Fördermappe. Quadratische Funktionen

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1 Fördermappe Quadratische Funktionen

2 Vorwort In dieser Mappe findest du Übungsmaterial zu quadratischen Funktionen. Nach der Bearbeitung dieser Mappe solltest du folgendes können: Graphen (=Parabeln) zu quadratischen Funktionen zeichnen Erkennen, ob die Parabel im Vergleich zur Normalparabel gestreckt oder gestaucht bzw. nach oben oder unten geöffnet ist Erkennen, wie die Parabel in x- oder y-richtung verschoben ist Funktionsgleichungen aufstellen mittels der Scheitelpunktsform sowie der Normalform An der Scheitelpunktsform den Scheitelpunkt ablesen Die Scheitelpunktsform in die Normalform umformen Ggf.: Umformen der Normalform in die Scheitelpunktsform (für die Stufe 9) Das Übungsmaterial ist so angelegt, dass du in ungefähr 8 Förderstunden damit fertig werden kannst. Manche werden es aber schneller schaffen, andere benötigen mehr Zeit. Das Material ist so angeordnet, dass zu jedem Unterthema zunächst in einem Text das Wichtigste erklärt wird. Dann kommen Übungen dazu und auf der Rückseite findest du dann die Lösungen zu den Übungen. Bearbeite also zunächst die Aufgaben sorgfältig und kontrolliere anschließend deine Lösungen. Bitte schreibe nichts in diesen Ordner, sondern arbeite stets mit deinem Heft, auf eigenen Blättern oder auf extra kopierten Blättern. Nimm den Ordner auch niemals mit aus dem Raum. Wenn du irgendwo Probleme hast, versuche sie zunächst durch intensives Nachdenken zu lösen, das braucht oft einige Zeit. Frage notfalls einen Mitschüler, der auch an diesem Thema arbeitet. Wenn alles nicht klappt, frage den Förderlehrer. Am Ende des Ordners findest du einen Test zur Selbstüberprüfung. Hier sind die Aufgaben nun nicht mehr schön geordnet nach Themen, sondern kreuz und quer durcheinander. Wenn du diesen Test mit nur wenigen Fehlern bearbeiten kannst, dann hast du das Ziel erreicht. Wenn sich im Test herausstellt, dass du an vielen Stellen noch unsicher bist, solltest du nochmals zurückblättern und den entsprechenden Teil neu bearbeiten. Du kannst auch den Lehrer nach weiterem Übungsmaterial fragen. So viel zur Arbeit mit diesem Ordner. Und nun: Viel Spaß! 2

3 Übersicht zum Thema quadratische Funktionen Hier siehst du eine erste Übersicht zum Themengebiet der quadratischen Funktionen. Sie soll dir dabei helfen, dir in Erinnerung zu rufen, was alles zum Thema gehört. Streckung oder Stauchung: y = a x 2 Verschiebung nach oben oder unten: y = x 2 + e y = x 2 ist die einfachste quadratische Funktion Quadratische Funktionen Verschiebung nach links oder rechts: y = (x d) 2 Scheitelpunktsform: y = a (x d) 2 + e Scheitelpunkt bei S(d/e) Normalform: y = a x 2 + b x + c Die Graphen nennt man Parabeln Nullstellen bestimmen, d.h. Gleichungen der Form x 2 +5x 3=0 lösen. Das Thema Nullstellen bestimmen wird in der vorliegenden Mappe nicht bearbeitet. Wenn du hierzu etwas wiederholen möchtest, so nimm dir die Fördermappe Lösen von quadratischen Gleichungen. 3

4 Die Scheitelpunktsform von quadratischen Funktionen Was ist die einfachste quadratische Funktion und wie zeichnet man den zugehörigen Graphen? Quadratische Funktionen sind Funktionen, die x 2 als höchste Potenz von x enthalten. Die einfachste quadratische Funktion hat die Funktionsgleichung y = x 2. Den rechts abgebildeten Graphen zu y = x 2 kannst du mit Hilfe einer Wertetabelle zeichnen: y=x 2 x 2 1-0,5 0 0,5 1 2 y=x ,25 0 0, Zur Erinnerung: Bei der Erstellung einer Wertetabelle sucht man sich beliebige Werte für x aus, setzt sie in die zugehörige Funktionsgleichung ein und erhält so den zu x gehörenden y- Wert. Wenn man z.b. für x = 2 wählt, so berechnet man y=( 2) 2 =( 2) ( 2)=4 (vgl. die zweite Spalte in der obigen Wertetabelle). Achtung: Bei negativen Zahlen für x muss man darauf achten, eine Klammer um die Zahl inklusive des Minuszeichens zu setzen, bevor man quadriert! Um dann den Graphen zu zeichnen, trägt man die so bestimmten Punkte in ein Koordinatensystem ein. In unserem Beispiel trägt man den Punkt P 1 ( 2/4) ein, indem man auf der waagerechten x-achse zur 2 geht und dann von dort senkrecht hoch bis zur Höhe der 4 auf der senkrechten y-achse. Die Punkte verbindet man dann durch eine Linie, die den Graphen bildet. Den Graphen einer quadratischen Funktion nennt man eine Parabel. In dem besonderen Fall von y = x 2 nennt man ihn Normalparabel. Den höchsten oder tiefsten Punkt einer Parabel nennt man Scheitelpunkt. Der Scheitelpunkt der Normalparabel liegt bei S(0/0), wie man an obigem Graphen sehen kann. Die Graphen aller anderen quadratischen Funktionen kann man aus der Normalparabel herleiten, indem man diese nach oben oder unten bzw. nach rechts oder links verschiebt oder indem man die Normalparabel enger oder weiter macht. Das wollen wir uns im Folgenden ansehen. 4

5 Stauchung bzw. Streckung der Normalparabel: Quadratische Funktionen der Form y = a x 2 Der Faktor a vor dem x 2 bewirkt, dass die Parabel der jeweiligen Funktion enger oder weiter als die Normalparabel wird. Für a = 0,5 sieht man bei unten stehendem Graphen von y=0,5x 2, dass der Graph weiter wird, die Form als solche bleibt aber erhalten. Für positives a ist die Parabel immer nach oben geöffnet. Der Scheitelpunkt ist hierbei also der tiefste Punkt. Für negatives a gilt, dass die Parabel nach unten geöffnet ist und dass der Scheitelpunkt der höchste Punkt ist. Das ist z.b. an der nebenstehenden Parabel zur Funktion y = x 2 zu sehen. Für -1 < a < 1 ist die Parabel weiter als die Normalparabel, man sagt auch, sie wird gestaucht. Für a < -1 und a > 1 ist die zugehörige Parabel enger als die Normalparabel. Man sagt auch, sie wird gestreckt. Für a = 1 und a = 1 ist sie genauso weit bzw. eng wie eine Normalparabel. Man nennt den Faktor a daher auch Stauchungs- bzw. Streckungsfaktor. Beispiel: Erkläre, was du anhand der Funktionsgleichung y = 5x 2 über den Verlauf des zugehörigen Graphen sagen kannst. Lösung: Da der Faktor vor x 2 negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet und der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt. Zudem ist die Parabel enger als die Normalparabel, da 5 < 1 ist. Um zu testen, ob ein Punkt auf dem Graphen einer quadratischen Funktion liegt, führt man eine Punktprobe durch. Hierfür setzt man die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und schaut, ob sich daraus eine wahre Aussage ergibt. Wenn ja, dann erfüllt der Punkt die Funktionsgleichung und liegt somit auf der Parabel. Beispiel: Überprüfe, ob der Punkt S(-3/20) auf dem Graphen von y = 5x 2 liegt. Lösung: x = 3 und y = 20 y = 5x 2 20 = 5 ( 3) 2 20 = = 45 falsche Aussage Der Punkt S liegt nicht auf dem Graphen. 5

6 Übungsaufgaben 1) Zeichne den Graphen der quadratischen Funktion f mit y=0,2x 2 und kontrolliere rechnerisch, ob die Punkte Q( 4/5) und R(7/9,8) auf dem Graphen liegen. 2) Erkläre, was du anhand der Funktionsgleichung y = 0,9x 2 über den Verlauf des zugehörigen Graphen sagen kannst. 6

7 Lösungen 1) Zum Zeichnen des Graphen legt man zunächst eine Wertetabelle an, indem man sich beliebige Werte für x überlegt (vgl. die erste Zeile der Wertetabelle) und diese dann in die Funktionsgleichung y=0,2x 2 einsetzt, um die zugehörigen y-werte zu bestimmen (Denke bei den negativen Werten für x an die Klammer um die Zahl inklusive des Minuszeichens bevor du quadrierst!): x y 1,8 0,8 0,2 0 0,2 0,8 1,8 Anschließend trägt man die Punkte P 1 ( 3/1,8), P 2 ( 2/0,8), P 3 ( 1/0,2), P 4 (0/0) usw. in ein Koordinatensystem ein. Dann verbindet man die Punkte, wobei man sie nicht mit geraden Linien verbinden darf, sondern kurvig. Punktprobe: Einsetzen der Koordinaten von Q( 4/5) in die Funktionsgleichung: x = 4 und y = 5 5 = 0,2 ( 4) 2 5 = 3,2 falsche Aussage Der Punkt Q liegt nicht auf dem Graphen. Einsetzen der Koordinaten von R(7/9,8) in die Funktionsgleichung: x = 7 und y = 9,8 9,8 = 0, ,8 = 9,8 wahre Aussage Der Punkt R liegt auf dem Graphen. 2) Da der Faktor 0,9 vor x 2 positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt. Zudem ist die Parabel weiter als die Normalparabel, da 1 < 0,9 < 1 gilt. 7

8 Verschiebung der Normalparabel in x- und y-richtung: Quadratische Funktionen der Form y = (x-d) 2 bzw. y = x 2 +e Bei quadratischen Funktionen der Form y = x 2 + e wird die Normalparabel in Richtung der y- Achse verschoben, d.h. nach oben bzw. unten. Ist e positiv, so wird die Parabel nach oben verschoben. Bei negativem e nach unten. Die x-koordinate des Scheitelpunkts bleibt gleich. Beispiel: Lautet die Funktionsgleichung y = x 2 + 1, so sind die y-werte alle um 1 gegenüber der Funktion y = x 2 erhöht. Der Graph ist gegenüber der Normalparabel um 1 nach oben verschoben mit dem Scheitelpunkt S(0/1). Bei quadratischen Funktionen der Form y = (x d) 2 wird die Normalparabel in Richtung der x- Achse verschoben, d.h. nach links bzw. rechts. Ist d positiv, so wird die Parabel nach rechts verschoben. Bei negativem d nach links. Die y-koordinate des Scheitelpunkts bleibt gleich. Beispiel: Lautet die Funktionsgleichung y=(x+1) 2, d.h. y=(x ( 1)) 2, so findet man die y-werte der Funktion y=x 2 alle bei den um 1 niedrigeren x-werten der Funktion y=(x+1) 2. Der Graph ist gegenüber der Normalparabel (= blauer Graph) also um 1 nach links verschoben mit dem Scheitelpunkt S( 1/0). Übungsaufgaben 1) Beschreibe, wie man die Normalparabel verschieben muss, um die Funktionsgraphen der unten stehenden Funktionen zu erhalten. Gib auch jeweils den zugehörigen Scheitelpunkt an. a) y = x 2 6,5 b) y = (x 6) 2 c) y = (x + 3,5) 2 d) y = x

9 Lösungen 1) a) Da e = 6,5 negativ ist, wird die Normalparabel um 6,5 Koordinateneinheiten in Richtung der y-achse nach unten verschoben. Der zugehörige Scheitelpunkt lautet S(0/ 6,5). b) Da d = 6 positiv ist, wird die Normalparabel um 6 Koordinateneinheiten in Richtung der x-achse nach rechts verschoben. Der zugehörige Scheitelpunkt lautet S(6/0). c) Da d = 3,5 negativ ist, wird die Normalparabel um 3,5 Koordinateneinheiten in Richtung der x-achse nach links verschoben. Der zugehörige Scheitelpunkt lautet S( 3,5/0). d) Da e = 9 positiv ist, wird die Normalparabel um 9 Koordinateneinheiten in Richtung der y-achse nach oben verschoben. Der zugehörige Scheitelpunkt lautet S(0/9). 9

10 Die Scheitelpunktsform y = a (x d) 2 + e als Verbindung von Stauchung bzw. Streckung sowie Verschiebung der Normalparabel in x- und y-richtung Nachdem wir nun wissen, wie man mit Hilfe der einfachsten quadratischen Funktion y=x 2 andere quadratische Funktionen erhalten kann, geht es im Folgenden darum, wie man alle quadratischen Funktionen darstellen kann. Alle quadratischen Funktionen lassen sich mit Hilfe von Funktionsgleichungen der Form y=a (x d) 2 +e darstellen. Diese Fom wird auch Scheitelpunktsform genannt, weil man an ihr direkt den Scheitelpunkt des Graphen (= Parabel), nämlich S(d/e) ablesen kann. Zur Erinnerung: Der Scheitelpunkt war der höchste bzw. tiefste Punkt der Parabel. Parabeln sind immer achsensymmetrisch, wobei die Symmetrieachse senkrecht durch den Scheitelpunkt verläuft. Es handelt sich bei der Scheitelpunktsform also quasi um eine Verbindungsgleichung aller Streckungen bzw. Stauchungen und Verschiebungen, die wir zuvor kennen gelernt haben. Beispiel: Um zu verstehen, wie der Graph zu der quadratischen Funktion y=0,5(x 2) 2 +3 aussieht und wie er im Koordinatensystem liegt, können wir mit Hilfe der uns bekannten Schritte vorgehen. Zunächst stauchen wir den Graphen der Normalparabel um den Faktor 0,5. Wir legen dazu eine Wertetabelle an, die den rechts unten stehenden ersten beiden Zeilen entspricht. Die zugehörige Parabel ist rechts blau dargestellt. Dann verschieben wir die blaue Parabel um zwei Koordinateneinheiten nach rechts und erhalten somit den grün dargestellten Graphen der Funktion y=0,5(x 2) 2 (zur Kontrolle kann man auch die zugehörige Wertetabelle anschauen, vgl. die Zeile 4 rechts). Zum Schluss wird die grüne Parabel noch um drei Koordinateneinheiten nach oben verschoben, so dass sich der rote Graph für die quadratische Funktion y=0,5(x 2) 2 +3 ergibt (vgl. auch die Wertetabelle). Der Scheitelpunkt lautet somit tatsächlich S(2/3). Achtung: Achte auf das Rechenzeichen in der Klammer: y=0,5(x 2) 2 +3 Scheitelpunkt S(2/3) y=0,5(x+2) 2 +3 Scheitelpunkt S( 2/3), da y=0,5(x ( 2))

11 Anwendungsaufgaben und die Bestimmung einer fehlenden x- bzw. y- Koordinate In Anwendungsaufgaben ist oft entweder die x-koordinate eines Punktes auf der Parabel gegeben und man muss die y-koordinate berechnen oder andersherum. Hierfür setzt man einfach den gegebenen Wert in die Funktionsgleichung ein und löst nach dem unbekannten auf. Wichtig ist hierbei, dass man nach der Berechnung schaut, ob die Ergebnisse im Anwendungszusammenhang sinnvoll sind (vgl. auch den Aufgabenteil b des Beispiels). Beispiel: Die Wasserkurve einer Wasserfontäne in einer sehr luxuriösen Wohnanlage mit Park lässt sich näherungsweise durch eine Parabel beschreiben. Die zugehörige Funktionsgleichung lautet y= 0,012 (x 10) Hierbei bezeichnet x die horizontale Entfernung vom Fontänenbeginn in Metern und y die Höhe der Fontäne in Metern. Der Fontänenbeginn liegt auf der y-achse (d.h. die Fontäne selbst ist nur der Teil der Parabel, der im Bereich rechts von der y-achse und oberhalb der x-achse liegt, vgl. die Skizze rechts unten!). a) Berechne, welche Höhe die Wasserfontäne fünf Meter vom Fontänenbeginn entfernt aufweist. b) Berechne, in welcher horizontalen Entfernung vom Fontänenbeginn die Wasserfontäne eine Höhe von 10m aufweist. Lösung zum Beispiel: a) Gegeben ist x=5, gesucht ist der zugehörige y-wert. Einsetzen von x=5 in die Funktionsgleichung ergibt y= 0,012 (5 10) 2 +13= 0,012 ( 5) 2 +13= 0, =12,7 Antwort: Die Wasserfontäne weist fünf Meter vom Fontänenbeginn eine Höhe von ca. 12,70m auf. b) Gegeben ist y=10, gesucht sind die beiden zugehörigen x-werte (die Parabel ist achsensymmetrisch und der Scheitelpunkt hat nicht den y-wert 10, wie an der Funktionsgleichung erkennbar ist) Einsetzen von y=10 in die Funktionsgleichung ergibt 10= 0,012 (x 10) = 0,012 (x 10)2 3= 0,012 (x 10)2 3:( 0,012)=(x 10)2 250=(x 10)2 250 x x x 25,8114 oder x 5,8114 Im Anwendungskontext ist nur der erste Werte sinnvoll, da der zweite noch vor Fontänenbeginn liegt. Die Wasserfontäne weist demnach ca. 25,81m vom Fontänenbeginn eine Höhe von 10m auf. 11

12 Übungsaufgaben 2) Gib an, welche der links stehenden Funktionsgleichungen zu den rechts abgebildeten Graphen 1 bis 5 gehören. Bei richtiger Zuordnung ergibt sich in der Reihenfolge der Graphen ein Lösungswort. Zeichne dann zwei der Graphen, die du nicht den Graphen 1 bis 5 zuordnen konntest, in ein Koordinatensystem ein. 3) Die Flugbahn eines Balles ist annähernd parabelförmig. Bei einem Schuss eines Fußballs kann die Flugbahn durch eine Parabel beschrieben werden mit y= 0,00625(x 20) 2 +2,5. Hierbei entspricht x der horizontalen Entfernung vom Abschusspunkt in Metern und y der Höhe des Balles in Metern. a) Fertige eine Skizze der Parabel in einem Koordinatensystem an, um dir den Sachverhalt besser vorstellen zu können (eine genaue Zeichnung mit Wertetabelle ist nicht nötig, kannst du aber natürlich auch anfertigen). Überlege dir hierfür, ob die Parabel nach unten oder oben geöffnet ist und wo der Scheitelpunkt liegt. b) Berechne, wie hoch der Ball nach einem Meter ist. c) Begründe, nach welcher Strecke der Ball seine größte Höhe erreicht hat. Gib auch die größte Höhe an. d) Ein 1,90m großer Gegenspieler steht 10 Meter vom abschießenden Spieler entfernt. Begründe mit Hilfe einer Rechnung, ob er den Ball köpfen kann. e) Gib begründet an, nach wie vielen Metern der Ball wieder auf den Boden auftrifft. f) Ermittle rechnerisch, in welcher horizontalen Entfernung vom Abschusspunkt sich der Ball 2m über dem Boden befindet. 12

13 Lösungen 2) Lösungswort: NEPAL Zum Graphen 1: Scheitelpunkt bei S ( 3/2) y=a(x ( 3)) 2 +2, also y=a(x+3) 2 +2 Jetzt bleibt schon nur noch die Gleichung N Zum Graphen 2: Scheitelpunkt bei S (3/4) y=a(x 3) 2 +4 Es bleiben die Gleichungen E, M Da die Parabel nach unten geöffnet ist, muss der Faktor negativ sein. Somit bleibt nur die Gleichung E (Faktor ist 1). Zum Graphen 3: Scheitelpunkt bei S ( 2/ 4) y=a(x ( 2)) 2 4, also y=a(x+2) 2 4 Es bleiben die Gleichungen P, U Da beide Gleichungen einen positiven Faktor besitzen, können wir über das Vorzeichen des Faktors keine der Gleichungen ausschließen. Wir setzen einen Wert für x in die beiden Gleichungen ein und schauen, ob tatsächlich ein Punkt auf der Parabel herauskommt. Wir sollten hierfür einen gut abzulesenden Punkt wählen, z.b. P(2/ 2). Einsetzen in P: y = 1/8(2+2) 2 4= 2 Einsetzen in U: y = 1/4(2+2) 2 4=0 Somit ist die Gleichung P korrekt. Zum Graphen 4: Scheitelpunkt bei S ( 5/0) y=a(x ( 5)) 2 +0, also y=a(x+5) 2 3) Es bleibt nur noch die Gleichung A Zum Graphen 5: Scheitelpunkt bei S (5/ 3) y=a(x 5) 2 3 Es bleibt nur die Gleichung L. Die übrigen Graphen kannst du der Abbildung rechts entnehmnen. a) Vgl. nebenstehenden Graphen mit dem Scheitelpunkt S(20/2,5) b) Einsetzen von x=1 in die Funktionsgleichung ergibt: y= 0,00625(1 20) 2 +2,5 = 0, Nach etwa einem Meter beträgt die Höhe des Balles etwa 24cm. c) Die Parabel ist wegen des negativen Faktors 0,00625 nach unten geöffnet. Der Scheitelpunkt S(20/2,5) ist somit der höchste Punkt. Die x-koordinate des Scheitelpunkts gibt die horizontale Entfernung vom Abschusspunkt an, die y- Koordinate die dortige Ballhöhe. Es ergibt sich somit, dass der Fußball nach einer Strecke von 20m seine größte Höhe erreicht hat. Diese Höhe beträgt 2,5m. 13

14 d) Einsetzen von x=10 in die Funktionsgleichung ergibt: y= 0,00625(10 20) 2 +2,5 = 1,875. Da der Ball nach 10 Metern eine Höhe von etwa 1,88m hat, kann der Spieler ihn köpfen. e) Der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt. Da eine Parabel achsensymmetrisch ist, braucht der Ball genau die gleiche horizontale Strecke vom Abschusspunkt zum Scheitelpunkt, wie vom Scheitelpunkt zum Wiederauftreffen auf dem Boden. Der Scheitelpunkt ist 20m vom Abschusspunkt entfernt. Der Ball trifft also nach der doppelten Strecke, d.h. nach 40m wieder auf dem Boden auf. f) 2 = 0,00625(x-20) 2 +2,5 2 2,5 = 0,00625(x-20) 2 0,5 = 0,00625(x-20) 2 0,5:( 0,00625) = (x-20) 2 80 = (x-20) 2 80 x x x 28,944 oder x 11,056 Nach etwa 11,06m und nach etwa 28,94m hat der Ball eine Höhe von 2m. 14

15 Die Normalform Die Normalform und das Umformen der Scheitelpunktsform in die Normalform Es gibt neben der Scheitelpunktsform noch eine zweite Art, wie man eine Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion angeben kann: die Normalform mit y=a x 2 +b x+c. An der Normalform lässt sich direkt der Schnittpunkt mit der y-achse S(0/c) ablesen, da für x=0 gilt: y= a 0 2 +b 0+c=c. Die Normalform erhält man z.b., indem man die Klammer in der Scheitelpunktsform ausmultipliziert. Sowohl die Scheitelpunktsform als auch die Normalform beschreiben dann in so einem Fall dieselbe quadratische Funktion, wie man auch erkennen kann, wenn man die Graphen dazu zeichnet (sind identisch). Beispiel: Umformen der Scheitelpunktsform y=2 (x-3) 2 +4 in die Normalform y=2 (x-3) 2 +4 = 2 (x 2-6x+9)+4 = 2 x 2-12x+18+4 = 2 x 2-12x+22 Die Scheitelpunktsform y=2 (x-3) 2 +4 und die Normalform y=2 x 2-12x+22 beschreiben also dieselbe quadratische Funktion. Zur Erinnerung: Beim Lösen der Klammer greift man auf die folgenden binomischen Formeln zurück: (a+b) 2 = a 2 +2 a b+b 2 bzw. (a b) 2 = a 2 2 a b+b 2 Umformung einer gegebenen Normalform in die Scheitelpunktsform Dieses Thema ist im momentan eingesetzten Buch für die Stufe 8 nicht enthalten. Erkundige dich ggf. bei deinem Mathelehrer bzw. deiner Mathelehrerin, ob sich das geändert hat oder ob er bzw. sie dieses Thema zusätzlich im Unterricht behandelt hat. Falls dies nicht der Fall ist, gehe einfach zum nächsten Kapitel über. Im Buch für die Stufe 9 ist es bereits enthalten. Bei einigen Aufgaben ist die Normalform gegeben, man sucht aber den höchsten bzw. tiefsten Punkt der Parabel, d.h. den Scheitelpunkt. In diesem Fall muss man die Normalform mit Hilfe einer quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktsform umwandeln. Zur Erinnerung: Man braucht hierfür eine der ersten beiden binomischen Formeln: 1. bin. Formel: x 2 +2 x d+d 2 =(x+d) 2 bzw. 2. bin. Formel: x 2 2 x d+d 2 =(x d) 2 Beispiel 1: Es steht kein Faktor vor x 2 (bzw. a=1), d.h. y=x 2 +b x+c Wir formen y=x 2 +6 x+10 in die Scheitelpunktsform um. Unser erstes Ziel ist es hierbei, die Klammer aus der Scheitelpunktsform zu erhalten, die wir auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens bei obigen binomischen Formeln erkennen können (wir rechnen jetzt also mal andersherum mit den binomischen Formeln). 15

16 Allgemeines Vorgehen: y=x 2 +b x+c Schritt 1: Betrachte nur den Teilterm x 2 +b x. Dieser entspricht in der 1. binomischen Formel dem Teilterm x 2 +2 x d. Wir suchen nun den Wert für d, um d 2 ergänzen zu können. Dann wäre die linke Seite der bin. Formel vollständig und man kann den Ausdruck durch den Klammerausdruck auf der rechten Seite der bin. Formel ersetzen. Da gilt x 2 +b x = x 2 +2 x d, erkennt man direkt, dass b=2d ist, also d = 2 b. Hinweis: Ob du im Folgenden die 1. oder 2. bin. Formel nehmen musst, erkennst du an dem Rechenzeichen vor dem b x. Steht dort ein Plus, dann die 1. bin. Formel, bei einem Minus, die 2. 2 Schritt 2: Wir ergänzen nun d 2 b = 2 und subtrahieren gleichzeitig d 2. So ändert sich der Wert des Terms nicht, da wir quasi insgesamt Null addiert haben. (Es hat uns aber trotzdem weiter gebracht, da wir nun eine vollständige bin. Formel haben, die wir durch den Klammerausdruck ersetzen können.) 2 2 y = x 2 b b +b x+ + c Schritt 3: Ersetze nun den Ausdruck 2 x 2 b +b x+ 2, der der linken Seite der obigen binomischen Formeln entspricht (mit d= 2 b ) durch den Klammerausdruck auf der rechten Seite der bin. Formeln. 2 b y = (x+ ) b + c Schritt 4: Berechne e aus der Scheitelpunktsform. Beispiel: y=x 2 +6 x+10 Schritt 1: y = x 2 +6 x+10 = x 2 +6 x +10 In unserem Falle ist b=6, d.h. 2d=6 und d=3 Schritt 2: Schritt 3: y = x 2 +6 x = 0 y = (x+3) Schritt 4: y = (x+3) = (x+3) 2 +1 Vorsicht: das Minus bei -3 2 wird nicht mitquadriert! 16

17 Beispiel 2: Es steht ein Faktor a vor x 2, d.h. y=a x 2 +b x+c Klammere den Faktor a aus und gehe dann mit dem Klammerausdruck vor wie beim ersten Beispiel. Forme y=5x 2 30 x+50 in die Scheitelpunktsform um. Schritt 0: Klammere den Faktor 5 vor x 2 aus: y = 5x 2 30 x+50 = 5 (x 2 6 x+10) Schritt 1: Ermittle den Wert für d, indem du x 2 6 x betrachtest: 6 d 3. Zudem muss die zweite binomische Formel genutzt werden, da vor 2 6 ein Minuszeichen steht. Schritt 2: Addiere und subtrahiere d 2 : y = 5 (x 2 6 x ) Schritt 3: Wende die binomischen Formeln an: y = 5 ((x 3) ) Schritt 4: Berechne e: y = 5 ((x 3) ) = 5 ((x 3) 2 +1) = 5 (x 3) 2 +5 Übungsaufgaben 4) Überführe die Scheitelpunktsform in die Normalform: y = 6(x 5) 2 13 Die Aufgabe 5 und den Aufgabenteil 6b kannst du nur bearbeiten, wenn du das Kapitel Umformung einer gegebenen Normalform in die Scheitelpunktsform bearbeitet hast. Falls du es nicht bearbeitet hast, bearbeite nur den Aufgabenteil 6a. 5) Forme die Normalform in die Scheitelpunktsform um: a) y = x 2 10x+25 b) y = 4x 2 +20x+8 6) Susanne spritzt mit einem Wasserschlauch im Garten herum. Bei einer bestimmten Haltung und einem gewissen Wasserdruck bewegt sich das Wasser auf einer Parabel mit der Gleichung y= 0,1x 2 +0,6x+1,1, wobei x die horizontale Entfernung vom Schlauchende in Metern angibt und y die Höhe in Metern gemessen vom Boden aus. a) Berechne, in welcher Höhe vom Boden aus gesehen, Susanne das Schlauchende hält. b) Ermittle, wie weit vom Schlauchende und vom Boden entfernt das Wasser seinen höchsten Punkt erreicht. 17

18 Lösungen 4) y = 6(x 5) 2 13 = 6(x 2 10x+25) 13 = 6x 2 60x = 6x 2 60x+137 Die Normalform lautet y = 6x 2 60x ) a) y = x 2 10 x+25 Es ist d=10/2=5 und es muss wegen des Minuszeichens vor 10x die 2. binom. Formel genutzt werden. (Schritt 1) y = x 2 10 x +25 = x 2 10 x (Schritt 2) = (x 5) (Schritt 3) = (x 5) (Schritt 4) = (x 5) 2 b) y = 4x 2 +20x+8 = 4 (x 2 +5x+2) Es ist d=5/2=2,5 und es muss wegen des Pluszeichens vor 5x die 1. binom. Formel genutzt werden. (Schritt 1) y = 4 (x 2 +5x+2) = 4 (x 2 +5x+2,5 2 2,5 2 +2) (Schritt 2) = 4 ((x+2,5) 2 6,25+2) (Schritt 3) = 4 ((x+2,5) 2 4,25) = 4 (x+2,5) ) a) Susanne hält das Schlauchende bei x=0. Ermittle den zugehörigen y-wert. y= 0, ,6 0+1,1=1,1 (kann auch direkt abgelesen werden als Schnittpunkt mit der y-achse) Susanne hält das Schlauchende 1,1m über dem Boden. b) Es muss der Scheitelpunkt ermittelt werden. Umformen in die Scheitelpunktsform: y= 0,1x 2 +0,6x+1,1 = 0,1(x 2 6x 11) (Schritt 0) Zur Kontrolle, ob man richtig ausgeklammert hat, kann man noch mal rückwärts rechnen, d.h. die Klammer lösen und schauen, ob der anfängliche Ausdruck herauskommt. (Schritt 1): d=3 und 2. binomische Formel = 0,1(x 2 6x ) (Schritt 2) = 0,1((x 3) ) (Schritt 3) = 0,1((x 3) ) (Schritt 4) = 0,1((x 3) 2 20) = 0,1(x 3) 2 +2 Der Scheitelpunkt liegt bei S(3/2), d.h. das Wasser erreicht 3m vom Schlauchende entfernt seinen höchsten Punkt, der 2m über dem Boden liegt. 18

19 Aufstellen von quadratischen Funktionsgleichungen Aufstellen von Funktionsgleichungen mit Hilfe der Scheitelpunktsform Sind der Scheitelpunkt S(d/e) und ein weiterer Punkt des Graphen einer quadratischen Funktion bekannt, lässt sich die Funktionsgleichung mit Hilfe der Scheitelpunktsform y=a (x d) 2 +e aufstellen. Beispiel: Gegeben sind der Scheitelpunkt S(5/ 3) und ein weiterer Punkt P(8/24). Schritt 1: Einsetzen des Scheitelpunkts in die Scheitelpunktsform y=a (x d) 2 +e. y=a (x 5) 2 3 Schritt 2: Einsetzen des zweiten Punktes, um a zu bestimmen. 24=a (8 5) =a (8 5) 2 27=a =a 9 3=a Schritt 3: Angabe der Funktionsgleichung y=3 (x 5) 2 3 Aufstellen von Funktionsgleichungen mit Hilfe der Normalform Immer, wenn der Scheitelpunkt und mindestens ein weiterer Punkt gegeben sind, ist es empfehlenswert, die Scheitelpunktsform zum Aufstellen der Funktionsgleichung zu nutzen. Es kann jedoch auch vorkommen, dass der Scheitelpunkt nicht gegeben ist, sondern der Schnittpunkt mit der y-achse und zwei weitere Punkte des Graphen. In diesem Fall muss man die Normalform y=a x 2 +b x+c nutzen, um die Funktionsgleichung aufzustellen. Beispiel: Von einer Parabel sind der Schnittpunkt mit der y-achse A(0/5) sowie die beiden Punkte B( 2/ 11) und C(1/4) gegeben. Bestimme die zugehörige Funktionsgleichung. Schritt 1: Einsetzen des Schnittpunkts mit der y-achse in die Normalform y=a x 2 +b x+c. 5=a 0 2 +b 0+c 5=c (Wenn man weiß, dass sich aus dem y-achsenschnittpunkt c=5 ergibt, kann man das auch direkt in die Funktionsgleichung eintragen, ohne diesen Zwischenschritt) Es ergibt sich also: y=a x 2 +b x+5 19

20 Schritt 2: Einsetzen der anderen beiden Punkte in die Funktionsgleichung liefert zwei Gleichungen: I: 11=a ( 2) 2 +b ( 2)+5 (Einsetzen von B( 2/ 11)) II: 4=a 1 2 +b 1+5 (Einsetzen von C(1/4)) Schritt 3: Vereinfachen der Gleichungen I: 11=4a 2b+5 II: 4=1a+1b+5 Schritt 4: Lösen des linearen Gleichungssystems, z.b. durch das Einsetzungsverfahren (du kannst natürlich auch das Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren nutzen). Hiefür formst du zunächst eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen um (z.b. nach a) und setzt das Ergebnis dafür in die andere Gleichung ein. Wir formen die Gleichung II nach a um, da diese sehr einfach ist: I: 11=4a 2b+5 II: 1 b=a Einsetzen von a in die andere Gleichung liefert (denke an die Klammer um 1 b): Ia: 11=4 ( 1 b) 2b+5 11= 4 4b 2b+5 11=1 6b 12= 6b b=2 II: 1 b=a Einsetzen von b=2 in II, um a zu bestimmen: Ia: b=2 IIa: a= 1 2 a= 3 Schritt 5: Angabe der Funktionsgleichung y= 3 x 2 +2 x+5 Übungsaufgaben 7) Im Sportunterricht wird gerade das Ballwerfen geübt. Die Flugbahn ist annähernd parabelförmig. Christian wirft den Ball in einer Höhe von 1,90m ab. Der höchste Punkt der Flugkurve seines Balles ist horizontal gesehen 20m vom Abwurfpunkt entfernt. Der Ball ist dort 12m über dem Boden. Gib eine Gleichung für die Flugkurve des Balles an. Tipp: Mache dir eine Skizze, in die du die gegebenen Informationen einträgst und überlege, welche Punkte du kennst. 8) Von einer Parabel sind der Schnittpunkt mit der y-achse A(0/3) sowie die beiden Punkte B( 1/ 1,5) und C(4/51) gegeben. Bestimme die zugehörige Funktionsgleichung. 20

21 Lösungen 7) Der Abwurfpunkt ist der Punkt A(0/1,9). Der Scheitelpunkt liegt bei S(20/12). Einsetzen des Scheitelpunkts in die Scheitelpunktsform ergibt: (Schritt 1) y=a (x 20) Einsetzen von A(0/1,9) (Schritt 2) 1,9=a (0 20) ,9=400a+12 10,1=400a a= 0,02525 Die Flugkurve des Balles lässt sich mit Hilfe der Gleichung y= 0,02525 (x 20) beschreiben. (Schritt 3) 8) Man muss hierfür die Normalform y=a x 2 +b x+c nutzen. Einsetzen des Schnittpunkts mit der y-achse A(0/3) ergibt (Schritt 1) 3=a 0 2 +b 0+c c=3 y=a x 2 +b x+3 Einsetzen der beiden Punkte B( 1/ 1,5) und C(4/51) (Schritt 2) I: 1,5=a ( 1) 2 +b ( 1)+3 II: 51=a 4 2 +b 4+3 I: 1,5=1a b+3 (Schritt 3) II: 51=16a+4b+3 I: 4,5+b=a (Schritt 4) II: 51=16a+4b+3 Einsetzen von I in II ergibt: I: 4,5+b=a IIa: 51=16 ( 4,5+b)+4b+3 51= 72+16b+4b+3 51=20b =20b b=6 Einsetzen von b=6 in I, um a zu bestimmen: Ia: 4,5+6=a a=1,5 Die zugehörige Funktionsgleichung lautet y=1,5 x 2 +6 x+3 (Schritt 5) 21

22 Abschlusstest Löse nun den folgenden Abschlusstest. Kontrolliere die Ergebnisse sehr genau. Wenn du fast alles richtig hast, war die Arbeit erfolgreich. Ansonsten musst du die entsprechenden Kapitel nochmals ansehen. Du kannst auch deinen Mathematiklehrer bzw. deine Mathematiklehrerin nach weiterem Übungsmaterial fragen! Aufgaben 1) Gib zu den folgenden Parabeln jeweils an, ob sie nach unten oder oben geöffnet sind und inwiefern sie gegenüber der Normalparabel gestreckt oder gestaucht sind. Gib auch den Scheitelpunkt an. a) y=0,6(x 7) 2 4 b) y= 4 (x+6) 2 8 2) Bestimme die zugehörigen Funktionsgleichungen der quadratischen Funktionen, wenn folgende Punkte jeweils auf ihrer Parabel liegen: a) Scheitelpunkt S( 3/5) und der Punkt P(4/8) b) die drei Punkte A(0/1), B( 1/4,5) und C(3/ 3,5) 3) Die Flugbahn einer Kugel beim Kugelstoßen lässt sich näherungsweise durch eine Parabel beschreiben. Mittels Videoanalyse eines Kugelstoßversuchs von Lars lässt sich für die Flugbahn die Gleichung y= 0,0568 (x 6,5) 2 +4 finden. Hierbei gibt x die horizontale Entfernung der Kugel vom Abstoßpunkt in Metern an und y die Höhe der Kugel über dem Boden in Metern. a) Zeichne den Graphen der Funktion für 0 x 16 in ein Koordinatensystem. b) Ermittle mit Hilfe des Graphen der Funktion, wie weit Lars die Kugel gestoßen hat. c) Ermittle rechnerisch, aus welcher Höhe Lars die Kugel abgestoßen hat. d) Bestimme die größte Höhe, die die Kugel erreicht, und wie weit vom Abstoßpunkt entfernt dies der Fall ist. e) Lars Sportkamerad Sebastian ist unaufmerksam und läuft in einem Abstand von 10m zu Lars durch den Kreissektor der Kugelstoßanlage. Untersuche rechnerisch, ob er von Lars Kugel getroffen werden kann. 22

23 Lösungen 1) a) y=0,6(x 7) 2 4 nach oben geöffnet, da der Faktor 0,6 positiv ist gegenüber der Normalparabel gestaucht, da 1 < 0,6 < 1 Scheitelpunkt S(7/ 4) b) y= 4 (x+6) 2 8 nach unten geöffnet, da der Faktor 4 negativ ist gegenüber der Normalparabel gestreckt, da 4 < 1 Scheitelpunkt S( 6/ 8) 2) a) y=a (x ( 3)) 2 +5=a (x+3) 2 +5, da Scheitelpunkt bei S( 3/5) Einsetzen von P(4/8) in y=a (x+3) 2 +5 liefert: 8=a (4+3) =a (4+3) 2 3=a 7 2 3=49a 3 a 49 3 Die Funktionsgleichung lautet y = (x+3) b) Einsetzen des Schnittpunkts mit der y-achse A(0/1) in die Normalform y=a x 2 +b x+c ergibt c=1 y=a x 2 +b x+1 Einsetzen der Punkte B( 1/4,5) und C(3/ 3,5) ergibt die beiden Gleichungen I: 4,5=a ( 1) 2 +b ( 1)+1 II: 3,5=a 3 2 +b 3+1 I: 4,5=1a 1b+1 II: 3,5=9a+3b+1 I: 3,5+b=a II: 3,5=9a+3b+1 Einsetzen von a=3,5+b in II liefert I: 3,5+b=a IIa: 3,5=9 (3,5+b)+3b+1 3,5=31,5+9b+3b+1 3,5=32,5+12b 36=12b b= 3 23

24 Einsetzen von b= 3 in I liefert: Ia: a=3,5 3=0,5 Die Funktionsgleichung lautet y=0,5 x 2 3 x+1 3) a) vgl. den Graphen rechts b) Lars stößt die Kugel etwa 15m weit (oder ca. 14,9m). c) Der Abstoßpunkt liegt bei x=0. Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt: y= 0,0568 (0 6,5) 2 +4 y= 0, ,25+4 y=1,6002 Lars hat die Kugel aus einer Höhe von etwa 1,6m abgestoßen. d) Aufgrund des negativen Vorzeichens beim Streckungs- bzw. Stauchungsfaktor a= 0,0568 ist die Parabel nach unten geöffnet, d.h. die größte Höhe wird beim Scheitelpunkt angenommen. Laut der Scheitelpunktsform liegt der Scheitelpunkt bei S(6,5/4). Die größte Höhe beträgt somit 4m über dem Boden und wird 6,5m vom Abstoßpunkt entfernt angenommen. e) Ermittle den y-wert zu x=10: y= 0,0568 (10 6,5) 2 +4 y= 0, ,25+4 y=3,3042 Da die Kugel dort eine Höhe von ca. 3,30m über dem Boden hat, kann Sebastian nicht von ihr getroffen werden. 24