Umstellen und Lösen von Gleichungen

Transkript

1 Umstellen und Lösen von Gleichungen (c) Hans-Detmar Pelz Im gesamten Verlauf der Mathematik in der Oberstufe ist es mötig, Gleichungen nach einer Variablen aufzulösen. Dabei sind einige Regeln zu beachten, die hier noch einmal wiederholend angesprochen werden sollen. Was man stets beachten sollte: Bereits aus der Sek.1 ist Dir bekannt: Punktrechung geht vor Strichrechnung, Klammerrechnung vor allem. Oder, um es als Reihenfolge zu notieren: Klammerrechnung >>>>> Punktrechnung >>>>>> Strichrechnung. Dazu eine kleine Aufgabe zur Erinnerung: ( 1 11) ( 1 + ) Zuerst die Klammern ausrechnen: Dann die Produkte ausrechnen: Schließlich die Strichrechnung durchführen: 1 Wichig ist es, sich diese Reihenfolge zu merken. Soll eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst werden, muss diese Schritt für Schritt so ungestellt werden, dass die gesuchte Variable (meistens wird sie -unromantisch wie Mathematiker sind- mit x bezeichnet) auf einer Seite alleine steht. Das Umstellen geschieht schrittweise. Dabei sind viele kleine Schritte ertragreicher als wenige große Schritte. Es ist zwar Schreibarbeit, aber erhöht deutlich die Übersicht. Beim Umstellen führt man die Gegenrechnung der momentan anstehenden Rechenoperation aus. 1. Einfachste Ausdrücke (Banalitäten): x + Gegenrechnung zu + ist - : x x 68 x Gegenrechnung zu - ist + : x x 1 11 x Gegenrechnung zu ist : : x 11 x x 69 1 Gegenrechnung zu : ist : x 1 69 x 88. Einfache Ausdrücke (Trivialitäten): Liegt bei einer Aufgabe eine Kombination von Rechenoperationen (z. B. 'mal' und 'plus') vor, arbeitet man die oben genannte Reihenfolge rückwärts ab :8 C:\Eigene Dateien\ Umstellen und Lösen von Gleichungen.mcd Seite 1 von

2 Beispiel 1: Hier wird zuerst die Strichrechnung bearbeitet. Auf beiden Seiten wird die 1 subtrahiert: Danach wird durch dividiert: x x 8 1 x x x Beispiel : ( x ) 16 Zuerst wird die Punktrechnung rückgängig gemacht. Geteilt durch : x 16 x 18 Dann erst den Inhalt der Klammer bearbeiten: plus : x 18 + x Eine kleine Anmerkung noch: Bereits in der Jahrgangsstufe sollte man sich hinter die Ohren schreiben: (x - ) heißt mal (x - ), also ( x ) Übrigens: Sind auch noch Potenzen dabei gilt die Reihenfolge: Klammerrechnung >>>> Potenzrechnung >>>> Punktrechnung >>>> Strichrechnung. Beispiel : ( x 6) Wir arbeiten die Reihenfolge rückwärts ab.zunächst kümmern wir uns um die Strichrechnung. Minus 11: ( x 6) 1 11 Zusammenfassen der rechten Seite: ( x 6) 0 Jetzt ist die Punktrechnung dran: dividiert durch ( x 6) 0 Ausrechnen der rechten Seite liefert: ( x 6) 6 Jetzt wird die Potenz rückgängig gemacht und die dritte Wurzel gezogen: x 6 6 Ausrechnen der rechten Seite liefert: x 6 Schließlich muss man sich um den Inhalt der Klammer kümmern: addiere 6 x + 6 x 10 Merke: Gerade Wurzeln (,, 6...) liefern in der Regel mehrere (,,6...) Lösungen, ungerade Wurzeln (,,...) liefern stets nur eine Lösung :8 C:\Eigene Dateien\ Umstellen und Lösen von Gleichungen.mcd Seite von

3 Beispiel : Zuerst um die Potenz kümmern: Wurzel ziehen ( x 1) 9 x 1 9 Achtung! Hier gibt es zwei Lösungen. Daher müssen beide Möglichkeiten notiert werden!! Möglichkeit 1: Möglichkeit : x 1 x 1 1 addieren liefert: x x 1 Durch dividieren: 1 x x Ausrechnen x 6 x 1 Es waren zwei Ergebnisse zu erwarten. Jetzt solltest Du erst einmal üben: ( 1 x ) 10 ( x) 1 x 1 1 ( 9 x) ( 80 + x) + 9 x ( x + 16) 900 ( x ) ( 0 x) 10 [ ( x 1) ] 9 0 x 18 ( x) 16 x ( x) ( x) ( 8 1 x) 96 8 ( x + 1) 0 11 ( x 8) ( x) x 11 9 Lösungen (ungeordnet) :8 C:\Eigene Dateien\ Umstellen und Lösen von Gleichungen.mcd Seite von

4 . Gleichungen in allgemeiner Form Meist liegen die zu lösenden Gleichungen nicht in 'mundgerechter' Form vor. Man muss sie dann erst so sortieren, dass nur noch eine einzelne Variable vorliegt. Meist müssen dazu Klammern aufgelöst oder Terme zusammengefasst werden. Danach kann man wie oben angegeben verfahren. ( x ) + 11 ( 1 x) 8 x Weil hier die Variable x an mehreren Stellen auftaucht, muss man die Gleichung erst einmal so umstellen, dass man passend zusammenfassen kann. Dazu löst man zweckmäßigerweise die Klammern schrittweise auf: 1 x ( 1 x) 8 x 1 x 1 x 1( x 1( x 1 x x 1 x x 8 x 8 x 1 x 1 x 1( x ( x 108) Dann werden auf jeder Seite die Summanden passend zusammengefasst: Nun wird aufgeteilt: Alle mit x verbundenen Ausdrücke auf die eine Seite, die anderen Zahlen auf die andere Seite. Übungsaufgaben dazu: x x ( x 108) x x x x x 6 x + ( 1 x 1) 8 ( 10 x 1) + 11 ( x + 6) + x + 1 ( x) ( x 11) + 9 x + x ( x + 66) + x ( x 18 x + ( x) ( x ) x x + x ( x) + 6 ( x 8) x ( x) x + 8 ( 86 x) + 1 ( x 1) ( 8 9 x) + 6 Lösungen (ungeordnet): Gleichungen mit quadratischem x In den meisten Fällen taucht das x teilweise quadratisch auf. Hier muss ebenfalls zuerst umgeform und sortiert werden und dann zur Lösung die schon besprochenen Strategien angewendet werden. Vorher noch ein kleiner Hinweis zum Auflösen von Klammern. Beispiel: ( a + b) ( c + d) a c + b c + a d + b d :8 C:\Eigene Dateien\ Umstellen und Lösen von Gleichungen.mcd Seite von

5 Grundsätzlich gilt: Jeder Summand der einen Klammer wird mit jedem Summanden der anderen Klammer multipliziert ('Jeder mit Jedem'). Das gilt natürlich auch, wenn die Klammer mehr als zwei Summanden beinhaltet: ( a + b + c) ( x + y + z) a x + b x + c x + a y + b y + c y + a z + b z + c z Dabei gilt: auch harmlos aussehende Klammerausdrücke können relativ lang werden. Konkretes Zahlenbeispiel: ( x ) ( x) + 6 ( 9 x + 9) 1 Klammern schrittweise auflösen: 6 x x + 6 ( 9 x 6 x x + ( x 6 x x + ( x + 9) 1 + 9) Rechts und links nach x, x und Summanden ohne x sortieren: 8 x x x x Da es sich um eine quadratische Gleichung handelt, so sortieren, dass auf einer Seite eine Null steht Durch - dividieren: Nach Anwenden der p-q-formel findet man die Lösungen: Jetzt solltest Du selber üben: ( x 11) ( x) ( x ( x ) 1 + ( 18 + x) ( x + 1) x ( x + 1) ( x + ) x x ( x + ) 1 x x 0 x + 1 x + 0 1) 1 19 x + ( x ) x ( x ) + 1 ( x ( 1 x) 1 ( x ) x x + ( x 6) ( 8 x) + x x + 6 ( 9 x ) ( x ) ( x) + ( x ) ( x) 6 1 Lösungen (ungeordnet): :8 C:\Eigene Dateien\ Umstellen und Lösen von Gleichungen.mcd Seite von