Grundbegriffe der Informatik Tutorium 13

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1 Grundbegriffe der Informatik Tutorium 13 Tutorium Nr. 32 Philipp Oppermann 12. Februar 2014 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Outline/Gliederung 1 Organisatorisches 2 Komplexität 3 Berechnungskomplexität Komplexitätsklassen Unentscheidbare Probleme Busy-Beaver 4 Relationen Äquvalenzklassen und Kongruenz Halbordnungen Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /16

3 Organisatorisches Übungsschein mit 119 Punkten Anmelden nicht vergessen! Klausur am 5. März, 14:00 Uhr anmelden! (abmelden ist jederzeit möglich) Inoffizielle Probeklausur am 7. Februar (morgen), 9:45 11:15 Uhr { Hörsaal -101, falls letzte 5 Ziffern der Matrikelnummer < Audimax, sonst Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /16

4 Berechnungskomplexität Zeitkomplexität time T (w) = die Anzahl an Schritten einer Turingmaschine T bis zu einer Endkonfiguration für Eingabe w. Time T (n) = max{time T (w) w A n } Time T heißt Zeitkomplexität von T. Raumkomplexität space T (w) = die Anzahl der Felder, die während der Berechnung für Eingabe w benötigt werden. Space T (n) = max{space T (w) w A n } Space T heißt Raumkomplexität von T. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /16

5 Berechnungskomplexität Zusammenhang von Zeit und Raum Da eine Turingmaschine in n Schritten nur maximal n + 1 Felder besuchen kann, gilt: polynomielle Komplexität space(w) max( w, 1 + time(w)) Wenn für eine Turingmaschine T ein Polynom p(n) existiert, so dass Time T (n) O(p(n)), dann ist die Zeitkomplexität von T polynomiell. Space T (n) O(p(n)), dann ist die Raumkomplexität von T polynomiell. Eine Turingmaschine mit polynomieller Laufzeit hat nur polynomiellen Platzbedarf, anders herum gilt dies aber nicht! Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /16

6 Komplexitätsklassen Komplexitätslasse Eine Komplexitätslasse ist eine Menge von Problemen (z.b. ist ein Wort in einer Sprache oder nicht). P P ist die Menge aller Entscheidungsprobleme, die von Turingmaschinen entschieden werden können, deren Zeitkomplexität polynomiell ist. PSPACE PSPACE ist die Menge aller Entscheidungsprobleme, die von Turingmaschinen entschieden werden können, deren Raumkomplexität polynomiell ist. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /16

7 Komplexitätsklassen P und PSPACE Es gilt: P PSPACE in polynomieller Zeit nur polynomiell viele Felder besuchbar Gilt P = PSPACE? eine Turingmaschine mit polynomiellem Platzbedarf kann exponentiell viele Schritte machen aber vielleicht gibt es eine Turingmaschine mit polynomiellem Zeitbedarf die das gleiche Problem entscheidet man weiß nicht ob P = PSPACE oder P PSPACE Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /16

8 Unentscheidbare Probleme Codierung einer Turingmaschine Man kann jede Turingmaschine über dem Alphabet 1, 0 codieren und es gibt eine Turingmaschine, die überprüft ob eine Codierung eine gültige Turingmaschine ist. Universelle Turingmaschine Eine universelle Turingmaschine U erhält als Eingabe zwei Worte [w 1 ][w 2 ] und tut folgendes: 1 sie überprüft ob w 1 eine Codierung einer Turingmaschine T ist 2 falls ja, simuliert sie T mit w 2 als Eingabe 3 falls T endet, liefert U das zurück, was T geliefert hat Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /16

9 Unentscheidbare Probleme Halteproblem Das Halteproblem ist die formale Sprache H = {w A w ist Codierung einer Turingmaschine T und T w (w) hält} H ist unentscheidbar Das Halteproblem ist unentscheidbar, d.h. es gibt keine Turingmaschine, die H entscheidet. (Beweis siehe Skript) Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /16

10 Busy-Beaver Bibermaschine Eine n-bibermaschine ist eine Turingmaschine T mit folgenden Eigenschaften: Bandalphabet ist X = {, 1} T hat n + 1 Zustände, wobei in n Zuständen für jedes Bandsymbol der nächste Schritt definiert ist, einer dieser n Zustände der Startzustand ist und in einem weiteren Zustand für kein Bandsymbol der nächste Schritt definert ist (Haltezustand) Wenn man die Turingmaschine auf dem leeren Band startet hält sie nach endlich vielen Schritten Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /16

11 Busy-Beaver fleißiger Biber Eine Bibermaschine heißt fleißiger Biber, wenn sie unter allen Bibermaschinen mit gleicher Zustandsanzahl die maximale Anzahl Einsen auf dem Band hinterlässt. Busy-Beaver-Funktion Die Busy-Beaver-Funktion ist wie folgt definiert: bb :N + N + bb(n) = die Anzahl von Einsen, die ein fleißiger Biber mit n + 1 Zuständen am Ende auf dem Band hinterlässt Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /16

12 Busy-Beaver Busy-Beaver-Funktion Bekannt ist: bb(3) = 6 bb(4) = 13 bb(5) 4098 bb(6) Eigenschaften der Busy-Beaver-Funktion Für jede berechenbare Funktion f : N + N + gibt es ein n 0 N 0, so dass für alle n n 0 gilt: bb(n) > f (n) Die Busy-Beaver-Funktion bb(n) ist nicht berechenbar Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /16

13 Relationen Äquivalenzrelation Eine Relation ist Äquivalenzrelation auf einer Menge M, wenn gilt: x M : x x, x M : y M : x y = y x x M : y M : z M : x y y z = x z Kongruenz modulo n Es sei n N +. Zwei Zahlen x, y Z heißen kongruent modulo n, wenn die Differenz x y durch n teilbar, also ein ganzzahliges Vielfaches von n, ist. Man schreibt x y (mod n). Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /16

14 Äquivalenzklassen Äquivalenzklasse Für eine Äquivalenzrelation und x M heißt y M x y die Äquivalenzklasse von x. Man schreibt auch [x] oder nur [x]. Faktormenge M / = {[x] x M} heißt Faktormenge oder Faserung von M nach (Menge aller Äquivalenzklassen). Die Faktormenge von modulo n schreibt man als Z n. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /16

15 Kongruenzrelationen verträglich Es sei eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M und f : M M eine Abbildung. ist mit f verträglich, wenn für alle x 1, x 2 M gilt: x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). Ist eine binäre Operation auf einer Menge M, dann heißen und verträglich, wenn für alle x 1, x 2 M und alle y 1, y 2 M gilt: Kongruenzrelation x 1 x 2 y 1 y 2 x 1 y 1 x 2 y 2 Eine Äquivalenzrelation, die mit allen gerade interessierenden Funktionen oder/und Operationen verträglich ist, heißt Kongruenzrelation. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /16

16 Halbordnungen Antisymmetrie Eine Relation R M M heißt antisymmetrisch, wenn für alle x, y M gilt: xry yrx = x = y Halbordnung Eine Relation R M M heißt Halbordnung, wenn sie reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Wenn R eine Halbordnung auf einer Menge M ist, sagt man auch, die Menge sei halbgeordnet. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /16