Zweite und dritte Sitzung

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1 Zweite und dritte Sitzung Mengenlehre und Prinzipien logischer Analyse

2 Menge Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung und unseres Denkens (welche die Elemente von M genannte werden) zu einem Ganzen. Listenschreibweise Die einzelnen Elemente werden in einer Liste aufgeführt, d.h., die Namen oder Kennzeichnungen aller Elemente der Menge werden aufgelistet, und in geschwungene Klammern ("{", "}") eingeschlossen.

3 Beispiel: {3, 5, 7, 8} Bei der Listenschreibweise ist es egal, in welcher Anordnung und wie oft sie aufgeführt und auf welche Weise die Elemente bezeichnet werden.

4 Identische Mengen sind z.b.: {1, 5, 7} {7, 1, 5} {1, 1, 5, 5, 5, 7} {kleinste natürliche Zahl, 25, Anzahl der Zwerge bei "Schneewittchen"} Prädikatschreibweise Wenn es nicht möglich oder unpraktisch ist, alle Elemente aufzuzählen, verwenden wir die Prädikatschreibweise, um uns auf Mengen zu beziehen. Hierfür bilden wir ein Prädikat, dem alle (und nur die) Elemente der Menge genügen sollen, und verwenden dieses Prädikat für die Bezeichnung der Menge.

5 Beispiele {x: x ist natürliche Zahl und x < 7} für die Menge {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Teilmengenbeziehung Seien A und M Mengen. Genau dann, wenn jedes Element von A auch Element von M ist, sagen wir, dass A M, also dass A Teilmenge von M ist.

6 Beispiel {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} {1, 2, 3} {2, 3, 4} {1, 2, 3} {1, 2, {3}} Operationen mit Mengen Die Menge A B = {x: x A oder x B} heißt die Vereinigung von A und B. A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, A B = {1, 2, 3, 4}

7 Operationen mit Mengen Die Menge A B = {x: x A und x B} heißt Durchschnitt von A und B. A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, A B = {2, 3} Operationen mit Mengen Die Menge A B = {x: x A und x B} heißt die Differenz von A und B. A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, A B = {1}

8 Geordnetes Paar Im geordneten Paar ist die Anordnung der aufgeführten Gegenstände von Bedeutung. Angenommen <a, b> ist ein geordnetes Paar, und a b, dann soll auch gelten, dass die geordneten Paare <a, b> und <b, a> verschieden sind. Geordnetes Paar Wir können den Begriff des geordneten Paares definieren: <a, b> = df {{a}, {a, b}}

9 N-Tupel Unter Rückgriff auf geordnete Paare lassen sich weitere geordnete Objekte, nämlich Tripel und allgemeiner n-tupel definieren. N-Tupel <a 1, a 2, a 3,..., a n > = df <a 1, <a 2, <a 3,..., <a n 1, a n >...>.

10 Kartesische Produkte Die Menge aller geordneten Paare, deren erste Koordinaten Elemente aus A sind, und deren zweite Koordinaten Elemente aus B sind, heißt das kartesische Produkt von A und B, und wir schreiben dies als "A B". Beispiel A = {1, 2} B = {a, b, c} A B = {<1, a>, <1, b>, <1, c>, <2, a>, <2, b>, <2, c>}

11 Relationen Sei A B das kartesische Produkt von A und B. R ist eine zweistellige Relation über A B, gdw. R A B. Terminologie i) A nennen wir den Vorbereich der Relation, B den Nachbereich. ii) Sei R eine Relation, seien a und b Objekte. Wir sagen: "R trifft auf a und b zu" oder "a und b stehen in der Relation R" oder "arb" gdw. <a, b> R. iii) Wir sagen: "R ist eine Relation in A" gdw. R A A, wo A eine Menge ist.

12 Beispiel A = {1, 2}, B = {a, b}, A B = {<1, a>, <1, b>, <2, a>, <2, b>} R = {<1, a>, <1, b>, <2, a>} A ist der Vorbereich von R, B ist der Nachbereich. R trifft auf 1 und a zu. R trifft aber nicht auf 2 und b zu. N-stellige Relationen Seien A 1, A 2,..., A n Mengen. Das kartesische Produkt dieser Mengen ist dann A 1 A 2... A n. R ist eine n- stellige Relation über A 1 A 2... A n gdw. R A 1 A 2... A n.

13 Beispiel A = {1, 2}, B = {a, b}, C = {a,b} R = {<1, a, a>, <1, b, a>, <2, a, a>} Funktionen In Mathematik und Logik versteht man unter "Funktion" eine bestimmte Art der Zuordnung. Eine Funktion von A nach B ordnet jedem Element von A genau ein Element von B zu (anstatt "Funktion" sagt man auch "Abbildung").

14 Funktionen Eine Relation R mit Vorbereich V R und Nachbereich N R heißt funktional, gdw. für jedes x V R gilt: Es gibt genau ein y N R, so dass <x, y> R. Beispiel: A = {1, 2}, B = {a, b, c} R = {<1, a>, <2, c>}

15 A f = {<1, 5>, <2, 6>, <3, 7>} B A h = {<1, 5>, <2, 5>, <3, 7>} B

16 A B g = {<1, 5>, <2, 6>, <2, 7>, <3, 8> <3, 7>} Keine Funktion! A B i = {<1, 5>, <2, 6>, <7, 3>} Keine Funktion!

17 A B j = {<1, 5>, <2, 6>} Keine Funktion! Terminologie Sei f eine Funktion mit V f als Vorbereich und N f als Nachbereich. i) Wenn A = V f und B = N f, dann sagen wir, f sei eine Funktion von A nach B, und schreiben: f: A B

18 ii) Die Elemente des Vorbereichs nennt man die "Argumente der Funktion", die Elemente aus dem Nachbereich, die den Elementen des Vorbereichs unter f zugeordnet werden, nennt man die "Werte der Funktion". Den Vorbereich bezeichnet man deswegen auch als "Argumentbereich", den Nachbereich als "Wertebereich" von f. iii) Wenn x V f, dann schreiben wir für den Wert von x unter f "f(x)". iv) Die Menge aller Werte von f können wir mit "f(v f )" bezeichnen.

19 v) Mit der Idee der Funktion ist die Idee der Abhängigkeit verbunden. Wir denken uns den Funktionswert von dem Funktionsargument abhängig. Deswegen spricht man anstatt von "Funktion" auch von "funktionaler Abhängigkeit". Surjektion Sei f eine Funktion mit V f und N f : f(v f ) = N f. Die Funktion erfasst alle Elemente des Nachbereichs als Werte. Sie ist surjektiv oder eine Surjektion.

20 A B k = {<1, 5>, <2, 6>, <3,6>} k ist eine Funktion. k ist surjektiv. A B k* = {<1, 6>, <2, 6>, <3,6>} k* ist eine Funktion. k* ist nicht surjektiv.

21 Injektion Sei f eine Funktion mit V f und N f : Für alle x, y V f mit x y gilt: f(x) f(y). Wenn die Argumente von f verschieden sind, dann sind auch die Werte von f verschieden. Eine solche Funktion ist injektiv bzw. ist eine Injektion. A B k** = {<1, 5>, <2, 7>, <3,6>} k** ist eine Funktion. k** ist injektiv.

22 A B k*** = {<1, 5>, <2, 6>, <3,6>} k*** ist eine Funktion. k*** ist nicht injektiv. Bijektion Sei f eine Funktion mit V f und N f : f(v f ) = N f und für alle x, y V f mit x y gilt: f(x) f(y). Funktionen, die sowohl injektiv als auch surjektiv sind, nennt man bijektive Funktionen oder Bijektionen.

23 A B k**** = {<1, 5>, <2, 6>, <3,7>} k**** ist eine Funktion. k**** ist bijektiv. Beweis Ein Beweis einer Behauptung ist ein Argument oder eine Folge von Argumenten deren letzte Konklusion die zu erweisende Behauptung ist. Eine beweisende Argumentation muss zwei Bedingungen erfüllen:

24 1. endliche Länge Eine beweisende Argumentation muss endliche Länge haben, da eine unendliche lange Argumentation nicht hervorgebracht werden und deshalb auch nicht dazu verwendet werden kann, jemanden zu überzeugen. 2. Überprüfbarkeit Die einzelnen Schritte einer beweisenden Argumentation müssen für die Person, die durch die Argumentation überzeugt werden soll, jeweils nachvollziehbar und überprüfbar sein. Dazu muss klar gemacht werden, wie die einzelnen Schritte des Beweises gerechtfertigt sind.

25 Beispiel (hart an der Trivialität) Sei M = N. Es ist zu zeigen "M N". D.h. es ist zu zeigen, dass jedes Element von M auch ein Element von N ist (Def. der Teilmengenbeziehung). Beweis: Sei a ein beliebiges Element aus M. Da M = N, und laut Extensionalitätsprinzip zwei Mengen genau dann identisch sind, wenn sie dieselben Elemente haben, ist a auch Element von N. Da a beliebig gewählt ist, gilt dies für alle Elemente aus M. Es gilt also M N. QED Prinzipien logischer Analyse Wir werden die natürliche Sprache nur so weit betrachten können, als in ihr drei Prinzipien nicht verletzt werden, nämlich das Kontextinvarianzprinzip, das Prinzip der Wahrheitsfunktionalität und das Prinzip der Extensionalität.

26 Kontextinvarianzprinzip Die Ausdrücke, die in Sätzen vorkommen, insbesondere die Eigenschaftswörter und Eigennamen, beziehen sich überall, wo sie vorkommen auf dasselbe; d.h., das, worauf sie sich beziehen, variiert nicht mit dem (sprachlichen oder außersprachlichen) Kontext, in dem die Ausdrücke verwendet werden. Eine mehrdeutige Verwendung von Ausdrücken wird damit ausgeschlossen. Only man are rational beings. No woman is a man. No woman is a rational being.

27 Kein Kind sollte arbeiten müssen. Jeder ist ein Kind von jemandem. Niemand sollte arbeiten müssen. Ebenso schließt das Kontextinvarianzprinzip alle Sätze aus unserer Betrachtung aus, deren Wahrheit und Falschheit davon abhängen, von wem, an welchem Ort und zu welcher Zeit sie verwendet werden.

28 Sätze mit indexikalischen Ausdrücken wie "Ich studiere die Beziehung der logischen Folgerung", "Heute ist schönes Wetter", und "Dort steht ein Stuhl" werden somit aus unserer Betrachtung ausgeschlossen. Extensionalitätsprinzip Der Wahrheitswert eines Satzes hängt in funktionaler Weise davon ab, worauf sich in ihm vorkommende Teilausdrücke beziehen.

29 Das Prinzip der Extensionalität lässt sich folgendermaßen erläutern: Wenn ich in einem Satz S einen Ausdruck A durch einen anderen Ausdruck A' ersetze, der sich auf dasselbe bezieht wie A, dann ist der Wahrheitswert des resultierenden Satzes S' derselbe wie der von S. Beispiel: Superman = Clark Kent S: Superman liebt Lois Lane (wahr) A: Superman, A': Clark Kent S': Clark Kent liebt Lois Lane (wahr) Extensionalitätsprinzip nicht verletzt.

30 Wahrheitsfunktionalitätsprinzip Der Wahrheitswert eines Satzes hängt in funktionaler Weise von den Wahrheitswerten seiner Teilsätze ab. Das Prinzip der Wahrheitswertfunktionalität lässt sich in folgender Weise erläutern: Wenn ich in einem Satz S einen Teilsatz T durch einen anderen Teilsatz T' ersetze, der denselben Wahrheitswert hat wie T, dann ist der Wahrheitswert des resultierenden Satzes S' derselbe wie der von S.

31 Beispiel: S: Superman liebt Lois Lane und Batman ist stärker als Micky Maus. (w) T: Batman ist stärker als Micky Maus (w) T': Frege ist Logiker (w) S': Superman liebt Lois Lane und Frege ist Logiker (w) Weitere Erläuterung der drei Prinzipien Zunächst betrachten wir einen Fall auf den alle drei Prinzipien zutreffen: Superman ist mit Clark Kent identisch und Superman bekommt von Kryptonit Migräne.

32 Superman ist mit Clark Kent identisch und Superman bekommt von Kryptonit Migräne. Das Kontextinvarianzprinzip trifft hier zu, denn der Name "Superman" bezeichnet eine bestimmte Person und zwar immer dieselbe. Der Name kommt zweimal vor und beide male bezeichnet er dasselbe. Superman ist mit Clark Kent identisch und Superman bekommt von Kryptonit Migräne. Das Wahrheitsfunktionalitätsprinzip trifft zu: Wenn wir den Teilsatz vor oder nach dem "und" durch irgendeinen anderen wahren Satz ersetzen, dann ist der resultierende Satz wieder wahr.

33 Superman ist mit Clark Kent identisch und Superman bekommt von Kryptonit Migräne. Auch das Extensionalitätsprinzip trifft zu: Es ist der Fall, dass der Wahrheitswert des ganzen Satzes in funktionaler Weise davon abhängt, was "Superman" bezeichnet. D.h. der Wahrheitswert bleibt erhalten, wenn wir im zweiten Teilsatz das Vorkommnis von "Superman" durch ein Vorkommnis von "Clark Kent" ersetzen. Beispiel: S: Lex Luthor fürchtet, dass er Superman unterlegen ist (wahr)

34 Superman ist Clark Kent (wahr) P: Lex Luthor ist Superman unterlegen. (wahr) A: Superman, A': Clark Kent P': Lex Luthor ist Clark Kent unterlegen. (wahr)

35 S': Lex Luthor fürchtet, dass er Clark Kent unterlegen ist. (falsch) Obzwar sowohl im Satz S wie auch im Satz S' die jeweiligen Teilsätze wahr sind, unterscheiden sich die resultierenden Sätze im Wahrheitswert. Das Prinzip der Wahrheitsfunktionalität scheint damit verletzt zu sein, da der Wahrheitswert des gesamten Satzes nicht in funktionaler Weise von den Wahrheitswerten der Teilsätze abzuhängen scheint.

36 Wie steht's mit Kontextinvarianz- und Extensionalitätsprinzip? Angenommen das Kontextinvarianzprinzip gilt. Das, was die Ausdrücke in S und S' bezeichnen, variiert also nicht mit dem Kontext. Die Ausdrücke sind nicht mehrdeutig. Der ursprüngliche Satz S wurde als wahr angenommen; ein Name in ihm wurde durch einen anderen Namen ersetzt, der dasselbe bezeichnet. Das Ersetzungsresultat S' ist ein falscher Satz. D.h.: der Wahrheitswert von S' hängt nicht in funktionaler Weise davon ab, was die in ihm vorkommenden Ausdrücke bezeichnen. Also ist das Extensionalitätsprinzip verletzt!

37 Angenommen das Extensionalitätsprinzip gilt. Es besteht also eine funktionale Abhängigkeit des Wahrheitswertes von S' davon, worauf sich die Teilausdrücke beziehen. Dann muss aber der Name "Clark Kent" in S' etwas anderes bezeichnen als den berühmten Superhelden vom Krypton. D.h. das Kontextinvarianzprinzip wird verletzt.