Lösungen der Übungsaufgaben I

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1 Mathematik für die ersten Semester (. Auflage): Lösungen der Übungsaufgaben I C. Zerbe, E. Ossner, W. Mückenheim

2 . Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen stets wahr sind, also zur Ableitung wahrer Aussagen die linke Teilaussage für die rechte und die rechte für die linke eingesetzt werden kann (Äquivalenzumformungen): a) (A B) (B A) (Kommutativgesetz) b) (A B) (B A) (Kommutativgesetz) c) (A B) C A (B C) (Assoziativgesetz) d) (A B) C A (B C) (Assoziativgesetz) e) A (B C) (A B) (A C) (Distributivgesetz) f) A (B C) (A B) (A C) (Distributivgesetz) g) (A B) A B (de Morgansches Gesetz) h) (A B) A B (de Morgansches Gesetz) Die Äquivalenz der Aussagen ergibt sich aus der Gleichheit der entsprechenden Spalten der Wahrheitstafeln für a) h). a) b) g) h) A B A B B A A B B A (A B) A B (A B) A B c) d) e) f) A B C (A B) C A (B C) A (B C) (A B) C A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C). Zeigen Sie mit Hilfe einer Wahrheitstafel oder durch Äquivalenzumformung mit Hilfe von bereits bekannten Aussagen die Wahrheit der folgenden logischen Gesetze: a) A ( A) (Doppelte Negation) b) A A (Tertium non datur) c) (A A) (Kontradiktion) d) ((A B) A) B (Abtrennungsregel, modus ponens) e) ((A B) B) A (Widerlegung, modus tollens) f) ((A B) (B C)) (A C) (Syllogismus) Die wahre Aussage wird mit bezeichnet. Wenn eine Spalte der Wahrheitstafel nur aus Einsen besteht, ist die Wahrheit der Aussage gezeigt.

3 a) b) c) A A A ( A) A A A A A (A A) d) e) A B A B (A B) A ((A B) A) B A B B (A B) B A ((A B) B) A f) A B C A B B C (A B) (B C) : D A C D (A C) Die Wahrheit der Aussagen kann auch durch Äquivalenzumformung mit Hilfe von bereits bekannten Aussagen gezeigt werden. Das ist im Allgemeinen schwieriger. Als Beispiel wird dies für Aufgabe.c durchgeführt: (A A) A A (de Morgansches Gesetz, Aufgabe.g) A A (Aufgabe.a) Die letzte Aussage ist immer wahr nach Aufgabe.b.. Welche der folgenden Aussagen sind immer wahr, welche sind immer falsch, welche sind vom Wahrheitswert der Einzelaussagen abhängig? a) A A b) A A c) (A B) A d) A (B A) e) (A (A B)) B f) (A B) (B A) g) (A B) (A B) h) B (A (A B)) immer wahr: b, d, e, g immer falsch: a abhängig vom Wert der Einzelaussagen: c, f, h

4 Im Einzelnen ergeben sich folgende Wahrheitstafeln für die Aufgaben a h: a) b) A A A A A A c) d) e) A B A B (A B) A B A A (B A) (A (A B)) (A (A B)) B.d) Lösung durch Äquivalenzumformung A (B A) A (B A) A ( B A) A B A A A B immer wahr.e) vergleiche.d f) g) A B A B B A) (A B) (B A) A B A B (A B) (A B) h) A B A B A (A B) B B (A (A B)). Seien A {, a, b, c } und B {,,, c }. Bilden Sie den Durchschnitt A B, die Vereinigung A B und die Differenz A \ B sowie B \ A. A B {, c }, A B {,,, a, b, c }, A \ B {a, b }, B \ A {, }

5 . Finden Sie ein Beispiel für (A B) C A (B C). Das Assoziativgesetz gilt nicht, wenn Schnitt und Vereinigung in einem Ausdruck verwendet werden: Wir wählen A {,, }, B {,, 4}, C {5, 6}. Dann ist (A B) C, aber A (B C) {,, }.. Für die nicht leere Menge M prüfe man durch logische Herleitung und mit Mengendiagrammen die Sätze: a) M M M (Idempotenzgesetz) M M { M M } { M } M (da A A A ) b) M M M (Idempotenzgesetz) M M { M M } { M } M (da A A A ) c) M \ M «M \ M { M M } { } d) M M { M } { } e) M D M (D ist neutrales Element der Schnittbildung) M D { M D } { M} M f) M M ( ist neutrales Element der Vereinigung) M { M } { M } M g) M D D M D { M D } { D } D h) A (A B) A (Absorptionsgesetz) A A B B i) A (A B) A (Absorptionsgesetz) A A B B

6 .4 Vereinfachen Sie: a) A (B A) (A A) B A B (unter Verwendung von.a und des Assoziativgesetzes ) alternativ: A (B A) { A B A } { A B } A B b) (A B) (A ) (B ) c) (A B*) (A* B) (A B) (A \ B) (B \ A) (A B) A B A A \ B A B B \ A B A B* A \ B aus Mengendiagramm ersichtlich (bzw. Hinweis bei.4e) d) (A B*)* (A* B)* (A* B) (A B*) (A* A) (B B*) D D D e) Die Aufgabe wird in Teilschritten gelöst: (((A (B C)) B) \ C) ((A B A*) \ B) [Hinweis: A \ B A B*] ((A (B C)) B ((A B) (A C)) B (A B) (A C) B ((A B) B) (A C) B (A C) ((A (B C)) B) \ C (B (A C)) \ C (B (A C)) C* (B C*) ((A C) C*) (B C*) (A ) (B C*) B C* (A B A*) \ B (A B A*) B* (D B ) B* D B* B* (((A (B C)) B) \ C) ((A B A*) \ B) (B C*) B* (B B*) (C* B*) D (C B)* (C B)*.5 Führt man in einer logischen Aussage die folgenden Ersetzungen bzw. ihre Umkehrungen durch:, und M M* (einschließlich D ), so erhält man die duale Aussage. Beispiel: M D D ist dual zu M*. Bilden Sie die dualen Aussagen zu a) A (B A) A b) M M c) M M* D und prüfen Sie deren Gültigkeit. a) A (B A) A duale Aussage: A* (B* A*) A* Beweis: A* (B* A*) A* (B A)* (A (B A))* A* b) M M duale Aussage: M* D M* Beweis: siehe.e. c) M M* D duale Aussage: M* M** D* M* M**, da D* Beweis: M* M** M* M.6 A {, a } und B {, }. Bilden Sie das Produkt A B sowie das Produkt B A.

7 A B {(, ); (, ); (a, ); (a, )} B A {(, ); (, a); (, ); (, a)}. Welche Eigenschaften besitzen die folgenden Relationen? refleiv symmetrisch transitiv {, y, y { Menschen } ist älter als y } {, y, y { Menschen } ist Bruder von y } {, y, y { Menschen } ist Bruder oder Schwester von y } {, y, y { Menschen } ist Mutter von y } {, y, y { Menschen } ist Tochter von y } {, y, y { Menschen } ist Onkel von y } {, y, y { Menschen } ist Nachkomme von y } {, y, y { Städte } ist mindestens km entfernt von y } {, y, y { Städte } ist eine Stunde Weges entfernt von y } {, y, y { Geraden } ist parallel zu y } {, y, y { Geraden } ist senkrecht zu y } {, y, y N y ist ungerade } {, y, y N teilt y }. Zu welchen Klassen (Äquivalenzrelation, Ordnungsrelationen) gehören die folgenden Relationen? Es werden die Abkürzungen r: refleiv, s: symmetrisch, t: transitiv, as: asymmetrisch und an: antisymmetrisch verwendet. r s t as an Äquivalenz- Ordnungsrelation relation partiell streng a) besitzt dieselbe Größe (Farbe, Dichte, Ladung, ) wie y. b) > y c) y d) y e) + y f) ( + y : + y y + z fl + z ). Zeichnen Sie die Relationsgraphen für die Übungen. b bis f. b) > y : markiertes Gebiet ohne Gerade; c) y : mit Gerade; d) y : nur Gerade Die Refleivität einer Relation erkennt man daran, dass der Graph die Hauptdiagonale (y ) enthält.

8 e) + y y f) oder + y e) Die Symmetrie der Relation erkennt man an der Symmetrie des Graphen relativ zur Hauptdiagonale. f) Symmetrie liegt nicht vor, wie man am Graphen sieht, der nicht symmetrisch zur Hauptdiagonale ist. Refleivität liegt nicht vor, weil der Graph die Hauptdiagonale nicht enthält.4 Geben Sie jeweils ein Beispiel für folgende Relationen an: a) Eine Äquivalenzrelation, die ebenfalls partielle Ordnungsrelation ist: y b) Eine Äquivalenzrelation, die nicht partielle Ordnungsrelation ist: y ist ohne Rest durch teilbar c) Eine partielle Ordnungsrelation, die nicht Äquivalenzrelation ist: y d) Eine Relation, die weder Äquivalenzrelation noch partielle Ordnungsrelation ist: < y.5 Prüfen Sie die folgenden Abbildungen auf Linearität: a) f(), y: f( + y) ( + y) + y f() + f(y), f(α) α α αf() b) f() + : f(ÿ) ÿÿ + Die Abbildung kann nicht linear sein. c) f(), y: f( + y) ( + y) + y f() + f(y), f(αÿ) (αÿ) α αf() Die Abbildung ist nicht linear, denn außer in speziellen Fällen gelten die obigen Ungleichungen. Bei Linearität müsste aber in allen Fällen Gleichheit gelten. Deswegen genügt es, die Nichtlinearität an einem speziellen Beispiel zu zeigen: d) f() f( + (-)) + (-) + - f() + f(-) Für weitere Aufgaben zur Linearität siehe Übungen.8 und.9.

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10 7 4. Man berechne die Binomialkoeffizienten,, 5 7 7! !(7 5)! 54, ; 45; Man beweise die Bernoullische Ungleichung: ( + ) n + n für und n N a) mit Hilfe des binomischen Satzes, b) durch vollständige Induktion. n n n n-i i nn ( ) + + n+ + + n i i a) ( ) b) Induktionsanfang (Behauptung stimmt für n ): + + Induktionsannahme: ( + ) n + n Schluss von n auf n+ (zu zeigen: ( + ) n+ + (n + ) ): ( + ) n+ ( + ) n ( + ) ( + n ) ( + ) + n + + n + n + + (n + ). 4. Man beweise die folgenden Formeln für alle n N mit vollständiger Induktion: a) n k k nn ( + )(n+ ) 6 Induktionsanfang (Behauptung stimmt für n ): 6 Induktionsannahme: n k n+ ( n+ )( n+ )(n+ ) Schluss von n auf n+ (zu zeigen: k ): 6 k k nn ( + )(n+ ) 6 n+ n( n + ) (n+ ) k k + ( n+ ) + ( n + ) 6 n k k ( n + )[ n(n+ ) + 6( n+ )] ( n+ )[n + n+ 6n+ 6)] ( n+ )[( n+ )(n+ )] Der letzte Schritt wird durch Ausmultiplizieren der eckigen Klammern bewiesen. b) n k k nn ( + ) Induktionsanfang (Behauptung stimmt für n ): Induktionsannahme: n k ( )( ) Schluss von n auf n+ (zu zeigen: n+ n+ n+ k ): k k nn ( + )

11 n+ n n( n + ) k k + ( n+ ) + ( + ) ( ) [ + 4( + )] n n+ n n 4 k k ( n+ ) [ n + 4n+ 4] ( n+ ) ( n+ ) 4 4 c) n k q k n q q ; q Induktionsanfang (Behauptung stimmt für n ): q q q Induktionsannahme: n+ n+ k q Schluss von n auf n+ (zu zeigen: q ): q n+ k n k q k n q q n n n n n+ k k n q n q q ( q) n n n+ q q q + q + q + ( q + q q ) q q q q q k k 4.4 Man beweise, dass keine rationale Zahl ist. [Hinweis: Es wäre sonst p /q.] Annahme: p, p und q ganze Zahlen und teilerfremd q Aus Annahme folgt: p q p q Links steht eine ungerade Zahl von Faktoren, rechts steht eine gerade Zahl von Faktoren, im Widerspruch zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. 4.5 Man beweise: Sind p und q teilerfremd, so ist p n /q mit n N keine ganze Zahl. q enthält mindestens einen Primfaktor, der nicht in p enthalten ist. Nach dem Fundamentalsatz der Zahlentheorie ist dieser Primfaktor auch nicht in p n enthalten. 4.6 Ist - durch teilbar? Ohne Rechnung ergibt sich die Antwort "ja" aus dem kleinen Fermatschen Satz, da Primzahl ist. / Skizzieren Sie alle möglichen bijektiven Abbildungen der Menge { a, b, c } auf sich selbst durch Ziehen von Verbindungslinien zwischen Urbild und Bild. a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c (III) (W) (M) (*) (IX) (XI)

12 Weisen Sie nach, dass diese Abbildungen eine nichtabelsche Gruppe bilden. Die Abbildungen sind abgeschlossen, denn mehr als! gibt es nicht und jede Verknüpfung von Abbildungen ist wieder eine Abbildung. Die Assoziativität ergibt sich aus der Ununterscheidbarkeit der Klammerung in einer Zeichnung, die drei Abbildungen hintereinandergeschaltet enthält. (III) ist das neutrale Element. Zu jedem Element eistiert das inverse Element. (III), (*), (IX), (XI) sind zu sich selbst invers, (W) und (M) zueinander. (W) (*) {a b b; b c a; c a c} (XI) (*) (W) {a c a; b b c; c a b} (IX) Da (W) (*) (*) (W), ist die Gruppe nicht kommutativ. Also handelt es sich um eine nichtabelsche Gruppe. 5. Stellen Sie die Dezimalzahlen, 7, 45, /, 7/4 als Binärzahlen dar. d b (d: Dezimaldarstellung, b: Binärdarstellung) 7 d b ; 45 d b ;,5 d, b ; (7/4) d, b 5. Wandeln Sie die Binärzahlen ; ;, in Dezimalzahlen um. b 5 d ; b 5 d ;, b 4,5 d 5.4 Man beweise mit Hilfe der Aiome der reellen Zahlen und der Ungleichung a a anhand von Fallunterscheidungen die Cauchy Schwarzsche Ungleichung + y + y.. Fall ( + y) fl + y ( + y) + y + y + y. Fall ( + y) < fl + y -( + y) - - y - + -y - + -y + y 5.5 Man beweise mit Hilfe der Aiome der reellen Zahlen und der Ungleichung a a anhand von Fallunterscheidungen die Ungleichung y y. Nach Übung 5.4 gilt: y + y y + y fl y - y Nach Übung 5.4 gilt: y + y + y fl y y - -( - y ) oder y -( - y ) Aus y - y und y -( - y ) folgt y - y 5.6 Schreiben Sie den kleinen Fermatschen Satz in der Form a ª b (mod c). p- k p (mit k ) p- (mod p) 5.7 Berechnen Sie: 5.9 Berechnen Sie die Beträge der Zahlen aus 5.7.

13 a) ( + 4i) + (7 + i) + 6i + 6i 6 b) ( + 5i) + ( i) 6 + i 6 + i 45 c) ( + 4i) ( i) 6i 6i 6 d) ( 4i) ( i) i i 5 e) ( + 4i) ÿ ( + i) + 6i + 6i 6 f) ( 4i) ÿ ( i) 6 8i 6 8i g) ( + 5i) / ( + i) ( i )/5 ( i )/5 h) ( + 5i) / ( i) ( + i)/ ( + i)/ Stellen Sie die Zahlen aus 5.7 in Polarform dar und führen Sie die Multiplikationen und Divisionen darin aus. + 4i 7 + i + 5i i 4i 5 i5, e i i5,9 5 e + 4i i59, 4 e + i i,7 e + 5i i6,4 e + i 5 i6,4 e e i6,4 e i,7 4 e i59, 5 e i6,4 ( + 4i) ÿ ( + i) ( 4i) ÿ ( i) ( + 5i) / ( + i) i6,4 i,7 i97, e e 6 e 6,8 i e 4 5 i4,4 e ( + 5i) / ( i) 4 e i9,7 5. Berechnen Sie die drei dritten Einheitswurzeln aus ( ), stellen Sie sie in Komponentenform dar und prüfen Sie die Ergebnisse durch dreimalige Multiplikation jeder Wurzel mit sich selbst in Komponentenform. i( π+ nπ) z e, n,, n iπ i e π n : z e n : z n : z e i5π iπ π π Komponentenform: z e cos( ) + isin( ),5 + i iπ z e cos( π) + isin( π) i5π 5π 5π z e cos( ) + isin( ),5 i Probe: ( z),5+ i,5 +,5 i +,5 i + i

14 ( z ) ( z),5 i 5. Berechnen Sie die fünf fünften Einheitswurzeln aus und stellen Sie sie in Komponentenform dar. z e iπ 5 z e,9 + i,95 i4π 5 z e,89 + i,588 i6π 5 z e,89 i,588 i8π 5 z4 e,9 i,95

15 Mathematik für die ersten Semester (. Auflage): Lösungen der Übungsaufgaben III C. Zerbe, E. Ossner, W. Mückenheim

16 6. Man konstruiere die Winkelhalbierende eines beliebigen Winkels analog zur Konstruktion des Lotes auf eine Gerade.. Kreis um S mit beliebigem Radius Schnittpunkte M und M.. Kreis um M bzw. M mit beliebigem Radius Schnittpunkt W.. Verbindungsgerade SW ist die Winkelhalbierende. 6. Man beweise den Satz: Über jeder Sehne S des Kreises ist der Zentrumswinkel β doppelt so groß wie der Peripheriewinkel α. Man leite daraus den Thalessatz als einen Spezialfall ab. [Hinweis: Mit einer Hilfslinie vom Zentrum zum Scheitel des Peripheriewinkels lassen sich zwei gleichschenklige Dreiecke erzeugen.] S β α Aus der Zeichnung liest man ab:. α α + α. α + γ π. α + δ π,. +. (α + α ) + (γ + δ ) π 4. α + (γ + δ) π 5. β + δ + γ π δ + γ π - β, in 4. eingesetzt α + π - β π α β. Der Thalessatz besagt: Der Umfangswinkel über einem Kreisdurchmesser beträgt 9. Dies ergibt sich aus obigem Ergebnis, falls man dort β 8 setzt. (α 8 α 9 ) 6. Man stelle die Menge der Punkte eines Kreises um den Ursprung ( ) in kartesischen Koordinaten dar. Aus der Zeichnung liest man ab, dass für alle Kreispunkte P(, y) gilt: K {(, y) + y r }

17 6.4 Man berechne mit dem Satz des Pythagoras die Höhe h des regelmäßigen (gleichseitigen) Dreiecks und das Verhältnis von Fläche A zu Umfang U. Aus der Zeichnung liest man ab: a a h a h a h 4 4 a a a A 4 A a a U a U 4 a Man berechne beim Quadrat und beim Heagon das Verhältnis von Fläche A zu Umfang U. [Hinweis: Die Heagonfläche ist die Fläche von sechs Dreiecken.] a) Quadrat: A a a A a, U 4 a U 4a 4 b) Heagon: a A a a A 6 a ; U 6 a 4 U 6a Das Verhältnis von Diagonale d und Seite s im Pentagon d/s ( + 5)/ bezeichnet man als stetige Teilung, weil d/s s/(d s) gilt. Man beweise diese Formel. [Hinweis: Man zeige s s' und h d s. Dann verwende man den Strahlensatz und die Hilfslinie h.] Anmerkung: Die Diagonalen des Pentagons erzeugen ein verkleinertes Pentagon (mit der Diagonale h d s und der Seitenlänge s d), für das wieder dasselbe Verhältnis vorliegt. s a/ C h d b a/ s' b a a - b Sei β : Mittelpunktswinkel und α : Umfangswinkel. β 6 /5 7 Aus Aufgabe 6. folgt: α β/ 6 Da Δ ABD gleichschenklig: DAB (8 - α)/ 7 β AFB 8 - β - α 8 - α 7 β Δ ABF gleichschenkelig s s analog: Δ FBG gleichschenkelig h parallel zu ED

18 DFG α Δ DFG gleichschenkelig DG h d s + h h d s (A) Für Δ EBD gilt der Strahlensatz: d : s s : h, mit (A) folgt die Behauptung: d : s s : (d-s) 6.7 Zur stetigen Teilung der Strecke a errichtet man in einem Endpunkt das Lot und trägt darauf die Strecke a/ ab. Um deren Endpunkt C schlägt man einen Kreis mit dem Radius a/. Auf der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks verbleibt die restliche Länge b. Man zeige, dass durch diese Konstruktion b/a ( + 5)/ und a/b ( + 5)/ erzeugt wird. a a b+ a + (Δ ABC) a 5 b + ab+ a 4 4 b a b + ab a, b( b+ a) a, a b + a a b+ a a b a, +, + b a b a b a b a Sei + ( + 5 ), ( 5) b b Analog y y+ y + y y ( + 5 ), y ( 5) a y 6.8 Zur Berechnung der Kreisfläche kann man den Kreis wie eine Torte in n gleiche Stücke einteilen. Je mehr Tortenstücke man verwendet, umso genauer stimmt die Basis c eines Dreiecks mit dem zugehörigen Kreisbogen U/n und die Höhe h mit dem Kreisradius r überein. Wenn n über alle Grenzen wächst, ergibt sich die Kreisfläche aus n Dreiecksflächen hÿc/ zu nÿ r U n ru rÿπr πr A Kreis. r h c U/n r

19 Dieses Ausschöpfungs- oder Ehaustionsverfahren wurde schon von Archimedes benutzt, um die Zahl π zu berechnen. Er zeigte mit einem dem Kreis einbeschriebenen und einem dem Kreis umbeschriebenen 96-Eck, dass + 7 > π > + 7. Schätzen Sie die Fläche des Einheitskreises mit Hilfe eines einbeschriebenen und eines umbeschriebenen Heagons ab. r einbeschriebenes Heagon: Basis c r, Höhe h AE r >,598 r (Aufg. 6.5) umschriebenes Heagon: Höhe h r, Basis c r AU r <,465 r Einheitskreis: r A E, A U, also liegt π zwischen,598 und, Man drücke cosϕ analog zu Formel (7.7) im Buch und sinϕ analog zu Formel (7.6) im Buch als Funktionen des einfachen Winkels aus. [Hinweis: Man verwende cosϕ cos(ϕ + ϕ) und sinϕ sin(ϕ + ϕ).] cos(ϕ) cos(ϕ + ϕ) cos(ϕ) cos(ϕ) sin(ϕ) sin(ϕ) [cos (ϕ) sin (ϕ)] cos(ϕ) sin(ϕ) cos(ϕ) sin(ϕ) cos (ϕ) sin (ϕ) cos(ϕ) andere Darstellung: cos (ϕ) cos(ϕ) + cos (ϕ) 4 cos (ϕ) cos(ϕ) sin(ϕ) sin(ϕ + ϕ) sin(ϕ) cos(ϕ) + cos(ϕ) sin(ϕ) sin(ϕ) cos (ϕ) + [cos (ϕ) sin (ϕ)] sin(ϕ) sin(ϕ) cos (ϕ) sin (ϕ) andere Darstellung: sin(ϕ) 4 sin (ϕ) 7. Man zeichne die Graphen für tanϕ und cotϕ. Ø Buch, S Man zeige cosα cos α cos(α) cos (α) sin (α) cos (α) [ cos (α)] cos (α) 7.4 Man zeige cosα sin α cos(α) cos (α) sin (α) sin (α) sin (α) sin (α) 7.5 Man zeige sinα cosβ [sin(α β) + sin(α + β)]/ [Hinweis: Man verwende Formel (7.4) im Buch und die analoge Formel für sin(α β)]. [sin(α β) + sin(α + β)]/ [sin(α) cos(β) sin(β) cos(α) + sin(α) cos(β) + sin(β) cos(α)]/ sin(α) cos(β)

20 7.6 Man zeige cosα cosβ [cos(α β) + cos(α + β)]/ [Hinweis: Man verwende Formel (7.5) im Buch und die analoge Formel für cos(α β)]. [cos(α β) + cos(α + β)]/ [cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) + cos(α)cos(β) sin(α)sin(β)]/ cos(α) cos(β) 7.7 Man zeige sinα sinβ [cos(α β) cos(α + β)]/ [Hinweis: Man verwende Formel (7.5) im Buch und die analoge Formel für cos(α β)]. [cos(α β) cos(α + β)]/ [cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)]/ sin(α) sin(β) 8. A B Berechnen Sie: C. 4 A ( B C ). 9 8 ( A+ C) B ( A B) C ( ) A A A A 4 6 ( A B) C A ( B C ) A ( B C ) Schreiben Sie die Strecken als Vektoren A, B, C, D. Berechnen Sie daraus L und L. y D L C 4 ϕ A 5 B Zu Aufgabe 8., ϕ π/4.

21 5 A B C 5+ D, L A + B + C + D 5+, L Berechnen Sie den Winkel zwischen der Würfeldiagonale und der Seitendiagonale, a) die einen gemeinsamen Punkt besitzen, b) die keinen gemeinsamen Punkt besitzen. Die Größe des Würfels spielt keine Rolle, daher wählen wir den Einheitswürfel. a) Würfeldiagonale D Seitendiagonale S D S + + cos ϕ D S ϕ 5, 6 (die anderen Seiten- und Würfeldiagonalen, die einen gemeinsamen Eckpunkt haben, schließen denselben Winkel ein) b) Würfeldiagonale D Seitendiagonale T cos ϕ ϕ 9 (die anderen Seiten- und Würfeldiagonalen, die keinen gemeinsamen Eckpunkt haben, schließen denselben Winkel ein) 8.4 Berechnen Sie A, B, A, α, β. [Hinweis: Der Ursprung des Koordinatensystems wird zweckmäßig in die Ecke gelegt, die gemeinsamer Punkt von A und B ist.] B A α β Zu Aufgabe 8.4 Aufsicht, Seitenansicht. A B A 7 A B 9 cosα A B 7 α 58, Dachfirst C AC cos β A C 7 β 9, Anstelle von C hätte man hier auch mit dem Einheitsvektor X rechnen können. a) Berechnen Sie die Vektoren A, B, C, D, die Längen der Kanten und die Winkel an der Spitze der Pyramide (Nullpunkt des Koordinatensystems). Die Spitze liegt 6 Einheiten höher als die Basis A, B, C, D der Pyramide. b) Legen Sie den Punkt B Einheiten tiefer und den Punkt D Einheiten höher und berechnen Sie alles neu.

22 B C D 9 δ γ β α 6 5 A Zu Aufgabe 8.5 Aufsicht. 5 a) A 6 5 B 6 6 C D 6 A 7 8,67 B 6 6,89 C 8,9 D 8 9 A D 5 cosα A D 759,94 α 78,5 A B cos β A B 6 C B 66 cosγ C B 86,6 C D 54 cosδ C D 95 AD D A BC C B 4 7, 5 β 7, γ 59,97 δ 54,74 AB B A DC C D b) A 6 5 B 8 6 C D A 7 8,67 B 89 7,48 C 8,9 D 54 7,48 α 9,8 β 68,5 γ 56,9 δ 6,87

23 AD D A 4, BC C B 4 8, 74 AB B A,5 DC C D 9 94,87 Zur Berechnung könnten auch alle Komponenten durch geteilt werden. Winkel bleiben dabei unverändert; die Längen ergeben sich in der Einheit Dekameter, wenn sie vorher in der Einheit Meter angegeben waren. 9. Welche der folgenden Vektortripel sind linear unabhängig? a),, b), 4, c),, d),,. a) α +β + γ, mögliche Lösung α, β -,5, γ -, d.h. die Vektoren sind linear abhängig. (oder Prüfung mit der Determinante, s. Abschnitt : fl Die Vektoren sind linear abhängig.) b) linear abhängig: 5 4 c) Das Gleichungssystem α + β α + γ α + β + γ besitzt nur die Lösung α β γ fl Die Vektoren sind linear unabhängig. d) Die Vektoren sind linear unabhängig Man berechne die Darstellung des Vektors 6 in der Basis,, y + z, lineares Gleichungssystem Die Lösung des Gleichungssystems ist die Darstellung des Vektors in der neuen Basis: 9 y 4. z 5

24 9. Man berechne die Projektion des Vektors 4 auf die -Achse. analog zu Buch, S. 6: Projektion von B auf A: X, B 4, B (B X ) X 9.4 Die Kanten eines Würfels liegen in den Achsen des kartesischen Koordinatensystems (im rein positiven Bereich). Man berechne die Einheitsvektoren der Würfeldiagonalen und die Projektionen des Vektors 4 auf diese Diagonalen. Es gibt zu jeder Ecke eine Würfeldiagonale, von denen aber je zwei (z. B. A und -A) in eine der vier gezeichneten Strecken fallen: Wird jeder Diagonalenvektor in den Ursprung parallelverschoben, so finden wir: A, B, C, D, -A, -B, -C, -D Die Einheitsvektoren sind dann,,, sowie die dazu negativen Vektoren. Die Projektionen von 4 sind nach Buch, S. 6 5 ( 4 ), ( 4 ) 7 ( 4 ), ( 4 )

25 Verwendet man die dazu negativen Diagonalenvektoren, so bleiben die Projektionen unverändert, denn (U (-V )) (-V ) (U V ) V 9.5 Ein Quader besitzt die Seitenlängen, und. Man berechne den Einheitsvektor einer Raumdiagonale. Man berechne die Projektion der längsten Seite auf die Diagonale. D, D 4, längste Seite, Projektion: Welchen Abstand besitzt die Gerade G { P P λ 4 + } vom Ursprung? Buch, S. 7, Abb. 9.: gesucht ist N, Rechnung S. 7 A 4, Β A B 5 λ N A A 7 4 n λ Na + b 7 ny 7 nz 7 N,8 andere Möglichkeit mit Kreuzprodukt (Buch. S. 7 unten): 4,8 Welchen Abstand besitzt sie vom Punkt? 4, 488 /5 9.7 Welchen Abstand vom Ursprung besitzt die Ebene mit Normale N 4/5 7 durch den Punkt A? Buch, S. 7: N A -7/5 Der Abstand ist in diesem Falle d -N A 7/5 9.8 Welche Achsenabschnitte besitzt die Ebene aus 9.7? [Hinweis: Den Achsenabschnitt der -Achse findet man, wenn man in der Hesseschen Normalform für Ebenen y und z setzt.]

26 /5 Buch, S. 7: N P 4/5 y -7/5 z Achsenabschnitt p der -Achse: /5 4/5 p -7/5 p -7/ Achsenabschnitt p y der y-achse: /5 4/5 p y -7/5 geht nicht die Ebene liegt parallel zur y-achse Achsenabschnitt p z der z-achse: /5 4/5-7/5 p z -7/4 p z 9.9 Bestimmen Sie die Gleichung und d für die Ebene durch A senkrecht zu N. [Hinweis: Nach (9.) gilt für jeden Punkt P der Ebene (P A)ÿN.] N A + + d (P A)ÿN y z ( - )ÿ + (y - )ÿ + (z - )ÿ + y + z 9. Bestimmen Sie Gleichung und d für die Ebene durch A 4 7 senkrecht zu N. N A d 8 (P A)ÿN y 4 z 7 ( - )ÿ + (z + 7)ÿ + z Bestimmen Sie Gleichung und d für die Ebene durch A senkrecht zu N. N A 7 d 7

27 (P A)ÿN y z ( + )ÿ + (y - )ÿ + (z + )ÿ + y + z E { y + y + z }, E { y }, E { y + y + z 4 }, z z z G E E, G E E. Welchen Winkel schließen die Geraden G und G ein? G besteht aus allen Punkten, die zu E und E gehören: + y + z fl y + z fl z - y G besteht aus allen Punkten, die zu E und E gehören: + y + z + y + z 4 fl fl z - y G { λ λ }, G { λ λ } λ λ Nun werden auf jeder der beiden Geraden zwei Punkte festgelegt, z. B. für λ und λ, und aus deren Differenz die (nicht normierten) Richtungsvektoren G und G der Geraden bestimmt. G, G Das Skalarprodukt ergibt den Winkel zwischen den Geraden: G G + ( ) ( ) cos ϕ ϕ G G Die Geraden verlaufen parallel zu einander. Schneller geht es mit dem Kreuzprodukt. Dazu muss man wissen, dass ein Normalenvektor einer Ebene aus der Ebenengleichung entnommen werden kann. Schauen wir uns die drei vorhergehenden Aufgaben an, so sehen wir: Der Normalenvektor führt auf die Ebenengleichung + y + z (wobei auch eine andere rechte Seite eine Ebene mit demselben Normalenvektor ergäbe) der Normalenvektor führt auf die Ebenengleichung + z -8 und der Normalenvektor führt auf die Ebenengleichung + y + z -7.

28 Die linken Seiten der Gleichungen ergeben sich aus P ÿ N (analog zu (9.) im Buch), so dass der Normalenvektor einer Ebene immer aus der linken Seite abgelesen werden kann. Schneiden sich nun zwei Ebenen, so muss der Schnitt senkrecht zu jedem der beiden Normalenvektoren stehen (da die resultierende Gerade zu jeder der beiden Ebenen gehört). Dies ist beim äußeren Produkt der Fall. Ein Richtungsvektor der resultierenden Gerade kann also aus dem Kreuzprodukt der Normalenvektoren der Ebenen, abgelesen aus den Ebenengleichungen, entnommen werden. Normalenvektoren zu E : N, zu E : N, zu E : N Richtungsvektor G der Schnittgeraden G von E und E : G N N Richtungsvektor G der Schnittgeraden G von E und E : G N N G und G sind parallel zueinander 9. E { y z + y + z }, E { y z y }, E { y z z }, G E E, G E E. Welchen Winkel schließen die Geraden G und G ein? G besteht aus allen Punkten, die zu E und E gehören: + y + z y fl + z fl z - G besteht aus allen Punkten, die zu E und E gehören: y - z fl z - λ λ G { λ }, G { λ } λ λ Nun werden auf jeder der beiden Geraden zwei Punkte festgelegt, z. B. für λ und λ, und aus deren Differenz die (nicht normierten) Richtungsvektoren G und G der Geraden bestimmt. G, G Das Skalarprodukt ergibt den Winkel zwischen den Geraden: G G + ( ) π cos ϕ ϕ 9 G G

29 Richtungsvektor G' der Schnittgeraden G von E und E : G' N N Richtungsvektor G' der Schnittgeraden G von E und E : G' N N Die Geraden stehen senkrecht zueinander. 9.4 E { y + y + z }, E { y + y }, E { y y 4 }, z z z G E E, G E E. Welchen Winkel schließen die Geraden G und G ein? G besteht aus allen Punkten, die zu E und E gehören: + y + z + y fl y -, beliebig fl z G besteht aus allen Punkten, die zu E und E gehören: + y - y 4 fl, y -, z beliebig λ G { λ λ }, G { λ } λ Nun werden auf jeder der beiden Geraden zwei Punkte festgelegt, z. B. für λ und, und aus deren Differenz die (nicht normierten) Richtungsvektoren G und G der Geraden bestimmt. G, G Das Skalarprodukt ergibt den Winkel zwischen den Geraden: G G π cos ϕ ϕ 9 G G Kürzer geht es mit dem Kreuzprodukt: Richtungsvektor G' der Schnittgeraden G von E und E : G' N N Richtungsvektor G' der Schnittgeraden G von E und E : G' N N Das Skalarprodukt zeigt, dass die beiden Gerade G und G senkrecht zueinander stehen.

30

31 Mathematik für die ersten Semester (. Auflage): Lösungen der Übungsaufgaben IV C. Zerbe, E. Ossner, W. Mückenheim

32 . Stellen Sie die reduzierte Normalform her: Zeile *. Zeile 6 *. Zeile : reduzierte Normalform Lösen Sie das Gleichungssystem mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren: [Hinweis: Die Lösungsmenge besteht aus sehr kleinen ganzen Zahlen.] 6 - : *. Zeile *. Zeile *. Zeile /5 *. Zeile /5 *. Zeile /5 7/ /5 5/5 - *. Zeile

33 - () (4) 98/ / () ()+(4) /5 7/ /5 7/5 () ()+()+(4) /5-796/5 (4) ()+()+()+(4) + -. Lösen Sie das Gleichungssystem mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren: [Hinweis: Die Lösungsmenge besteht aus positiven Vielfachen von.] wird. Zeile /5-86/5-778/5 8/5 6/5 646/ /5-86/5-778/ * * + 7*5 96 9

34 + *9 + * *5. Erklären Sie die unbeschriftete Zeichnung auf S. 9 und folgendes Schema: B A män-matri, B näp-matri. A Ë Die Matri A wird um 9 gedreht und so mit der Matri B multipliziert. Daher muss die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B übereinstimmen. Ganz oben: Falk-Schema zum Multiplizieren von Matrizen: Die Elemente der Produktmatri ergeben sich durch das Skalarprodukt der jeweils entsprechenden Zeile und Spalte.. Berechnen Sie mit A 4 5 6, B , C 5 6 : a) A A b) A (B + C T ) c) C A d) B C e) C B f) B T C T a) A A b) A (B + C T ) c) C A 4 9 4

35 5 6 d) B C e) C B 6 f) B T C T Zeigen Sie (A B C ) T C T B T A T. (A B C ) T [(A B) C ] T C T (A B) T C T B T A T 6.4 Geben Sie die Matri an, die in A 4 6 zuerst die erste mit der dritten Zeile vertauscht, 4 9 anschließend die mit 4 multiplizierte erste Zeile von der zweiten Zeile subtrahiert und endlich die mit 6 multiplizierte erste Zeile zur dritten addiert. [Hinweis: Die gesuchte Matri ist das Produkt von drei Elementarmatrizen. Anwendungsreihenfolge beachten: Die zuerst anzuwendende Elementarmatri steht direkt links von A.] : gesuchte Matri.5 Invertieren Sie die Matri 4. 4 / / / / / / / / /5 / Inverse /5 /.6 Versuchen Sie, die Matri 6 zu invertieren. 6

36 Die Matri ist singulär, kann also nicht invertiert werden..7 Stellen Sie die Ergebnisse von Übung 5. durch Matrizen dar. (a b c) (a b c) (a b c) (a b c) (a b c) (a c b) (a b c) (b c a) (a b c) (b a c) (c a b) (c b a). Zeigen Sie, dass die Laplace-Entwicklung für -Matrizen auf die Regel von Sarrus führt. Die Entwicklung nach der. Zeile liefert: a a a a a a a ( a a a a ) a ( a a a a ) + a ( a a a a ) a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a Das ist dasselbe Ergebnis, das man mit der Regel von Sarrus erhält (Buch,.4).. Lösen Sie das Gleichungssystem aus Übung. auf S. 88 mit der Cramerschen Regel

37 6 7 9 A ÿ (-) +4 ÿ ÿ (Letzte Spalte von den vorhergehenden ein- bzw. zweimal subtrahiert. Dann nach der ersten Zeile entwickelt.) B ÿ ÿ B ÿ B B B A, B A, -, 4 -,

38 a Gegeben sind die Matrizen A und B mit a. a Bestimmen Sie die Determinanten von A, B und A B und berechnen Sie die Inversen wo möglich. 968a a A B 55a a A und A B besitzen keine Determinante und keine Inversen, da sie nicht quadratisch sind. B -a Inversion von B : a 6 B I a a a a a / / a / a a / B - /.4 Bestimmen Sie die Adjunkten A, A, A und A 4 von A (-) + ÿ A (-) + ÿ A (-) + ÿ 4 A 4 (-) 4+ ÿ Bilden Sie die adjungierte Matri  von A. Berechnen Sie A und Â. 4 A 4, A -, A -, A  4 A -  -

39 a Bilden Sie die adjungierte Matri  von A b. Berechnen Sie A und Â. 5 c  bc 6 7c 6b 5 c ac a 5b 5 a ab 4 A abc - a - b - 4c + 7  (bc ) ÿ (ac ) ÿ (ab 4) + Entweder alles mühsam ausrechnen, oder überlegen: Es gelten die Sätze A Ë B A ÿ B (.), A Ë Â A ÿi (.8) und αÿa α n A (.8). Also ist A Ë Â A ÿ  A ÿi A n ÿ I A n ÿ fl  A n-.7 Erklären Sie mit eigenen Worten die Begriffe: Untermatri, Adjunkte, adjungierte Matri, reguläre Matri..8 Erklären Sie die Umformungen: a) ÿ Multiplikation der. Zeile mit. Aufteilen der. Zeile auf zwei Determinanten (Satz. im Buch, S. 99) b) ÿ Multiplikation der. Spalte mit. Addition der. Zeile zur.. Subtraktion der zweifachen. Zeile von der. 4. Vertauschung der beiden Zeilen 5. Vertauschung der beiden Spalten c) Subtraktion der zweifachen. Zeile von der. und Subtraktion der dreifachen. Zeile von der.. Subtraktion der zweifachen. Zeile von der.. Entwicklung nach der. Zeile ergibt für die Determinante d) Subtraktion der vierfachen. Zeile von der. und Subtraktion der dreifachen. Zeile von der.. Subtraktion der zweifachen. Spalte von der. und Subtraktion der dreifachen. Spalte von der.. Subtraktion der dreifachen. Zeile von der. 4. Addition von /5 der. Zeile zur. 5. Vertauschung der. und. Zeile

40 .9 Berechnen Sie: a) b) c) Vor dem Rechnen genau hinsehen! [Hinweis: In (a) die Differenzen der Zeilen oder Spalten bilden. In (b) die erste Zeile zweimal von der letzten subtrahieren. Mit der sich ergebenden "Jokerzeile" (, -,, ) die übrigen Elemente in der zweiten Spalte eliminieren und die verbleibenden Teile der zweiten und dritten Zeile vergleichen. In (c) die überflüssigen Nullen beseitigen und die Summe der Zeilen bis 4 mit der ersten Zeile vergleichen.] a) b) oder ÿÿ, denn die dritte Spalte ist das Dreifache der ersten c) ÿÿ da die Summe der Zeilen bis 4 (zuletzt in Zeile zusammengefasst) das Vierfache der. Zeile ist.. Berechnen Sie: a) 4 5 a b c d a b c d ÿ(-)4+ ÿ 5 a b c b + 5a 5c a a + b 5c 5 b) ÿ(-) 4+ ÿ ( )ÿ( 8) 54. Welche Lösungsmenge besitzt das folgende Gleichungssystem?

41 + +, λ, λ beliebig. Berechnen Sie die zur Anwendung der Cramerschen Regel erforderlichen Determinanten und interpretieren Sie das Ergebnis. + + A, B, B, da A nicht mit Cramerscher Regel lösbar. Gleichungssystem hat keine Lösung, da A und B. (Ist auch gleich an + zu sehen). Berechnen Sie die zur Anwendung der Cramerschen Regel erforderlichen Determinanten und interpretieren Sie das Ergebnis. 9 9 A, B 9 9, B 9 9, B 9 9 Alle Determinanten sind Null, damit ist das System nicht mit der Cramerschen Regel lösbar. Das Gleichungssystem kann unendlich viele Lösungen oder keine haben. Es hat unendlich viele Lösungen λ+ X 5, λ beliebig. λ.4 a) Berechnen Sie die Darstellung des Vektors 9 Zu Lösen ist das Gleichungssystem: in der Basis 4,, bzw A , B , B 4 4 9, B ( 68)/( 48) 7/, ( )/( 48) 5/, ( 7)/( 48) / 7/ Vektor in der neuen Basis: 5/ /

42 4 b) Berechnen Sie nach Cramer die Lösungen des Gleichungssystems 4 9. siehe a)

43 6. Bestimmen Sie alle Lösungen, Kern und Bild von Ë. y Das gegebene Gleichungssystem ist inhomogen und lautet: + y 6 + y Das zugehörige homogene Gleichungssystem lautet: + y + y Die Menge der Lösungen C* des homogenen Gleichungssystems ist Kern { λ λ œ } denn λ erfüllt: Ë λ Die Bildmenge ergibt sich aus Ë y μ Bild { μ œ } 6 Da œ Bild, ist L «. Die Lösungsmenge L ergibt sich aus dem Kern und einer Lösung C des inhomogenen Systems. Man rät zum Beispiel C. C + C* +. λ L { λ λ œ } (Selbstverständlich könnte man auch schreiben, denn λ ist ja beliebig.) + λ Warum besitzt Ë keine Lösung? y Weil nicht zum Bild gehört.. Bestimmen Sie alle Lösungen, Kern und Bild von Ë y.

44 λ Kern { λ œ } λ Die Bildmenge ergibt sich aus Ë y + y μ Bild { μ œ } Da œ Bild, ist L «. Die Lösungsmenge L ergibt sich aus dem Kern und einer Lösung des inhomogenen Gleichungssystems. Man rät zum Beispiel C. C + C* + λ λ + λ λ μ λ+ λ+ L { μ œ } (mit ) μ + λ ( λ+ ) +. Bestimmen Sie alle Lösungen, Kern und Bild von Ë. y 4 λ Kern { λ λ œ } Die Bildmenge ergibt sich aus + y Ë y ( + y) μ Bild { μ œ } μ Da œ Bild, ist L «. 4 Die Lösungsmenge L ergibt sich aus dem Kern und einer Lösung des inhomogenen Gleichungssystems. λ + λ Man rät zum Beispiel C. C + C* + λ λ L { μ μ + μ œ } (mit λ+ λ + λ+ ) ( λ+ ) +.4 Gegeben sei das lineare Gleichungssystem:

45 a) Schreiben Sie das lineare Gleichungssystem als A Ë X B b) Schreiben Sie das lineare Gleichungssystem als X T Ë A T B T. 4 8 (,, ) 7 5 (, 6,4) c) Bestimmen Sie sämtliche Lösungen. Zweite Zeile durch teilen und von der ersten abziehen fl. 4 + lässt sich nicht weiter berechnen. Eine Lösung wählen: 4,, C. λ Homogenes Gleichungssystem:, C*. 4λ λ Die Lösungsmenge ist L { λ œ } 4λ+ d) Prüfen Sie die lineare Abhängigkeit der Zeilen von A. α(4,, -) + β(, -7, -) + γ(-8, 5, ) (,, ) ist mit β -9α und γ α erfüllt. Die Vektoren sind also nicht linear unabhängig. Nach (.4) und (.7) (Buch) gilt: Die Zeilen von A sind linear abhängig, falls D(A) , also sind die Zeilen linear abhängig. 8 5 e) Prüfen Sie die lineare Abhängigkeit der Spalten von A. 4α + β γ α 7β γ 8α + 5β + γ Dies ist das ursprüngliche homogene Gleichungssystem. Es besitzt nach (c) nicht nur die triviale Lösung α β γ. Die Vektoren sind also nicht linear unabhängig. Nach (.5) (Buch) gilt: Die Spalten von A sind linear abhängig, falls D(A), also sind auch die Spalten von A linear abhängig. f) Bestimmen Sie zwei Punkte und die Normale der Bildebene. 4 Der Vektor wird abgebildet auf. Der Vektor wird abgebildet auf Da auch der Nullpunkt zum Bild gehört, ist die Bildebene:

46 4 E { αÿ + βÿ 7 mit α, β œ } 8 5 n Jeder Normalenvektor N n steht senkrecht auf der Ebene. Also erfüllt er das Gleichungssystem: n 4n + n - 8n n 7n + 5n fl n - 9n fl n 9 n, n - n, N λ 9 Alternativ: Das Kreuzprodukt der beiden Vektoren steht auf der Bildebene senkrecht, ist also der 4 4 gesuchte Normalenvektor: 7 6-4ÿ Gegeben sei das lineare Gleichungssystem: Bestimmen Sie alle Lösungen, Defekt, Rang, Kern und Bild Beide Gleichungen zur Eliminierung von sind identisch: + -. Setzen wir -, so ergibt sich aus einer beliebigen der drei Gleichungen 7/5. Eine Lösung es inhomogenen Gleichungssystems ist C 7/5 Vom homogenen Gleichungssystem verbleiben nach kurzer Umformung nur zwei Gleichungen: + fl - / fl - /5 λ Kern { λ / λ œ } λ /5 Der Defekt der Abbildung, d.h. die Dimension des Kerns ist, da der Kern nur eine freie Variable enthält. Das Gleichungssystem enthält drei Variablen. Damit ist die Dimension des Urbildraums, die des Bildes, also der Rang. +λ Die Lösungsmenge ist L { ( +λ) / λ œ } (7 λ) / 5 Bild des Punktes :, Bild des Punktes :, Bild des Punktes : 5 4 8

47 4 Die Ebene durch diese drei Punkte ist das Bild: + oder Bild 4 mit, Gegeben sei das Gleichungssystem A Ë X B mit A und B 9. 9 Man bestimme Defekt(A), Rang(A). Man gebe alle Lösungen C an. Man beschreibe anschaulich die Mengen Kern und Bild. Sollte das Bild eine Ebene sein, bestimmen Sie bitte die Normale der Bildebene. Das homogene Gleichungssystem führt auf + y - z und y fl z. λ Kern(A) { λ œ } Der Kern ist eine Gerade, besitzt also die Dimension. λ Defekt(A) Rang(A) -, die Bildmenge ist eine Ebene. Inhomogenenes Gleichungssystem: + y - z - + y + z 9 fl 7y 5 - z 9 fl 6y Wird y 5 in + y - z eingesetzt, so sich ergibt sich z +. Eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems ist C 5 λ Die Lösungsmenge ist L { 5 λ œ } λ Drei Punkte der Ebene sind Ë Ë und Bild { αÿ + βÿ mit α, β œ } Ë n Jeder Normalenvektor N n steht senkrecht auf der Ebene. Also erfüllt er das Gleichungssystem: n n - n + n n + n

48 fl n - n, n n 96, N λ 7..7 a) Konstruieren Sie eine Abbildung, deren Kern die -Achse im Urbildraum ist und deren Bild f y die y-achse im Bildraum ist. a Bedingung für Kern: c a Bedingung für Bild: c b λ Ë d b Ë d y μ fl a und c. fl a + by und c + dy μ. Abbildungsmatri:, d œ d b) Konstruieren Sie eine Abbildung, deren Kern die Form y besitzt und deren Bild die Form f y f besitzt. a b λ Bedingung für Kern: Ë fl a + b und c + d. c d λ fl a -b und c -d. a b μ Bedingung für Bild: Ë fl a + by μ und c + dy μ. c d y μ fl d(- + y) b(- + y) fl d b. b b Abbildungsmatri: 6b b, b œ.8 Zeigen Sie, dass die folgenden Abbildungen des Vektors A linear sind und beschreiben Sie ihre Wirkung. (Der Punkt symbolisiert das Skalarprodukt.) a) f (A) (A ÿ X )X + (A ÿ X )Y f (λa) (λa ÿ X )X + (λa ÿ X )Y λ(a ÿ X )X + λ(a ÿ X )Y λf (A) f (A + B) ((A + B) ÿ X )X + ((A + B) ÿ X )Y (A ÿ X )X + (A ÿ X )Y + (B ÿ X )X + (B ÿ X )Y f (A) + f (B). Aus der -Komponente des Vektors A wird ein Vektor gebildet, der dieselbe Komponente in - und y- Richtung besitzt. b) f (A) (A ÿ X )Y + (A ÿ Y )X f (λa) (λa ÿ X )Y + (λa ÿ Y )X λ(a ÿ X )Y + λ(a ÿ Y )X λf (A) f (A + B) ((A + B) ÿ X )Y + ((A + B) ÿ Y )X (A ÿ X )Y + (A ÿ Y )X + (B ÿ X )Y + (B ÿ Y )X f (A) + f (B). Die -Komponente des Vektors A wird zur y-komponente, die y-komponente wird zur -Komponente. Der Vektor wird also an der -y-diagonale gespiegelt..9 Welche der folgenden Abbildungen sind linear? Beschreiben Sie ihre Wirkung. a) f () X + Y + Z

49 f ( ) + + f ( ) f ( λ) λ λ f( ), f ( + y) ( + y) y + f( ) + f( y) Abbildung linear Die Abbildung ist linear. Sie erzeugt einen Vektor mit einer -Komponente, einer doppelt so großen y- Komponente und einer dreimal so großen z-komponente. b) f () X + Y f ( ) λ f ( λ) λ λ f( ) λ linear, f ( + y) y f( ) f( y) y Abbildung nicht Die Abbildung ist nicht linear, da f(). Sie erzeugt einen Vektor mit einer festen, also von unabhängigen -Komponente X und einer von abhängigen y-komponente. 6. Die Vektoren U 6 und V 4 sollen in der Basis B {,, } als Koordinatenvektoren X und Y dargestellt werden. Man berechne U T Ë I Ë V in der kanonischen Basis und X T Ë C Ë Y in der Basis B. 6 α + α + α 6 β + β + β 4 U T Ë I Ë V -6 α fl X α α β fl Y β β 6 Probe: Ë 6 Probe: Ë 4 C 9 4 ; (,, ) Ë 9 4 Ë (8,, )Ë -6. Die Vektoren U und V sollen in der Basis B {,, } als Koordinatenvektoren X und Y dargestellt werden. Man berechne U T Ë I Ë V in der kanonischen Basis und X T Ë C Ë Y in der Basis B.

50 α + α + α β + β + β α fl X α α β fl Y β β Probe: Ë Probe: Ë U T Ë I Ë V 4 C ; (, -, -)Ë Ë (,, )Ë 4. Die Basis B' geht aus der Basis B { positiver Richtung um die z-achse hervor.,, } durch Drehung um ϕ in mathematisch Die Basisvektoren aus B bilden die Matri: B. Projektionen der Vektoren auf die -y-ebene a) Man bestimme B'. cos sin Die Drehmatri ist: D, z sin cos Die um gedrehten Basisvektoren (grün) ergeben sich aus:

51 Ë + ; Ë + ;, 988, 5 B' { +, +, } º {, 66,,866, },988, 5 Die Basisvektoren aus B' bilden die Matri: B',66,866. Ë b) Man drücke die Vektoren U bzw. X' und Y' in der Basis B' aus. und V durch die Koordinatenvektoren X und Y in der Basis B Am bequemsten werden die folgenden Gleichungssysteme mit der Cramerschen Regel gelöst. Für die ursprüngliche Basis (schwarze Vektoren) ergeben sich die Koordinatenvektoren: α α + α + α fl X α 5 Probe: B Ë X U: 5 α / / β β + β + β fl Y β Probe: B Ë Y V: β Für die gedrehte Basis (grüne Vektoren) ergeben sich die Koordinatenvektoren: α' + + α' + + α' fl X' α ' α ' ' α º,598,8, 5 β' + + β' + + β' β' fl Y' β' ' β + º,64, 68, c) Man bestimme die Matrizen C bzw. C' des Skalarproduktes in den beiden Basen, so dass U T Ë I Ë V X T Ë C Ë Y X' T Ë C' Ë Y'.

52 U T Ë I Ë V (,, ) (,, ) In der Basis {,, } lautet die Matri des Skalarproduktes: C X T Ë C Ë Y (-, 5, 7 ) Ë 7 5 Ë (5, 4, 6) Ë In der Basis { +, +, } ergibt sich ebenfalls C' ,64,64 X' T Ë C' Ë Y' º (-,598;,8;,5) Ë 7 5 Ë, 68 (6,8; 4,964; 6,) Ë, 68, 4,, d) Man ermittle die Transformationsmatri M in C' M Ë C Ë M T. Es gelten die Beziehungen: B Ë X U, B Ë Y V, B' Ë X' U, B' Ë Y' V, D, z Ë B B'. fl U T ËV (BËX) T ËBËY X T ËB T ËBËY X T ËCËY fl U T ËV (B'ËX') T ËB'ËY' (D, z ËBËX') T ËD, z ËBËY' X' T ËB T ËD, z T ËD, z ËBËY' X' T ËB T ËBËY' da D, z T ËD, z I. Die Matri des Skalaproduktes ist also in beiden Fällen dieselbe, B T ËB, und die Transformationsmatri daher M I.. Die Basis B' geht aus der Basis B { positiver Richtung um die y-achse hervor., Die Drehmatri ist: cos sin D, y sin cos a) Man bestimme B'., } durch Drehung um ϕ in mathematisch Ë, Ë, Ë

53 b) Man drücke die Vektoren U und V durch die Koordinatenvektoren X und Y in der Basis B bzw. X' und Y' in der Basis B' aus. α + α + α fl X α α α β + β + β fl Y β β β Für die gedrehte Basis ergeben sich die Koordinatenvektoren: α' + α' + α' fl X' ' ' ' α α α β' + β' + β' fl Y' ' ' ' β β β c) Man bestimme die Matrizen C bzw. C' des Skalarproduktes in den beiden Basen, so dass U T Ë I Ë V X T Ë C Ë Y X' T Ë C' Ë Y'. C C' d) Man ermittle die Transformationsmatri M in C' M Ë C Ë M T. Es ist die Einheitsmatri (s. Lösung zu. d)..4 Man drehe die Gerade y + mit Hilfe der Drehmatri um den Winkel ϕ um die z-achse und bestimme den Schnittpunkt mit der -Achse in Abhängigkeit vom Drehwinkel. G() { + œ } Der Schnittpunkt mit der -Achse folgt aus y, liegt also bei + fl -/. Die um den Winkel ϕ gedrehte Gerade G(ϕ) ergibt sich aus

54 cos ϕ sin ϕ cos ϕ (+ ) sin ϕ ' sin ϕ cos ϕ Ë + sin ϕ + (+ )cos ϕ y '. y' verschwindet für sinϕ + ( + )cosϕ fl tanϕ - - / fl + tanϕ. Zur Berechnung von ' erweitern wir das Gleichungssystem mit cosϕ bzw. sinϕ cos ϕ + ( + )sinϕcosϕ 'cosϕ sin ϕ + ( + )cosϕsinϕ y'sinϕ addieren beide Gleichungen 'cosϕ + y'sinϕ und beachten y'. ' /cosϕ cosϕ + sinϕ G( ): ' -/ (blau) G(9 ): ' - (grün) G(6,565 ): ' eistiert nicht, da die Gerade parallel zur -Achse verläuft.

55 Mathematik für die ersten Semester (. Auflage): Lösungen der Übungsaufgaben V C. Zerbe, E. Ossner, W. Mückenheim

56 5. Dividieren Sie,,4 +,8 durch ( + ). Schließen Sie aus dem Ergebnis auf eine Nullstelle. (,,4 +,8):( + ) 4, +,8 Da die Division ohne Rest aufgeht, ist bei - eine Nullstelle. 5. Dividieren Sie durch ( ). Schließen Sie aus dem Ergebnis auf eine Nullstelle. ( ):( ) 4 + Nullstelle bei 5. Lösen Sie a) c) und prüfen Sie die Lösungen mit den Sätzen von Vieta. a) + 8, -4 Vieta: + -p, q + -, -8 : richtig b) 9, - Vieta: +, -9 : richtig c) + 9 i, -i Vieta: +, 9 : richtig 5.4 Finden Sie eine Lösung der kubischen Gleichung + +. [Hinweis: Suchen Sie zunächst einen negativen und einen positiven Wert des Polynoms. Verkleinern Sie das Intervall (, + ). Vermuten Sie, dass die Lösung ganzzahlig ist.] p(5) -, p(). Nach dem Satz auf S. 7 (Buch) kommen für ganzzahlige Lösungen nur Teiler von in Frage, im geratenen Intervall also nur { -, -, - }. Durch Ausprobieren - gefunden. 5.5 Finden Sie eine Lösung der kubischen Gleichung. [Hinweis: Suchen Sie zunächst einen negativen und einen positiven Wert des Polynoms. Verkleinern Sie das Intervall (, + ). Vermuten Sie, dass die Lösung ganzzahlig ist.] p() -, p() 8. Nach dem Satz auf S. 7 (Buch) kommen für ganzzahlige Lösungen nur Teiler von in Frage, im geratenen Intervall also nur {,, 4, 5 }. Durch Ausprobieren 5 gefunden. 5.6 a) Approimieren Sie eine Nullstelle von p() + 5,7,6,4 zwischen und mit Hilfe der Regula falsi auf % genau. Regula falsi: * p ( + ) p ( + ) p ( ) +, m m +. Näherung: p() < -, p() > + m 4,8, *,7878. Näherung: p( * ) < - *, + m 7,4, *,66. Näherung: p( * ) < - *, +

57 m,75, *, Näherung: p( * ) < - *, + m 4,7476, 4 *,77 Die genauer ausgerechneten Lösungen lauten -5,5795 -,95584,78 Die gewünschte Genauigkeit von % erfordert eine Approimation im Intervall,684,7,7,78. Dieses Kriterium wird bereits von * erfüllt. b) Die Ableitung lautet dp/d +,4,6. Führen Sie die Approimation mit dem Newtonschen Näherungsverfahren durch. p + 5,7,6,4, p +,4,6 Newton: * p ( + ) + p ( ). Näherung: *. Näherung: *,7. Näherung: *,76 4. Näherung: 4 *,7 + Die gewünschte Genauigkeit von % erfordert eine Approimation im Intervall,684,7,7,78. Dieses Kriterium wird bereits von * erfüllt. c) Führen Sie die Approimation mittels Intervallhalbierungen durch. p + 5,7,6,4 * + + Intervallhalbierung: Start: -, + : - + * p( *) -4,,5-5,,5,75,4,5,75,65 -,,65,75,6875 -,4,69(#),75,7,5,69,7,75,,69,75,6975 -,,698(#),75,75, (#) Zur Vermeidung zu vieler Stellen kann bei Bedarf gerundet werden. Die gewünschte Genauigkeit von % erfordert eine Approimation im Intervall,684,7,7,78. Dieses Kriterium wird von den gelb unterlegten und allen folgenden Näherungen erfüllt.

58 6. Beweisen Sie anhand der folgenden Gleichung: Bei der Drehung einer symmetrischen -Matri bleibt die Spur erhalten cos ϕ sin ϕ a sin ϕ cos ϕ a a a cos ϕ sin ϕ c sin ϕ cos ϕ c c c. Spur der ursprünglichen Matri: a + a Spur der gedrehten Matri: c + c a cos ϕ + a cos ϕ sin ϕ + a cos ϕ sin ϕ + a sin ϕ + a sin ϕ a cos ϕ sin ϕ a cos ϕ sin ϕ + a cos ϕ a + a y + 7y. Finden Sie die Diagonalmatri C. Finden Sie die Drehwinkel für die Hauptachsenlage. 5,5 5,5 5 + y+ 7 y (, y) A, 5 7 y,5 7 cosϕ sin ϕ 5,5 cosϕ sin ϕ 5cos ϕ+ cosϕsin ϕ+ 7sin ϕ,5cos ϕ+ cosϕsin ϕ,5sin ϕ C sin cos,5 7 sin cos ϕ ϕ ϕ ϕ,5cos ϕ + cosϕsin ϕ,5sin ϕ 7cos ϕ cosϕsin ϕ+ 5sin ϕ C soll Diagonalmatri sein,5 cos ϕ + cos ϕ sin ϕ,5 sin ϕ : cos ϕ,5 + tan ϕ,5 tan ϕ tan ϕ :,5 +,5 tan ϕ ± ϕ 6, ϕ -8 7,8 C 4, 6. 5 y + y. Finden Sie die Diagonalmatri C. Finden Sie die Drehwinkel für die Hauptachsenlage. y+ y (, y) A y cosϕ sin ϕ cosϕ sin ϕ cos ϕ cosϕsin ϕ+ sin ϕ cos ϕ cosϕsin ϕ+ sin ϕ C sin cos sin cos ϕ ϕ ϕ ϕ cos ϕ cosϕsinϕ+ sin ϕ cos ϕ+ cosϕsin ϕ+ sin ϕ C soll Diagonalmatri sein cos ϕ cos ϕ sin ϕ + sin ϕ : cos ϕ tan ϕ + tan ϕ tan ϕ : + tan ϕ ± ϕ 67,5, ϕ -,5,59 C,4

59 6.4 + y + y. Finden Sie die Diagonalmatri C. Finden Sie die Drehwinkel für die Hauptachsenlage. + y+ y (, y) A y cosϕ sin ϕ cosϕ sin ϕ cos ϕ+ cosϕsin ϕ+ sin ϕ cos ϕ sin ϕ C sin cos sin cos ϕ ϕ ϕ ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ cosϕsin ϕ+ sin ϕ C soll Diagonalmatri sein cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ. Fall: sin ϕ cos ϕ ϕ 45, ϕ 5 C. Fall: sin ϕ cos ϕ ϕ 5, ϕ 4 5 C 6.5 Gegeben ist die allgemeine Gleichung zweiten Grades 9 + 4y 54 y + 9. Formen Sie um in Mittelpunktslage. Bestimmen Sie B, B und Spur (B ). Skizzieren Sie die quadratische Form im kartesischen Koordinatensystem. Umformung in Mittelpunktslage: 9( 6 )+ 4(y 8 y ) + 9 9( ) + 4(y 4) ( ) + 4(y 4) 6 y 4 + Ellipsengleichung mit den Halbachsen a, b und dem Mittelpunkt M (;4) 9 7 B 4 6, B -96, B 6, Spur (B ) B > und B Spur (B ) < Ellipse

60 6.6 a) Gegeben ist die quadratische Form 4 + y( y). Man bestimme die Art des Kegelschnittes und die Richtung seiner Achsen. Skizzieren Sie die quadratische Form im kartesischen Koordinatensystem. Art des Kegelschnitts: + y y + 4 Lage der Achsen:,5 B,5, B -, B -/4 < Hyperbel 4,5,5 + y y (, y) A,5 y,5 cosϕ sin ϕ,5 cosϕ sin ϕ cos ϕ+ cosϕsin ϕ sin ϕ,5cos ϕ 4cosϕsin ϕ,5sin ϕ C sin cos,5 sin cos ϕ ϕ ϕ ϕ,5cos ϕ 4cosϕsin ϕ,5sin ϕ cos ϕ cosϕsinϕ+ sin ϕ C soll Diagonalmatri sein,5cos ϕ 4cos ϕ sin ϕ,5sin ϕ : cos ϕ 8 tan ϕ tan ϕ tan ϕ : + 8 tan ϕ /, tan ϕ - ϕ 8,4, ϕ -7,6,5 C,5 Im u-v-system lautet die Kegelschnitt-Gleichung:,5 u,5 v -4 Normalform: u v + 8/ 8/7 Asymptoten: v ± u (b/a) mit a 8/, b 8/7 v y u b) Zur alternativen Berechnung der C-Matri benutze man C A und Spur (C) Spur (A). () C A c c -/4 () Spur (C) Spur (A) c + c - c - c in (). Fall: c -,5, c,5. Fall: c,5, c -,5

61 6.7 y. Bestimmen Sie B, B und Spur (B ). Finden Sie die Diagonalmatri C. Skizzieren Sie die quadratische Form im kartesischen Koordinatensystem. y,5 B,5, B,5, B -,5 <, Spur (B ) Hyperbel,5,5 y (, y) A,5 y,5 cosϕ sin ϕ,5 cos ϕ sin ϕ cosϕsin ϕ,5cos ϕ,5sin ϕ C sin cos,5 sin cos ϕ ϕ ϕ ϕ,5cos ϕ,5sin ϕ cosϕsin ϕ C soll Diagonalmatri sein,5cos ϕ,5sin ϕ cos ϕ sin ϕ ϕ π : ϕ 45, ϕ 5 Für ϕ 45 folgt,5 C,5 Im u-v-system lautet die Kegelschnitt-Gleichung: v y u v u

62 7. ist die Gleichung der y-achse in der,y-ebene. Welche Geraden beschreiben die folgenden Gleichungen in der,y-ebene? a) : Parallele zur y-achse durch b) y + 5 y -5 : Parallele zur -Achse durch y -5 c) y ( 5) + y : Gerade durch (; -) und (/; ) 7. + y ist die Ursprungsgleichung eines entarteten Kreises, also eines Punktes. Welche Punkte beschreiben die folgenden Gleichungen in der,y-ebene? a) ( ) + y : Punkt (; ) b) + (y + 5) : Punkt (; -5) c) ( + ) + (y ) : Punkt (-; ) 7. Wo schneiden sich die Ellipsen (/) + (y/5) und (( 5)/) + (y/5)? (/) + (y/5) (( 5)/) + (y/5) ( 5) ± ( 5) : + führt auf einen Widerspruch: 5 ( 5),5 in Ellipsengleichung eingesetzt: y ± Schnittpunkte: 5 5 ; 5 4 und 5 5 ; Wo schneiden sich die quadratische y 5 (/) und die lineare Form y +? Skizzieren Sie die Formen! ( + ) 5 (/) , Schnittpunkte: (,95 4,9) und (-,89-4,79)

63 7.5 Welche Kegelschnitte beschreiben die folgenden quadratischen Formen? a) y y Hyperbel b) ( ), y beliebig Gerade parallel zur y Achse c) y y / Hyperbel d) 4 y y + / Ellipse 7.6 Eine Ellipse besitzt den Parameter p, und die Fläche π. a) Bestimmen Sie die Halbachsen und geben Sie die eplizite Mitttelpunktsgleichung an, so dass die Hauptachse in der -Achse liegt. b pa A p, A abπ b 4, a 5 a π bπ eplizite Mittelpunktsgleichung: b 4 y ± a ± 5 a 5 b) Wie lautet diese Gleichung, wenn die Ellipse so weit verschoben wird, dass ihr linker Scheitel die Koordinaten und y besitzt? vorher: linker Scheitel bei (-5, ), d.h. die Ellipse muss um 7 Einheiten in -Richtung und um Einheiten in y- Richtung verschoben werden 4 y ± 5 ( 7) 5 c) Bestimmen Sie lineare und numerische Ezentrizität der Ellipse. lineare Ezentrizität: e a b numerische Ezentrizität: e ε a 5 d) Bestimmen Sie den Abstand ihrer Brennpunkte. Abstand der Brennpunkte doppelte lineare Ezentrizität 6 e) Tragen Sie die berechneten Größen in eine Skizze ein. siehe Abb. 7. im Buch 7.7 Die Fläche einer Ellipse beträgt A 5 π, ihre numerische Ezentrizität ist ε ( )/. Im Mittelpunkt der Ellipse ist eine Höhe h errichtet. Von ihrem oberen Punkt führen Geraden zu den Scheiteln der Ellipse. a) Wie groß sind die Winkel zwischen den Geraden? b) Wie groß sind die Winkel zwischen den Geraden und der Höhe? Aus den Angaben wird berechnet: a und b 5 Damit ergibt sich ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck (a h ).

64 7.8 a) Berechnen Sie die charakteristischen Größen (a, b, e, ε) für eine Ellipse, deren Fläche A 5 beträgt und deren Schmiegekreis im Hauptscheitel den Radius besitzt. b A r p und A abπ a,64, b,55, e,99, ε,66 a rπ b) Der Mittelpunkt der Ellipse besitzt die Koordinaten (, ). Wie lautet die implizite Mittelpunktsgleichung dieser Ellipse? y + +,64, a) Berechnen Sie die charakteristischen Größen (a, b, e, ε) für eine Ellipse, deren Fläche A 7 beträgt und deren Schmiegekreis im Hauptscheitel den Radius besitzt. a,446, b,, e,45, ε,47 b) Der Mittelpunkt der Ellipse besitzt die Koordinaten (, ). Wie lautet die implizite Mittelpunktsgleichung dieser Ellipse? y + +,446, 7. Eine Hyperbel besitzt den Parameter p 8 und die numerische Ezentrizität ε. Ihre Brennpunkte liegen auf der -Achse. Stellen Sie die Polargleichung auf, tabellieren Sie die Radiuslängen r(ϕ) für ϕ,,, 5, 8 und skizzieren Sie die Hyperbel mit ihren Bestimmungsgrößen (a, e) sowie die Endpunkte der berechneten Radien. Polargleichung: p 8 r εcosϕ cosϕ Tabelle: ϕ 5 8 Bestimmungsgrößen: r -4, -5,,,, b p 8, a e e a + b, ε a, a a Da a immer positiv ist, kommt nur die Lösung a in Frage. Dann ist e.

65 Die Ergebnisse für negative Radien befinden sich auf dem linken Ast der Hyperbel. Die Punkte für und ergeben sich durch Auftragung in negativer Richtung. Skizze (nicht maßstäblich). Die Ergebnisse für negative Radien befinden sich auf dem linken Ast der Hyper-bel. Der Punkt für ϕ + ergibt sich bei Spiegelung des (aus Platzgründen) eingetragenen o Punktes für ϕ - an der Abszisse. 7. Eine Ellipse besitzt den Parameter p /7 und die numerische Ezentrizität ε 4/7. Skizzieren Sie einige Punkte der Ellipse mit Hilfe der Polargleichung. Berechnen Sie a, b und die lineare Ezentrizität e. Polargleichung: p r εcosϕ 7 4cosϕ Tabelle: ϕ 6 9 Bestimmungsgrößen: r 8,48 6 4,9, b e 4 p e a b a 7 a 7,, ε, 7 4 a 6,6, b 5,, e,64 7. Die Polargleichung einer Ellipse liefert r(), r(π/) 6. Was wissen Sie über diese Ellipse? Polargleichung: p r ε cos ϕ Einsetzen von ergibt: p ε Einsetzen von 6 ergibt: 6 p,5ε Aus diesen beiden Gleichungen lässt sich berechnen: 4 ε, p Es handelt sich um die Ellipse aus Konstruieren Sie mit Hilfe der Polargleichung die Ellipse mit p 5 und ε / und die Hyperbel mit p 5 und ε. Ellipse: p 5 r Hyperbel: εcosϕ,5cosϕ p 5 r εcosϕ cosϕ 7.4 Eine Hyperbel besitzt den Parameter p und die numerische Ezentrizität ε /. Was stimmt nicht an diesem Aufgabentet? Für jede Hyperbel ist ε >! 7.5 Eine Straße soll in 5 m Höhe verlaufen. Ihre Stützpfeiler besitzen einen Abstand von m voneinander und ruhen auf einer Parabel (s. folgende Abbildung). Die markierten Punkte besitzen die Koordinaten in der Einheit Meter: P (, ), P (6, 4), P (, ). Wie lang müssen die Pfeiler bei, 4, 5,, m sein?

66 Parabelgleichung: + y a b+ c y Einsetzen der drei Punkte führt auf das Gleichungssystem 9a +b + c 4 6a +6b + c 44a +b + c Ergebnis: 5 8 y + Länge der Pfeiler: l 5 m y (in m) l (in m),5 4,8 7 5,9 6,7 9,,7 7.6 Skizzieren Sie eine Parabel mit p mittels Schnellkonstruktion. Zur Schnellkonstruktion einer Parabel schlägt man einen Kreis mit dem Radius p um den Mittelpunkt M. Der Kreis schneidet die -Achse im Scheitel der Parabel. Dies ist der Ursprung O des Koordinatensystems. Der Brennpunkt F liegt bei p/, genau in der Mitte zwischen O und M. Die Ordinate im Brennpunkt F an der Stelle p/ ist y p. Die Ordinate bei p ist p. 7.7 Gegeben ist eine Ellipse mit den Halbachsen a 5 (in der -Richtung) und b (in der y-richtung). Ihr Mittelpunkt besitzt die Koordinaten ( M, y M ) (, ). Die Ellipse wird von einer Geraden geschnitten, welche die Punkte (, ) und (, 7) enthält. a) Wie lautet die implizite Mittelpunktsgleichung der Ellipse? y b) Wie lautet die Gleichung der Geraden? y c) In welchen Punkten (, y ) und (, y ) schneidet die Gerade die Ellipse? Ersetzen von y durch in der Mittelpunktsgleichung führt auf die Gleichung 8 mit den Lösungen ± Das ergibt die Schnittpunkte (,98,74) und(-,678-4,4). 7.8 Man berechne alle Bestimmungsgrößen der folgenden quadratischen Formen und skizziere sie unter Verwendung der Schmiegekreise: a),ÿ +,5ÿy 8 Ellipse : a 5, b 4, e, ε,6, p, ( Radius Schmiegekreis) (Ellipse aus Aufgabe 7.6) b),ÿ,5ÿy 8 Hyperbel : a 5, b 4, e 4, ε 4 / 5, p, ( Radius Schmiegekreis) c),ÿ,5ÿy + 8

67 zu b) konjugierte Hyperbel (Koordinaten vertauscht) d) y 8 Parabel : p 4 ( Radius Schmiegekreis) 7.9 a) Wie lauten die Gleichungen der Tangenten durch den Punkt (, y) (7, ) an den Kreis K + y K? Berührungspunkte der Tangenten mit dem Kreis: (, y ) und (, y ) Das führt auf die Gleichung 7 + y für die Bestimmungspunkte (Buch, Gl. 7.). Da sie auch auf dem Kreis + y liegen, ergibt sich durch Einsetzen von y - 7 in die mit 9 erweiterte quadratische Gleichung des Kreises 9 + 9y ( - 7) fl ÿ7/9 4/ ± ± 5 7 ± 57 mit den Lösungen ± Berührungspunkte der Tangenten mit dem Kreis: (, y ) (,5 -,859) und (, y ) (-,7,96) Tangentengleichungen: y T T y y bzw. y T y y T b) Man bestimme die Gleichungen der vom Punkt (8, ) an den Kreis K + y K 5 gelegten Tangenten. Das führt auf die Gleichung 8 + y 5 für die Bestimmungspunkte (Buch, Gl. 7.). Da sie auch auf dem Kreis + y 5 liegen, ergibt sich durch Einsetzen von y 5-8 in die mit erweiterte quadratische Gleichung des Kreises + y ÿ5 + (5-8) ÿ5 fl fl 4 6 mit den Lösungen ± 97 Berührungspunkte der Tangenten mit dem Kreis: (, y ) (-,65,87) und (, y ) (4,88 -,8) 5 Tangentengleichungen: y T T y y bzw. 5 y T y y T 7. a) Wie lautet die Gleichung einer Tangente, die in E die Ellipse E /6 + y E /5 berührt? 5 E y E ± ± 4, Das führt auf die beiden Tangenten y T 5 T und 4 y T 5 T +. 4 b) Berechnen Sie eine Tangente, die in E dieselbe Ellipse berührt.

68 5 7 E y E ± ±,7 4 Das führt auf die beiden Tangenten y T 5 T und y T 5 T c) Und dasselbe noch einmal für E 4. E 4 y E Hier gibt es nur eine Tangente, T 4, die Gerade parallel zur y-achse durch E Wie lautet die Gleichung einer Tangente, welche die Hyperbel H /6 y H /5 in y H berührt? y H H ± 4 7 ± 6,49 Das führt auf die beiden Tangenten y T T und 6 4 y T T Wie lauten die Gleichungen der Tangenten, welche den Kreis ( K ) + (y K + ) 9 bei K berühren? Der Kreismittelpunkt besitzt die Koordinaten ( M y M ) ( -) der Kreisradius ist R. K y K ± 8 Dies führt mit ( K M )ÿ( T M ) + (y K y M )ÿ(y T y M ) R ( )ÿ( T ) + ( 8 + )ÿ(y T + ) 9 8ÿ(y T + ) T auf die beiden Tangenten y T T + und 8 8 T y T Der Kreis K + y K 6 wird von der Geraden y + geschnitten. In welchem Punkt S schneiden sich die in den Schnittpunkten R und R an den Kreis gelegten Tangenten t und t (vgl. Abb. 7.9)? Wie lang ist die Sehne (die Sekante p im Kreisinnern)? Schnittpunkte Kreis Gerade: (, y ) (,595 5,784) und (, y ) (-,95-5,584) 6 Das führt auf die beiden Tangenten y T T y y und 6 y T T y y. 6, 595 6,95 Die -Koordinate des Schnittpunktes ergibt sich aus T T, 5,784 5,784 5,584 5,584 S -8 Die beiden Tangenten schneiden sich im Punkt ( S y S ) (-8 6) Die Länge der Sehne beträgt: L ( ) + ( y y ),98.

69 8. Wie groß ist die Fläche des Kugeldreiecks ( R ) mit α π/, β π/, γ π/4? Ω ( ABC,, ) α+ β+ γ π π 8. Bestimmen Sie die Seitenlängen im Kugeldreieck aus Übung 8.. Winkelkosinussatz: cosα cosβcos γ+ sin βsin γcosa cosβ cosαcosγ+ sinαsin γcosb cos γ cosαcosβ+ sinαsin βcosc Einsetzen der Winkel führt auf cos a, cos b, cosc. 6 Daraus ergeben sich die Seitenlängen im Bogenmaß a,955, b,785 und c, Der Mond hat einen Radius von 78 km. Da die Erde ausgedehnt ist und der Mond etwas schwankt, sind nur 4 % seiner Fläche für uns unsichtbar. a) Welchem Kugelzweieck entspricht das? Kugelzweieck mit dem Winkel ϕ,4 π,576 und der Fläche Ω ϕ R km. (oder Fläche aus,4 4R π ) b) Welches gleichseitige Kugeldreieck auf dem Mond besitzt dieselbe Fläche? Ω,4ÿ4π (α+β+γ π) (α π) wegen Gleichseitigkeit (αβγ) α,4ÿ4π + π α,765 58,4 ( π/8) 8.4 Neapel (4 östliche Länge) und New York (76 westliche Länge) liegen beide auf 4 nördlicher Breite. a) Wie groß ist der Abstand zwischen den Orten auf der Erdoberfläche? b) Wie lang ist der Weg von Neapel bis New York auf dem 4. Breitengrad? [Hinweis: Die Zählung der Breitengrade beginnt am Äquator, nicht wie in Abb. 8. am Nordpol. Die Erde kann als Kugel mit Radius 67 km angenommen werden.] a) Die Entfernung zum Pol beträgt in beiden Fällen (auf den Meridianen) b c 49, der Winkel zwischen den Meridianen ist α 9. Gesucht ist der Großkreisabschnitt a. cosa cosbcosc fl a,6 64,5 Der kürzeste Abstand beider Orte voneinander ist auf dem Großkreis: aÿr 77 km b) Breitengrad: Kreis mit Radius 67 km cos 4 487,5 km Strecke beträgt ein Viertel des Breitenkreisumfangs: 755,6 km 8.5 Berechnen Sie die Fläche des Kugeldreiecks, dessen Eckpunkte im mathematischen System (θ, ϕ) durch A (π/, ), B (π/, π/), C (π/6, ) gegeben sind. [Hinweis: Zwei Seiten stehen senkrecht aufeinander und besitzen die Länge π/.] Fläche Kugeldreieck: Ω α+β+γ π Bestimmung der Winkel: Aus den Koordinaten ist ersichtlich: Der Winkel bei A beträgt π/ ( α). Die Seiten c und b haben damit die Länge π/.

70 Mit dem Seitenkosinussatz cosa cosb cosc+ sin b sin ccosα / + folgt a,8 75,5. sinα sin β sin γ Mit dem Sinussatz lässt sich β γ,7 6,4 berechnen. sin a sinb sin c Damit Ω π/ + β + γ - π,644.

71 Mathematik für die ersten Semester (. Auflage): Lösungen der Übungsaufgaben VI C. Zerbe, E. Ossner, W. Mückenheim

72 9. Man setze a und berechne mit Hilfe der Folge (9.5) die dritte Wurzel aus auf vier zählende Stellen genau. a a + n+ n an a,, a,, a.75, a 4,48889, a,449, a,4478 Jetzt ändert sich die dritte Stelle nach dem Komma nicht mehr, man hat also vier zählende Stellen,44 Die ersten Näherungen auf 5 Stellen genau: Man bestimme die Grenzwerte der unten definierten Folgen oder stelle ihre Divergenz fest (große Buchstaben bezeichnen positive reelle Zahlen). an / n Vermutung: Grenzwert a Zu jedem ε > muss es eine natürliche Zahl n ε geben, so dass für alle n an a < ε n> n ε n ε gilt J n Kn I 5 4 U Vn+ Wn n n + Cn bn 5 Un + n Kn n D + E Es gilt lim ( an bn) lim ( an) lim ( bn) falls (a n ) und (b n ) konvergente Folgen sind. n n n

73 U Vn+ Wn Un + n W J n KnI n Kn I 5 4 n + Cn 5 n D + E E J n Kn I 5 4 U Vn+ Wn n n + Cn bn WIE 5 Un + n Kn n D + E c n n+ B n n A+ n n Folge divergiert /4 5/8 L 6 ( Kn + Mn ) Ln n n n n dn G H 4 n( 7 + L n) ( 5n n + n ) + 4 Un Vn Wn Es gilt lim ( an + bn) lim ( an) + lim ( bn) falls (a n ) und (b n ) konvergente Folgen sind. n n n ( ) ( 7 + ) 6/8 5/8 6/8 /8 L Kn + Mn n LK ( + Mn ) K / /4 6/8 /4 n Ln n 7n + L 6 Ln L L L 5n n + n 5 + n n n ( 5n n + n ) 4 n ( ) n n n : n n n n n U 4 n n n : n + Un Vn Wn U V W U Vn Wn U n G H G dn K + L+ U + G Gesamtlösung: O - WIE KLUG 9. Fibonacci-Folge: Ein Mann bekommt im Januar ein Pärchen Kaninchen geschenkt, die gerade geboren sind und erst im übernächsten Monat (März) und dann in jedem folgenden Monat ein Pärchen erzeugen. Auch dieses und alle weiteren Pärchen erzeugen ab dem zweiten Monat nach ihrer Geburt jeweils ein Pärchen monatlich. Wie viele Pärchen hat der Mann im Dezember? Wie lautet die Rekursionsformel für diese erste implizit definierte Folge? [ Fibonacci (Sohn des Gutchens) war der Spitzname von Leonardo von Pisa.] Ende März: Pärchen + Pärchen Pärchen Ende April: Pärchen + Pärchen Pärchen

74 Ende Mai: Pärchen + Pärchen 5 Pärchen usw.,,,, 5, 8,,, 4, 55, 89, 44. Ende Dezember: 89 Pärchen +55 Pärchen 44 Pärchen Da jeweils die im letzten Monat n - vorhandenen Paare a n- überleben und die im vorletzten Monat n - vorhandenen Paare a n- sich verdoppeln, lautet die Rekursionsformel: a n a n- + a n-, n, a a a a + a + a 4 a + a +

75 . Man untersuche das Konvergenzverhalten folgender Reihen: a) ( ) n + alternierende Reihe, Nullfolge Konvergenz nach Leibniz-Kriterium n n b) n n halbe harmonische Reihe Divergenz c) n Quotientenkriterium: n n + + n a n+ ( n+ ) n + n+ n n n+ an n n Konvergenz d) Quotientenkriterium: n! n n a n+ n+ n! n an n n ( + )! + Konvergenz e) n n+ n ist konvergente Majorante, denn Reihenverdichtung zeigt: n n geometrische Reihe. Mit Hilfe der "Teleskop-Formel" n+ n nn ( + ) n n+ ursprünglichen Reihe berechnen: ( ) k k k k k ist eine konvergente lässt sich sogar der Wert der k k n n+ n n n n+ 4 k k+ k+ f) n ist divergent, da n + n n n divergente Minorante ist. n n + n n g) ln n n ln ln n harmonische Reihe Divergenz n n n [Hinweis: Für ln n beachte man Abschn. 4., insbesondere (4.9).]. Für welche Zahlen q konvergiert die Reihe n q? n Das ist die geometrische Reihe. Sie konvergiert für q <.. Für welche Zahlen q konvergiert die Reihe n q? n n! Quotientenkriterium: n+ n+! n an ( n+ )! q a q n q n+ Die Reihe konvergiert für alle q.

76 .4 Man bestimme eine konvergente Majorante für a) n n+ n + n < n+ n + n n + n Die Reihe ist nach Aufgabe. e) konvergent und hat den Grenzwert. Sie eignet sich also als n n n + konvergente Majorante, ebenso wie die Reihe. n n b). n ln n n + [Hinweis: Für ln n beachte man Abschn. 4., insbesondere (4.9).] [Anmerkung: Selbstverständlich kann man auch dass konvergiert.] n a n als konvergente Majorante angeben, wenn man weiß, n a n < n n + ln n + nln n + n Majorante: oder oder n n n n n n n +.5 Man stelle, als Bruch dar. [Hinweis: Umformung mit Hilfe der geometrischen Reihe.], ist als Summe einer geometrischen Reihe mit dem Anfangsglied darzustellen q+ q + q + q +... q q 97.7 In einen Würfel von m Kantenlänge ist eine Kugel einbeschrieben, in diese wieder ein Würfel, in diesen eine Kugel usw. Wie groß ist die Oberfläche aller Würfel? [Hinweis: Der Durchmesser der Kugel im Würfel n ist die Raumdiagonale des Würfels n +.] Der Durchmesser der Kugel im Würfel ist die Kantenlänge des Würfels. Die Kantenlänge s eines Würfels ist mit seiner Raumdiagonale D nach dem dreidimensionalen Satz des Pythagoras verknüpft: s + s + s D. Für die Kantenlänge s n + des (n + )-ten Würfels gilt also: s s, mit n,,,... n+ n

77 Die Oberfläche des n-ten Würfels ist 6ÿs n. Die Gesamtoberfläche alle Würfel ist damit: 6s + 6s + 6 s m m 9m 9

78 . Man prüfe mit der ε,δ-definition die Stetigkeit der folgenden Funktionen auf : Ziel: Ein δ > bestimmen, so dass für < δ gilt: f () f ( ) < ε. a) f () + Sei δ ε < δ fl f () f ( ) ( + ) ( + ) < δ ε b) f () Sei δ ε < δ fl f () f ( ) < δ ε c) f () Sei δ ε/ ( + + ) < δ fl f () f ( ) ( ) ÿ ( + + ) < δÿ ( + + ) ε. Man zeige die Stetigkeit der Funktion f () im Intervall (, ). Wie ist δ zu wählen? [Hinweis: ( )/( + ) ] Sei δ ε + < δ fl f () f ( ) < δ ε. Man zeige die gleichmäßige Stetigkeit der Funktion f () im Intervall [, ]. Wie ist δ zu wählen? [Hinweis: / / ( )/ÿ ] Sei δ ε. Für das ganze Intervall [, ] gilt: < δ fl f () f ( ) / / ( )/ÿ < δ/ÿ ε/ÿ ε.4 Man zeige die gleichmäßige Stetigkeit der Funktion f () im Intervall [, ] mit Hilfe eines nur von ε abhängenden δ. Sei δ ε/. Für das ganze Intervall [, ] gilt: < δ fl f () f ( ) ( )( + ) < δ( + ) δ ε

79 . Welchen Konvergenzradius besitzt die Reihe n ( ) +? [Hinweis: Man substituiere + / : y.] n n n n ( ) + ( ) y n n n n Quotientenkriterium: n+ an y + y y < + / < -/ < < / n a y n oder Konvergenzradius ρ lim n n Falls in diesem Intervall liegt, konvergiert die Reihe. an y < + / < -/ < < / a +. Man zeige, dass folgende Reihen (vgl. Kap. VII) den Konvergenzradius ρ besitzen: [Hinweis: Man setze n ( ) n : (y) n verschwindet, also gewiss kleiner als ist.] und zerlege n+ (n + )! n in, worin der erste Faktor für n n+ ( n)! a) e n! n n Konvergenzradius ρ lim a n n a n + ( n + )! lim n + ρ n n! b) cos ( ) n n ( ) n : (y) n n n ( n)! Konvergenzradius ρ lim a n n a n + (( n + ))! lim (n+ )(n+ ) ρ n ( n)! c) sin ( ) n+ n n n+ (n + )! n (n + )! (n+ ) ( n)! < n für n Ø ( n)! Konvergenzradius ρ lim a n n a n + (( n + ))! > lim (n+ )(n+ ) ρ n ( n)!

80 Mathematik für die ersten Semester (. Auflage): Lösungen der Übungsaufgaben VII C. Zerbe, E. Ossner, W. Mückenheim

81 . Man berechne die ersten und zweiten Ableitungen der Funktionen,,,4, +, (7 + )ÿ( 6/7 ), ( )/( ), ( + 7)/( ), ( + ) /, ( + ) /, (( ) + ),, (( / ) / ) /, / ÿ / und gebe die Definitionsbereiche der Funktionen und ihrer Ableitungen an. f( ), f ( ) >, f ( ) > 4 ( ) ( ) ( ) 5 f( ), f ( ) >, f ( ) > 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f,4,4,4 ( ), ( ),4, ( ),4,4 f( ) +, f ( ), f ( ), f( ) ( 7+ ) ( ), f ( ) >, f ( ) > ( ) ( ) + 4 f( ), f ( ), f ( ), ( ) ( ) + 7 f( ), f ( ), f ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) f( ) +, f ( ) + ( ) ( ) ( ) f ( ) ,

82 ( ) ( ) f( ) +, f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) , (( ) ) f( ) , Definitionsmenge: ) ( + )( +) - ) + Näherung führt auf,7 und, f'() f''() I+ +4+ I++ + M ++ + M i k +4+ y I++ + M { I M I+4+ M I++ + M 4+6 I++ + M I M f( ), f ( ) >, f ( ) > 4 6 ( ) ( ) ( ) f( ), f ( ), f > ( ) > 8 64 ( ) ( ) ( ) f( ), f ( ), f ( ),. Man berechne mit Hilfe der Kettenregel

83 d d( + 5),, (( + f ()) )', d d d( ) d ((5 + ) + ) 4, d f ( ) d g( ), d f ( ). d d d d d( ) d( ) d oder mit Substitution: z: d d z d ( ) dz z d( + 5) d( + 5) d d( ) d( ) d (oder mit Substitution: - z ) (( + f ()) )' ( + f ())( + f ()) d d ((5 + ) + ) (( + ) + ) (5 ( + ) + ) df ( ) d f( ) d f ( ) d g( ) dg( ) g ( ) d d f( ) d f( ) f ( ) d d d d f ( ) 4

84 . Man berechne mit Hilfe der Quotientenregel d + 5 d, d d +, d ( f( )). d + g( y) d+ 5 9 d ( ) d d + + ( ) ( ) d ( f( )) f ( ) f ( ) d + g( y) + g( y).4 Man berechne mit Hilfe der Produktregel: d a) ( f ( gy ) ( ) + hz ( )) d [Hinweis: Funktionen, die nicht von abhängen, ändern sich nicht bei Änderung von.] d ( f ( gy ) ( ) + hz ( )) f ( ) gy ( ) d d b) ( f ( gh ) ( ) ( )) d [Hinweis: fÿgÿh (fÿg)ÿh.] d ( f ( gh ) ( ) ( )) f ( gh ) ( ) ( ) + f ( g ) ( h ) ( ) + f ( gh ) ( ) ( ) d 5

85 c) n d fk ( ) d k [Hinweis: Π ist eine Abkürzung für das Produkt aller Funktionen von f bis f n.] d d n k d fk( ) ( f( ) f( ) f( ) fn( ) ) d f f f f + f f f f + f f f f + + f f f f n n n n.5 Man berechne mit Hilfe der l Hospitalschen Regel die Grenzwerte lim ( ) sin lim 4 +, + ( ) lim, lim 5 +, ( ) lim, lim ( ), lim π/ cos, lim, sin. [Hinweis: (sin)' cos, (cos)' sin, s. Abschn. 5.] ( ) lim lim lim 5 ( ) ( ) lim lim ( ) 4( ) ( ) 4( ) lim lim lim lim ( ) ( ) 6( ) 6 ( ) lim lim lim ( ) 6

86 ( ) lim lim lim 4 ( ) sin cos lim lim sin sin cos lim lim cos sin π/ π/ [oder direkt berechnen: sin cos lim lim lim ( cos ) ] cos cos π / π / π /.6 An welcher Stelle läuft die Tangente der Kurve + parallel zur Geraden? + 4 f( ), f ( ) + + ( ) parallel zur Geraden f() hat dort Steigung -: + 4 f ( ) +, ( + ) An den Stellen und verläuft die Tangente der Kurve parallel zur Geraden..7 An welcher Stelle läuft die Tangente der Kurve parallel zur Geraden + /? f ( ), f ( ) 4 parallel zur Geraden + / f() hat dort Steigung /: 7

87 f ( ) 4,9.8 An welcher Stelle stimmen die Ableitungen von und überein? 4,97.9 Bilden Sie die erste Ableitung: n n, n n n, ( + )( ) n n, n. n n! d d ( ) d n n d n n n n Für wäre der Ausdruck / unbestimmt. Deshalb wird die untere Grenze um erhöht. ( ) 4 5 ( ) d d d n+ d d d n + n n n n n Hier kommt kein absoluter Term ( ) vor, also bleibt die untere Grenze erhalten. d d ( + )( ) ( ) ( + ) n n n n n n n n n n m d n d n! n! ( n )! m! n n n m 8

88 4. Welches ist die größte Zahl, die man im Zehnersystem mit drei Ziffern schreiben kann (Eponentialschreibweise!), und wie viele Stellen besitzt sie? [Hinweis: lg. Alle Zahlen mit < besitzen Stellen.] ist die größte Zahl, die man mit drei Ziffern schreiben kann. 9 ( 9 9 ) per Definition, denn (9 ) wäre nur Zahl der Stellen: lg9 9 lg , ,6 9 Die Zahl hat 6969 Stellen. 4. Man berechne die Zahl e nach (4.) und nach (4.) jeweils auf 4 Nachkommastellen genau. e !!! e , 78!!! e + n n n e,78 4. Man berechne ep(i) nach (4.) i i i i e i cos+ isin!!! 4! 5! 6!! 4! 6!!! 5! 4.4 Man berechne ln( ). [Hinweis: Nach (5.) und (5.) ist ep(i(π + kÿπ)).] ( i ( π+ k π) ) ln( ) ln e i( π+ kπ ) iπ ( + k) 9

89 4.5 Man berechne die ersten Ableitungen: a) 5 ÿe f e f e + e e ( ), ( ) 5 (5 ) b) (ln)/(7 ) 7 7 ln ln ln ( ), ( ) f f 7 (7 ) 7 c) (ln)ÿep( ) ( ) ( ) ln, ( ) ( ln ) f e f e + e e + ( ln) 4.6 Berechnen Sie nach der Kettenregel die Ableitung der Funktion ÿln(ep()) 6. ( ) ( e ) ( ) ( ) d d ln e dln e de d( ) ln e 6 e d dln d e d( ) d e 4.7 Berechnen Sie die Ableitung der Funktion ln(ÿep()). ( ) ( ) f( ) ln e ln+ln e ln+ f ( ) 4.8 Berechnen Sie die Ableitung der Funktion für >. [ ] d dep( ln ) d d d( ln ) epln ep(ln ) d d d d(ln ) d ep( ln ) ln ( ln ) ( ln ) 4.9 Die Eponentialfunktion ist eine der wichtigsten Funktionen in Naturwissenschaft und Technik. Sie beschreibt kontinuierliche Wachstumsprozesse. Den Unterschied zum quantisierten Wachstum macht man sich am einfachsten anhand von folgender Aufgabe klar. a) Bei jährlicher Verzinsung eines Kapitals K mit wächst das Kapital innerhalb eines Jahres auf Kÿ( + ). Auf wie viel ist eine Einlage von bei % Jahreszins nach Jahren gewachsen (,)? K ( +,), 59,7

90 b) Bei halbjährlicher Verzinsung eines Kapitals K mit / wächst das Kapital innerhalb eines halben Jahres auf Kÿ( + /). Auf wie viel ist eine Einlage von bei % Jahreszins nach Jahren gewachsen (,)? K, +, 5 65, c) Bei monatlicher Verzinsung eines Kapitals K mit / wächst das Kapital innerhalb eines Monats auf Kÿ( + /). Auf wie viel ist eine Einlage von bei % Jahreszins nach Jahren gewachsen (,)? K, +, 8 7, 7 d) Am günstigsten ist natürlich eine Bank, die ständig verzinst, auch wenn der Zinssatz /n gegen den Jahreszins sehr klein ist. Auf wie viel ist eine Einlage von bei % Jahreszins nach Jahren gewachsen (,), wenn kontinuierlich verzinst wird? [Hinweis: (4.).] n, lim + ( ) 7,8 n K K e e n 4. Man beweise (4.) mit dem Satz von S. 8. n n n n d d d G( ) lim + lim + lim n+ lim + d d n n n d n n n n n n n n n + lim + lim + n lim n n n n n lim + G( ) n n + lim + n n n n G() Also muss es sich um die Eponentialfunktion handeln: G() ep().

91 5. Man berechne die zweite Ableitung von arcsin und arccos. darcsin d / / d arcsin d d( ) d( ) d( ) d d d d( ) d ( ) / ( ) ( ) / darccos d / / d arccos d d( ) d( ) d( ) d d d d( ) d / / ( ) ( ) ( ) n 5. Man berechne die erste bis vierte Ableitung der Funktion ( ). ( n)! f( ) ( ) n f '( ) ( ) n n n n n n n n n ( n)! (n )! n f ''( ) ( ) ( ) f( ) (n )! ( n)! f '''( ) ( ) n n n n (n )! n n n (4) n f ( ) ( ) ( ) f( ) (n )! ( n)! f() n n Also handelt es sich um die Kosinusfunktion. n 5. Man berechne die erste bis vierte Ableitung der Funktion ( ). (n + )! n n n n+

92 f( ) ( ) n f '( ) ( ) n n+ n n n+ n n n n (n + )! ( n)! n f ''( ) ( ) ( ) f( ) (n )! (n+ )! f '''( ) ( ) n n n n ( n)! n n n n+ n (4) n f ( ) ( ) ( ) f( ) (n )! (n+ )! f() Also handelt es sich um die Sinusfunktion. 5.4 Man berechne n n n+ n n ( ) + i ( ) und verwende (-) i i 6... ( n)! (n + )! n n n n n+ n n ( ) ( ) ( ) + i ( ) ( n)! (n+ )! i ( )! 4! 6!! 5! 7! i i i i i i i i !! 4! 6!!! 5! 7! k e i k ( i) k! fl cos() + isin() ep() n ( i) 5.5 Man berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion ( ). ( n)! n n

93 n n n n ( i) f( ) ( ) cos( i) ( n)! n n ( i) f '( ) i ( ) isin( i) (n )! n n n n n i n ( i) ( ) f ''( ) ( ) ( ) cos( i) (n )! ( n)! [Hinweis: Bei allen Übungen ist gegebenenfalls die untere Summationsgrenze anzupassen.] 5.6 Man berechne die Ableitungen der Funktionen sin(/), sin(), sin( + ), sin, cos( ), /sin, cos/cot, /(sinÿcos), arccos(sin), arccos(cos), sin(tan), sin(ep(arcsin(ln ))), arccos(sin(tan)), ep(ÿsin(ln( + 5))). [Hinweis: Der Differentialquotient ist der Grenzwert eines Bruches und kann deshalb nach den Regeln der Bruchrechnung bearbeitet werden. Beispiel n n n n n d(sin(ep(arcsin( )))) d(sin(ep(arcsin( )))) d(ep(arcsin( ))) d(arcsin( )) d( ) n n n d d(ep(arcsin( ))) d(arcsin( )) d( ) d (s. auch Beispiel 6 in Abschn. 4.5).] dsin dsin d cos d d d dsin dsin d cos d d d dsin(+ ) dsin(+ ) d(+ ) cos( + ) d d(+ ) d dsin dsin d sin sin cos d dsin d dcos( ) dcos( ) d sin( ) d d d dsin dsin dsin sin cos d dsin d d(cos / cot ) d sin cos d d d (sin cos ) sin cos sin cos d d arccos(sin ) d arccos(sin ) dsin cos d dsin d sin 4

94 d arccos(cos ) d arccos(cos ) dcos d ( sin) d dcos d cos d dsin(tan ) dsin(tan ) dtan cos(tan ) d dtan d cos d sin(ep(arcsin(ln ))) d sin(ep(arcsin( ln ))) d ep(arcsin( ln )) d arcsin( ln ) d( ln ) d d ep(arcsin( ln )) d arcsin( ln ) d( ln ) d cos(ep(arcsin( ln ))) ep(arcsin( ln )) ( + ln ) ( ln ) d arccos(sin(tan )) d arccos(sin(tan )) d sin(tan ) d tan d dsin(tan ) dtan d cos(tan ) cos sin (tan ) d ep( sin(ln( + 5))) d ep( sin(ln( + 5))) d ep( sin(ln( + 5))) d( sin(ln( + 5)) d d ep( sin(ln( + 5))) d( sin(ln( + 5))) d dsin(ln( + 5)) ep( sin(ln( + 5))) sin(ln( + 5)) + ep( sin(ln( + 5))) d ep( sin(ln( + 5))) sin(ln( + 5)) + cos(ln( + 5)) ep( sin(ln( + 5))) 5 + denn dsin(ln( + 5) d sin(ln( + 5)) d ln( + 5) d( + 5) d dln( + 5) d( + 5) d cos(ln( + 5)) Die unendliche Produktreihe von Vieta. Unter Benutzung von (7.4) ersetze man den Sinus und jeden sich ergebenden Sinus durch die Winkelfunktionen der halben Argumente sin ÿcos(/)ÿsin(/) ÿcos(/)ÿÿcos(/4)ÿsin(/4) ÿcos(/)ÿÿcos(/4)ÿÿcos(/8)ÿsin(/8). ÿcos(/ )ÿÿcos(/ ) ÿÿÿ ÿcos(/ n )ÿsin(/ n ) ÿcos(/ )ÿcos(/ ) ÿÿÿ cos(/ n )ÿ[( n /)ÿsin(/ n )]. Man berechne für n den Grenzwert von [( n /)ÿsin(/ n )], setze π/ und löse die Gleichung nach /π auf. Man zeige und verwende ÿcos(π/4), ÿcos(π/8) +, ÿcos(π/6) + + etc. [Hinweis: Übung 7. zeigt auch cos(ϕ/) + cosϕ.] 5

95 [ ] lim sin( / n ) / ( / ) lim (sin ) / n Δ Δ Δ Dies ergibt sich aus der Reihenentwicklung (5.8) für sinδ Δ + Rest(Δ) Aus sin ÿcos(/ )ÿcos(/ ) ÿÿÿ cos(/ n )ÿ[( n /)ÿsin(/ n )] folgt mit π/ und sin(π/) für n Ø : π sin π cos π k π k Nach Übung 7. ist cosα cos α fl cosϕ cos (ϕ/) fl cos (ϕ/) + cosϕ fl 4cos (ϕ/) + cosϕ ϕ fl cos + cos ϕ Damit folgt die oben angegebene Entwicklung: π π cos + cos 4 π π cos + cos π π cos + cos π π cos + cos π Die erste unendliche Produktreihe in der Mathematik. 6

96 6. Man diskutiere die Funktion f () 4 + Definitionsbereich - < <, also Nullstellen: ÿ( + ) fl - und Ableitungen: f'() 4 +, f''(), f () () 4, f (4) () 4, f (5) () Nullstellen der. Ableitung: 4 + fl M (-/4) / º -,6996 Es handelt sich um ein Minimum, da die zweite Ableitung f''( M ) >. Damit ergibt sich der Wertebereich: (-/4) 4/ + (-/4) / -(/4) / ÿ( - /4) < f () < Nullstellen der. Ableitung: W Es handelt sich nicht um eine Wendestelle, da die erste nicht verschwindende Ableitung f (4) ( W ) von gerader Ordnung ist. Bemerkung: Die zweite Ableitung f''() wird an keiner Stelle des Definitionsbereichs negativ (s. die Abb. unten). Das bedeutet, der Graph ist nirgends rechtsgekrümmt. Die Graphen der Funktion und ihrer Ableitungen f () 4 + f'() 4 + f''() 6. Man diskutiere die Funktion f () 7 /7 + 4 / + Definitionsbereich - < <, also Wertebereich: < f () < Nullstellen: Ableitungen: f'() 6 + +, f''() , f () () 4 +, 7

97 f (4) () +, f (5) () 6, f (6) () 7, f (7) () 7, f (8) () Nullstellen der. Ableitung: ( + ) fl M - Es handelt sich nicht um ein Etremum, da auch die zweite Ableitung f''( M ). Nullstellen der. Ableitung: W -, W W - ist eine Wendestelle, da die erste nichtverschwindende Ableitung f () ( W ) 8 von ungerader Ordnung ist. Es handelt sich um einen Sattelpunkt, also um eine Wendestelle (die zweite Ableitung wechselt ihr Vorzeichen, s. Abb. unten) mit horizontaler Tangente. W ist keine Wendestelle, da die erste nichtverschwindende Ableitung f (4) ( W ) von gerader Ordnung ist. Graphen der Funktion und ihrer Ableitungen: f () 7 /7 + 4 / + f'() ( + ) f''() ( + ) 6. Man diskutiere die Funktion f () /e. Einfachere Darstellung: f () ÿe - Definitionsbereich - < <, also Wertebereich: < f () < Nullstellen: 8

98 . Ableitung: f'() ( - )e - Nullstellen der. Ableitung: ÿ( - ) fl Etremstellen M und M. Ableitung: f''() ( - )e - - ( - )e - ( )e - Nullstellen der. Ableitung: fl Wendestellen W - und W + Graph: f() Wie muss der Grundriss eines rechteckigen Hauses aussehen, wenn bei einer Grundfläche von A m die Außenwände so kurz wie möglich sein sollen? [Hinweis: Die Wandlänge ist als Funktion von Länge und Breite darzustellen und das Minimum zu suchen. Durch die Flächenvorgabe wird die freie Wahl von Länge und Breite auf eine freie Variable eingeschränkt.] Die Wandlänge ist L ( + y) wobei ÿy A. Also ist die Wandlänge: L() ( + A/) L'() ( - A/ ) fl A m ( - A ist nicht möglich.) Das Haus ist quadratisch mit der Wandlänge L min 4 m. Es handelt sich um ein Minimum, denn L''() 4A/ >. Skizze: L() In eine Kugel ist ein Zylinder von möglichst großem Volumen zu legen. Das Zylindervolumen V ist πr h, wobei für den Kugelradius R gilt R r + (h/). V(h) π(r - (h/) )h π(r h - h /4) V'(h) π(r - h /4) fl h R/ (h -R/ ist nicht möglich.) r R - h /4 R / 9

99 V ma 4π(R/ ) Es handelt sich um ein Maimum, denn V''(h) -πh/ <. V(h) h/r 6.6 Aus einem Baumstamm von 7 cm Durchmesser ist ein rechtwinkliger Balken von größtmöglicher Tragfähigkeit t zu schneiden. t ist proportional zur Breite und zum Quadrat der Höhe des Balkens. Die Tragfähigkeit ist t bÿh wobei b + h D (7 cm). t(b) bÿ(d - b ) bÿd - b t'(b) D - b fl b D/ (b -D/ ist nicht möglich.) t(b) h D - b D / t ma (D/ ) (D/ ) º 7576 cm b Es handelt sich um ein Maimum, denn t''(b) -6b <. 6.7 Aus einem Kreis vom Durchmesser D ist ein Rechteck der Breite B und der Länge L zu schneiden, so dass das Produkt BÿL maimal wird. B + L D BÿL (D - L ) / ÿl f(l) f '( L) ( D L ) L L + ( D L ) L 4 4 L + D L L D 4L L D L D L / /

100 Die Lösung L ist uninteressant. fl L D, B D fl fma ( L) D 6 4 f(l, D ) L Es handelt sich um ein Maimum. Dies kann man durch Untersuchung der zweiten Ableitung erkennen. Einfacher ist aber die folgende Überlegung: L ÿd/ liefert die einzige Etremstelle im interessierenden Bereich < L < D. Die Funktion f(l) besitzt dort einen positiven Wert und es gilt außerdem f(l ) f(l D).

101 7. Man berechne mit Hilfe von binomischer Reihenentwicklungen /, und,8 jeweils auf drei zählende Stellen genau. 4 5 ( + ) (+,),+,, +,, +, +..., +,9,7 +,8,4+, , Als Darstellung bietet sich an:, ( + ) ( +,5),5 +,5,5 +,5,5 +..., Kann man trotz der Bedingung < auch aus einer binomischen Reihenentwicklung finden? [Hinweis: Ja.] Wegen der Bedingung < ist die Darstellung von als + nicht geeignet. Man verwende zum Beispiel: oder 4 4 wobei die zweite Darstellung schneller als die erste konvergiert, weil die Konvergenz von abhängt und /4 kleiner als / ist. Die Entwicklung erfolgt nach S. 9 des Buchs: + ( ) Berechnen Sie die Binomialkoeffizienten für ( + ), ( + ), ( + ) 4 und ( + ) 5 durch wiederholte Ableitung von ( + ) + + Für < finden wir: d + ( + ) d d d ( ) ( + )

102 d d ( ) d ( + ) ( + ) d ( + ) d d ( ) d ( + ) ( + ) d ( + ) d ( + ) ( + ) d d 4 d ( ) ( + ) Man bestimme die MacLaurin-Entwicklungen für und ( ) k f ( k) () f ( k) ( ) f ( k) ( )/k! f ( k) ( )( ) k /k! T() k f ( k) () f ( k) ( ) f ( k) ( )/k! f ( k) ( )( ) k /k! ( - ) ( - ) 6( - ) T() ( - ) 7.5 Man entwickle die Funktion e um den Punkt, bestimme den Konvergenzradius und gebe die Reihe mit Hilfe des Σ-Symbols an.

103 k f ( k) () f ( k) ( ) f ( k) ( )/k! f ( k) ( )( ) k /k! e e e / / e /6 / T() !!!! Der Konvergenzradius ist / n! ρ lim. n /( n + )! n n n! 7.6 Man entwickle die Funktion cos um den Punkt, bestimme den Konvergenzradius und gebe die Reihe mit Hilfe des Σ-Symbols an. k f ( k) () f ( k) ( ) f ( k) ( )/k! f ( k) ( )( ) k /k! cos -sin -cos - -/ - / sin 4 cos /4 4 / T() 4 + +!! 4! Der Konvergenzradius ist /( n)! ρ lim. n /( n + )! n n ( ) n ( n)! 7.7 Man entwickle die Funktion sin um den Punkt, bestimme den Konvergenzradius und gebe die Reihe mit Hilfe des Σ-Symbols an. 4

104 k f ( k) () f ( k) ( ) f ( k) ( )/k! f ( k) ( )( ) k /k! sin cos -sin -cos - -/6 - /6 4 sin 5 cos / 5 / T() 5 + +!! 5! Der Konvergenzradius ist /(n + )! ρ lim. n /( n + ))! n n ( ) n+ (n + )! 7.8 Man entwickle die Funktion ln um den Punkt (warum nicht um?) und bestimme den Konvergenzradius und gebe die Reihe mit Hilfe des Σ-Symbols an. Welche Reihe ergibt sich für? Entwicklung um ist nicht möglich, da die Funktion dort nicht definiert ist. k f ( k) () f ( k) ( ) f ( k) ( )/k! f ( k) ( )( ) k /k! ln / (-) -/ - -/ -(-) / / / (-) / 4-6/ 4-6 -/4 -(-) 4 / T() ( ) ( ) ( ) ( ) n ( ) n n Der Konvergenzradius für die Potenzreihe n n y ergibt sich nach (.4) n zu ρ lim a n n a n + n n lim +. n 5

105 Die Reihe n ( ) n n konvergiert demnach für - < ( - ) < oder < <. Für divergiert die Reihe (negative harmonische Reihe), für ergibt sich ln n ( ) ( ) n n n n n Man zeige sowie und stelle weitere ähnliche Formeln auf Entwicklung von + um liefert: k f ( k) () f ( k) ( ) f ( k) ( )/k! f ( k) ( )( ) k /k! (+) -/ -(+) -/ / -/ -/ -/ (+) -5/ /4 /4 /8 /8-5(+) -7/ /8-5/8-5/48-5 /48 In der nächsten Zeile kommt zu 5 der Faktor 7 vom Differenzieren und von 57, also insgesamt usw. 4 k! 468 Entwicklung von + um liefert: k f ( k) () f ( k) ( ) f ( k) ( )/k! f ( k) ( )( ) k /k! (+) -/ -(+) -4/ / -/ -/ -/ 4(+) -7/ /9 4/9 4/8 4 /8-8(+) -/ /7-8/7-8/6-8 /6 6

106 In der nächsten Zeile kommt zu 4 7 der Faktor vom Differenzieren und von 47, also insgesamt usw. 4 k! 69 Entwicklung von um k liefert im vierten Schritt den Faktor: + ( + k) ( + k) ( + k) vom Differenzieren und von, insgesamt also k k k k 4 k! ( k + ) (k+ ) (k+ ) usw. k k k 4k 7. Man entwickle ( + ) um den Punkt und vergleiche mit Übung 7.. k f ( k) () f ( k) ( ) f ( k) ( )/k! f ( k) ( )( ) k /k! (+) - -(+) (+) Übereinstimmung. 7. Man entwickle ( + ) um den Punkt und vergleiche mit Übung 7.. k f ( k) () f ( k) ( ) f ( k) ( )/k! f ( k) ( )( ) k /k! (+) - -(+) (+) Übereinstimmung. 7

107 7. Man versuche, die nicht analytische Funktion Punkt zu entwickeln. ep( / )für f( ) um den für Die im Punkte stetige Funktion ist dort nicht analytisch. Das ist aber gleichbedeutend damit, dass sie dort nicht in eine Potenzreihe entwickelt werden kann. Alle Ableitungen verschwinden, weil lim e Potenzen von lim auf Null. n Dieser Faktor tritt bei jeder Ableitung auf und zieht alle 8

108 8. Man bilde alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung: a) f (, y) ( + y)/ f f f f f,,,, y y y b) f (, y) ÿy f y f f f f y y y,,,, c) f (, y) /(ÿy) f f f f f,,,, y y y y y y y y d) f (, y) ( + y)ÿsin( y) f sin( y) + ( + y)cos( y) f sin( y) ( + y)cos( y) y f cos( y) ( + y)sin( y) f cos( y) ( + y)sin( y) y f ( + y)sin( y) y e) f (, y, z) ÿy ÿlnz 9

109 f f f y ln z, yln z, y y z z y z z f f f, ln z, y f f f yln z, y, y y y z z z z f) f (, y, z) e /y ÿz y y y z z f f f e, e, e y y y z f y f y y f z z z 4 e, e + e, y y y y z f y y f y f y e z+ e z, e, e y y y y z y z y 8. Man differenziere implizit nach unter Beachtung von y f (): a) ÿy y+ y' b) ÿy /y' y '' y + yy' ( y ') c) ÿyÿsin(ÿy) const. y y y y y y yy y sin( ) + 'sin( ) + cos( ) + 'cos( ) d) ÿy + 6 ÿy 9 y+ y + y + y y ' 6 9 ' e) y /( + tany)

110 y yy ' + + tan ( tan ) ( tan ) cos ' + y + y + y y f) y/ y' y 8. Man bestimme die Tangenten von Ellipse, Hyperbel und Parabel (s. Abschn. 7). Die Ellipse besitzt die implizite Mittelpunktsgleichung (7.) a y + b Implizite Differentiation liefert: /a + yy'/b fl b y ' a y Mit Hilfe der epliziten Mittelpunktsgleichung (7.) y b a a bestätigt man: b b b y ' b a a a a a y a Die Parabel besitzt die Scheitelgleichung (7.7) y p Implizite Differentiation liefert: yy' p fl p y ' y p Die eplizite Scheitelgleichung (7.7') y p liefert dasselbe Ergebnis. Die Hyperbel besitzt die implizite Mittelpunktsgleichung (7.) a - y b Implizite Differentiation liefert: /a - yy'/b fl b y ' a y

111 Mit Hilfe der epliziten Mittelpunktsgleichung (7.) y b a a bestätigt man: b b b y ' b a a a a a y a 8.4 Für zwei Variablen lautet die Taylor-Entwicklung bis zur zweiten Ordnung f f ( + Δ, y + Δy) f (, y) + Δ + f y Δy + f f f ( Δ ) + ΔΔ y+ ( Δy).! y y a) Man entwickle f (, y) + y um den Punkt (, ) und bestimme so f (, 4). Warum ergibt sich der eakte Wert f (, 4) 5? T ( +, + ) (4 + 9) + ÿÿ + ÿÿ + +! f (, 4) T ergibt den eakten Wert, weil alle Terme höherer Ordnung verschwinden. b) Man entwickle f (, y) /(ÿy) um den Punkt (, ) und bestimme so f (, 4). Warum ergibt sich nicht der eakte Wert f (, 4) /? 5 T ( +, + ) + [ + + ] f (, 4) 4 9! T ergibt nicht den eakten Wert, weil nicht alle Terme höherer Ordnung verschwinden.

112 Mathematik für die ersten Semester (. Auflage): Lösungen der Übungsaufgaben VIII C. Zerbe, E. Ossner, W. Mückenheim

113 9. Man integriere mit Hilfe von (9.) die Funktionen: a) f () im Intervall [, b] m S u lim ( n Δ) Δ F() m n wird mit Δ b/m zu S u b m lim m n m m b S u S o F() m lim ( n Δ) Δ m n n ( m ) m F() b S o n m( m ) S o m lim + m n m m b) f () im Intervall [, b] m S u lim ( n Δ) Δ F() lim ( n Δ) Δ S o m m n wird mit Δ b/m zu S u b m 4 n [( m ) m] lim m 4 4 n m 4m b S u S o F() 4 m n F() b 4 m 4 n [ m( m )] lim + m 4 4 n m 4m S o c) f () im Intervall [a, b] Die Untersumme wird in zwei Summanden zerlegt: m m k S u lim ( n Δ) Δ lim ( n Δ) Δ lim ( n Δ) Δ m m m n k n n wobei Δ b/m a/k gesetzt wurde. Nach dem Vorgang aus Aufgabe 9. b finden wir dann 4 4 b a S u und dasselbe für die Obersumme. Damit eistiert das Integral. 9. Man integriere durch geometrische Berechnung der Flächen die Funktionen 5 für < a) f () im Intervall [, ] für f( )d 7

114 b) f () < für für im Intervall [, ] f( )d 7 c) f () für 5 sonst im Intervall [, ]. f ( )d 9. Die unter 9.a integrierte Funktion f () ist unstetig. Zeichnen Sie die Integralfunktionen F() Û f (t)dt auf und beurteilen Sie deren Stetigkeit.