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16
Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 15. Oktober 2015 Zu der Vorlesung gibt es ein Skript, welches auf meiner Homepage veröffentlicht
MehrMathematische Grundlagen der Computerlinguistik
Mengen und Mengenoperationen (Teil I) Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung (CIS) 2. Juni 2014 Table of Contents Mengen und ihre Darstellung Darstellung endlicher Mengen Darstellung unendlicher
MehrEine Aussage ist ein Satz der Umgangssprache, der wahr oder falsch sein kann. Man geht von dem Folgenden aus:
Karlhorst Meyer Formallogik Die Umgangssprache ist für mathematische Bedürfnisse nicht exakt genug. Zwei Beispiele: In Folge können u. U. Beweise, die in Umgangssprache geschrieben werden, nicht vollständig,
MehrInformatik A. Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser
Informatik A Prof. Dr. Norbert Fuhr fuhr@uni-duisburg.de auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser 1 Teil I Logik 2 Geschichte R. Descartes (17. Jhdt): klassische
MehrDe Morgan sche Regeln
De Morgan sche Regeln Durch Auswerten der Wahrheitswertetabelle stellen wir fest, dass allgemeingültig ist; ebenso (p q) p q (p q) p q. Diese beiden Tautologien werden als die De Morgan schen Regeln bezeichnet,
MehrSeminar Kategorientheorie
Seminar Kategorientheorie Holger rnold 20. pril 2004 1 Kategorien Begrie: Kategorie, Objekt, Morphismus, kommutatives Diagramm, Monoid Deinition 1 (Kategorie) Eine Kategorie C = (Obj C, Mor C,, id) ist
MehrLineare Algebra I. Anhang. A Relationen. Heinz H. GONSKA, Maria D. RUSU, Michael WOZNICZKA. Wintersemester 2009/10
Fakultät für Mathematik Fachgebiet Mathematische Informatik Anhang Lineare Algebra I Heinz H. GONSKA, Maria D. RUSU, Michael WOZNICZKA Wintersemester 2009/10 A Relationen Definition A.1. Seien X, Y beliebige
MehrFür unseren Gebrauch ist eine Menge bestimmt durch die in ihr enthaltenen Elemente. Ist M eine Menge, so ist ein beliebiges Objekt m wieder so ein
Mengen 1.2 9 1.2 Mengen 7 Der Begriff der Menge wurde am Ende des 19. Jahrhunderts von Georg Cantor wie folgt eingeführt. Definition (Cantor 1895) Eine Menge ist eine Zusammenfassung M von bestimmten,
Mehr2 Mengen, Relationen, Funktionen
Grundlagen der Mathematik für Informatiker Grundlagen der Mathematik für Informatiker Mengen, Relationen, Funktionen. Mengen Definition. [Georg Cantor 895] Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter,
Mehrfalsch zugelassen. Als typische Bezeichnungen für Aussagen verwenden wir Buchstaben A, B, C,..., für die Wahrheitswerte wahr und f für falsch.
1 Elementare Logik 1. Aussagenlogik Unter einer Aussage verstehen ir einen grammatikalisch korrekten Satz, dem ein Wahrheitsert zugeiesen erden kann. Als Wahrheitserte sind dabei ausschließlich ahr und
MehrTechnische Universität München. Ferienkurs Lineare Algebra 1. Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen. 21. März 2011.
Technische Universität München Ferienkurs Lineare Algebra 1 Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen 21. März 2011 Tanja Geib Inhaltsverzeichnis 1 Aussagen 1 2 Mengenlehre 3 2.1 Grundlegende Definitionen
MehrTHEORETISCHE INFORMATIK UND LOGIK
Rückblick: Logelei Wir kehren zurück auf das Inselreich mit Menschen von Typ W (Wahrheitssager) und Typ L (Lügner). THEORETISCHE INFORMATIK UND LOGIK 14. Vorlesung: Modelltheorie und logisches Schließen
MehrAnalysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Ingenuin Gasser Department Mathematik Universität Hamburg Technische Universität Hamburg Harburg Wintersemester 2008/2009 1 Kapitel 1: Aussagen, Mengen
MehrMathematik für Techniker
Siegfried Völkel u.a. Mathematik für Techniker 7., neu bearbeitete und erweiterte uflage 16 1 Rechenoperationen Prinzip der Mengenbildung Wenn eine ussageform für die Objekte eines Grundbereichs vorliegt,
MehrEin und derselbe Satz kann in Bezug auf unterschiedliche Situationen s 1. und s 2 unterschiedliche Wahrheitswerte haben.
2 Aussagenlogik () 2.3 Semantik von [ Gamut 4-58, Partee 7-4 ] Ein und derselbe Satz kann in Bezug auf unterschiedliche Situationen s und s 2 unterschiedliche Wahrheitswerte haben. Beispiel: Es regnet.
MehrLogik. Logik. Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 2013/ September Vorkurs Informatik - Theorie - WS2013/14
Logik Logik Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 2013/14 30. September 2013 Logik > Logik > logische Aussagen Logik Logik > Logik > logische Aussagen Motivation Logik spielt in der Informatik eine
MehrMathematik 1 für Informatik Inhalt Grundbegrie
Mathematik 1 für Informatik Inhalt Grundbegrie Mengen, speziell Zahlenmengen Aussagenlogik, Beweistechniken Funktionen, Relationen Kombinatorik Abzählverfahren Binomialkoezienten Komplexität von Algorithmen
MehrMathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18
Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 19. Oktober 2017 1/27 Zu der Vorlesung gibt es ein Skript, welches auf meiner Homepage
Mehr2.3 Deduktiver Aufbau der Aussagenlogik
2.3 Deduktiver Aufbau der Aussagenlogik Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit einem axiomatischen Aufbau der Aussagenlogik mittels eines Deduktiven Systems oder eines Kalküls. Eine syntaktisch korrekte
Mehr1 Einführung Aussagenlogik
1 Einführung Aussagenlogik Denition 1. Eine Aussage ist ein Aussagesatz, der entweder wahr oder falsch ist. Welche der folgenden Sätze ist eine Aussage? 3+4=7 2*3=9 Angela Merkel ist Kanzlerin Stillgestanden!
MehrBrückenkurs Mathematik
Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 1 Logik,, Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mo 6.10.2008 Zeitplan Tagesablauf: 9:15-11:45 Vorlesung Audimax I 13:00-14:30 Übung Übungsräume
MehrTU9 Aussagenlogik. Daniela Andrade
TU9 Aussagenlogik Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 18.12.2017 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;) 2 /
MehrKapitel 1. Grundlagen Mengen
Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig
MehrMengen (siehe Teschl/Teschl 1.2)
Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2) Denition nach Georg Cantor (1895): Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten und wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem
MehrZusammenfassung der letzten LVA. Einführung in die Theoretische Informatik. Syntax der Aussagenlogik. Inhalte der Lehrveranstaltung
Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LVA Einführung in die Theoretische Informatik Wenn das Kind schreit, hat es Hunger Das Kind schreit Also, hat das Kind Hunger Christina Kohl Alexander Maringele
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informatik Woche 4 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Modus Ponens A B B A MP Axiome für
MehrZusammenfassung der letzten LVA. Einführung in die Theoretische Informatik. Syntax der Aussagenlogik. Inhalte der Lehrveranstaltung
Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LVA Einführung in die Theoretische Informatik Christina Kohl Alexander Maringele Georg Moser Michael Schaper Manuel Schneckenreither Institut für Informatik
MehrVorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken
Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken Susanna Pohl Vorkurs Mathematik TU Dortmund 09.03.2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken Aussagen und Logik Motivation
MehrEinführung in die mathematische Logik
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2014 Einführung in die mathematische Logik Vorlesung 7 Sprachen erster Sufe Die in der letzten Vorlesung erwähnten Konstruktionsmöglichkeiten für Aussagen sind im Wesentlichen
MehrGeschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie. Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen
Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen Beschränkung auf "Aussage A folgt nach einer gegebenen
MehrTheorie der Informatik. Theorie der Informatik. 2.1 Äquivalenzen. 2.2 Vereinfachte Schreibweise. 2.3 Normalformen. 2.
Theorie der Informatik 24. Februar 2014 2. Aussagenlogik II Theorie der Informatik 2. Aussagenlogik II 2.1 Äquivalenzen Malte Helmert Gabriele Röger 2.2 Vereinfachte Schreibweise Universität Basel 24.
MehrBoolesche Algebra. Hans Joachim Oberle. Vorlesung an der TUHH im Wintersemester 2006/07 Montags, 9:45-11:15 Uhr, 14täglich TUHH, DE 22, Audimax 2
Universität Hamburg Department Mathematik Boolesche Algebra Hans Joachim Oberle Vorlesung an der TUHH im Wintersemester 2006/07 Montags, 9:45-11:15 Uhr, 14täglich TUHH, DE 22, Audimax 2 http://www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/vorlesungen.html
MehrLogic in a Nutshell. Christian Liguda
Logic in a Nutshell Christian Liguda Quelle: Kastens, Uwe und Büning, Hans K., Modellierung: Grundlagen und formale Methoden, 2009, Carl Hanser Verlag Übersicht Logik - Allgemein Aussagenlogik Modellierung
Mehr0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper
0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper In diesem Paragrafen behandeln wir einige für die Lineare Algebra und für die Analysis wichtige Grundbegriffe. Wir beginnen mit dem Begriff der Menge. Auf Cantor
MehrTHEORETISCHE INFORMATIK UND LOGIK
THEORETISCHE INFORMATIK UND LOGIK 14. Vorlesung: Modelltheorie und logisches Schließen Markus Krötzsch Lehrstuhl Wissensbasierte Systeme TU Dresden, 31. Mai 2017 Rückblick: Logelei Wir kehren zurück auf
MehrFakultät für Informatik Universität Magdeburg Jürgen Dassow. Vorbemerkungen
Vorbemerkungen if (x > y) z = x; else z = y; Wenn es blaue Tiger regnet, dann fressen alle Kirschbäume schwarze Tomaten. q(1) = 1, q(i) = q(i 1) + 2i 1 für i 2 Welchen Wert hat q(6)? 24 ist durch 2 teilbar.
MehrBrückenkurs Mathematik, THM Friedberg, 15 19.9.2014
egelsammlung mb2014 THM Friedberg von 6 16.08.2014 15:04 Brückenkurs Mathematik, THM Friedberg, 15 19.9.2014 Sammlung von Rechenregeln, extrahiert aus dem Lehrbuch: Erhard Cramer, Johanna Neslehová: Vorkurs
MehrAllgemeingültige Aussagen
Allgemeingültige Aussagen Definition 19 Eine (aussagenlogische) Formel p heißt allgemeingültig (oder auch eine Tautologie), falls p unter jeder Belegung wahr ist. Eine (aussagenlogische) Formel p heißt
Mehr1 Mengenlehre. 1.1 Grundbegriffe
Dieses Kapitel behandelt Grundlagen der Mengenlehre, die in gewisser Weise am nfang der Mathematik steht und eine Sprache bereitstellt, die zur weiteren Formulierung der Mathematik sehr hilfreich ist.
MehrFormale Logik. PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg. Wintersemester 16/17 Sitzung vom 14.
Formale Logik PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg Wintersemester 16/17 Sitzung vom 14. Dezember 2016 Die formale Sprache der Prädikatenlogik: Zeichen Benutzt werden
MehrVor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen
Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen 09.10.2014 Herzlich Willkommen zum 2. Teil des Vorschaukurses für Mathematik! Organisatorisches Der Vorkurs besteht aus sechs Blöcken
MehrGrundlagen der theoretischen Informatik
Grundlagen der theoretischen Informatik Kurt Sieber Fakultät IV, Department ETI Universität Siegen SS 2013 Vorlesung vom 09.04.2013 Inhalt der Vorlesung Teil I: Automaten und formale Sprachen (Kurt Sieber)
MehrAufgabe. Gelten die folgenden Äquivalenzen?. 2/??
Äquivalenz Zwei Formeln F und G heißen (semantisch) äquivalent, falls für alle Belegungen A, die sowohl für F als auch für G passend sind, gilt A(F ) = A(G). Hierfür schreiben wir F G.. 1/?? Aufgabe Gelten
MehrFachwissenschaftliche Grundlagen
Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 4. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4. Vorlesung 1 / 21 Themen
MehrWas bisher geschah. wahr 0 t 1 falsch 0 f 0 Konjunktion 2 min Disjunktion 2 max Negation 1 x 1 x Implikation 2 Äquivalenz 2 =
Was bisher geschah (Klassische) Aussagenlogik: Aussage Wahrheitswerte 0 (falsch) und 1 (wahr) Junktoren Syntax Semantik Stelligkeit Symbol Wahrheitswertfunktion wahr 0 t 1 falsch 0 f 0 Konjunktion 2 min
MehrLogische Aussagen können durch die in der folgenden Tabelle angegebenen Operationen verknüpft werden.
Logische Operationen Logische ussagen können durch die in der folgenden Tabelle angegebenen Operationen verknüpft werden. ezeichnung Schreibweise (Sprechweise) wahr, genau dann wenn Negation (nicht ) falsch
MehrLogik für Informatiker Logic for computer scientists
Logik für Informatiker Logic for computer scientists Till Mossakowski Wintersemester 2014/15 Till Mossakowski Logik 1/ 22 Quantoren Till Mossakowski Logik 2/ 22 Quantoren: Motivierende Beispiele x Cube(x)
MehrAnalysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Prof. Dr. Armin Iske Department Mathematik, Universität Hamburg Technische Universität Hamburg-Harburg Wintersemester 2006/2007 Analysis I TUHH, Winter
MehrAnalysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Jens Struckmeier Fachbereich Mathematik Universität Hamburg Technische Universität Hamburg Harburg Wintersemester 2010/11 Jens Struckmeier (Mathematik,
MehrGrundlagen der Mathematik
Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Grundlagen der Mathematik Lösungsskizzen 2 Präsenzaufgaben (P2) Wir betrachten drei Teilmengen der natürlichen Zahlen: - A = {n
MehrWas bisher geschah: klassische Aussagenlogik
Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik Syntax Symbole und Struktur Junktoren: t, f (nullstellig), (einstellig),,,, (zweistellig) aussagenlogische Formeln AL(P) induktive Definition: IA atomare Formeln
MehrEinführung in die Logik
Einführung in die Logik Klaus Madlener und Roland Meyer 24. April 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Aussagenlogik 1 1.1 Syntax................................. 1 1.2 Semantik............................... 3 1.3
MehrVorkurs Mathematik für Informatiker 5 Logik, Teil 1
5 Logik, Teil 1 Michael Bader, Thomas Huckle, Stefan Zimmer 1. 9. Oktober 2008 Kap. 5: Logik, Teil 1 1 Aussagenlogik Rechnen mit Wahrheitswerten: true und false Kap. 5: Logik, Teil 1 2 Aussagenlogik Rechnen
MehrKapitel 1. Grundlagen
Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig
MehrLogik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 5. Aussagenlogik Normalformen Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Normalformen Definition: Literal Atom (aussagenlogische
MehrSyntax. 1 Jedes A AS AL ist eine (atomare) Formel. 2 Ist F eine Formel, so ist auch F eine Formel. 3 Sind F und G Formeln, so sind auch
Formale der Informatik 1 Kapitel 15 Folgerbarkeit, Äquivalenzen und Normalformen Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 8. Juni 2015 Syntax Definition (Syntax der Aussagenlogik) Mit AS AL sei
MehrFormale Systeme. Aussagenlogik: Syntax und Semantik. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT University of the State of Baden-Württemberg and National Large-scale Research Center of the Helmholtz
MehrLineare Algebra I. - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Monday 12 September 16
Lineare Algebra I - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß 1. Mengen und Abbildungen: Mengen gehören zu den Grundlegendsten Objekten in der Mathematik Kurze Einführung in die (naive) Mengelehre
MehrGrundlagen und Einführung
Kapitel Grundlagen und Einführung Die folgenden Notizen fassen die wesentlichen Inhalte der Vorlesung Mathematik für Informatiker zusammen, deren Schwerpunkt die Grundlagen der nalysis sind. Die Notizen
MehrMathematik 1, Teil B
FH Oldenburg/Ostfriesland/Wilhelmshaven Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik Prof. Dr. J. Wiebe www.et-inf.fho-emden.de/~wiebe Mathematik 1, Teil B Inhalt: 1.) Grundbegriffe der Mengenlehre
MehrTheorie der Informatik. Theorie der Informatik. 6.1 Einführung. 6.2 Alphabete und formale Sprachen. 6.3 Grammatiken. 6.4 Chomsky-Hierarchie
Theorie der Informatik 17. März 2014 6. Formale Sprachen und Grammatiken Theorie der Informatik 6. Formale Sprachen und Grammatiken Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 17. März 2014 6.1 Einführung
MehrDeduktion in der Aussagenlogik
Deduktion in der Aussagenlogik Menge von Ausdrücken der Aussagenlogik beschreibt einen bestimmten Sachverhalt, eine "Theorie" des Anwendungsbereiches. Was folgt logisch aus dieser Theorie? Deduktion: aus
MehrVereinbarte Schreibweisen in der Mathematik am Kranich-Gymnasium
Gt: Vereinbarte mathematische Schreibweisen laut Fachkonerenzbeschlüssen Stand:..6 Vereinbarte Schreibweisen in der Mathematik am Kranich-Gymnasium Mengen Kurz und knapp Mengen Will man ausdrücken, dass
MehrVorkurs Mathematik. Prof. Udo Hebisch WS 2017/18
Vorkurs Mathematik Prof. Udo Hebisch WS 2017/18 1 1 Logik 2 1 Logik Unter einer Aussage versteht man in der Mathematik einen in einer natürlichen oder formalen Sprache formulierten Satz, für den eindeutig
MehrWas ist Logik? Was ist Logik? Logische Konnektoren. Aussagenlogik. Logik stellt Sprachen zur Darstellung von Wissen zur Verfügung
Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen Beschränkung auf "Aussage A folgt nach einer gegebenen
MehrGeschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie. Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen
Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen Beschränkung auf "Aussage A folgt nach einer gegebenen
MehrMengen und Relationen
KAPITEL 1 Mengen und Relationen 1.1. Mengenlehre Georg Cantor (3.3.1845 6.1.1918: Cantor ist der Vater der modernen Mengenlehre, er definierte 1895: DEFINITION 1.1.1. Unter einer Menge verstehen wir jede
MehrAnalysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Prof. Dr. Timo Reis Fachbereich Mathematik, Universität Hamburg Technische Universität Hamburg-Harburg Wintersemester 2014/2015 1 Informationsquellen
MehrSyntax der Aussagenlogik. Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Formel als Syntaxbaum. Teilformel A 3 A 1 A 4
Syntax der Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume Eine atomare Formel hat die Form A i (wobei i = 1, 2, 3,...). Definition (Formel)
MehrHM I Tutorium 1. Lucas Kunz. 27. Oktober 2016
HM I Tutorium 1 Lucas Kunz 27. Oktober 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Theorie 2 1.1 Logische Verknüpfungen............................ 2 1.2 Quantoren.................................... 3 1.3 Mengen und ihre
Mehr2.2.4 Logische Äquivalenz
2.2.4 Logische Äquivalenz (I) Penélope raucht nicht und sie trinkt nicht. (II) Es ist nicht der Fall, dass Penélope raucht oder trinkt. Offenbar behaupten beide Aussagen denselben Sachverhalt, sie unterscheiden
Mehr