Thüringer CAS-Projekt

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1 Thema Integralrechnung Sek I Sek II Class-Pad TI-Nspire CAS. Schlagworte: Einführung Integralrechnung, Bestimmtes Integral Lehrermaterial: Das bestimmte Integral Inhalt Beschreibung der stofflichen Fülle und der Umsetzung Einführung des bestimmten Integrals als Verfahren zur Berechnung von krummlinig begrenzten Flächenstücken. Die Erarbeitung erfolgt mit dem TI Nspire unter Nutzung von Calculator, Graphs und Lists & Spreadsheet. Vorschlag zur Umsetzung: Einführendes Beispiel: ( ) Darstellung der Funktion liefert: Die entsprechenden Fenstereinstellungen lauten: THILLM 2010 Das bestimmte Integral 1/8

2 Veranschaulichung des Flächenproblems durch Approximation der Fläche im Intervall mittels einbeschriebener Rechtecke. Hinweis: Das Zeichnen des Rechtecks erfolgt in der linken oberen Ecke durch eine Klammereingabe und Angabe der Koordinaten. Die Bestätigung erfolgt jeweils mit der ENTER Taste. Es folgt die rechte obere Ecke durch Klammereingabe und Angabe der Koordinaten. Ziehen der unteren Seite vervollständigt die Figur. Diskussion der vollständig einbeschriebenen Fläche. Die Flächenbestimmung der Rechtecke ist durch Messung der Einzelrechteckflächen in Graphs und Addition dieser möglich, sinnvoller erscheint die Berechnung im Calculator. Je nach Leistungsstärke der Schülergruppe kann durch einfache Addition der Teilflächen die Untersumme bestimmt werden. THILLM 2010 Das bestimmte Integral 2/8

3 Eine weitere Variante stellt die Nutzung des Summenzeichens dar. Die Eingrenzung der gesuchten Fläche erfolgt analog zu den einbeschriebenen Rechtecken durch umbeschriebene Rechtecke. Hinweis: Die Ausnutzung der Kopierfunktion des TI Nspire zur Summenbildung ist sinnvoll! An dieser Stelle sollte die Diskussion der Ergebnisse und eine Teilergebnissicherung erfolgen. Tafelbild: Das bestimmte Integral Ziel: Entwicklung eines Verfahrens zur Berechnung von krummlinig begrenzten Flächenstücken. Bsp.: ( ) im Intervall [0; 1] Das von der Funktion begrenzte Flächenstück wird durch einbeschriebene und umbeschriebene Rechtecke angenähert. (Bem. : Die Screenshots sollten in die Aufzeichnung des Schülers eingeklebt werden!) THILLM 2010 Das bestimmte Integral 3/8

4 Für die gesuchte Fläche A gilt: 1,285 FE < A < 1,385 FE Eine korrektere Angabe der Fläche erhält man durch eine weitere Verfeinerung der Rechteckunterteilungen. Alternative 1: Die weitere Erarbeitung erfolgt durch Lists & Spreadsheet. Für die Untersumme lässt sich folgende Tabelle entwickeln, wobei: Spalte/ Name Inhalt Zelle A1: i:=0.1 In diese Zelle wird die Intervalllänge, also auch die Intervallanzahl durch die Variable i definiert. (0.1 in A1 eintragen, ctrl -> menu -> 7:Variablen -> 1:Variable speichern -> i angeben) B: ux seq(n,n,0,1-i,i) (i steht für einen Variablenverweis!!!) C: uf f1(ux) D: ua i*uf E: us cumulativesum(aa) Für die Obersumme ergibt sich, da i bereits definiert wurde (dynamisch mit der Tabelle in 1.5 verknüpft), wobei: Spalte Name Inhalt A: ox seq(n,n,0+i,1,i) B: uf f1(ox) C: oa i*of D: os cumulativesum(oa) Durch Variation von i (der Intervalllänge) kann THILLM 2010 Das bestimmte Integral 4/8

5 die Menge der Flächenstücke beeinflusst werden. Die weitere Erarbeitung des Tafelbildes könnte sich folgendermaßen gestalten: Für 100 einbeschriebene Rechtecke (i = 0,01) liefert die Untersumme: s 100 = 1,32835 FE Für 100 umbeschriebene Rechtecke liefert die Obersumme: S 100 = 1,33835 FE Für die gesuchte Fläche A ergibt sich: 1,32835 FE < A < 1,33835 FE Für 1000 Rechtecke ergibt sich: 1,33283 FE < A < 1,33383 FE THILLM 2010 Das bestimmte Integral 5/8

6 Alternative 2: Erarbeitung durch Notes, es können hier durchaus Intervalle gewählt werden: In einem neuen Notes Fenster jeweils b, 3:Einfügen, 1: Math Box wählen und folgende Terme eingeben: ( ) Zur Verdeutlichung können die Erläuterungen Untersumme und Obersumme angegeben werden, die durch folgende Formeln den approximierten Flächeninhalt liefern: ( ( )) sowie ( ( )) Diese müssen wiederum jeweils in eine Math Box eingegeben werden. THILLM 2010 Das bestimmte Integral 6/8

7 Schlussfolgerung: Untersumme und Obersumme besitzen denselben Grenzwert, falls die Menge der Rechtecke gegen Unendlich geht. Dieser entspricht der gesuchten Fläche. Definition: Ist ( ) eine monoton wachsende und nach oben beschränkte Zahlenfolge und ( ) eine monoton fallende und nach unten beschränkte Zahlenfolge und gilt, dann heißt dieser gemeinsame Grenzwert das bestimmte Integral der Funktion f(x) nach dx in den Grenzen von a bis b. Schreibweise: ( ) f(x) Integrand x Integrationsvariable x = a untere Integrationsgrenze x = b obere Integrationsgrenze A x = a x = b THILLM 2010 Das bestimmte Integral 7/8

8 Didaktischer Kommentar: Die graphische Darstellung der Rechteckflächen erscheint aufwendig. Nach hinreichender Klärung der Eckpunktkoordinaten gelingt das Zeichnen zügig und exakt. Der Schüler erlebt, wie die Fläche unter der Kurve sich füllt. Selbstverständlich kann die Menge der Rechtecke beliebig gewählt werden. Die Entscheidung obliegt dem Unterrichtenden, kann natürlich auch durch eine Freihandskizze ersetzt werden. Die Auswertung der Flächengrößen und somit die Ermittlung der Gesamtfläche liegt im Ermessensbereich des Lehrers. Diese kann mittels des Summenzeichens erfolgen. Somit ist an dieser Stelle ein Verweis auf mathematisch übliche Schreibweisen und deren Anwendung möglich. Die Erstellung der Tabelle zur Berechnung der Untersumme in Lists & Spreadsheet sollte gemeinsam mit den Schülern erfolgen. Mit dieser Basis sind diese in der Lage die Obersumme tabellarisch selbstständig umzusetzen. In Notes könne die Schüler die erarbeiteten Grundkenntnisse bezüglich des Summenzeichens anwenden und weiterentwickeln. Grundsätzlich ist anzuraten, dass wesentliche Screenshots in die Aufzeichnungen der Schüler übernommen werden bzw. eine Speicherung und Archivierung der Dateien als äquivalente Vorgehensweise erfolgt. THILLM 2010 Das bestimmte Integral 8/8