Kristallstruktur der Metalle

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1 Bedeutung Metallische Werkstoffe sind in der Regel kristallin aufgebaut. Die vorliegende Kristallstruktur hat einen erheblichen Einfluss auf die Eigenschaften des Werkstoffs, wie z.b. die Festigkeit, Verformbarkeit, Härtbarkeit oder elektrische Leitfähigkeit. Zudem weisen Kristallgitter aufgrund der in den verschiedenen Raumrichtungen unterschiedlichen Gitterparameter richtungsabhängige Eigenschaften auf, die bei Vorliegen einer Vorzugsorientierung der Kristallite im Vielkristall (Textur) zu makroskopisch anisotropem Verhalten führen. Weiterhin weisen Realkristalle im Gegensatz zum Idealkristall Gitterbaufehler auf, die für die technische Anwendung von Metallen eine außerordentlich wichtige Rolle spielen. So beruht beispielsweise die gute plastische Verformbarkeit von Metallen u.a. auf dem Auftreten von Versetzungen. 2 Indizierung von Ebenen und Richtungen im kubischen System nach MILLER 2a) Allgemeine Vorgehensweise bei der Indizierung von Ebenen. Bilden der in Vielfachen der Gitterparameter gemessenen Achsenabschnitte OX m a OY n b OZ p c 2. Beziehen der Achsenabschnitte auf die Gitterparameter OX a OY b OZ c Diese Größen werden in der Literatur auch als sog. Ableitungskoeffizienten bezeichnet. 3. Bilden der Reziprokwerte a h b c k l OX OY OZ 4. Bilden des kleinsten gemeinsamen Hauptnenners h 5. Weglassen des Hauptnenners k Miller`sche Indizes (h k l) l ur für den Übungs- und Vorlesungsgebrauch

2 Merke: beinhalten. Zu indizierende Ebenen dürfen nicht den Koordinatenursprung Abhilfe: Verschieben des Koordinatensystems 2b) Allgemeine Vorgehensweise bei der Indizierung von Richtungen Die Indizes entsprechen den Projektionen des Richtungsvektors auf die Koordinatenachsen. Indizes: [u v w] OX a OY b OZ c u a v b w c 2c) Allgemeine Vorgehensweise beim Einzeichnen der Ebenen. Gegeben: Millersche Indizierung für eine Ebene (h k l ) 2. Kehrwerte der Indizes bilden h ; k ; l O X a o ; O Y b ; O Z 3. Achsenabschnitte bilden durch Multiplikation mit den Gitterparameter OX h a ; OY b c ; OZ c k l 2d) Allgemeine Vorgehensweise beim Einzeichnen der Richtungen Abfahren der einzelnen Strecken in x-, y- und z-richtung OX a OY b OZ c u a v b w c ur für den Übungs- und Vorlesungsgebrauch 2

3 3 Allgemeine Vorgehensweise bei der Indizierung von Ebenen und Richtungen im hexagonalen System nach MILLER-BRAVAIS: 3a) Allgemeine Vorgehensweise bei der Indizierung von Ebenen: a) Miller`sche Indizes bestimmen. Achsenabschnitte: OX` 2. Ableitungskoeffizienten: m a, OY` n b, OZ` p c OX` a OY` b OZ` c 3. Kehrwerte: 4. Hauptnenner: a h`, b c k` l ` OX` OY` OZ` h k 5. Hauptnenner weglassen Miller`sche Indizes (h k l) nun zusätzlich: b) s-achse einführen vierter Index i, für den gelten muß: 6. i ( h + k) 7. Miller-Bravais`sche Indizes (h k i l) 3b) Allgemeine Vorgehensweise bei der Indizierung von Richtungen: l. Projektionen der Richtungsvektoren auf die Koordinatenachsen bilden: OX` u a OY` v b OZ` w c 2. Umrechnen der jeweiligen Projektionen auf das gewählte Achsensystem: U 3 ( 2 u v) V ( 2 v u) T ( u + v) W w 3 3 Indizierung nach Miller-Bravais: (U V T W): U+V+T muß erfüllt sein! ur für den Übungs- und Vorlesungsgebrauch 3

4 3c) Allgemeine Vorgehensweise beim Einzeichnen der Ebenen gegeben: Miller-Bravais`sche Indizes (h k i l). Kehrwerte der Indizes bilden: h k i l 2. Achsenabschnitte bilden durch Multiplikation mit den Gitterparametern: OX` h k a OY` b OZ` c einzeichnen! l 3d) Allgemeine Vorgehensweise beim Einzeichnen der Richtungen. Bestimmung der Miller`schen Indizes aus den Miller-Bravais-Indizes mit: u2u+v v2v+u ww 2. Abfahren der einzelnen Strecken in x-, y- und z-richtung 4 Kristallgeometrische Kenngrößen Zur Charakterisierung von Kristallgittern werden bestimmte kristallgeometrische Kenngrößen herangezogen: a) Koordinationszahl KZ: Zahl der zu einem beliebigen Atom des Raumgitters nächstliegenden achbaratome. b) Anzahl der Atome pro Elementarzelle u Zahl der zu einer Elementarzelle (EZ) gehörenden Atome, wobei nur der jeweils innerhalb dieser EZ liegende Volumenanteil zu berücksichtigen ist. (u entspricht nicht der Zahl der Atome, die eine EZ aufbauen!) c) Verhältnis des Atomkugelradius r zum Gitterparameter a o ur für den Übungs- und Vorlesungsgebrauch 4

5 d) Raumerfüllung RE: Verhältnis des von Atomkugeln ausgefüllten Volumens innerhalb einer EZ zum Gesamtvolumen dieser EZ RE u V Kugel. % V EZ e) Dichtest besetzte Richtung DBR: Richtung mit dem geringsten Leervolumenanteil in der Elementarzelle f) Dichtest besetzte Ebene DBE: Ebenschnitt mit dem geringsten Leervolumenanteil durch die Elementarzelle Belegungsdichte D E (meist der dichtest besetzten Ebene DBE) Verhältnis der Schnittflächen der Atomkugeln mit einer bestimmten Ebene zur Gesamtfläche dieser Ebene D E A A Schnitt Schnitt % g) Stapelfolge: Reihenfolge, in der die dichtest besetzten Ebenen übereinander gepackt sind Allgemeine Vorgehensweise zur Bestimmung der Stapelfolge:.) Einzeichnen der DBE 2.) von beliebigem Atom senkrechte Richtung bzw. ormale dazu einzeichnen 3.) auf Wiederholung des Atomaufbaus achten (mindestens 3 Folgen angeben) ur für den Übungs- und Vorlesungsgebrauch 5

6 5 Aufgaben: a) Ermitteln Sie für die krz und die hdp Gitterstruktur die o.g. kristallgeometrischen Kenngrößen. 5a I) kubisch raumzentriertes Gitter Bsp: Cr, Mo, α-fe, V, b, Ta, W a) Koordinationszahl KZ KZ b) Zahl der zu einer Elementarzelle gehörenden Atome u u ur für den Übungs- und Vorlesungsgebrauch 6

7 c) Verhältnis Atomkugelradius zu Gitterparameter d) Raumerfüllung RE u V RE V Kugel EZ ur für den Übungs- und Vorlesungsgebrauch 7

8 e) Dichtest besetzte Richtung DBR nach MILLER: [u v w] OX a u a OY b v b OZ c w c f) Dichtest besetzte Ebene DBE nach MILLER:. Achsenabschnitte (in Vielfachen der Gitterparameter) OX m a OY n b OZ p c 2. Beziehen der Achsenabschnitte auf die Gitterparameter OX a OY b OZ c 3. Bilden der Reziprokwerte a h OX b k OY c l OZ ur für den Übungs- und Vorlesungsgebrauch 8

9 4. Bilden des kleinsten gemeinsamen Hauptnenners h k l 5. Weglassen des Hauptnenners Miller`sche Indizes (h k l) g) Belegungsdichte D E D E h) Stapelfolge ur für den Übungs- und Vorlesungsgebrauch 9

10 5a II)hexagonales Gitter Bsp: Be, Mg, Zr, Co, Zn,... Schwerpunktmodell reales Modell a) Koordinationszahl KZ: ur für den Übungs- und Vorlesungsgebrauch

11 Vorgehensweise: Ausgehend von einem (beliebig gewählten) Zentralatom alle benachbarten Atome abzählen. hier geschickt: Zentralatom flächenzentriertes Atom der Stirnfläche achbarn: ) 2) 3) KZ b) Zahl der zu einer Elementarzelle gehörenden Atome u: ) 2) 3) u ur für den Übungs- und Vorlesungsgebrauch

12 c) Verhältnis des Atomradius zum Gitterparameter r a : r a d) Raumerfüllung RE: per Definition: RE Kugelvolumen EZ Volumen u V V Kugel EZ bekannt: u 6 [aus b)] V 4 π 3 3 Kugel r unbekannt: V EZ? Berechnung des Volumens der Elementarzelle: V EZ Grundzelle * Höhe. Schritt: Berechnung der Grundfläche 6 * Fläche eines gleichseitigen Dreiecks ur für den Übungs- und Vorlesungsgebrauch 2

13 2. Schritt: Berechnung der Höhe der Elementarzelle (Berechnung auf Extrablatt!) e) Dichtest besetzte Richtung: Diagonalen in der Basisebene bzw. Stirnebene ur für den Übungs- und Vorlesungsgebrauch 3

14 Inidizierung der dichtest besetzten Richtung (DBR). Vorgehensweise: a) Projektionen auf Koordinatenachsen bilden: X Y Z MILLER`sche Indizes b) Umrechnung: U ( u v) 3 2 V ( v u) 3 2 T ( u + v) 3 W w MILLER - BRAVAIS`sche Indizes: Familie: ur für den Übungs- und Vorlesungsgebrauch 4

15 2. Vorgehensweise: Zur DBR senkrechte Ebene einzeichnen und indizieren, da Ebenen und Richtungen gleicher Indizierung senkrecht aufeinander stehen. a) Projektionen: X Y Z OX ` OY ` OZ` b) Ableitungskoeffizienten:,, a b c a c) Kehrwerte: h` OX`, b k` OY` c l` OZ` d) Hauptnenner: h k l e) MILLER`sche Indizes: Hauptnenner weglassen Miller`sche Indizes (h k l) f) Umrechnung: i ( h + k) g) MILLER-BRAVAIS`sche Indizes: (h k i l) Familie: ur für den Übungs- und Vorlesungsgebrauch 5

16 f) Dichtest besetzte Ebene DBE: Schnitt durch EZ mit geringstem Leervolumen nach MILLER-BRAVAIS: g) Belegungsdichte D E der DBE: Verhältnis der Atomkugel-Querschnittsflächen zur Gesamtfläche der Ebene Fläche der DBE: A DBE A [aus d)] Schnittfläche : A schnitt ASchnitt D E A Ebene h) Stapelfolge: Reihenfolge, in der die DBE übereinander gepackt sind.) ( ) - Ebene einzeichnen 2.) Senkrechte dazu einzeichnen 3.) auf Wiederholung achten ur für den Übungs- und Vorlesungsgebrauch 6

17 5b) Charakterisieren Sie reale Metalle mit hexagonaler Gitterstruktur hinsichtlich der Packungsdichte und der DBE / DBR im Vergleich zur idealen hdp Struktur Abschließende Bemerkung zu den Gitterparametern im hdp Gitter beim hdp - Gitter 2 Gitterparameter a und c (c Höhe der EZ) Berechnung aus a2, Punkt d) (Bestimmung der Raumerfüllung) d.h.: c Beziehung zwischen a und c :,633 a bei diesem Verältnis liegen die Mittenatome gerade auf den Atomen der Basiseben EZ ist am dichtesten gepackt atur idealer Zustand (aufgrund der realen Strukturen in der nicht erreicht) Beispiele: Metalle Be α-ti Mg Co ideal Zn Cd c a bei c a >,633 bei c a <,633 ur für den Übungs- und Vorlesungsgebrauch 7

18 5c) Vergleichen Sie das hdp Gitter mit dem kfz Gitter hinsichtlich der DBE und der Stapelfolge DBE: Stapelfolge: ur für den Übungs- und Vorlesungsgebrauch 8