Gruppen und ihre Darstellungen

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1 Kurze Zusammenfassung: Gruppen und ihre Darstellungen Beispiele: ganze Zahlen mit Addition (e=0: Nullelement)) rationale Zahlen mit Multiplikation (e=1: Einselement) Translationen: x x+a Drehungen (kontinuierlich oder diskret um 2π/k) die invertierbaren n n-matrizen mit der Matrixmultiplikation Permutationen Spiegelungen Hermann Kolanoski, Exp.Elementarteilchenphysik SS06 - Einleitung 1

2 Beispiele von Gruppen Permutationsgruppe: soviel wie symmetrische Gruppe - oder auch Untergruppe davon, also alternierende Gruppe. allgemeine lineare Gruppe GL(n,F) vom Grad n über einem Körper F: Menge aller invertierbaren n n-matrizen mit Koeffizienten aus F und mit der Matrixmultiplikation als Gruppenverknüpfung. spezielle lineare Gruppe SL(n,F) vom Grad n über einem Körper F: Menge aller invertierbaren n n-matrizen mit der Determinante 1; Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe. spezielle orthogonale Gruppe SO(n,F) vom Grad n über einem Körper F: Menge aller orthogonalen n n-matrizen mit der Determinante 1; Untergruppe der speziellen linearen Gruppe und der orthogonalen Gruppe. spezielle unitaere Gruppe SU(n,F) vom Grad n über einem Körper F: Menge aller unitären n n-matrizen mit der Determinante 1. symmetrische Gruppe Symn oder Sn: besteht aus allen Permutationen einer Menge mit n Elementen, Gruppenverknüpfung ist die Verkettung der Permutationen. Hermann Kolanoski, Exp.Elementarteilchenphysik SS06 - Einleitung 2

3 Abbildungen von Gruppen mit Verknüpfungen Homomorphismus von Gruppen: eine Abbildung f: (G,*) (H, ), die die Verknüpfungstafel erhält: f(a * b) = f(a) f(b) für alle a und b aus G. Isomorphismus von Gruppen: bijektiver (umkehrbarer) Homomorphismus. isomorph: heißen Gruppen, die durch einen Isomorphismus aufeinander abgebildet werden können. Isomorphe Gruppen können als bis auf die Benennung ihrer Elemente identisch angesehen werden. Eine Hauptaufgabe der Gruppentheorie ist die Klassifikation von Gruppen "bis auf Isomorphismen". Hermann Kolanoski, Exp.Elementarteilchenphysik SS06 - Einleitung 3

4 Lie-Gruppe Lie-Gruppe: eine Gruppe, die zugleich eine analytische reelle oder komplexe Mannigfaltigkeit ist, und deren Verknüpfung (nebst Umkehrfunktion) eine analytische Funktion ist. kontinuierliche Gruppe Definitionen Eine Lie-Gruppe ist eine glatte reelle oder komplexe Mannigfaltigkeit, die zusätzlich die Struktur einer Gruppe besitzt, so dass die Gruppenverknüpfung und die Inversion beliebig oft differenzierbar sind. Die Dimension der Lie-Gruppe ist die Dimension der unterliegenden Mannigfaltigkeit. Ist diese endlich, so ist die unterliegende Mannigfaltigkeit automatisch analytisch und die Gruppenmultiplikation und Inversion sind analytische Funktionen. Ein Homomorphismus von Lie-Gruppen H, G ist ein Gruppen-Homomorphismus f: H G, der zugleich eine glatte Abbildung ist. Man kann zeigen, dass dafür genügt, dass f stetig ist. Falls H und G endlichdimensional sind, ist f dann sogar analytisch. Ein Isomorphismus von Lie-Gruppen ist ein bijektiver Lie-Gruppen-Homomorphismus. Isomorphe Lie-Gruppen werden für alle praktischen Zwecke als gleich betrachtet. Hermann Kolanoski, Exp.Elementarteilchenphysik SS06 - Einleitung 4

5 Lie-Gruppen-Beispiele Beispiele: Allgemeine lineare Gruppe Orthogonale Gruppe Unitäre Gruppe Spezielle unitäre Gruppe Spezielle orthogonale Gruppe Spezielle lineare Gruppe Poincaré-Gruppe Galilei-Gruppe Der Euklidische Raum R n mit der Vektoraddition als Gruppenoperation ist eine einigermaßen triviale reelle Lie-Gruppe. Interessantere und typischere Beispiel sind die Gruppen invertierbarer Matrizen mit der Matrixmultiplikation als Verknüpfung sowie deren Untergruppen, zum Beispiel die Gruppe SO(3) aller Drehungen im dreidimensionalen Raum. Hermann Kolanoski, Exp.Elementarteilchenphysik SS06 - Einleitung 5

6 Abelesche und nicht-abelsche Gruppen Hermann Kolanoski, Exp.Elementarteilchenphysik SS06 - Einleitung 6

7 Darstellung einer Gruppe Darstellung einer Gruppe vom Grad n: ein Homomorphismus von einer Gruppe auf eine allgemeine lineare Gruppe GL(n,..) mit der Absicht, eine "abstrakte" Gruppe durch invertierbare Matrizen darzustellen. Die Darstellungstheorie ist ein umfangreiches Unterkapitel der Gruppentheorie. Hermann Kolanoski, Exp.Elementarteilchenphysik SS06 - Einleitung 7

8 Generatoren einer Gruppe Hermann Kolanoski, Exp.Elementarteilchenphysik SS06 - Einleitung 8

9 Generatoren der Drehgruppe SO(3) und SU(2) Hermann Kolanoski, Exp.Elementarteilchenphysik SS06 - Einleitung 9

10 Darstellungen der Drehgruppe SO(3) und SU(2) Hermann Kolanoski, Exp.Elementarteilchenphysik SS06 - Einleitung 10

11 Lie-Algebra Zusammenhang zu Lie-Gruppen Zum Beispiel haben die Gruppen SO(3) (orthogonale 3 3 Matrizen mit Determinante 1) und SU(2) (unitäre 2 2 Matrizen mit Determinante 1) dieselbe Lie-Algebra, nämlich R 3 mit dem Kreuzprodukt und sind deshalb lokal, aber nicht global isomorph (siehe Karten der SO(3)). Hermann Kolanoski, Exp.Elementarteilchenphysik SS06 - Einleitung 11

12 Generatoren der SU(2) die Drehgruppe SO(3) und die Gruppe SU(2) sind lokal isomorph gleiche Lie-Algebra der Generatoren Hermann Kolanoski, Exp.Elementarteilchenphysik SS06 - Einleitung 12

13 Darstellungen der Drehgruppe Hermann Kolanoski, Exp.Elementarteilchenphysik SS06 - Einleitung 13

14 Darstellungen zu ganzzahligem Drehimpuls Hermann Kolanoski, Exp.Elementarteilchenphysik SS06 - Einleitung 14