4.4 Funktionen [ Gamut 41-44, Partee 30-36, Chierchia ]
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- Holger Dieter
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1 4.4 Funktionen [ Gamut 41-44, Partee 30-36, Chierchia ] Funktionen sind spezielle binäre Relationen bzw. spezielle bbildungen und damit nichts anderes als spezielle Mengen. Funktionen werden gewöhnlich mit f, g,... oder F, G,... notiert. D4.30 Eine binäre Relation (oder eine bbildung) f ist eine Funktion von nach gdw es für jedes x genau ein y gibt derart, dass xy, f, d.h. wenn f linkstotal und rechtseindeutig ist. Falls f 2, wird von einer Funktion in gesprochen. eispiel: Sei = { Lisa,art,Maggie} und = { Karlo,Pluto}, wobei jetzt gelte, dass Lisa Karlo füttert und sowohl art als auch Maggie Pluto füttern. Die Relation des Fütterns F ist dann eine Funktion von nach und lässt sich wie folgt darstellen: Lisa art Maggie Karlo Pluto Der Vorbereich einer Funktion f von nach wird als Definitionsbereich (engl. domain ) DOM() f, der Nachbereich als Wertebereich (engl. range ) RNG( f ) bezeichnet. Es gilt: DOM() f = und RNG() f. Die Elemente des Definitionsbereichs DOM() f nennt man rgumente von f, die Elemente des Wertebereichs RNG( f ) Funktionswerte von f. Der spezifische Charakter von Funktionen gegenüber gewöhnlichen binären Relationen bzw. gewöhnlichen bbildungen wird durch eine eigene Notationsweise ausgedrückt. Notation: y = f() x (statt: xy, y ist f von x f) Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 1
2 4.4 Funktionen eispiel: Sei = { Lisa,art,Maggie} und = {,}, wobei der Vater von Lisa, art und Maggie ist. Die Vater-von-Funktion v von nach lässt sich wie folgt darstellen: Lisa art Maggie Spezifikation von Funktionen () ufzählung: f a b 1 1 a b 2 2 = a b f ist eine Funktion derart, dass a auf b 1 1, a auf b 2 2 etc. abgebildet wird. lternative Notation: {,,,,,,...} f = a b a b a b eispiel: die Vater-von-Funktion v art Lisa v = Maggie... = { art,, Lisa,, Maggie,,...} () eschreibung: f :, (statt: f ) x f( x) f ist eine Funktion von nach derart, dass x auf f von x abgebildet wird. Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 2
3 lternative Notation: {, ( )} f = x y x y y= f x eispiel: die Vater-von-Funktion v v :{ x MENSCH( x) } { x MENSCH( x) }, x v () x alternativ: v= { xy, x { xmenschx ( )} y { xmenschx ( )} y = vx ( )} Differenzierung von Funktionen D4.31 Eine Funktion f ist eine Funktion von in gdw RNG( f ), d.h. wenn der Wertebereich von f eine echte Teilmenge von ist. eispiel: Sei = { Lisa,art,Maggie} und = {,}, wobei die Mutter von Lisa, art und Maggie ist. Die Mutter-von-Funktion ist eine Funktion von in und lässt sich wie folgt darstellen: Lisa art Maggie D4.32 Eine Funktion f ist eine Funktion von auf gdw RNG() f =, d.h. wenn f rechtstotal (oder surjektiv) ist. eispiel: Die Sohn-von-Funktion s ist eine Funktion von = {,Ned,,Kirk} auf = {Todd,art,Milhouse} und lässt sich wie folgt darstellen: Ned Kirk Todd art Milhouse Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 3
4 4.4 Funktionen D4.33 Eine Funktion f ist ein-eindeutig (bijektiv oder eine ijektion) gdw RNG() f = und es für jedes y höchstens ein x gibt derart, dass y = f() x, d.h. wenn f rechtstotal (surjektiv) und linkseindeutig (injektiv) ist. eispiel: Sei = {,Ned} und = {,Maude}, wobei mit und Ned mit Maude verheiratet ist. Dann ist die Ehefrau-von-Funktion e eine eineindeutige Funktion von auf und lässt sich wie folgt darstellen: Ned Maude Wenn f : eine ein-eindeutige Funktion ist, dann gibt es eine dazu inverse Funktion (eine Umkehrfunktion) f 1 :.? Ist die oben angegebene Funktion des Fütterns damit ein-eindeutig?. Komposition von Funktionen F rechtstotal, linkseindeutig und Zwei Funktionen (und allgemeiner zwei Relationen) lassen sich miteinander verknüpfen. Gegeben seien die Funktionen f : und g : C. Das Ergebnis einer Komposition von f mit g ist dann die Funktion g f : C, wobei gilt: D4.34 [ g f]( x) = g( f( x)) (einfacher: g f( x) ) def g nach f von x Dabei wird zunächst f auf jedes x in DOM( f ), danach g auf jedes fx ( ) in DOM() g angewandt. Im llgemeinen gilt: g f f g. eispiel: Sei = {a,b,c}, = {1,2,3} und C ={,,C}. Seien außerdem folgende Funktionen f: und g : C gegeben: a 3 1 f = b1, g = 2C c 2 3 Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 4
5 Dann ist die Komposition beider: a g f = b. c C a b c C C a b c C eispiel: Seien die Vater-von-Funktion v und die Mutter-von-Funktion m wie folgt gegeben: be bejackie Mona art v =, m = art Lisa Maggie Lisa Maggie Die Großmutter-väterlicherseits-von-Funktion (d.h. die Vater-Mutter-von- Funktion) vm ergibt sich dann durch Komposition von v mit m wie folgt: Jackie art Mona vm = m v = LisaMona Maggie Mona Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 5
6 4.4 Funktionen Charakteristische Funktionen Mengen können mit Hilfe von Funktionen charakterisiert werden. Eine Menge zu kennen, bedeutet, in der Lage zu sein, ihre Elemente zu identifizieren, d.h für beliebige Objekte angeben zu können, ob sie zur Menge gehören oder nicht. Die Voraussetzung dafür kann durch eine Funktion geliefert werden, die den Elementen dieser Menge den Wert 1 (wahr) und allen anderen Objekten den Wert 0 (falsch) zuordnet. Sei G eine Grundmenge und eine Menge mit G. Die charakteristische Funktion von (notiert als χ ) ist dann wie folgt definiert: D4.35 χ : G { 0,1}, 1, falls x x 0, falls x eispiel: Sei G = {ierwisch,euler,gagarin,montague,roddenberry,ross,torvalds} und = {ierwisch,montague,ross} die Menge der Linguisten in G. Dann ist die charakteristische Funktion von : χ ierwisch 1 Euler0 Gagarin 0 = Montague 1 Roddenberry0 Ross 1 Torvalds0 Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 6
7 Übungen Ü4.14 Es seien = {,,,} abcd und = {1,2,3,4}. Sind folgende Relationen auf auch Funktionen? Wenn ja, sind sie ein-eindeutige Funktionen? (4 P.) (i) { a,1, b,2, d,3 } (ii) { a,2, b,3, c,1, d,4 } (iii) { a,2, b,2, c,2, d,2 } (iv) { a,3, b,2, c,1, d,1, b,4 } Ü4.15 Gib die charakteristische Funktion der Menge { iou,,} an. Der Grundbereich sei { aeiuo,,,,}. (1 P.) Ü4.16 Es seien C= {1,2, a} und D= {, d F,47}. Es seien außerdem fc : Dund gd : C folgende Funktionen: 1 F d a f = 2d, g= F1 a Gib f g und g f an. (2 P.) Zusatz: Überprüfe, ob ( g f) = f g Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 7
4.4 Funktionen. Funktionen sind spezielle binäre Relationen bzw. spezielle Abbildungen und damit spezielle Mengen.
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