II Vektorrechnung. 1 Grundbegriffe. 1.1 Vektoren und Skalare. 1.2 Spezielle Vektoren

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1 46 II Vektorrechnung Grundegriffe. Vektoren und Sklre Vektoren sind gerichtete Größen, die durch eine Mßzhl und eine Richtung vollständig eschrieen und in symolischer Form durch einen Pfeil drgestellt werden (Bild )). Die Länge des Pfeils heißt Betrg j~ j ¼ des Vektors ~, die Pfeilspitze legt die Richtung (Orientierung) des Vektors fest. = Q ) ) P = PQ Ein Vektor ~ lässt sich uch eindeutig durch einen Anfngs- und Endpunkt festlegen: ~ ¼ ƒ! PQ (Bild )). Bei einer physiklisch-technischen Vektorgröße gehört zur vollständigen Beschreiung noch die Ange der Mßeinheit. Sklre dgegen sind Größen ohne Richtungseigenschft. Sie sind durch Ange einer Mßzhl (zw. einer Mßzhl und einer Mßeinheit) eindeutig eschrieen. In den Anwendungen unterscheidet mn:. Freie Vektoren: Sie dürfen prllel zu sich selst verschoen werden.. Linienflüchtige Vektoren: Sie sind längs ihrer Wirkungslinie verschier. 3. Geundene Vektoren: Sie werden von einem festen Punkt us getrgen.. Spezielle Vektoren Nullvektor ~: Vektor der Länge (seine Richtung ist unestimmt) Einheitsvektor ~e: Vektor der Länge ƒ! Ortsvektor ~r ðpþ ¼ OP : Vom Nullpunkt O zum Punkt P gerichteter Vektor Springer Fchmedien Wiesden GmH 7 L. Ppul, Mthemtische Formelsmmlung, DOI.7/ _

2 Grundegriffe 47.3 Gleichheit von Vektoren Zwei Vektoren heißen gleich, wenn sie sich durch Prllelverschieung zur Deckung ringen lssen. Sie stimmen in Betrg und Richtung und somit uch in ihren Komponenten üerein (siehe II..). ~ ¼ ~, x ¼ x ; y ¼ y ; z ¼ z x ; y ; z : Sklre Komponenten von ~ x ; y ; z : Sklre Komponenten von ~.4 Kollinere, prllele und ntiprllele Vektoren, inverser Vektor Kollinere Vektoren lssen sich stets durch Prllelverschieung in eine gemeinsme Linie ringen (Bild )). Prllele Vektoren hen gleiche Richtung (Bild )). Symolische Schreiweise: ~ " " ~ : Antiprllele Vektoren hen entgegengesetzte Richtung (Bild c)). Symolische Schreiweise: ~ " # ~. ) ) c) d) Prllele zw. nti-prllele Vektoren sind demnch kolliner. Zu jedem Vektor ~ git es einen inversen oder Gegenvektor ~ (Bild d)). Er entsteht us dem Vektor ~ durch Richtungsumkehr. Die Vektoren ~ und ~ sind somit gleichlng, ihre Komponenten unterscheiden sich lediglich im Vorzeichen.

3 48 II Vektorrechnung Komponentendrstellung eines Vektors. Komponentendrstellung in einem krtesischen Koordintensystem Die Einheitsvektoren ~e x ; ~e y und ~e z, uch Bsisvektoren gennnt, stehen prweise senkrecht ufeinnder und ilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (rechtshändiges System), d. h. sie hen diesele Orientierung wie Dumen, Zeige- und Mittelfinger der rechten Hnd (Bild )). Sttt ~e x ; ~e y ; ~e z verwendet mn uch die Symole ~e ; ~e ; ~e 3 oder ~i; ~j; ~k. z z z e z P e x e y y y y x x ) ) x In diesem System esitzt ein Vektor ~ die folgende Komponentendrstellung (Bild )) Þ : ~ ¼ ~ x þ ~ y þ ~ z ¼ x ~e x þ y ~e y þ z ~e z y A z ~ x ; ~ y ; ~ z : Vektorkomponenten von ~ x ; y ; z : Vektorkoordinten oder sklre Vektorkomponenten von ~ y A: Schreiweise in Form eines sog. Spltenvektors z Schreiweise ls Zeilenvektor: ~ ¼ ð x y z Þ x. Komponentendrstellung spezieller Vektoren ƒƒ! ƒƒ! Vektor P P : P P ¼ ðx x Þ~e x þ ðy y Þ~e y þ ðz z Þ~e z ¼ Ortsvektor von P: Þ ƒ! ~r ðpþ ¼ OP ¼ x~ex þ y~e y þ z~e z ¼ Bei eenen Vektoren verschwindet die dritte Komponente. y A z x y y A z z

4 Komponentendrstellung eines Vektors 49 Nullvektor: ~ ¼ ~e x þ ~e y þ ~e z A Bsisvektoren: ~e x ¼ ~e x þ ~e y þ ~e z A ; nlog: ~e y A ; ~e z A.3 Betrg und Richtungswinkel eines Vektors Betrg (Länge) eines Vektors j~ j ¼ ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ y þ z ¼ p ~ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ~ ðj~ j Þ Richtungswinkel eines Vektors (Richtungskosinus) Für die Richtungswinkel ; und g, die der Vektor ~ 6¼ ~ mit den drei Koordintenchsen (Bsisvektoren) ildet, gelten folgende Beziehungen: z cos ¼ x j~ j ; cos ¼ y j~ j ; cos g ¼ z j~ j g y cos þ cos þ cos g ¼ x Hinweis: Für den Nullvektor ~ lssen sich keine Richtungswinkel ngeen. Umgekehrt lssen sich die Vektorkoordinten us dem Betrg und den drei Richtungswinkeln (Richtungskosinus) des Vektors erechnen: x ¼ j~ j cos ; y ¼ j~ j cos ; z ¼ j ~ j cos g Wir erechnen den Betrg und die drei Richtungswinkel des Vektors ~ ¼ 4~e x ~e y þ 5~e z : qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p j ~ j ¼ 4 þ ð Þ þ 5 ¼ ffiffiffiffiffi 4 45 ¼ 6;7 ; cos ¼ p ffiffiffiffiffi ¼ ;5963 ) ¼ 53;4 45 cos ¼ p ffiffiffiffiffi ¼ ;98 ) ¼ 7;3 ; cos g ¼ p 5 ffiffiffiffiffi ¼ ;7454 ) g ¼ 4; Kontrolle: cos þ cos þ cos g ¼ ;5963 þ ð ;98Þ þ ;7454 ¼

5 5 II Vektorrechnung 3 Vektoropertionen 3. Addition und Sutrktion von Vektoren Geometrische Drstellung Addition und Sutrktion zweier Vektoren erfolgen nch der Prllelogrmmregel. Summenvektor ~s ¼ ~ þ ~ d s Differenzvektor ~d ¼ ~ ~ Differenzvektor: Zu ~ wird der inverse Vektor von ~ ddiert: ~d ¼ ~ ~ ¼ ~ þ ~. Die Addition mehrerer Vektoren erfolgt nch der Polygonregel (Vektorpolygon). ~s ¼ ~ þ ~ þ ~ 3 þ... þ ~ n Hinweis: Ds Vektorpolygon liegt i. Allg. nicht in einer Eene. n Summenvektor s 3 Komponentendrstellung Addition und Sutrktion zweier Vektoren erfolgen komponentenweise: x x x x ~ ~ y y A y y A z z z z Rechenregeln Kommuttivgesetz ~ þ ~ ¼ ~ þ ~ Assozitivgesetz ~ þ ~ þ ~c ¼ ~ þ ~ þ ~c

6 3 Vektoropertionen 5 3. Multipliktion eines Vektors mit einem Sklr Geometrische Drstellung l~: Vektor mit der Länge j l j j~ j und der Richtung oder Gegenrichtung des Vektors ~: l l > : l~ " " ~ für l < : l~ " # ~ l ¼ : l~ ¼ ~ l = l (Skizze: l > ) Komponentendrstellung Die Multipliktion eines Vektors mit einem reellen Sklr erfolgt komponentenweise: x l x l~ ¼ y A l y A z l z ðl RÞ Rechenregeln Assozitivgesetz Distriutivgesetze 9 lðm~ Þ ¼ mðl~ Þ ¼ ðl mþ ~ >= l ~ þ ~ ¼ l~ þ l ~ >; l; m R ðl þ mþ~ ¼ l~ þ m~ Normierung eines Vektors Für den in Richtung des Vektors ~ 6¼ ~ weisenden Einheitsvektor ~e gilt: ~e ¼ ~ j~ j ¼ x =j~ j B y =j ~ j A ; j~e j ¼ z =j~ j e = 3.3 Sklrprodukt (inneres Produkt) Definition eines Sklrproduktes Ds Sklrprodukt ~ ~ zweier Vektoren ~ und ~ ist der wie folgt definierte Sklr: ~ ~ ¼ j ~ j ~ cos j j: Winkel zwischen den eiden Vektoren mit j 8 f (Skizze: j~ j > )

7 5 II Vektorrechnung Sklrprodukt in der Komponentendrstellung x x ~ ~ y y A ¼ x x þ y y þ z z z z Regel: Komponentenweise multiplizieren, die Produkte ufddieren. Sonderfälle () ~ ~ ¼ x þ y þ z ¼ j ~ j ( j~ j ~ ) () ~ ~ ¼ j~ j ~ " " ~ für ~ ~ " # ~ (3) Die Einheitsvektoren ~e x ; ~e y ; ~e z ilden eine orthonormierte Bsis Þ : ~e x ~e x ¼ ~e y ~e y ¼ ~e z ~e z ¼ ; ~e x ~e y ¼ ~e y ~e z ¼ ~e z ~e x ¼ Rechenregeln Kommuttivgesetz ~ ~ ¼ ~ ~ Distriutivgesetz ~ ~ þ ~c ¼ ~ ~ þ ~ ~c Assozitivgesetz l ~ ~ ¼ ðl~ Þ ~ ¼ ~ l ~ ðl RÞ Schnittwinkel zweier Vektoren Den Schnittwinkel j zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren ~ und ~ erechnet mn us der folgenden Gleichung ð j 8 Þ: cos j ¼ ~ ~ j ~ j ~ ¼ q x x þ y y þ z z q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ y þ z ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ y þ z cos j ¼ ) rechter Winkel cos j > ) spitzer Winkel ðstrumpfer Winkel ei cos j < Þ Wir estimmen den Schnittwinkel j der Vektoren j ~ j ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ þ ð 3Þ ¼ p ffiffiffiffiffi 4 ; ~ ¼ ~ A und 3 5 ~ A: 5 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5 þ ð Þ þ ð 5Þ ¼ p ffiffiffiffiffi 5 5 ~ ~ A ¼ 5 þ 5 ¼ 8 ; cos j ¼ ~ ~ j~ j j ~ ¼ pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi ¼ ;6736 ) j 4 5 j ¼ rccos ;6736 ¼ 47;7 Þ Orthonormierte Vektoren sind Einheitsvektoren, die prweise ufeinnder senkrecht stehen.

8 3 Vektoropertionen 53 Orthogonlität zweier Vektoren Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren ~ und ~ stehen genu dnn senkrecht ufeinnder, wenn ihr Sklrprodukt verschwindet: ~ ~ ¼, ~? ~ (orthogonle Vektoren) Projektion eines Vektors uf einen zweiten Vektor Durch Projektion des Vektors ~ uf den Vektor ~ 6¼ ~ entsteht der folgende Vektor (Komponente von ~ in Richtung von ~ Þ:! ~ ¼ ~ ~ j~ j ~ ¼ ~ ~e ~e ~e : Einheitsvektor in Richtung von ~ mit ~e ¼ ~ j~ j f 3.4 Vektorprodukt (äußeres Produkt, Kreuzprodukt) Definition eines Vektorproduktes Ds Vektorprodukt ~c ¼ ~ ~ zweier Vektoren ~ und Vektor ~c mit den folgenden Eigenschften: () j~c j ¼ j~ j ~ sin j () ~c? ~ und ~c? ~ ð~c ~ ¼ ~c ~ ¼ Þ (3) ~; ~; ~c : Rechtssystem ~ ist der eindeutig estimmte c = f j: Winkel zwischen den Vektoren ~ und ~ mit j 8 Geometrische Deutung: Der Betrg des Vektorproduktes ~c ¼ ~ ~ ist gleich dem Flächeninhlt des von den Vektoren ~ und ~ ufgespnnten Prllelogrmms: A Prllelogrmm ¼ j~c j ¼ ~ ~ ¼ j ~ j ~ sin j ð j 8 Þ Ds Vektorprodukt ~c ¼ ~ ~ steht senkrecht uf der Prllelogrmmfläche.

9 54 II Vektorrechnung Vektorprodukt in der Komponentendrstellung x x y z z y ~ ~ y y A z x x z A z z x y y x Anmerkung Durch zyklisches Vertuschen der Indizes erhält mn us der ersten Komponente die zweite und us dieser schließlich die dritte Komponente. Wir erechnen mit Hilfe des Vektorproduktes den Flächeninhlt A des von den Vektoren ~ 5 A ufgespnnten Prllelogrmms: ~ ~ 4 5 A ð Þ 3 A 3 A 3 A ) ð Þ 5 þ 8 3 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi A ¼ ~ ~ ¼ þ ð 3Þ þ 3 ¼ 7;94? y x i z 7 ~ 4 A und Vektorprodukt in der Determinntenschreiweise ~e x ~e y ~e z ~ ~ ¼ x y z x y z Die dreireihige Determinnte lässt sich forml nch der Regel von Srrus erechnen (siehe VII..). Sonderfälle () Für kollinere Vektoren ist ~ ~ ¼ ~ und umgekehrt (entrtetes Prllelogrmm). () ~ ~ ¼ ~ (3) Für die Einheitsvektoren ~e x ; ~e y ; ~e z gilt (sie ilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem): ~e x ~e x ¼ ~e y ~e y ¼ ~e z ~e z ¼ ~ e z ~e x ~e y ¼ ~e z ; ~e y ~e z ¼ ~e x ; ~e z ~e x ¼ ~e y e x e y

10 3 Vektoropertionen 55 Rechenregeln Antikommuttivgesetz ~ ~ ¼ ~ ~ Distriutivgesetze ~ ~ þ ~c ¼ ~ ~ þ ~ ~c ~ þ ~ ~c ¼ ~ ~c þ ~ ~c Assozitivgesetz l ~ ~ ¼ ðl~þ ~ ¼ ~ l ~ ðl RÞ Kollinere Vektoren Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren ~ und ~ sind genu dnn kolliner, wenn ihr Vektorprodukt verschwindet: ~ ~ ¼ ~, ~ " " ~ oder ~ " # ~ (kollinere Vektoren) 3.5 Sptprodukt (gemischtes Produkt) Definition eines Sptproduktes Ds Sptprodukt ~ ~ ~c dreier Vektoren ~; ~ und ~c ist ds sklre Produkt us den Vektoren ~ und ~ ~c : ~ ~ ~c ¼ ~ ~ ~c c Ds Sptprodukt ~ ~ ~c ist positiv, wenn die Vektoren ~; ~ und ~c in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem ilden, sonst negtiv. Geometrische Deutung: Der Betrg des Sptproduktes ~ ~ ~c ist ds Volumen des von den Vektoren ~; ~ und ~c ufgespnnten Spts (uch Prllelepiped gennnt): V Spt ¼ ~ ~ ~c Sptprodukt in der Komponentendrstellung ~ ~ ~c ¼ x ð y c z z c y Þ þ y ð z c x x c z Þ þ z ð x c y y c x ) Sptprodukt in der Determinntenschreiweise x y z ~ ~ ~c ¼ x y z c x c y c z

11 56 II Vektorrechnung Rechenregeln () ~; ~ und ~c dürfen zyklisch vertuscht werden: ~ ~ ~c ¼ ~ ~c ~ ¼ ~c ~ ~ () Vertuschen zweier Vektoren ewirkt einen Vorzeichenwechsel des Sptproduktes: z. B. ~ ~ ~c ¼ ~ ~c ~ (die Vektoren ~ und ~c wurden vertuscht) Komplnre Vektoren Drei Vektoren sind genu dnn komplnr, wenn ihr Sptprodukt verschwindet: ~ ~ ~c ¼, ~; ~; ~c sind komplnr (d. h. sie liegen in einer Eene) Ds Sptprodukt der Vektoren ~ 4 A; ~ A und ~c 5 A 6 4 verschwindet: 4 ~ ~c ~ ¼ 4 ¼ 6 þ 8 8 þ 8 þ þ 48 ¼ ) ~; ; ~ ~c sind komplnr Formeln für Mehrfchprodukte () Entwicklungssätze: ~ ~ ~c ¼ ð~ ~c Þ ~ ~ ~ ~c ~ ~ ~c ¼ ð~ ~c Þ ~ ~ ~c ~ () ~ ~ ~c ~d ¼ ð~ ~c Þ ~ ~d ~ ~d ~ ~c Spezilfll ~c ¼ ~; ~d ¼ ~: ~ ~ ~ ~ ¼ ð~ ~Þ ~ ~ ~ ~ 4 Anwendungen 4. Areit einer konstnten Krft Eine konstnte Krft ~F verrichtet eim Verschieen eines Mssenpunktes m um den Vektor ~s die folgende Areit ( Sklrprodukt us Krft- und Verschieungsvektor): W ¼ ~F ~s ¼ j ~F j j~sj cos j ¼ F s s F F s : s ¼ j~s j: Krftkomponente in Wegrichtung Verschieung m f F s s

12 4 Anwendungen Vektorielle Drstellung einer Gerden 4.. Punkt-Richtungs-Form In der Prmeterdrstellung Gegeen: Ein Punkt P uf der Gerden g mit dem Ortsvektor ~r und ein Richtungsvektor ~ der Gerden r P ~r ðlþ ¼ ~r þ l~ l P r ( l) g l: Prmeter; l R; ~ 6¼ ~ Die Vektorgleichung der durch den Punkt P ¼ ð; ; 5Þ verlufenden Gerden mit dem Richtungsvektor ~ 4 A lutet: þ l ~r ðlþ ¼ ~r þ l~ A þ 4 A 4l A ðl RÞ 5 5 þ l In der Determinntenschreiweise ~e x ~e y ~e z x y z x x y y z z ¼ ~e x ; ~e y ; ~e z : Einheitsvektoren (Bsisvektoren) x ; y ; z : Sklre Vektorkomponenten des Richtungsvektors ~ x ; y ; z : Koordinten des festen Punktes P der Gerden x; y; z: Koordinten des lufenden Punktes P der Gerden 4.. Zwei-Punkte-Form Gegeen: Zwei verschiedene Punkte P und P uf der Gerden g mit den Ortsvektoren ~r und ~r P r r r P ƒƒ! ~r ðlþ ¼ ~r þ l P P ¼ ~r þ lð~r ~r Þ l: Prmeter; l R ~r ~r : Richtungsvektor der Gerden r l ( r r ) P r ( l) g

13 58 II Vektorrechnung Die Vektorgleichung der Gerden durch die eiden Punkte P ¼ ð ; 5; Þ und P ¼ ð; 3; Þ lutet: þ þ l ~r ðlþ ¼ ~r þ lð~r ~r Þ 5 A þ 3 5 A 5 8 l A ðl RÞ l 4..3 Astnd eines Punktes von einer Gerden Gegeen: Eine Gerde g mit der Gleichung ~r ðlþ ¼ ~r þ l~ und ein Punkt Q mit dem Ortsvektor ~r Q r P r Q Q d ¼ j~ ð~r Q ~r Þj j~j g d ~: Richtungsvektor der Gerden d ¼ ) Q liegt uf der Gerden. Wir erechnen den Astnd d des Punktes Q ¼ ð; 5; 3Þ von der Gerden mit der Vektorgleichung ~r ðlþ ¼ ~r þ l ~ A þ l@ 3 A: ~ ð~r Q ~r Þ 3 5 A 3 4 A þ A A j~ ð~r Q ~r Þj ¼ d ¼ j~ ð~r Q ~r Þj j~j qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð 7Þ þ þ 8 ¼ pffiffiffiffiffiffiffi 357 ¼ pffiffiffiffiffi ¼ 3; Astnd zweier prlleler Gerden Gegeen: Zwei prllele Gerden g und g mit den Gleichungen ~r ðl Þ ¼ ~r þ l ~ und ~r ðl Þ ¼ ~r þ l ~ p ffiffiffiffiffiffiffi 357 ; j~j ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ ð 3Þ þ 5 ¼ r P p ffiffiffiffiffi 38 P r d g d ¼ j~ ð~r ~r Þj j~ j g Die Gerden g und g mit den Richtungsvektoren ~ und ~ sind genu dnn prllel, wenn die eiden Richtungsvektoren kolliner sind, d. h. ~ ~ ¼ ~ ist. In der Astndsformel drf der Vektor ~ durch den Vektor ~ ersetzt werden. d ¼ ) Die Gerden g und g fllen zusmmen.

14 4 Anwendungen 59 P ¼ ð; ; 5Þ ist ein Punkt der Gerden g ; P ¼ ð; ; Þ ein solcher der Gerden g. Der gemeinsme Richtungsvektor ist ~ ¼ ~ A. Wir estimmen den Astnd d dieser prllelen Gerden: 4 6 ~ ð~r ~r Þ A A þ 8 A 7 A þ 5 j~ ð~r ~r Þj ¼ d ¼ j~ ð~r ~r Þj j~ j qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð 6Þ þ 7 þ 5 ¼ pffiffiffiffiffiffiffi ¼ pffiffiffi ¼ 4;8 6 p ffiffiffiffiffiffiffi ; j~ j ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ þ ¼ p ffiffi Astnd zweier windschiefer Gerden Gegeen: Zwei windschiefe Gerden g und mit den Gleichungen g ~r ðl Þ ¼ ~r þ l ~ und ~r ðl Þ ¼ ~r þ l ~ d ¼ j½~ ~ ð~r ~r ÞŠj j~ ~ j P g r d P g Die Gerden g und g sind genu dnn windschief (d. h. nicht prllel und kommen nicht zum Schnitt), wenn die Bedingungen ~ ~ 6¼ ~ und ½~ ~ ð~r ~r ÞŠ 6¼ erfüllt sind. r 5 ~r ðl Þ ¼ ~r þ l ~ A þ A und 3 sind die Gleichungen zweier windschiefer Gerden g ~r ðl Þ ¼ ~r þ l ~ 3 A þ A und g, deren Astnd d wir erechnen wollen: 3 3 ½~ ~ ð~r ~r ÞŠ ¼ 3 ð 5Þ ð Þ ð Þ ¼ ¼ ¼ 3 7 þ 8 þ 3 þ 3 ¼ ~ ~ A 9 A 8 A ; 3 3 j~ ~ j ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ð 5Þ þ 8 þ ð Þ ¼ ffiffiffiffiffi 9 d ¼ j½~ ~ ð~r ~r ÞŠj j~ ~ j ¼ j 8j pffiffiffiffiffi ¼ ;843 9

15 6 II Vektorrechnung 4..6 Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Gerden Unter dem Schnittwinkel j zweier Gerden versteht mn den Winkel zwischen den zugehörigen Richtungsvektoren (uch dnn, wenn sich die Gerden nicht schneiden). Gegeen: Zwei Gerden g und g mit den Richtungsvektoren ~ und ~ ~ ~ j ¼ rccos j~ j j~ j g f g Die Gerden g : ~r ¼ ~r þ l ~ und g : ~r ¼ ~r þ l ~ schneiden sich genu dnn in einem Punkt, wenn die Bedingungen ~ ~ 6¼ ~ und [~ ~ ð~r ~r ÞŠ ¼ erfüllt sind. Ihren Schnittpunkt S erhält mn durch Gleichsetzen der eiden Ortsvektoren: ~r þ l ~ ¼ ~r þ l ~ Diese Vektorgleichung führt (komponentenweise geschrieen) zu einem lineren Gleichungssystem mit drei Gleichungen und den eiden Uneknnten l und l. Die (eindeutige) Lösung liefert die zum Schnittpunkt S gehörigen Prmeterwerte. Den Ortsvektor ~r S des gesuchten Schnittpunktes S erhält mn dnn durch Einsetzen des Prmeterwertes l in die Gleichung der Gerden g (lterntiv: l in die Gleichung der Gerden g einsetzen). Die eiden Gerden g und g mit den Richtungsvektoren ~ 3 A und sich unter dem folgenden Winkel: ~ ~ B 3 þ 5 þ ð Þ 3 C j ¼ rccos ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi j~ j j~ j 3 þ þ ð Þ þ 5 þ 3 ~ 5 A schneiden 3 A ¼ rccos ;68 ¼ 77;5 4.3 Vektorielle Drstellung einer Eene 4.3. Punkt-Richtungs-Form In der Prmeterdrstellung Gegeen: Ein Punkt P der Eene E mit dem Ortsvektor ~r und zwei nichtkollinere Richtungsvektoren ~ 6¼ ~ und ~ 6¼ ~ der Eene ~r ðl; mþ ¼ ~r þ l~ þ m ~ m P r l P r ( l; m) E l; m: Prmeter; l; m R ~ ~: Normlenvektor der Eene

16 4 Anwendungen 6 8 Eine Eene E enthlte den Punkt P ¼ ð; 3; 5Þ und esitze die eiden Richtungsvektoren ~ A 3 und ~ A. Ihre Vektorgleichung lutet dnn: 4 8 þ 8 l þ m ~r ðl; mþ ¼ ~r þ l ~ þ m ~ 3 A þ l@ A þ m@ A 3 þ l m A ðl; m RÞ þ 3 l þ 4 m In der Determinntenschreiweise x y z x y z ¼ x x y y z z ) x ; y ; z : Sklre Vektorkomponenten der Richtungsvektoren ~ und ~ x ; y ; z : x ; y ; z : Koordinten des festen Punktes P der Eene x; y; z: Koordinten des lufenden Punktes P der Eene 4.3. Drei-Punkte-Form In der Prmeterdrstellung Gegeen: Drei verschiedene Punkte P ; P und P 3 der Eene E mit den Ortsvektoren ~r ; ~r und ~r 3 ƒƒ! ƒƒ! ~r ðl; mþ ¼ ~r þ l P P þ m P P 3 ¼ ¼ ~r þ lð~r ~r Þ þ mð~r 3 ~r Þ l; m: Prmeter; l; m R Die Eene ist eindeutig estimmt, wenn die drei Punkte nicht in einer Gerden liegen. Dies ist der Fll, wenn ð~r ~r Þ ð~r 3 ~r Þ 6¼ ~ ist. Die Vektoren ~r ~r und ~r 3 ~r sind Richtungsvektoren, ihr Vektorprodukt somit ein Normlenvektor der Eene. r 3 r P 3 r 3 P r ( l; m) P P r r r r E Die Gleichung der Eene durch die drei Punkte P ¼ ð; ; Þ; P ¼ ð; 4; 5Þ und P 3 ¼ ð 3; 4; 9Þ lutet wie folgt: 3 ~r ðl; mþ ¼ ~r þ lð~r ~r Þ þ mð~r 3 ~r Þ A þ 4 A þ 5 4 A ¼ 9 4 l 4 m A þ 3 A þ 3 A þ 3 l þ 3 m A ðl; m RÞ l þ 7 m

17 6 II Vektorrechnung In der Determinntenschreiweise x y z x y z x y z x 3 y 3 z 3 ¼ x i ; y i ; z i : Koordinten des festen Punktes P i der Eene ði ¼ ; ; 3Þ x; y; z: Koordinten des lufenden Punktes der Eene Eene senkrecht zu einem Vektor Gegeen: Ein Punkt P der Eene E mit dem Ortsvektor ~r und ein Normlenvektor ~n der Eene (steht senkrecht uf der Eene) ~n ð~r ~r Þ ¼ oder ~n ~r ¼ ~n ~r n P r r r P r E Koordintendrstellung der Eene: x þ y þ c z þ d ¼ Die Gleichung einer Eene durch den Punkt P ¼ ð; 3; Þ und senkrecht zum Vektor ~n A (Normlenvektor) lutet wie folgt: 5 x ~n ð~r ~r Þ y þ 3 A¼ ðx Þ þ ðy þ 3Þ þ 5ðz Þ ¼ ) 5 z x þ y þ 5z ¼ Astnd eines Punktes von einer Eene Gegeen: Eine Eene E mit der Gleichung ~n ð~r ~r Þ ¼ und ein Punkt Q mit dem Ortsvektor ~r Q r Q Q d ¼ j~n ð~r Q ~r Þj j~nj Q : Fußpunkt des Lotes von Q uf die Eene E d ¼ ) Q liegt in der Eene. n P r d Q' E

18 4 Anwendungen 63 Eine Eene verläuft durch den Punkt P ¼ ð3; ; 8Þ und steht senkrecht zum Vektor ~n 5 A : Wir erechnen den Astnd d des Punktes Q ¼ ð; ; Þ von dieser Eene: 3 3 ~n ð~r Q ~r Þ 5 A 5 A ¼ þ 5 4 ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p j~n j ¼ ð Þ þ 5 þ 3 ¼ ffiffiffiffiffi j~n ð~r Q ~r Þj j 7j 35 ; d ¼ ¼ pffiffiffiffiffi ¼ ;874 j~n j Astnd einer Gerden von einer Eene Gegeen: Eine Eene E mit der Gleichung ~n ð~r ~r Þ ¼ und eine zu dieser Eene prllele Gerde g mit der Gleichung ~r ðlþ ¼ ~r þ l~ P r d g d ¼ j~n ð~r ~r Þj j~nj Eine Gerde mit dem Richtungsvektor ~ verläuft genu dnn prllel zu einer Eene mit dem Normlenvektor ~n, wenn ds Sklrprodukt ~ ~n verschwindet. Die Gerde g* liegt in der Eene E und verläuft prllel zur Gerden g. n P r g* Prllele zu g E d ¼ ) Gerde g liegt in der Eene E. Die Eene E verlufe durch den Punkt P ¼ ð; 3; Þ und senkrecht zum Vektor ~n A ; die 5 Gerde g gehe durch den Punkt P ¼ ð; 7; 3Þ und esitze den Richtungsvektor ~ A : Wegen ~ ~n A ¼ 4 þ 5 ¼ 5 gilt g k E. Wir erechnen den Astnd d zwischen Gerde und Eene: ~n ð~r ~r Þ 7 3 A 4 A ¼ 4 5 ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p j~n j ¼ þ ð Þ þ 5 ¼ ffiffiffiffiffi j~n ð~r ~r Þj j 3j 3 ; d ¼ ¼ pffiffiffiffiffi ¼ 5;66 j~n j 3

19 64 II Vektorrechnung Astnd zweier prlleler Eenen Gegeen: Zwei prllele Eenen E und E mit den Gleichungen n Q ~n ð~r ~r Þ ¼ und ~n ð~r ~r Þ ¼ P r d E d ¼ j~n ð~r ~r Þj j~n j ¼ j~n ð~r ~r Þj j~n j P n Q' r E Q : Belieiger Punkt der Eene E Q : Fußpunkt des Lotes von Q uf die zweite Eene E Zwei Eenen sind genu dnn prllel, wenn ihre Normlenvektoren ~n und ~n kolliner sind, d. h. ~n ~n ¼ ~ ist. d ¼ ) Die eiden Eenen fllen zusmmen. Gegeen sind zwei Eenen E und E mit den folgenden Eigenschften: Eene E : P ¼ ð3; ; Þ, B C Normlenvektor ~n A 4 4 Eene E : P ¼ ð 4; 3; Þ, B Normlenvektor ~n C A 8 Die Eenen sind prllel, d ~n ¼ ~n und somit ~n ~n ¼ ~ ist: 4 B C B C ~n A A ¼ ~n ) ~n ~n ¼ ~n ð ~n Þ ¼ ð~n ~n Þ ¼ ~ fflfflfflffl{zfflfflfflffl} 8 4 ~ {z} ~n Wir erechnen den Astnd d der Eenen: 3 þ 4 7 B C B C B C B C ~n ð~r ~r Þ 3 A A ¼ 4 þ 8 ¼ j~n j ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p þ ð Þ þ 4 ¼ ffiffiffiffiffi d ¼ j~n ð~r ~r Þj j~n j ¼ p 8 ffiffiffiffiffi ¼ ;746

20 4 Anwendungen Schnittpunkt und Schnittwinkel einer Gerden mit einer Eene Gegeen: Eine Gerde g mit der Gleichung ~r ðlþ ¼ ~r þ l~ und eine Eene E mit der Gleichung ~n ð~r ~r Þ ¼ g Ortsvektor des Schnittpunktes S: ~r S ¼ ~r þ ~n ð~r ~r Þ ~n ~ Schnittwinkel j: j~n ~ j j ¼ rcsin j~n j j~ j ~ r n P r P g r s n S f E Eine Gerde mit dem Richtungsvektor ~ und eine Eene mit dem Normlenvektor ~n kommen genu dnn zum Schnitt, wenn ~n ~ 6¼ ist. Gegeen sind eine Gerde g und eine Eene E: 3 x g: ~r ðlþ ¼ ~r þ l~ A þ 4 A ; E : ~n ð~r ~r Þ y A ¼ 5 z Wir erechnen den Schnittpunkt S sowie den Schnittwinkel j. Schnittpunkt S: ~n ð~r ~r Þ A A ¼ þ 3 ¼ ~n ~ 4 A ¼ 6 4 ¼ 6¼ ) Gerde und Eene schneiden sich ~r S ¼ ~r þ ~n ð~r ~r Þ ~ A þ A A 4@ 4 A A 6 A ¼ ~n ~ þ 6 A 6 A ) S ¼ ð ; 6; 9Þ 5 þ 4 9 Schnittwinkel j: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p j~n j ¼ þ þ ¼ ffiffiffi 6 ; j ¼ rcsin j~n ~ j j~n j j~ j j~j ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 3 þ ð 4Þ þ ð Þ ¼ ffiffiffiffiffi 6 ¼ rcsin pffiffi pffiffiffiffiffi ¼ rcsin ;8 ¼ 4;6 6 6

21 66 II Vektorrechnung Schnittwinkel zweier Eenen Unter dem Schnittwinkel j zweier Eenen versteht mn den Winkel zwischen den zugehörigen Normlenvektoren der eiden Eenen. E Gegeen: Zwei Eenen E und E mit den Normlenvektoren ~n und ~n j ¼ rccos ~n ~n j~n j j~n j n f n E Vorussetzung: ~n ~n 6¼ ~ Wir estimmen den Schnittwinkel j zweier Eenen E und E mit den Normlenvektoren 3 ~n A und ~n A: 3 ~n ~n j~n j ¼ j ¼ rccos 3 3 A ¼ 6 3 ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 þ ð Þ þ 3 ¼ ~n ~n j~n j j~n j p ffiffiffiffiffi ; j~n j ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ þ ð Þ ¼ p ffiffiffi 6 ¼ rccos pffiffiffiffiffi pffiffiffi ¼ rccos ;87 ¼ 85; Schnittgerde zweier Eenen Gegeen: Zwei Eenen E und E mit den Vektorgleichungen ~n ð~r ~r Þ ¼ und ~n ð~r ~r Þ ¼ Gleichung der Schnittgerden g: r ðlþ ¼ ~r þ l~ ðl RÞ Richtungsvektor der Schnittgerden: ~ ¼ ~n ~n Der Ortsvektor ~r eines (noch uneknnten) Punktes P ¼ ðx ; y ; z Þ der Schnittgerden g wird us dem lineren Gleichungssystem ~n ð~r ~r Þ ¼ ; ~n ð~r ~r Þ ¼ estimmt, woei eine der drei Uneknnten x, y, z frei wählr ist (z. B. x ¼ setzen). Vorussetzung: ~n ~n 6¼ ~