Die Permutationsgruppe

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1 Die Permutationsgruppe und ihre Bedeutung für die Theorie endlicher Gruppen Christian Gogolin Inhaltsverzeichnis 1 Einführung der Permutationsgruppe Die Permutationsgruppe Notation Prüfen der Gruppenaxiome Satz von Cayley 3 3 Zyklen Zyklen und Zyklische Gruppen Zerlegung in Zyklen Eigenschaften von Zyklen Gerade und ungerade Permutationen Ein überraschendes Theorem 6 1 Einführung der Permutationsgruppe 1.1 Die Permutationsgruppe Hinweis auf Begriffsverwirrung bezüglich Permutation: Permutation Anordnung. Folie Begriffsverwirrung Bronstein: Definition 1: Permutation Permutation nennt man die Anordnung von n Elementen in einer bestimmten Reihenfolge. Hier (von lat. permutare (ver)tauschen ): Definition 2: Permutation Eine Permutation ist die Umordnung einer geordneten Liste L (= Anordnung) von n Elementen, also eine bijektive Abbildung von L auf eine geordnete Liste L. 1

2 Definition 3: Permutationsgruppe Die Menge {p i } n! i=1 aller Permutationen p i, welche aus einer beliebigen Anordnung von n Elementen alle n! Anordnungen erzeugen, bildet zusammen mit der Hintereinanderausführung die Permutationsgruppe oder symmetrische Gruppe S n = ( {p i } n! i=1, ). Sie ist eine Gruppe der Ordnung n!. Gelegentlich wird mit dem Begriff Permutationsgruppe auch eine Untergruppe der S n bezeichnet. 1.2 Notation Standard Notation p= a c d b (1) Hintereinander Ausführung: a c d b = c b d a Redundanz... a... b c a... b = c... c d a b... b... a b... a... (2) (3) (definierende) Matrixdarstellung a a b c = c d d b } {{ } D(p) (4) Hintereinander Ausführung: Matrix Multiplikation (wg. Assoziativität der Tensor Multiplikation) Keine Redundanz aber viel Schreibarbeit. Äquivalenz n p= ( D(p) ) σ 1 σ 2... σ i j =δ σ i j (5) n 1.3 Prüfen der Gruppenaxiome Abgeschlossenheit Trivial erfüllt; Matrixdarstellung Nachrechnen D(p) i j D( p) jk = δ σi jδ σ j k=δ σσi k (6) j Assoziativität Überzeugen durch nachrechnen; Matrix Repräsentation Eins-Elements Identische Permutation; Eins-Matrix j 2

3 Inverses zurück ordnen; Matrix Repräsentation mit det = ±1 Invertierbar, Folie Theorem 1: Laplacescher Entwicklungssatz Entwicklung nach i-ter Zeile: det A= n ( 1) i+ j a i j det A i j A i j = (n 1) (n 1)-Untermatrix (7) j=1 Hinweis auf Alternierende Gruppe (Gruppe der geraden Permutationen). 2 Satz von Cayley (Arthur Cayley, Britischer Mathematiker ) Theorem 2: Satz von Cayley Jede Gruppe G der Ordnung n ist isomorph zu einer (regulären) Untergruppe von S n (Isomorph Folie) Definition 4: Regulär Eine Untergruppe der S n die nur aus Permutationen besteht die alle Elemente, oder kein Element verändern heißt regulär. Die Permutation, welche kein Element verändert ist das Eins Element. Beweis: Was sind definierende Eigenschafte der Gruppenelement? Wie sie auf andere Elemente wirken! Gruppentafel Eindeutigkeit und Invertierbarkeit = Jedes Element in jeder Spalte/Zeile genau ein mal a 1 d=? Widerspruch, da a invertierbar a b=a c=d= (8) b=c Widerspruch, da: b c Jede Spalte einer Gruppentafel ist eine Anordnung von n Elementen. Jedes Gruppenelement wirkt auf eine Anordnung aller Gruppenelemente wie eine Permutation. Die Abbildung eines Gruppenelements x auf das Ergebnis der Rechtsmultiplikation mit einem beliebigen Gruppen g e ist eine bijektive Abbildung (Gleiches gilt natürlich für die Linksmultiplikation.) x x g (9) Sei G n = ({g i } i, ) eine beliebigen Gruppe der Ordnung n. 1 wenn g i g j = g k t i jk 0 sonst (10) 3

4 Abbildbarkeit der Gruppenelemente: g i g j = = n t i jk g k (11) k=1 n D(g i ) jk g k (12) k=1 Erhalt der Verknüpfung: g l g i g j = t i jk g l g k (13) k = t i jk t lkm g m (14) k,m = D(g i ) jk D(g l ) km g m (15) m k } {{ } D(g i g l ) jm Regulär da die Links- bzw. Rechtsmultiplikation kein Gruppenelement auf sich selbst abbildet. 3 Zyklen 3.1 Zyklen und Zyklische Gruppen Definition 5: Zyklen () a Eins-Zyklus (a) = a a b Zwei-Zyklus, Vertauschung (ab) = b a a1 a n-zyklus (a 1 a 2 a n )= 2 a n 1 a n a 2 a 3 a n a 1 (16) (17) (18) Zwei Zyklen heißen getrennt (englisch disjoined), wenn sie nur auf verschiedene Elemente Wirken. Definition 6: Zyklische Gruppe Eine Gruppe der Ordnung n heißt zyklisch wenn ihre Elemente von der Form sind. 3.2 Zerlegung in Zyklen {e=a n, a, a 2,...a n 1 } (19) Behauptung 1: Jede Permutation kann als eine Hintereinanderausführung von Zyklen ausgedrückt werden. (kein Beweis aber plausiebel...) 4

5 Beispiel 1: e f g h = (ad) (bcg) d c g a e h b f (e) ( f h) (20) 3.3 Eigenschaften von Zyklen Ein-Zyklen können weg gelassen werden Getrennte Zyklen vertauschen Die Zyklen Elemente dürfen permutiert werden (abcd) = (bcda) = (cdab) = (dabc) (21) Jeder n-zyklus kann als eine Hintereinanderausführung von Vertauschungen ausgedrückt werden (a 1 a 2 a n )=(a 1 a n ) (a 1 a n 1 ) (a 1 a 2 ) (22) Jede Vertauschung kann als eine Hintereinanderausführung von Vertauschung benachbarter Elemente ausgedrückt werden. Folie (a i a i+ν )=(a i+1 a i+ν )(a i a i+1 )(a i+1 a i+ν ) (23) = Jede Permutation kann als eine Hintereinanderausführung von Vertauschungen (benachbarter) Elemente dargestellt werden. Zerlegung in Vertauschungen ist nicht eindeutig! Beispiel 2: 3.4 Gerade und ungerade Permutationen (abc)=(ac) (ab) (24) (abc)=(cab)=(cb) (ca) (25) aber: Anzahl der Vertauschungen ist immer gerade oder ungerade! (un)gerade Anzahl von Vertauschungen= (un)gerade Permutation kein Beweis in der Standardliteratur Wieder hilft die Definierende Darstellung Folie: (Vertauschen von zwei Zeilen/Spalten ändert das Vorzeichen der Determinante.) Darstellung einer geraden Permutation Darstellung einer ungeraden Permutation det+1 det 1 5

6 4 Ein überraschendes Theorem Theorem 3: Jede Gruppe der Ordnung n ist zyklisch wenn n eine Primzahl ist. Beweis. Lemma 1: Die Zerlegungen der Elemente einer regulären Untergruppe von S n in getrennt Zyklen bestehen aus Zyklen gleicher Länge. Beweis. Aus dem Bildungsgesetz für Zerlegungen 1 folgt das die Zerlegung einer regulären Permutation nur getrennte Zyklen enthält. Sei p ein Element aus einer regulären Untergruppe R der S n dessen Zerlegung in getrennte Zyklen, Zyklen unterschiedlicher Länge enthält. Es gibt dann mindestens ein Paar getrennte Zyklen mit der Längen l und l mit l<l Da R abgeschlossen ist gehört auch p l zu R. p l ist aber nicht regulär, da getrennte Zyklen vertauschen und deshalb p l (a 1 a 2...a l ) } {{ } l (b 1 b 2...b l ) } {{ } l =e e a i = b j i, j. (26) = Summe der Zyklenlängen einer Zerlegung einer regulären Permutation aus S n ist n und gleichzeitig gleich einer Ganzen Zahl mal der Länge der Zyklen. = Die Elemente der regulären Untergruppe von S n zu denen G isomorph ist bestehen aus n-zyklen oder aus n Eins-Zyklen da n prim ist. Die n Eins-Zyklen entsprechen dem Eins Element. Da sich aus n-zyklen nur genau n 1 unterschiedliche Elemente und das Einselement bilden Lassen Entsprechen die Gruppenelemente isomorph den Elementen einer Zyklischen Gruppe. {a n = e, a, a 2,...,a n 1 } a=(123 n) (27) Literatur [1] Bronstein, I.N., K.A. Semendjajew, G. Musiol und H. Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, 6 Auflage, [2] Byron, Frederick W., Jr. und Robert W. Fuller: Mathematics of Classical and Quantum Physics. Dover Publications, [3] Jin-Quan, Chen: Group Representation Theory for Physicists. World Scientific Publishing, [4] Lang, Christian B. und Norbert Pucker: Mathematische Methoden in der Physik. Elsevier, Spektrum Akademischer Verlag, 2 Auflage, [5] Tung, Wu-Ki: Group Theory in Physics. World Scientific Publishing, [6] Werle, J.: Relativisitic Theory or Refractions. North-Holland Publishing Company,