Sinus-und Kosinussatz

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1 Sinus-und Kosinussatz Referentin: Theresia Herrmann a sinα = b sin β = c sinγ = 2r r 1 = r 2 = r a 2 = b 2 +c 2 2 b c cosα b 2 = a 2 +c 2 2 a c cosβ c 2 = a 2 +b 2 2 a b cosγ

2 Gliederung: 1.Sinussatz 2.Beweis des Sinussatzes 3. Kosinussatz 4.Beweis des Kosinussatzes 5. Anwendungen /Beispiele aus Schulbüchern 6.Literauturverzeichnis

3 1. Sinussatz Sinussatz: Seien a,b,c die Seiten eines beliebigen Dreiecks, α, β,γ die jeweils gegenüberliegenden Winkel und r der Radius des Umkreises, dann gilt: a sinα = b sin β = c sinγ = 2r r 1 = r 2 = r

4 Historisches: Der Sinussatz wurde von Abu Nasr Mansur (persischer Mathematiker und Astronom; um 960 bis 1036 n. Chr.) erstmals bewiesen. Der erste Beweis wird in einigen wenigen auch Quellen Al-Battani, in anderen Abu Mamud al- Chudschandi zugeschrieben

5 2. Beweis des Sinussatzes (1.Beweis mit Fallunterscheidung) 1.Fall: Spitzer Winkel: ( 0 <α<90 ) : In einem bel. Dreieck ABC 0 < α < 90 mit gilt : sinα = h c b h c = sinα b sin β = h c a h c = sin β a

6 Durch die beiden Ergebnisse von somit folgende Gleichung: sinα b = sin β a b sin β = a sinα (*) 1 / sinα sin β h c erhalten wir Weiter gilt: sinγ = h a b sin β = h a c h a = sinγ b h a = sin β c

7 Die beiden Ergebnisse von sinγ b = sin β c b sin β = c sinγ / ha liefern die Gleichung: 1 sin β sinγ Mit (*) = a sinα = b sin β = b sin β = a sinα c sinγ folgt dann:

8 2.Fall: Stumpfer Winkel ( 90 <α<180 ) : Mit und h c = sin β α h c = sin(180 α) b ergibt sich die Gleichung: sin(180 α) b = sin β a / b sin β = a sin(180 α) 1 sin(180 α) sin β

9 Für weitere Vereinfachung, benötigen wir eine zusätzliche trigonometrische Beziehung. sin(x) sin(180 α) = sinα

10 Mit sin(180 α) = sinα folgt: b (*) sin β = a sinα Weiter erhalten wir analog: h a = sinγ b und sowie die Gleichung: sinγ b = sin β c / b sin β = c sinγ h a = sin β c 1 sin β sinγ Wieder folgt mit (*) : a sinα = b sin β = c sinγ

11 3.Fall: Rechter Winkel (α=90 ) : sinα = a a sin β = b a sinα = sin(90 ) =1 b sin β = a und a sinα = a sinγ = c a c sinγ = a a sinα = b sin β = c sinγ

12 Bleibt nur noch zu zeigen, dass a sinα = b sin β = c sinγ = 2r Betrachte und Radius r. Δ(A 1 BC) mit Umkreis K, Mittelpunkt M Seite a ist eine Sehne des Umkreises. Winkel α ist Umfangswinkel zur Sehne a. Nach dem Umfangswinkelsatz sind alle Umfangswinkel zu a (auf der selben Seite des Kreises) gleich groß. r = r 1

13 Δ(A 2 BC) Im rechtwinkligen gilt: A 2 C A 2 C = 2r besitzt bei Punkt B einen rechten Winkel. geht durch M (Umkehrung Satz des Thales). sinα = a 2r a sinα = 2r Δ(A 2 BC) r = r 1

14 Da bereits gezeigt wurde, dass a sinα = ist nun mit b sin β = c sinγ a sinα = 2r bewiesen, dass a sinα = b sin β = c sinγ = 2r q.e.d.

15 2.Beweis des Sinussatzes (2.Spezieller Beweis ohne Fallunterscheidung) Betrachte Kreis K. Sei 0 der Mittelpunkt des Umkreises von Δ(ABC) Seien D,E,F die Mittelpunkte der Seiten BC, AC, AB à Welche Beziehungen können hier gefunden werden?

16 Betrachte Kreis K. Sei 0 der Mittelpunkt des Umkreises von Δ(ABC) Seien D,E,F die Mittelpunkte der Seiten Es gelten: Δ(AFO) Δ(BFO) Δ(BDO) Δ(CDO) Δ(AE0) Δ(CEO) SWS [ ] BC, AC, AB δ 1 δ 2

17 Durch den Umfangswinkelsatz erhalten wir weitere Informationen. Der Umfangswinkelsatz besagt auch: AB Sei eine Sehne des Kreises K mit Mittelpunkt O. Sei C ein weiterer Punkt auf K, wobei C und O auf der selben Seite von AB liegen und 0 kein Element AB, dann gilt: 2γ δ

18 Damit folgt für unseren Beweis: 2 γ δ 1 +δ 2 γ δ 1 sinγ = sinδ 1 = AF c AO = 2 r = c 2r c sinγ = 2r Analog: a sinα = 2r a sinα = b sin β = c sinγ = 2r, b sin ß = 2r q.e.d. c

19 Beispielbezogene und allgemeine Herleitung des Sinussatzes

20 3.Kosinussatz Verallgemeinerung des Satz des Pythagoras Kosinussatz: Für die drei Seiten a,b,c eines Dreiecks, sowie für den der Seite gegenüberliegenden Winkel gilt: a 2 = b 2 +c 2 2 b c cosα b 2 = a 2 +c 2 2 a c cosβ c 2 = a 2 +b 2 2 a b cosγ

21 4.Beweis des Kosinussatzes 1.Fall: Spitzer Winkel: ( 0 < <90 ) : In einem bel. Dreieck ABC mit 0 < <90 gilt : cosγ = a 1 b a = b cosγ 1 a h 2 a = b 2 h 2 a = b 2 2 a 1 a 1 + a 2 = a a 2 = a a 1 γ h a 2 = b 2 b 2 cos 2 γ a 2 = a b cosγ γ

22 c 2 = h 2 a + a 2 2 = b 2 b 2 cos 2 γ + (a b cosγ) 2 (Binomische Formel!) = b 2 b 2 cos 2 γ + a 2 2ab cosγ + b 2 cos 2 γ = b 2 + a 2 2ab cosγ c 2 = a 2 +b 2 2 a b cosγ Durch zyklische Vertauschung ergeben sich ebenso: a 2 = b 2 +c 2 2 b c cosα b 2 = a 2 +c 2 2 a c cosβ

23 2.Fall: Stumpfer Winkel ( 90 < <180 ) : In einem bel. Dreieck ABC mit 90 < <180 gilt : γ γ cos(180 γ) = x b x = b cos(180 γ)

24 < x = b cos(180 γ) = b ( cosγ) = b cosγ > x cos(180 γ) = cosγ cos(180 γ) = cosγ / ( 1) h 2 a = b 2 x 2 = b 2 b 2 cos 2 γ

25 c 2 = h 2 a + (a + x) 2 = b 2 b 2 cos 2 γ + (a b cosγ) 2 (Binomische Formel) = b 2 b 2 cos 2 γ + a 2 2ab cosγ + b 2 cos 2 γ = b 2 + a 2 2ab cosγ c 2 = a 2 +b 2 2 a b cosγ Durch zyklische Vertauschung ergeben sich ebenso: a 2 = b 2 +c 2 2 b c cosα b 2 = a 2 +c 2 2 a c cosβ

26 3.Fall: Rechter Winkel ( =90 ) : γ Wir zeigen: c 2 = a 2 +b 2 2 a b cosγ a 2 = b 2 = ( und ergeben sich wieder durch zyklische Vertauschung) c 2 = a 2 +b 2 2 a b cos(90 ) = a 2 +b 2 2 a b 0 c 2 = a 2 +b 2 Satz des Pythagoras

27 Satz des Pythagoras Für diesen Satz sind mehrere hundert verschiedene Beweise bekannt. Damit ist er der meistbewiesene mathematische Satz. Pythagoras von Samos ( v.chr.) legte einen Beweis für diesen Satz vor. Ob er allerdings der erste war, der diesen Satz bewies, ist in der Forschung umstritten. Die Aussage des Satzes war auch schon lange vor der Zeit Pythagoras in Baylon und Indien bekannt und wurde dort genutzt. Allerdings gibt es keinen Nachweis, dass man dort auch einen Beweis hatte.

28 Aussage des Satzes: In allen rechtwinkligen Dreiecken ist die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypothenusenquadrates. Beispiel für einen Zerlegungs-/Ergänzungsbeweis des Satzes:

29 Beispiel für einen rechnerischen Beweis des Satzes des Pythagoras: A(Δ) = 1 2 b h b = 1 2 b a = ab 2

30 5. Beispiele aus Schulbüchern Schulbuch: Kurs Mathematik 10, S.144f,1993 Verlag Diesterweg, Frankfurt a. M. :

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37 6.Literaturverzeichnis Elementargeometrie und Wirklichkeit: Einführung in geometrisches Denken, Wittmann, Vieweg 1987 Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe 1, Weigand, Springer Spektrum 2014 Leitfaden Geometrie: Für Studierende der Lehrämter,Müller-Philipp, Springer 2012 Elementargeometrie, Ilka Agricola; Thomas Friedrich, Vieweg 2005 Elementargeometrievorlesung von Prof. Dr. Mohnke Mathematik 10, Appelhans, Westermann 1995

38 Mathematik in der Sekundarstufe, Ausgabe 10B, Glatfeld, Metzler 1982 Kurs Mathematik 10,1993 Verlag Diesterweg, Frankfurt a. M. Mathematik 10, Hahn/Dezewas, Westermann 1995 Mathematik live: Mathematik für die Sekundarstufe 1, Böer, Klett 2009 Mathematik entdecken, verstehen, anwenden; Hans Bock, Oldenbourg 1996 Mathematik 10. Schuljahr, Breidenbach, Westermann material/sek1/

39 Sinussatzes.html trigonometrie/sinuscosinussatz/sinuscosinussatz.html kosinussatz.htm cosinussatz.htm

40 Manfred Leppig (Hrsg.): Lernstufen Mathematik. 1. Auflage, 4. Druck. Girardet, Essen 1981, ISBN , S H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Geometry Revisited. Washington, DC: Assoc. Amer., S de.wikipedia.org/wiki/radiant_(einheit)