Die Treppennormalform

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1 Die Treppennormalform Lineare Algebra I Kapitel 3 1. Mai 211

2 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 378, Sprechstunden Freitag Webseite: Assistent: Sadegh Jokar, MA 373, Sprechstunden Donnerstag Tutoren: Kolleck, Loewe, Neumerkel, Zieschang Ankündigung: 4. Aufgabe steht im Internet Zwei Webseiten: Holtz Lehre Lineare Algebra und die ISIS-Seite: Fragen? Studentische Studienfachberatung, MA 847 Telefon: (3)

3 Die Treppennormalform Hauptsatz 1. Sei K ein Körper, A K n,m. Dann gibt es Elementarmatrizen T 1,..., T t K n,n, so dass T t T 1 A in Treppennormalform ist. Insbesondere, falls n = m und A invertierbar ist, so ist T t T 1 A = I, d.h., A 1 = T t T 1 oder A = T 1 1 Tt 1.

4 Satz zur Eindeutigkeit der TNF Satz 2. Es sei K ein Körper und A, B K n,m in Treppennormalform. Falls es eine invertierbare Matrix Z K n,n mit A = ZB gibt, so gilt A = B, d.h., die Treppennormalform ist invariant unter Multiplikation mit nichtsingulären Matrizen von links.

5 Satz zur Eindeutigkeit der TNF Satz 2. Es sei K ein Körper und A, B K n,m in Treppennormalform. Falls es eine invertierbare Matrix Z K n,n mit A = ZB gibt, so gilt A = B, d.h., die Treppennormalform ist invariant unter Multiplikation mit nichtsingulären Matrizen von links. Beweis. Es seien a i, b i, i = 1,..., m, die Spalten von A, B. Weiterhin seien (1, j 1 ),..., (s, j s ) die Pivotpositionen von B. Wir zeigen mit vollständiger Induktion über r, 1 r s: Es gilt [ ] Ir Z =, Z n r wobei Z n r invertierbar ist, und die ersten j r+1 1 Spalten von A und B stimmen überein. (Wir setzen j s+1 := m + 1.)

6 Beweis I.A.: Es gilt b k = für 1 k j 1 1. Da A = Z B, gilt auch a k =, 1 k j 1 1. Weiter ist b j1 = [1,,..., ] T, und da Z invertierbar ist, ist auch a j1. Da A in TNF ist, folgt, dass auch a j1 = [1,,..., ] T. Weiterhin folgt, dass Z = 1. Z n 1. Damit ist auch a k = b k, k = j 1 + 1,..., j 2 1.

7 Beweis I.A.: Es gilt b k = für 1 k j 1 1. Da A = Z B, gilt auch a k =, 1 k j 1 1. Weiter ist b j1 = [1,,..., ] T, und da Z invertierbar ist, ist auch a j1. Da A in TNF ist, folgt, dass auch a j1 = [1,,..., ] T. Weiterhin folgt, dass Z = 1. Z n 1. Damit ist auch a k = b k, k = j 1 + 1,..., j 2 1. I.V.: Die Aussage gelte für ein r, 1 r s 1.

8 Beweis I.A.: Es gilt b k = für 1 k j 1 1. Da A = Z B, gilt auch a k =, 1 k j 1 1. Weiter ist b j1 = [1,,..., ] T, und da Z invertierbar ist, ist auch a j1. Da A in TNF ist, folgt, dass auch a j1 = [1,,..., ] T. Weiterhin folgt, dass Z = 1. Z n 1. Damit ist auch a k = b k, k = j 1 + 1,..., j 2 1. I.V.: Die Aussage gelte für ein r, 1 r s 1. I.S.: Wir betrachten die Pivotposition (r + 1, j r+1 ). Da B in TNF ist, folgt

9 b jr+1 = r + 1. Wegen a jr+1 = Zb jr+1 und der Invertierbarkeit von Z n r folgt wie in der Induktionsannahme a jr+1 = b jr+1 und Z = Z n (r+1) r 1 n r 1 r 1 n r 1, und die ersten j r+2 1 Spalten von A und B sind gleich.

10 Eindeutigkeit der TNF Korollar. Für A K n,m gelten: (1) Es gibt genau eine Matrix C K n,m in TNF, in die sich A durch elementary Zeilenoperationen überführen lässt.

11 Eindeutigkeit der TNF Korollar. Für A K n,m gelten: (1) Es gibt genau eine Matrix C K n,m in TNF, in die sich A durch elementary Zeilenoperationen überführen lässt. (2) Ist M GL n (K), so ist C auch die TNF von MA, d.h. die TNF ist invariant unter Linksmultiplikation mit invertierbaren Matrizen.

12 Eindeutigkeit der TNF Korollar. Für A K n,m gelten: (1) Es gibt genau eine Matrix C K n,m in TNF, in die sich A durch elementary Zeilenoperationen überführen lässt. (2) Ist M GL n (K), so ist C auch die TNF von MA, d.h. die TNF ist invariant unter Linksmultiplikation mit invertierbaren Matrizen. Beweis. (1) Sind S 1 A = C 1 und S 2 A = C 2, wobei C 1, C 2 in TNF und S 1, S 2 invertierbar sind, dann gilt C 1 = (S 1 S 1 2 )C 2. Aus Satz 2 folgt nun C 1 = C 2.

13 Eindeutigkeit der TNF Korollar. Für A K n,m gelten: (1) Es gibt genau eine Matrix C K n,m in TNF, in die sich A durch elementary Zeilenoperationen überführen lässt. (2) Ist M GL n (K), so ist C auch die TNF von MA, d.h. die TNF ist invariant unter Linksmultiplikation mit invertierbaren Matrizen. Beweis. (1) Sind S 1 A = C 1 und S 2 A = C 2, wobei C 1, C 2 in TNF und S 1, S 2 invertierbar sind, dann gilt C 1 = (S 1 S 1 2 )C 2. Aus Satz 2 folgt nun C 1 = C 2. (2) Ist M GL n (K) und S 3 (MA) = C 3 in TNF, do folgt mit S 1 A = C 1, dass C 3 = (S 3 MS 1 1 )C 1. Satz 2 zeigt C 3 = C 1.

14 Rang Definition. Die Anzahl r der Pivotpositionen in der TNF von A K n,m wird der Rang von A genannt und Rang(A) bezeichnet.

15 Rang Definition. Die Anzahl r der Pivotpositionen in der TNF von A K n,m wird der Rang von A genannt und Rang(A) bezeichnet. Eigenschaften vom Rang 1. Rang(A) min{m, n}.

16 Rang Definition. Die Anzahl r der Pivotpositionen in der TNF von A K n,m wird der Rang von A genannt und Rang(A) bezeichnet. Eigenschaften vom Rang 1. Rang(A) min{m, n}. 2. A K n,n ist invertierbar genau dann wenn Rang(A) = n.

17 Rang Definition. Die Anzahl r der Pivotpositionen in der TNF von A K n,m wird der Rang von A genannt und Rang(A) bezeichnet. Eigenschaften vom Rang 1. Rang(A) min{m, n}. 2. A K n,n ist invertierbar genau dann wenn Rang(A) = n. 3. Ist A = BC, so gilt Rang(A) Rang(B).

18 Rang Definition. Die Anzahl r der Pivotpositionen in der TNF von A K n,m wird der Rang von A genannt und Rang(A) bezeichnet. Eigenschaften vom Rang 1. Rang(A) min{m, n}. 2. A K n,n ist invertierbar genau dann wenn Rang(A) = n. 3. Ist A = BC, so gilt Rang(A) Rang(B). Beweis. Sei Q GL n (K), so dass QB in TNF ist. Dann QA = QBC. In der Matrix QBC sind höchstens die ersten Rang(B) Zeilen von Null verscheiden. Die TNF von QA ist gleich der TNF von A. Somit können in der TNF von A ebenfalls höchstens die ersten Rang(B) Zeilen von Null verscheiden sein. Also Rang(A) Rang(B).

19 Weitere Eigenschaften von Rang 4. Es gibt Matrizen Q GL n (K) und Z GL m (K) mit [ ] Ir QAZ = genau dann wenn Rang(A) = r.

20 Weitere Eigenschaften von Rang 4. Es gibt Matrizen Q GL n (K) und Z GL m (K) mit [ ] Ir QAZ = genau dann wenn Rang(A) = r. Beweis. Ist Rang(A) = r =, dann ist A =. Sonst gibt es Q GL n (K) so dass QA in TNF ist. Es gibt dann eine Permutationsmatrix P K n,n, so dass PA T Q T = [ Ir V wobei V K m r,r. Nehmen wir nun [ Ir Y = V Es folgt YPA T Q T = Mit Z = P T Y T ergibt sich das Resultat. I m r [ Ir ], ]. ].