Quadratische Funktionen. Stephan Hußmann Vorlesung Wintersemester 2010/2011

Transkript

1 Quadratische Funktionen Stephan Hußmann Vorlesung Wintersemester 2010/2011

2 der Weg über lineare Funktionen 1 Produkte linearer Funktionen a) Wenn man zwei lineare Funktionen addiert, erhält man wieder eine lineare Funktion? Erklären Sie, woran das liegt. b)wenn man zwei lineare Funktionen multipliziert, erhält man eine so genannte quadratische Funktion. Welche Eigenschaften der linearen Funktion besitzt auch diese quadratische Funktion? c)erhält man auf diese Weise alle quadratischen Funktionen? Falls ja, beweisen Sie es (Zum Beispiel: Jede Funktion der Art ax 2 +bx+c lässt sich als Produkt von zwei linearen Funktionen schreiben). Falls nicht, finden Sie mindestens ein Gegenbeispiel (Überprüfen Sie zum Beispiel eine konkrete Funktion).

3 der Weg über lineare Funktionen 1 Produkte linearer Funktionen a) Wenn man zwei lineare Funktionen addiert, erhält man wieder eine lineare Funktion? Erklären Sie, woran das liegt. Auftrag: Erklären Sie das Beispiel: f(x)=2x+1 und g(x)=3x+2 Phänomen für das Beispiel.

4 f(x)=2x+1 und g(x)=3x+2 4

5 der Weg über lineare Funktionen 1 Produkte linearer Funktionen a) Wenn man zwei lineare Funktionen addiert, erhält man wieder eine lineare Funktion? Erklären Sie, woran das liegt. Beispiel: f(x)=2x+1 und g(x)=3x+2 also h(x)=f(x)+g(x)=5x+3 Lässt sich das auch algebraisch begründen? Auftrag: Begründen Sie den Zusammenhang algebraisch.

6 1 Produkte linearer Funktionen der Weg über lineare Funktionen b)wenn man zwei lineare Funktionen multipliziert, erhält man eine so genannte quadratische Funktion. Welche Eigenschaften der linearen Funktion besitzt auch diese quadratische Funktion? Beispiel: f(x)=2x+1 und g(x)=3x+2 Auftrag: Erklären Sie das Phänomen für das Beispiel.

7 1 Produkte linearer Funktionen der Weg über lineare Funktionen b)wenn man zwei lineare Funktionen multipliziert, erhält man eine so genannte quadratische Funktion. Welche Eigenschaften der linearen Funktion besitzt auch diese quadratische Funktion? f(x)=2x+1 und g(x)=3x+2

8 der Weg über lineare Funktionen 1 Produkte linearer Funktionen b)wenn man zwei lineare Funktionen multipliziert, erhält man eine so genannte quadratische Funktion. Welche Eigenschaften der linearen Funktion besitzt auch diese quadratische Funktion? Beispiel: f(x)=2x+1 und g(x)=3x+2 f(x) g(x)= (2x+1) (3x+2)= 6x 2 +7x+2 Ist jede quadratische Funktion so darstellbar? Einen Blick auf einen einfachen Fall: (x+1) (x+2) = x 2 +3x+2 Auftrag: Welche Eigenschaften übernimmt diese quadratische Funktion von den linearen Funktionen? Die Nullstellen der linearen Funktionen sind die Nullstellen der zugehörigen quadratischen Funktion (durch Multiplikation entstanden), d.h. jede quadratische Funktion ohne Nullstellen lässt sich nicht als Produkt von zwei linearen Funktionen darstellen.

9 der Weg über lineare Funktionen 1 Produkte linearer Funktionen c)erhält man auf diese Weise alle quadratischen Funktionen? Falls ja, beweisen Sie es (Zum Beispiel: Jede Funktion der Art ax 2 +bx+c lässt sich als Produkt von zwei linearen Funktionen schreiben). Falls nicht, finden Sie mindestens ein Gegenbeispiel (Überprüfen Sie zum Beispiel eine konkrete Funktion). Auftrag: Untersuchen Sie die quadratischen Funktionen, ob sie das Produkt von zwei linearen Funktionen sind. f(x)=x 2 +6x+9 und g(x)=x 2 +4 und h(x)=x 2 +3x+10

10 2 Quadratische Funktionen untersuchen a) Eine quadratische Funktion lässt sich als ax 2 +bx+c, a,b,c schreiben. Untersuchen Sie mit Hilfe eines Computerprogramms den Einfluss der Parameter auf den Graphen der quadratischen Funktion, die so genannte Parabel, z.b. Wenn man a vergrößert, dann verändert sich der Graph... etc. Finden Sie so viele Zusammenhänge wie möglich. b) Eine quadratische Funktion lässt sich auch in der Scheitelpunktform schreiben als d (x-e) 2 +f, d,e,f schreiben. Untersuchen Sie mit Hilfe eines Computerprogramms den Einfluss der Parameter auf die Darstellung der Parabel. c) Was haben die Parameter in a) und b) mit einander zu tun?

11 2 Quadratische Funktionen untersuchen a) Eine quadratische Funktion lässt sich als ax 2 +bx+c, a,b,c schreiben. Untersuchen Sie mit Hilfe eines Computerprogramms den Einfluss der Parameter auf den Graphen der quadratischen Funktion, die so genannte Parabel, z.b. Wenn man a vergrößert, dann verändert sich der Graph... etc. Finden Sie so viele Zusammenhänge wie möglich. Auftrag: Untersuchen Sie die quadratischenfunktionen f a (x)=ax 2 hinsichtlich der Rolle von a.

12 2 Quadratische Funktionen untersuchen a) Eine quadratische Funktion lässt sich als ax 2 +bx+c, a,b,c schreiben. Untersuchen Sie mit Hilfe eines Computerprogramms den Einfluss der Parameter auf den Graphen der quadratischen Funktion, die so genannte Parabel, z.b. Wenn man a vergrößert, dann verändert sich der Graph... etc. Finden Sie so viele Zusammenhänge wie möglich.

13 2 Quadratische Funktionen untersuchen Welche Rolle spielen die Parameter in der quadratischen Funktion ax 2 +bx+c, a,b,c? Die Rolle von a: Falls a>0, dann ist die Parabel nach oben geöffnet. Falls a<0, dann ist die Parabel nach unten geöffnet. Auftrag: Erklären Sie, warum der Achsenabschnitt bei Veränderung von a fest bleibt. a < 1: der Graph ist relativ zur Normalparabel gestaucht, d.!h. in der Länge zusammengedrückt, wodurch er breiter erscheint und flacher ist. a > 1: der Graph ist relativ zur Normalparabel gestreckt, d.!h. in die Länge gezogen, wodurch er schmaler erscheint und steiler ist. Der Achsenabschnitt bleibt fest.

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17 2 Quadratische Funktionen untersuchen a) Eine quadratische Funktion lässt sich als ax 2 +bx+c, a,b,c schreiben. Untersuchen Sie mit Hilfe eines Computerprogramms den Einfluss der Parameter auf den Graphen der quadratischen Funktion, die so genannte Parabel, z.b. Wenn man a vergrößert, dann verändert sich der Graph... etc. Finden Sie so viele Zusammenhänge wie möglich.

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20 2 Quadratische Funktionen untersuchen Welche Rolle spielen die Parameter in der quadratischen Funktion ax 2 +bx+c, a,b,c? Die Rolle von b: Der Scheitelpunkt bewegt sich auf einer Kurve. -> to be continued Auftrag: Welche Auswirkung hat die Veränderung von b um 1 auf den Graphen von ax 2 +bx+c.

21 2 Quadratische Funktionen untersuchen b) Eine quadratische Funktion lässt sich auch in der Scheitelpunktform schreiben als d (x-e) 2 +f, d,e,f schreiben. Untersuchen Sie mit Hilfe eines Computerprogramms den Einfluss der Parameter auf die Darstellung der Parabel. Auftrag: Welche Rollen spielen die Parameter hier?

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25 2 Quadratische Funktionen untersuchen Welche Rolle spielen die Parameter in der quadratischen Funktion d (x-e) 2 +f, d,e,f? Die Rolle von d: Falls d>0, dann ist die Parabel nach oben geöffnet. Falls d<0, dann ist die Parabel nach unten geöffnet. Auftrag: Erklären Sie, warum der Scheitelpunkt bei Veränderung von d fest bleibt. d < 1: der Graph ist relativ zur Normalparabel gestaucht, d.!h. in der Länge zusammengedrückt, wodurch er breiter erscheint und flacher ist. d > 1: der Graph ist relativ zur Normalparabel gestreckt, d.!h. in die Länge gezogen, wodurch er schmaler erscheint und steiler ist. Der Scheitelpunkt bleibt fest.

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29 2 Quadratische Funktionen untersuchen Welche Rolle spielen die Parameter in der quadratischen Funktion d (x-e) 2 +f, d,e,f? Die Rolle von f: Falls f>0, dann ist der Scheitelpunkt der Parabel oberhalb der ersten Achse. Falls f<0, dann ist Scheitelpunkt der Parabel unterhalb der ersten Achse. Auftrag: Erklären Sie, warum der Scheitelpunkt bei Veränderung von d fest bleibt.

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33 2 Quadratische Funktionen untersuchen Welche Rolle spielen die Parameter in der quadratischen Funktion d (x-e) 2 +f, d,e,f? Die Rolle von e: Falls e>0, dann ist der Scheitelpunkt rechts von der zweiten Achse Falls e<0, dann ist der Scheitelpunkt links von der zweiten Achse

34 2 Quadratische Funktionen untersuchen a) Eine quadratische Funktion lässt sich als ax 2 +bx+c, a,b,c schreiben. Untersuchen Sie mit Hilfe eines Computerprogramms den Einfluss der Parameter auf den Graphen der quadratischen Funktion, die so genannte Parabel, z.b. Wenn man a vergrößert, dann verändert sich der Graph... etc. Finden Sie so viele Zusammenhänge wie möglich. b) Eine quadratische Funktion lässt sich auch in der Scheitelpunktform schreiben als d (x-e) 2 +f, d,e,f schreiben. Untersuchen Sie mit Hilfe eines Computerprogramms den Einfluss der Parameter auf die Darstellung der Parabel. c) Was haben die Parameter in a) und b) mit einander zu tun? Auftrag: Überführen Sie die Parameterform in die Scheitelpunktform.

35 2 Quadratische Funktionen untersuchen Was haben ax 2 +bx+c, a,b,c und d (x-e) 2 +f, d,e,f miteinander zu tun? Auftrag: Untersuchen Sie den Zusammenhang, indem Sie die Terme in die jeweils andere Darstellung überführen: (1) x 2 +bx+c (2) ax 2 +bx+c (3) d (x-e) 2 +f Auftrag: Untersuchen Sie den Zusammenhang, indem Sie die Terme in die jeweils andere Darstellung überführen: (1) 3x 2-24x+15 (2) 2 (x-5) (3) 5x 2 +25x+30 (4) 1,5 (x+2,5) 2 +2,5