TI voyage 200. Analysis. Kompaktwissen. Eine kleine Hilfe für Schüler der DSB

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1 TI voyage 200 Kompaktwissen Analysis Eine kleine Hilfe für Schüler der DSB

2 Seite 2 TI voyage 200 Kompaktwissen Analysis Diese Anleitung soll helfen, Aufgaben aus dem Mathematikunterricht mithilfe des TI voyage 2000 zu lösen. Sie ist wie der Taschenrechner selbst nur ein Hilfsmittel. Die Problemstellungen und dazugehörigen Lösungs- bekannt sein. Bitte den Rechner einschalten und los geht s strategien müssen aus dem Mathematikunterricht Einfache Berechnungen in Calc Home durchführen Term eingeben, z.b. yeª Zur Umwandlung des Ergebnisses in eine Dezimalzahl muss eventuell noch ² gedrückt werden. Funktionen in Calc Home definieren Variante 1 gewünschte Funktion eingeben, z.b. ÙZ Namen und Variable festlegen, z.b. ÔcÙd Die Funktionsdefinition sollte sofort durch Aufrufen Funktion überprüft werden, z.b. ÔcÙd. der Funktionen in Calc Home definieren Variante 2 für Other und für Define Funktionsnamen, Variable und Funktionsterm eingeben, z.b. ÑcÒdÁÒZª ÒZ «Funktionenn dürfen auch f1(x), f2( (x), a(b), s(t), heißen Funktionen im Grafikmodus darstellen # Funktion eingeben, z.b. Ù«z und/oder Bereits definierte Funktion mit Namen eingeben, z.b. ÔcÙd % und Argument Schiemenz

3 TI voyage 200 Kompaktwissen Analysis Seite 3 Funktionswerte mittels Wertetabelle berechnen Im Tabellenbildschirm ' werden die Wertetabellen der Funktionen angezeigt, die im Y= Editor # eingegeben wurden und aktiv sind. ' Gewünschte Funktionswerte ablesen Evtl. im Menü Setup die Schrittweite ändern Funktionswerte in Calc Home berechnen Funktion mit Namen und Argument aufrufen, z.b. Ôc yd Mit dieser Methodee können alle Funktionswerte im Definitionsbereich berechnet werden. Funktionswerte im Grafikmodus berechnen % für Math und für Value Gewünschte Stelle x eingebenn und Funktionswert der ersten aktiven Funktion ablesen Mit den Cursortasten D und C wechselt man zwischen den angezeigten Funktionen. Funktionswerte im Spurmodus berechnenn % für Trace Gewünschte Stellee x mit den Cursortasten A und B auswählen und Funktionswert ablesen oder Gewünschte Stelle x eingebenn und Mit dieser Methode können nur Funktionswerte im einge- für Math und für Zero Mit den Cursortasten die untere sowie die obere Intervallgrenze festlegen und jeweils Mit diesem Verfahren lässt sich maximal eine Nullstelle im stellten Fensterbereich $ berechnet werden. Nullstellen im Grafikmodus ermitteln Zu untersuchende Funktion im Grafikfenster darstellen ausgewählten Intervall innerhalb des eingestellten Fenster- bereiches $ ermitteln Schiemenz

4 Seite 4 TI voyage 200 Kompaktwissen Analysis Nullstellen in Calc Home berechnen Variante 1 für Algebra und y für zeros( Term oder Funktionsnamen, b und Variablennamen eingeben sowie d Mit diesem Verfahren werden alle Nullstellen bestimmt. Nullstellen in Calc Home berechnen Variante 2 für Algebra und für solve( Null gesetzten Term oder Funktionsnamen, b und Variablennamen eingeben sowie d Mit diesem Verfahren werden alle Nullstellen bestimmt. Gleichungen in Calc Home lösen Mit dem Solve()-Befehl lassen sich nicht nur Nullstellen berechnen, sondern beliebige Gleichungen lösen. An welchen Stellen nimmt die Funktion f(x) den Wert 4 an? An welchen Stellen schneidenn sich die Graphen der Funktionenn f(x) und g(x)? Nullstellen in weiteren Berechnungen nutzen Der Zeros()-Befehl liefert alle Nullstellen einer Funktion als Liste. Diese Liste kann unter einem Namen gespeichert werden. Auf die Listenelemente kann einzeln mit dem Listennamen und in eckigen Klammern gesetzten Indizes zugegriffen werden. So spart man das Abschreiben und erneutee Eingeben der Nullstellen bei ihrer weiteren Verwendung. Ein- und Ausgaben in weiteren Berechnungen nutzen Alle bereits getätigten Eingabenn in Calc Home sowie die Ausgaben des Rechners können weiter verwendet werden. Mit den Cursortasten CD zu kopierenden Wert, Term, Funktion oder sonstiges Objekt markieren Zum Kopieren ¹Ó Mit den Cursortasten in die Eingabezeile gehen Zum Einfügen ¹Ø Schiemenz

5 TI voyage 200 Kompaktwissen Analysis Seite 5 Symmetriebetrachtung durchführen für Algebra und für solve( Nun die Definition für Punktsymmetrie Ôc ÙdÁ ÔcÙd oder die Definition für Achsensymmetrie Ôc ÙdÁÔcÙd eingeben, dabei gegebenenfalls den Funktionsnamen anpassen b und Variablennamen eingeben sowie d Das Ergebnis true bedeutet, dass die betrachtete Symmetrie vorliegt. Das Ergebnis false oder irgendeine spezielle Lösung bedeutet, dass die betrachtete Symmetrie nicht vorliegt. Globalverlauf in Calc Home ermitteln für Calc und ª für limit( Term oder Funktionsnamen, b, Variablennamen, b und * oder * eingeben sowie d Grenzwert an einer Stelle a in Calc Home bestimmen für Calc und ª für limit( Term oder Funktionsnamen, b, Variablennamen, b Stelle a eingeben sowie d Terme faktorisieren für Algebra und für factor( Term oder Funktionsnamen eingeben d Nicht jeder Term lässt sich faktorisieren Schiemenz

6 Seite 6 TI voyage 200 Kompaktwissen Analysis Terme ausmultiplizieren für Algebra und ª für expand( Term oder Funktionsnamen eingeben d Tangente im Grafikmodus zeichnen Zu untersuchende Funktion im Grafikfenster darstellen für Math und Ñ für Tangent Stelle, an der die Tangente angelegt werden soll, direkt eingeben oder mit den Cursortasten festlegen! Kennt man die Steigung der Tangente, so kennt man auch die Steigung des Graphen an der Stellee x. Graphensteigung im Grafikmodus bestimmen Zu untersuchende Funktion im Grafikfenster darstellen für Math { und für Derivatives, dy/dx Stelle, an der die Steigung bestimmt werden soll, direkt eingeben oder mit den Cursortasten festlegen Ableitungsfunktion in Calc Home bestimmen 2= oder für differentiate Term oder Funktionsnamen, b und Variablennamen eingeben sowie d Höhere Ableitungen in Calc Home bestimmen 2= oder für differentiate Term oder Funktionsnamen, b, Variablennamen Grad der Ableitung eingeben sowie d d rücken Ebenfalls möglich ist z. B.,,. und Schiemenz

7 TI voyage 200 Kompaktwissen Analysis Seite 7 Relative Extrempunkte berechnen Wie oben beschrieben erste und zweitee Ableitung der Funktion bilden und speichern für Algebra und für solve( Nun die notwendige Bedingung für relative Extrem- eventuell anpassen punkte f x 0 eingeben, dabei den Funktionsnamen b und Variablennamen eingeben sowie d Es erscheinen die möglichen Extremstellen. Mithilfe des VZW-Kriteriums oder der zweiten Ableitung müssen diese Stellen genauer untersucht werden Zweite Ableitung mit Namen und möglicher Extremstelle als Argument aufrufen Ist das Ergebnis ungleich null, liegt eine relative Extremstelle vor: 0, 0. Funktionswerte an den relativen Extremstellen wie oben beschrieben berechnenn Wendepunkte berechnen Wie oben beschrieben zweitee und dritte Ableitung der Funktion bilden und speichern für Algebra und für solve( Nun die notwendige Bedingung für Wendepunkte f x 0 eingeben, dabei den Funktionsnamen eventuell anpassen b und Variablennamen eingeben sowie d Es erscheinen die möglichen Wendestellen. Mithilfe des VZW-Kriteriums oder der dritten Ableitung müssen diese Stellen genauer untersucht werden Dritte Ableitung mit Namen und möglicher Wendestelle als Argument aufrufen Ist das Ergebnis ungleich null, liegt ein Wendepunkt vor. Funktionswerte an den Wendestellen wie oben beschrieben berechnen Schiemenz

8 Seite 8 TI voyage 200 Kompaktwissen Analysis Polynomdivision durchführen für Algebra und m für propfrac( Term und d eingeben sowie Mittels der Polynomdivision lassen sich unecht gebrochen rationale Funktionen zwecks Asymptotenbestimmung als Summe einer ganzrationalenn Funktion und einer echt gebrochen rationalen Funktion schreiben. Summen mittels Summenoperator berechnen 2> für Summe Term, b, Laufvariable, b, Startwert, b, Endwert und d eingeben sowie Die Beispiele liefern Antworten auf folgende Fragen: Wie groß ist die Summe der ersten 100 [n] natürlichen Zahlen? Untersumme, Obersumme und Integral berechnen 2> für Summe Produkt aus Streifenbreite b a /n und Streifenhöhe f a b a i/n eingeben b, Laufvariable i,, b, linkenn Rand des ersten Streifens 0, b, linken Rand des letzten Streifens n 1 und d eingeben Zum Speichern als Untersummenfunktion, Funktionsnamen eingeben, cñbòbõd und Die Untersummenfunktion ist nun gespeichert. Die Obersummenfunktion [os(a,b,n)] wird entsprechend definiert. Lediglich der Startwert 1 und der Endwert n der Summenfunktion müssen angepasst werden. Unter- und Obersumme können nun in Abhängigkeit von linker und rechter Intervallgrenze sowie Streifenanzahl berechnet werden. Haben Ober- und Untersumme für eine gegen unendlich strebende Streifenanzahl einen gemeinsamenn Grenzwert, so heißt dieser Integral von a bis b der Funktion. lim,, lim,, Schiemenz

9 TI voyage 200 Kompaktwissen Analysis Seite 9 Bestimmtes Integral in Calc Home berechnen 2< oder für integrate Term oder Funktion, b, Variable, b, untere Grenze, b, obere Grenze und d eingeben sowie Das bestimmte Integral einer Funktion über dem Intervall [a;b] ist die Summe der orientierten Flächeninhalte über diesem Intervall, i.a. nicht der Flächeninhalt selbst! Bestimmtes Integral im Grafikmodus berechnen (Integranden-) Funktion im Grafikfensterr darstellen für Math und m für f x dx Untere Integrationsgrenze direkt eingeben oder mit Cursortasten festlegen Obere Integrationsgrenze direkt eingeben oder mit Cursortasten festlegen den den Krummlinig begrenzte Flächen berechnenn Variante 1 Der Inhalt der Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der x-achse über dem Intervall [a;b], zum Beispiel [-2;3], lässt sich mithilfe von Integralen berechnen. Nullstellen der Funktion wie bisher mittels zeros() oder solve() bestimmen, sie sind Integrationsgrenzen Teilflächen durch Berechnung des Betrags wie bisher mittels abs() des bestimmten Integrals wie oben ermitteln und speichern Gesamtfläche durch Addition der Teilflächen berechnen Die Integrationsgrenzen sind a und b sowie alle im Intervall [a;b] liegenden Nullstellen. Hier sind das -2, 0, 2 und 3. Alle nicht im Intervall [a;b] liegenden Nullstellen sind irrelevant. Hier ist das -3. Die kleinste untere und die größte obere Integrations- sein. Das hängt von der Aufgabenstellung ab. grenze müssen keine Nullstellen sein, können es aber Bei Aufgabenstellungen, in denenn z.b. stehtt wird allein von der x-achse und dem Graphen der Funktion vollständig begrenzt, sind die kleinste untere und die größte obere Integrationsgrenze in der Tat Nullstellen, die man meistens auch noch selbst ermitteln muss Schiemenz

10 Seite 10 TI voyage 200 Kompaktwissen Analysis Krummlinig begrenzte Flächen berechnenn Variante 2 Das eben beschriebene erste Verfahren zur Berechnung des Inhalts krummlinig begrenzter Flächen funktioniert sowohl mit dem TI Voyage 2000 als auch per Hand, also immer. Es ist das Standardverfahren der Analysis. Im allgemeinen nur mit dem TI voyage 200 kann man dieselbe Fläche auch wie folgt berechnen Integral des Betrags der gegebenen Funktion in den gewünschten Grenzen berechnen Durch die Betragsbildung vor dem Integrieren werden die Teilflächen unterhalb der x-achse nach oben geklappt. Sie haben nunn alle eine positive Orientierung. Die Nullstellen innerhalb des betrachteten Intervalls spielen keine Rolle mehr. Das Integral des Betrags der Funktion in den gewünschten Grenzen ist gleich dem gesuchten Flächeninhalt. Stammfunktion bzw. unbestimmtes Integral ermitteln 2< oder für integrate Term oder Funktion, b, Variable und d eingeben Die Menge alle Stammfunktionen einer Funktion nennt man das unbestimmte Integral dieser Funktion. Warum lässt sich dieses Verfahren kaum mit vernünftigem Aufwand per Hand durchführen? Vor dem Integrieren muss der Betrag aufgelöst werden (Problem!). Das erfor- von den im betrachteten Intervall liegenden Nullstellen (Wie in Variante 1 berechnen.). Man erhält eine dert eine Fallunterscheidung (Problem!) in Abhängigkeit abschnittsweise definierte Funktion (Problem!), die man abschnittsweise integrieren muss Anmerkungen zum Grafikmodus Im Menü Math findet man zahlreiche Funktionen, von denen einige oben vorgestellt wurden. Alle Funktionen liefern nur jeweils ein Ergebnis und dies innerhalb des eingestellten Fensterbereiches $. Nach weiteren Ergebnissen außerhalb muss man bei veränderten Fenster- einstellungen selbst suchen. Diese Ergebnisse können im Gegensatz zum traditionellen Vorgehen in leicht übersehen werden Schiemenz