Seminar Kategorientheorie

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1 Seminar Kategorientheorie Holger rnold 20. pril Kategorien Begrie: Kategorie, Objekt, Morphismus, kommutatives Diagramm, Monoid Deinition 1 (Kategorie) Eine Kategorie C = (Obj C, Mor C,, id) ist deiniert durch 1. eine Klasse Obj C von Objekten, 2. ür je zwei Objekte, B Obj C eine Menge Mor C (, B) von Morphismen (Peilen) von nach B, 3. ür je drei Objekte, B, C Obj C eine Kompositionsoperation (,B,C) : Mor C (B, C) Mor C (, B) Mor C (, C), 4. ür jedes Objekt Obj C einen Identitätsmorphismus id Mor C, die olgende Bedingungen erüllen: ssoziativität Für alle Objekte, B, C Obj C und alle Morphismen Mor C (, B), g Mor C (B, C) und h Mor C (C, D) gilt: (h (B,C,D) g) (,B,D) = h (,C,D) (g (,B,C) ) Neutralität Für alle Objekte, B Obj C und alle Morphismen Mor C (, B) gilt: id B (,B,B) = = (,,B) id Für einen Morphismus Mor C (, B) heißt das Objekt Quelle (domain) und das Objekt B Ziel (codomain); man schreibt auch : B. Jede Kategorie entspricht einem Graphen (Diagramm) mit den Objekten 1 der Kategorie als Knoten und den Morphismen als Kanten. Ein Pad 0 2 n 1... n in einem solchen Graphen entspricht dem Morphismus der durch die Komposition = n 2 1 gebildet wird. Ein Graph einer Kategorie C heißt kommutativ, wenn je zwei Pade mit gleichen nangs- und Endknoten gleiche Morphismen in C bezeichnen. us algebraischer Sicht entspricht eine Kategorie einem Monoid, dessen Elemente die Morphismen der Kategorie sind. Die Komposition von Morphismen entspricht der Verknüpung von Elementen des Monoids. Weil sich nur solche 1

2 Morphismen verknüpen lassen, deren Objekte zueinander passen, haben wir es mit einem partiellen Monoid zu tun. Ein sehr wichtiger Punkt ist, dass au der kategoriellen Ebene keine Inormationen über die Struktur der Objekte einer Kategorie verügbar sind. Das bedeutet, dass die Eigenschaten von Objekten nur über ihre Beziehungen zu anderen Objekten beschrieben werden können. Beispiel 1 (Kategorie der Mengen und bbildungen) Die Kategorie Set der Mengen und bbildungen ist olgendermaßen deiniert: 1. Obj Set ist die Klasse der Mengen. 2. Für je zwei Mengen und B ist Mor Set (, B) die Menge der totalen bbildungen von nach B. 3. Die Komposition ist die bbildungskomposition, d.h. ür : B und g : B C ist g : C deiniert durch (g )(x) = g((x)). 4. Die Identitäten sind die identischen bbildungen. ssoziativität und Neutralität sind oensichtlich gegeben. Beispiel 2 (partielle Ordnungen) Jede partielle Ordnung P = (M, ) erzeugt eine Kategorie Cat(P ) durch 1. Obj Cat(P ) = M 2. Mor Cat(P ) (x, y) = { { } wenn x y sonst Komposition und Identitäten sind damit bereits eindeutig bestimmt. Beispiel 3 (Kategorie der aussagenlogischen Formeln) In der Kategorie Form(P ) sind die Objekte aussagenlogische Formeln über der Menge der ussagensymbole P. Für zwei Objekte ϕ, ψ Obj Form(P ) gibt es genau dann einen Morphismus von ϕ nach ψ, wenn ψ aus ϕ olgt. Beispiel 4 (Kategorie der lgebren und Homomorphismen) Die Kategorie lg(σ) zu einer gegebenen Signatur Σ besteht aus allen Σ-lgebren als Objekten und allen Σ-Homomorphismen als Morphismen. Komposition und Identitäten sind komponentenweise deiniert. Beispiel 5 (Kategorie der Graphen und Graphhomomorphismen) Die Kategorie Graph besteht aus allen Graphen als Objekten und allen Graphhomomorphismen als Morphismen. Komposition und Identitäten sind wieder komponentenweise deiniert. Für eine passende Signatur GRPH stimmt diese Kategorie mit der Kategorie lg(grph) überein. Beispiel 6 (Padgraph) Für einen Graphen G = (E, V, s, t) ist die von G erzeugte Kategorie Cat(G) der Padgraph von G. Die Objekte von Cat(G) sind die Knoten von G; die Morphismen von Cat(G) sind die Pade von G, d.h. Wörter von zueinander passenden Kanten. Die Komposition ist die Verkettung von Paden und die Identitäten sind die leeren Pade. 2

3 2 Konstruktion von Kategorien Begrie: Unterkategorie, Produktkategorie, duale Kategorie, Peilkategorie, Kommakategorie Deinition 2 (Unterkategorie) Eine Kategorie C heißt Unterkategorie einer Kategorie D, wenn gilt: 1. Obj C Obj D, 2. Mor C (, B) Mor D (, B) 3. C g = D g 4. id C = id D C heißt volle Unterkategorie von D, wenn Mor C (, B) = Mor D (, B) ür alle, B Obj C gilt. Beispiel 7 (Kategorie der endlichen Mengen) Die Kategorie FinSet der endlichen Mengen und bbildungen zwischen endlichen Mengen ist eine volle Unterkategorie von Set. Deinition 3 (Produktkategorie) Die Produktkategorie B zweier Kategorien und B besteht aus den kartesischen Produkten der Objekte und Morphismen von und B; Komposition und Identität sind komponentenweise deiniert: 1. Obj B = Obj Obj B 2. Mor B ((, B), (, B )) = Mor (, ) Mor B (B, B ) 3. ( 2, g 2 ) B ( 1, g 1 ) = ( 2 1, g 2 B g 1 ) 4. id B (,B) = (id, id B B) Deinition 4 (duale Kategorie) Zu einer Kategorie C ist die duale Kategorie C op deiniert durch 1. Obj C op = Obj C 2. Mor C op(, B) = Mor C (B, ) 3. Cop g = g C 4. id Cop = id C Die Kategorie C op enthält also genau die umgekehrtem Morphismen der Kategorie C. Zu jeder kategoriellen Konstruktion K in einer Kategorie C lässt sich die duale Konstruktion K op bilden, indem K in C op ausgeührt wird. Gilt eine logische ussage ür alle Kategorien, olgt daraus auch die Gültigkeit der dualen ussage ür alle Kategorien. Deinition 5 (Peilkategorie) Die Peilkategorie C zu einer Kategorie C ist deiniert durch 3

4 1. Obj C = Mor C 2. Mor C ( : B, g : C D) = {(h, k) h Mor C (, C), k Mor C (B, D), g h = k } h C k D g B 3. (h, k ) C (h, k) = (h C h, k C k) h C h E k B k D F 4. id C = (id C, id C B) ür alle : B Obj C Deinition 6 (Kommakategorie) Für eine Kategorie C und ein Objekt X Obj C ist die Kategorie C X ( C über X ) deiniert durch 1. Obj C X = { : X Obj C, Mor C (, X)} 2. Mor C X ( : X, g : B X) = {h Mor C (, B) = g h} 3. k C X h = k C h 4. id C X = id C h g X B Für eine Kategorie C und ein Objekt X Obj C ist die Kategorie C X ( C unter X ) deiniert durch 1. Obj C X = { : X Obj C, Mor C (X, )} 2. Mor C X ( : X, g : X B) = {h Mor C (, B) g = h } X h g B 4

5 3. k C X h = k C h 4. id C X = id C Kommakategorien sind äquivalent zu Peilkategorien, in denen nur Morphismen von einem gegebenen Quellobjekt oder zu einem gegebenen Zielobjekt betrachtet werden. Es gilt: C X = (C op X) op. Beispiel 8 (Kategorie der reellen Funktionen) Die Kategorie Set alle reellwertigen Funktionen als Objekte. Ein Morphismus von : g : B ist eine Funktion k : B mit = g k. hat nach 3 Isomorphie, Mono- und Epimorphismen Begrie: Isomorphismus, Isomorphie, Monomorphismus, Epimorphismus Deinition 7 (Isomorphismus) Ein Morphismus i : B einer Kategorie C ist genau dann ein Isomorphismus in C, wenn ein Morphismus j existiert, ür den gilt: j i = id und i j = id B. Zwei Objekte, B Obj C sind isomorph, = B, wenn ein Isomorphismus i : B in C existiert. Beispiel 9 (Kategorie der Mengen) Zwei Objekte und B in Set sind genau dann isomorph, wenn eine bijektive bbildung i : B existiert. Deinition 8 (Monomorphismus) Ein Morphismus : B einer Kategorie C ist ein Monomorphismus in C, alls ür alle Morphismen g, h : C in C gilt: g = h = g = h. Deinition 9 (Epimorphismus) Ein Morphismus : B einer Kategorie C ist ein Epimorphismus in C, alls ür alle Morphismen g, h : B C in C gilt: g = h = g = h. Monomorphismen und Epimorphismen sind duale Konstruktionen, d.h. : B ist genau dann ein Monomorphismus in C, wenn : B ein Epimorphismus in C op ist. nalog ist : B genau dann ein Isomorphismus in C, wenn : B ein Isomorphismus in C op ist. Die Komposition g ist ein Monomorphismus (Epimorphismus), wenn und g Monomorphismen (Epimorphismen) sind. Wenn g ein Monomorphismus (Epimorphismus) ist, dann ist ein Monomorphismus (g ein Epimorphismus). Jeder Isomorphismus ist ein Mono- und ein Epimorphismus. Beispiel 10 (injektive und surjektive bbildungen) In der Kategorie Set sind die Monomorphismen genau die injektiven bbildungen und die Epimorphismen genau die surjektiven bbildungen. Die Isomorphismen in Set sind genau die injektiven und surjektiven bbildungen. 5

6 Beispiel 11 (partielle Ordnungen) In der von der partiellen Ordnung P erzeugten Kategorie Cat(P ) ist jeder Morphismus sowohl ein Monomorphismus als auch ein Epimorphismus. Die Isomorphismen in Cat(P ) sind genau die Identitäten. Es gibt also Morphismen, die sowohl Mono- als auch Epimorphismen, aber keine Isomorphismen sind. 4 Initiale und terminale Objekte Begrie: initiales Objekt, terminales Objekt, universelle Konstruktion Deinition 10 (initiales Objekt) Ein Objekt 0 Obj C ist ein initiales Objekt in C, wenn es von 0 zu jedem Objekt X Obj C genau einen Morphismus in C gibt. Deinition 11 (terminales Objekt) Ein Objekt 1 Obj C ist ein terminales Objekt in C, wenn es von jedem Objekt X Obj C zu 1 genau einen Morphismus in C gibt. Initiale und terminale Objekte einer Kategorie sind eindeutig bis au Isomorphie. Die Deinitionen von initialem und terminalem Objekt sind Beispiele ür universelle Konstruktionen, in denen die Eigenschaten einer Struktur in einer Kategorie durch ihre Beziehung zu allen anderen Strukturen der Kategorie beschrieben werden. Beispiel 12 (Kategorie der Mengen) In Set ist jede einelementige Menge ein terminales Objekt, denn von jeder Menge X in eine Menge { } gibt es nur die bbildung : X { } mit (x) = ür alle x X. Die leere Menge ist das einzige initiale Objekt. Die einzige bbildung von in eine Menge X ist die leere bbildung. Beispiel 13 (Kategorie der aussagenlogischen Formeln) In der Kategorie Form(P ) ist initial und terminal. Beispiel 14 (Kategorie der Graphen) In Graph ist jeder Graph mit genau einem Knoten und einer Kante ein terminales Objekt. Der leere Graph ist das einzige initiale Objekt. 5 Produkte und Coprodukte Begrie: binäres Produkt, Morphismenprodukt, binäres Coprodukt, Morphismencoprodukt, Produkt, kartesische Kategorie Deinition 12 (binäres Produkt) Seien C eine Kategorie und und B zwei Objekte aus C. Ein binäres Produkt ( B, π 1, π 2 ) von und B ist deiniert durch 1. ein Produktobjekt B, 2. zwei Morphismen π 1 : B und π 2 : B B, die Projektionen, 6

7 die olgende universelle Eigenschat erüllen: ür jedes Objekt X und je zwei Morphismen : X und g : X B aus C gibt es in C einen eindeutig bestimmten Morphismus, g : X B mit = π 1, g und g = π 2, g. X, g g π 1 π2 B B In einer Kategorie muss nicht ür jedes Paar von Objekten ein Produkt existieren. Ebenso kann ein Paar von Objekten mehr als ein Produkt besitzen. llerdings sind alle Produkte zu einem Paar von Objekten einer Kategorie isomorph. Umgekehrt ist auch jedes zu einem Produkt zweier Objekte isomorphe Objekt ein Produkt dieser Objekte. Beispiel 15 (Kategorie der Mengen) In der Kategorie Set ist das Produktobjekt zweier Objekte und B das kartesische Produkt B der Mengen und B. Beispiel 16 (partielle Ordnungen) Für eine partielle Ordnung P = (M, ) und zwei Objekte x, y M ist ein Produkt in Cat(P ) ein Inimum von x und y in P. Beispiel 17 (Kategorie der aussagenlogischen Formeln) Das Produkt zweier Objekte ϕ und ψ aus Form(P ) ist die Konjunktion von ϕ und ψ. Kommutativität und ssoziativität von Produkten Objekte einer Kategorie C. Dann gilt: Seien, B und C 1. Wenn ( B, π,b 1, π,b 2 ) und (B, π B, 1, π B, 2 ) Produkte in C sind, dann sind B und B isomorph. 2. Wenn ( B, π,b 1, π,b 1 ), (B C, π B,C 1, π B,C 2 ), (( B) C, π B,C 1, π B,C und ( (B C), π,b C 1, π,b C 2 ) Produkte in C sind, dann sind (B C) und ( B) C isomorph. 2 ) Deinition 13 (Produkte von Morphismen) Seien ( B, π, π B ) und (C D, π C, π D ) Produkte von und B bzw. von C und D in der Kategorie C und seien : C und g : B D Morphismen in C. Dann ist der Produktmorphismus g : B C D deiniert durch g = π, g π B. π B π B B C π C g g πd C D D 7

8 Deinition 14 (binäres Coprodukt) Seien C eine Kategorie und und B zwei Objekte aus C. Ein binäres Coprodukt ( + B, ι 1, ι 2 ) von und B ist deiniert durch 1. ein Coproduktobjekt + B, 2. zwei Morphismen ι 1 : + B und ι 2 : + B B, die Injektionen, die olgende universelle Eigenschat erüllen: ür jedes Objekt X und je zwei Morphismen : X und g : B X aus C gibt es in C einen eindeutig bestimmten Morphismus [, g] : X +B mit = [, g] ι 1 und g = [, g] ι 2. ι 1 + B ι 2 [, g] g X Coprodukt + B und Produkt B sind duale Konstruktionen. Beispiel 18 (Kategorie der Mengen) In der Kategorie Set ist das Coproduktobjekt zweier Objekte und B die disjunktive Vereinigung + B der Mengen und B. Beispiel 19 (partielle Ordnungen) Für eine partielle Ordnung P = (M, ) und zwei Objekte x, y M ist ein Coprodukt in Cat(P ) ein Supremum von x und y in P. Existiert in Cat(P ) ür jedes Paar von Objekten ein Produkt und ein Coprodukt, dann bildet P einen Verband. Beispiel 20 (Kategorie der aussagenlogischen Formeln) Das Coprodukt zweier Objekte ϕ und ψ aus Form(P ) ist die Disjunktion von ϕ und ψ. Deinition 15 (Coprodukte von Morphismen) Seien ( + B, ι, ι B ) und (C + D, ι C, ι D ) Coprodukte von und B bzw. von C und D in der Kategorie C und seien : C und g : B D Morphismen in C. Dann ist der Coproduktmorphismus + g : + B C + D deiniert durch + g = [ι C, ι D g]. B ι + B ι B B C + g g ιc C + D ι D D Deinition 16 (Produkt) Seien C eine Kategorie und ( i ) i I eine Familie von Objekten aus C zu einer beliebigen Indexmenge I. Ein Produkt (Π i I i, (π i ) i I ) von ( i ) i I in C ist deiniert durch: 1. ein Produktobjekt Π i I i, 8

9 2. eine Familie von Morphismen (π j ) j I : Π i I i j, die Projektionen, die olgende universelle Eigenschat erüllen: ür jedes Objekt X und jede Familie von Morphismen ( j : X j ) j I aus C gibt es in C einen eindeutig bestimmten Morphismus j j I : X Π i I i mit j = π j i i I ür alle j I. lle Produkte zu einer Familie von Objekten einer Kategorie sind isomorph. In einer Kategorie gibt es genau dann ür jede endliche Familie von Objekten ein Produkt, wenn es in der Kategorie ür jedes Paar von Objekten ein binäres Produkt gibt und die Kategorie ein terminales Objekt besitzt. Jedes endliche Produkt lässt sich olgendermaßen iterativ konstruieren: Wenn (P, (π i ) i {1,...,n 1}) ein Produkt von ( i ) i {1,...,n 1} ist, dann ist P n ein Produkt von ( i ) i {1,...,n} mit den Projektionen π k = π k π P,n 1 : P n k ür k = 1,..., n 1 π n = π P,n 2 : P n n, ür ein beliebiges binäres Produkt (P n, π P,n 1, π P,n 2 ). Deinition 17 (kartesische Kategorie) Eine Kategorie C heißt kartesisch, wenn ür jede endliche Familie von Objekten ein Produkt in C existiert. 9