4 Elementare Mengentheorie

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1 4 Elementare Mengentheorie 4 Elementare Mengentheorie 4.1 Mengen [ Partee 3-11, McCawley , Chierchia ] Die Mengentheorie ist entwickelt worden, um eine asis für den ufbau der gesamten Mathematik zu haben. Ihr egründer ist Georg Cantor ( ). Die Standard-Semantik von PL1 wird unter Verwendung der Mengentheorie formuliert. Umgekehrt kann die Mengentheorie in einer prädikatenlogischen Sprache präzise dargestelllt werden. Der klassische Mengenbegriff Eine Menge ist eine abstrakte Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unserer nschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Diese Objekte sind die Elemente der Menge. abstrakt : Die Objekte werden nicht in einem physischen Sinne zusammengefasst. Zusammenfassung : Die Objekte werden nicht auf eine bestimmte Weise angeordnet. wohlunterschieden : Die Objekte müssen für sich genommen identifizierbar sein. nschauung / Denken : Es kann sich um konkrete oder abstrakte Objekte handeln. Mengen werden gewöhnlich mit C,,,, XY,, Z,, Elemente von Mengen, d.h. beliebige Objekte mit abc,,,,,,, xyz notiert. Die Elementrelation wird mit der speziellen Prädikatskonstanten notiert: a : a ist Element von D4.1 a = ( a ) a ist kein Element von D4.2 ( = ) = x[ x x ] ist identisch mit ( und sind gleich, und sind dieselbe Menge ) D4.3 ( ) = ( = ) (d.h. xx [ x x x ] ist verschieden von Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 1

2 4.1 Mengen Eine endliche Menge ist eine Menge, die endlich viele Elemente enthält. eispiel: die Menge der Monde des Saturn Eine unendliche Menge ist eine Menge, die unendlich viele Elemente enthält. eispiel: die Menge aller Primzahlen Eine Einermenge ist eine Menge, die genau ein Element enthält. Dabei muss klar zwischen der Menge und ihrem einzigen Element unterschieden werden. eispiel: die Menge, die nur Georg Cantor enthält Die leere Menge ist diejenige Menge, die kein Element enthält, d.h. xx [ ] bzw. xx [ ]. eispiel: die Menge, die nur runde Quadrate enthält Mengen können selbst Elemente von Mengen sein. Es wird zwischen Mengen verschiedener Stufe unterschieden (ertrand Russell, , Typentheorie): Mengen, die Individuen als Elemente enthalten, sind Mengen der 1. Stufe. Mengen, die Mengen der n -ten Stufe ( n 1) als Elemente enthalten, sind Mengen der n+1. Stufe. Spezifikation von Mengen () ufzählung (Listennotation): { x,, x } 1 n : die Menge bestehend aus x,, x 1 n ( die Menge, die aus x,, x 1 n besteht ) {} x : die Einermenge bestehend aus x {,, }: die Menge bestehend aus, und { Karlo,Hans,Pluto }: die Menge bestehend aus Karlo, Hans und Pluto { Karlo, Hans, Pluto }: die Menge bestehend aus den Namen Karlo, Hans und Pluto { }: die Menge bestehend aus der leeren Menge {{} a }: die Menge bestehend aus der Einermenge { a } {{} a, a, }: die Menge bestehend aus { a }, a und der leeren Menge {{ abc,, },{{ d },1},Hans} : die Menge bestehend aus den Mengen { abc,,} und {{ d },1} und Hans? Von welcher Stufe sind die angegebenen Mengen? Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 2

3 4 Elementare Mengentheorie () bstraktion (Prädikatsnotation): { x...} : die Menge der x, für die gilt:... { x P( x )}: die Menge der x, für die gilt: Px ( ) ( die Menge der P ) { x MENSCH( x )}: die Menge der x, für die gilt: x ist ein Mensch ( die Menge der Menschen ) alternativ: { x x ist ein Mensch} Weitere { x x N und x 2 und x 100} { x x ist deutsche undeskanzlerin} { x QUDRT( x) RUND( x)} { x x existiert oder x existiert nicht} (N : die Menge der natürlichen Zahlen)? Gib an, welche der folgenden Mengen identisch sind. { xx ist Primzahl und x 10} { xx ist Primzahl, gerade und x > 2} {2,3,5,7}, Prinzip der Mengenkonversion Für ein beliebiges a gilt: a { x P( x)} gdw Pa (). Mächtigkeit von Mengen Die nzahl der Elemente einer Menge ist deren Mächtigkeit (oder Kardinalität). Sie wird mit, # oder card( ) angegeben. Im Falle einer endlichen Menge ist deren Mächtigkeit eine natürliche Zahl. { a,{ c,2}} = 2 { xxist ein Vokal, der im Wort Paris vorkommt} = 2 = 0 Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 3

4 4.1 Mengen Teilmengenrelationen Neben der Identitätsrelation können zwischen Mengen auch Teilmengenrelationen bestehen. D4.4 = x[ x x ] ist eine Teilmenge von ( ist eine Obermenge von ) Die leere Menge ist Teilmenge einer beliebigen Menge, d.h. X[ X]. {2, 3, e} {2, 3, e} { a} {{ a}, a} { x x studiert Linguistik} D4.5 = ( ) (d.h. xx [ x ] ) ist keine Teilmenge von D4.6 = ist eine echte Teilmenge von ( ist eine echte Obermenge von ) + {2, e} {2,3, e} { a} {{ a}, a} { x x studiert Linguistik} Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 4

5 4 Elementare Mengentheorie D4.7 = ( ) ist keine echte Teilmenge von {,,} abc {,,} abc {,,} abc {,} ab {,,} abc {2,4,9}? Gib an, welche Teilmengenrelationen zwischen folgenden Mengen bestehen. S,,{{ S}},{ S} Mengentheoretische Gesetze Die Identität ist reflexiv: = symmetrisch: ( = ) ( = ) transitiv: ( = ) ( = C) ( = C) Die Teilmengenrelation ist reflexiv: antisymmetrisch: ( ) ( ) ( = ) transitiv: ( ) ( C) ( C) Die echte Teilmengenrelation ist irreflexiv: asymmetrisch: ( ) ( ) transitiv: ( ) ( C) ( C) Reflexivität, Irreflexivität, Symmetrie usw. sind Eigenschaften von Relationen. Die Identität ist eine Äquivalenzrelation. Die Teilmengenrelation ist eine schwache Ordnungsrelation. Die echte Teilmengenrelation ist eine strenge Ordnungsrelation. Weitere Relationen zwischen Mengen sind z.. die Überlappung ( o ) und die Disjunktheit ( ) von Mengen.? Gib die Definitionen dieser Mengenrelationen an. Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 5

6 4.2 Operationen mit Mengen 4.2 Operationen mit Mengen [ Partee 11-21, McCawley , Chierchia , ] Mit Hilfe von mengentheoretischen Operationen lassen sich neue Mengen bilden. Potenzmenge ( power set ) D4.8 P ( ) = { X X } (auch: pow( ), ( ) ) P von Die Potenzmenge von ist die Menge aller Teilmengen von. Wenn eine Menge der n -ten Stufe ist, dann ist P ( ) eine Menge der n +1. Stufe. Mächtigkeit von Potenzmengen: Wenn P ({Hans,Maria}) = {,{Hans},{Maria},{Hans,Maria}} P ({1,2,3}) = {,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} P ({ S}) = {,{ S}} P ( ) = { } P ({ S,{ S}}) = {,{ S},{{ S}},{ S,{ S}}} = n, dann P ( ) = 2 n, d.h (n -mal).? Gib für die folgende Menge ihre Potenzmenge an. {{ ab, }, c } Mengenvereinigung ( union ) D4.9.1 = { x x x } vereinigt mit Die Vereinigung von und ist die Menge, die alle Elemente, die in oder in vorkommen, und nur diese enthält. Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 6

7 4 Elementare Mengentheorie {,,} abc {1,2} = {,,,1,2} abc { S} { S,{ S}} = { S,{ S}} {,} et = {,} et Verallgemeinerung: D4.9.2 U = { x X [ X U x X ]} (alternativ: { x X : X U[ x X]}, die Vereinigungsmenge von U oder einfacher: { x X U[ x X]} ) eispiel: {{ ab, },{47},{ cd,, f} } = { ab,, 47, cd,, f} Mengendurchschnitt ( intersection ) D = { x x x } geschnitten mit Die Durchschnitt von und ist die Menge, die alle Elemente, die sowohl in als auch in vorkommen, und nur diese enthält. {2,3,7,11} {1,2,3,4} = {2,3} { a,{ a}} { a,{ a},{ a,{ a}}} = { a,{ a}} {,} ab {1,2} = Verallgemeinerung: D U = { x X [ X U x X ]} (alternativ: { x X : X U[ x X]}, die Schnittmenge von U oder einfacher: { x X U[ x X]} ) eispiel: {{0,1},{0,1,2, 3},{1} } = {1} Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 7

8 4.2 Operationen mit Mengen Mengendifferenz ( subtraction ) D4.11 \ = { x x x } ohne Die Differenz von und ist die Menge, die genau die Elemente aus enthält, die nicht in vorkommen. {Hans,Maria}\{Maria} = {Hans} { S}\{ S } = {0,1}\ = {0,1} Komplement einer Menge Ein Spezialfall der Differenz ist das Komplement einer Menge bezüglich einer vorausgesetzten Grundmenge G, wobei G. Dabei ist G entweder explizit angegeben oder aus dem Kontext entnehmbar. D4.12 ' = G \ (alternativ: { x G x } ) Das Komplement von ist die Menge, die genau die Elemente der Grundmenge G enthält, die nicht in vorkommen. G Sei G = {,,,} abcd. {}' a = {,,} bcd {,}' db = {,} ac {,,,}' abcd = Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 8

9 4 Elementare Mengentheorie Mengentheoretische Gesetze Idempotenz: = = Kommutativität: = = ssoziativität: ( C) = ( ) C ( C) = ( ) C Distributivität: ( C) = ( ) ( C) ( C) = ( ) ( C) Identität: = G= G = G = Komplement: De Morgansche Gesetze: ' =G ( ')' = ' = \ = ' ( )' = ' ' ( )' = ' ' Konsistenz: = = Identische Umformungen Die Gesetze für die mengentheoretischen Operationen erlauben es, Mengenausdrücke durch identische Umformungen ineinander zu überführen und dabei insbesondere auch zu vereinfachen. ( ) ( C)' = ( ) ( ' C') de Morgansches Gesetz = ( ( ' C')) ssoziativität = (( ') C') ssoziativität = ( G C') Komplement = ( C' G) Kommutativität = G Identität =G Identität Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 9

10 4.2 Operationen mit Mengen ( ) ' = ' ( ) Kommutativität = ( ' ) ( ' ) Distributivität = ( ' ) Komplement = ' Identität = ' Kommutativität = \ Komplement lgebraische Strukturen Eine lgebraische Struktur (oder lgebra) = f,,, f 1 n ist eine Menge, auf der Operationen f 1, f iniert sind., n Seien und 2-stellige Operatoren, * ein 1-stelliger Operator und 1 und 0 ausgezeichnete Elemente einer Menge. Eine oolesche lgebra =,,,*,1,0 ist eine algebraische Struktur, die die Gesetze der ssoziativität, Kommutativität, Distributivität, Identität und des Komplements erfüllt (George oole, ). Potenzmengen von beliebigen nicht-leeren MengenX haben die Struktur einer ooleschen lgebra P ( X),,,', X,. eispiel: Sei X= {,,} abc. Dann ist P ({ abc,, }, ),,',{ abc,, }, eine oolesche lgebra. Die ussagenlogik L ist ebenfalls eine oolesche lgebra,,,,,, wobei die Menge der Formeln von L ist und und entsprechend die tautologischen bzw. die kontradiktorischen Formeln repräsentieren. Die L-Konnektoren, und werden deshalb auch oolesche Operatoren genannt. Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 10

11 Übungen Übungen Ü4.1 Gegeben seien die folgenden Mengen: = { a, b, c, 2, 3, 4} = {,} a b C = {,2} c D = {, b c} E = {,,{}} a b c F = G = {{ a, b},{ c,2}} Überprüfe die Wahrheit oder Falschheit der folgenden ehauptungen. (12 P.) (a) c (b) c E (c) {} c E (d) {} c E (e) {} c C (f) {} c C (g) D (h) D E (i) F (j) G (k) G (l) G Ü4.2 Gib für je zwei der folgenden Mengen an, ob sie in der Identitäts- oder der Teilmengenrelation stehen. (4 P.) = {,,, abcd} = C = {,{,}} a b b D = {,,{},, a b b c d} Zusatz: E = {,{},, a b c d} F = {{ a, a, c, b}} G = {,, a b d,} c Johannes Dölling: Logische Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig.

12 Übungen Ü4.3 Gib für jede der folgenden Mengen eine äquivalente Darstellung in der Listennotation an. (3 P.) (a) { x x ist eine positive ganze Zahl, die größer als 4, aber kleiner als 10 ist} (b) { x x ist ein uchstabe, der im Wort anane vorkommt} (c) { x x ist ein Element der leeren Menge} Zusatz: (d) { x x ist eine positive ganze Zahl, die kleiner als 4, aber größer als 10 ist} (e) { x x ist eine Teilmenge der uchstaben, die im Wort us vorkommen} (f) { x x ist echte Teilmenge der uchstaben, die im Wort us vorkommen} Ü4.4 Gib für jede der folgenden Mengen eine äquivalente Darstellung in der Prädikatsnotation an. (2 P.) (a) {2,4,6,8,10} (b) Zusatz: (c) { } (d) {1,2,3,5,7,11,13} Ü4.5 Gib die Elemente der folgenden Potenzmengen an. (3 P.) (a) P ({ abc,, }) (b) P ( ) (c) PP ( ({ a})) Ü4.6 Gegeben seien die Mengen aus Ü4.1. Gib die Resultate folgender Mengenoperationen an: (5 P.) (a) (b) C \ (c) D E (d) F G (e) { E,, } Zusatzübungen: Ü4.7 Zeige, dass ( ) ( C') = ( \ C). Ü4.8 (a) Zeige, dass P ({ abc,, }, ),,',{ abc,, }, eine oolesche lgebra ist. (b) Zeige, dass L=,,,,, eine oolesche lgebra ist. Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 12