6.4 näherungen für bestimmte Integrale

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1 6.4 näherungen für estimmte Integrle 6.4 näherungen für estimmte Integrle 6.4. Diekepler schefssregel Ingenieuren und Nturwissenschftlern pssiert es immer wieder, dss sie es mit Funktionenzu tunhen,dieso kompliziert sind, dss mnkeinestmmfunktionen findet oder solche Stmmfunktionen gr nicht eistieren. In diesen Fällen erechnet mn Integrle mit Näherungsverfhren. Auch Ihr Tschenrechner enutzt nur ein Näherungsverfhren, wenn Sie ihn ein Integrl erechnen lssen. Er kennt nämlich keine Stmmfunktionen. Druf werden wir in Kpitel 6.4.noch eingehen. Johnnes Kepler (57 6), den Sie ls Entdecker der Plnetengesetze kennen, wr ein schwäischer Mthemtiker. Es heißt,dss dieschwen ihren heimischen Rotwein lieenundsprsmsind.auch denmthemtikern wirdnchgesgt,dss siels Ausgleich fürihretrockenewissenschftdemgenuss einesgutentropfens nicht geneigt seien. Bei Kepler km nun eides in einer Person zusmmen. So ließ er sich eines Tges von einem Händler ein Fässchen Wein kommen. Mit der Qulität wr Kepler zufrieden, nicht er mit der Methode, mit der der Händler den Inhlt des Fsses estimmte. Dieser steckte nur einen St in ds Fss, zog ihn wieder herus und schute, wie weit er nss geworden wr. (Genuso mchen Sie es heutenoch,wenn Sieden Ölstndeines Autos kontrollieren.) Ds wr Kepler zu ungenu. Er üerlegte sich, wie mn die Querschnittsfläche eines Fsses erechnen könne, und fnd dfür eine Näherungsformel, die heute nch ihm ennnt ist. Ds wr lnge evor die Anlsis erfunden wurde. Wir zeichnen nun dieoerehälftedes Fssesund wählenls Smmetriechsedie -Achse. 2 = 2 = Kepler unterteilte die -Achse in sechs gleich große Intervlle. Als Üerschlgsrechnung fürdie Fläche unterderkurve nutzte erdreirechtecksflächen. Dsgroße 522 2

2 6 Ds estimmte Integrl regel Rechteck in der Mitte wählte er vierml so reit wie die eiden kleinen Rechtecke links und rechts. In unserer Schreiweise sh dnn seine Näherung so us: ƒ ( ) d ( +4 + ) 2 6 Diese Näherungsformel nennt mn die kepler sche Fssregel. BeIspIeL Wir erechnen mithilfe der Kepler schen Fssregel ds folgende Integrl(Werte uf drei Dezimlen gerundet): 4 4,2 e d (ƒ() +4 ƒ (2,5) +ƒ (4)) 6 =,5 (, ,46 +,92) =,64. Der genue Wert eträgt, Diesimpsonformel SolltedieKepler schefssregel zu ungenuewerteliefern,knn mn dierechnung präzisieren, indem mn die Fssregel m -ml ncheinnder nwendet. Dzu unterteilen wir ds Intervll [ ; ]zunächst in 2mreiteStreifen. DieAnzhl der Streifen muss gerdzhlig sein. = 2 4 2m 2 2m 2m = regel Jetzt wendet mn uf jedes Teilintervll der Länge die Fssregel n. Wenn m mn sie insgesmt m -ml ngewendet ht, erhält mn schließlich die folgende Näherung. Den Term in der Klmmer können Sie durch Nchzählen der einzelnen Streifen estätigen. Fssregel Fssregel... Fssregel ƒ ( ) d ( ) m 2 2 m m 6 m Diese Näherungsformel heißt simpsonformel oder simpson sche regel nch Thoms Simpson (7 76)

3 6.4 näherungen für estimmte Integrle BeIspIeL 9 Wir erechnen näherungsweise I = (sin( ) + ln( )) d mit der Simpsonformel für m =4.Dzu unterteilenwir dsintervll [;9]in chtstreifen. Dnn ergitsich ls Näherung, wenn wir lles uf drei Dezimlen runden: 9 I (ƒ () +4 ƒ (2) +2 ƒ () +4 ƒ (4) +2 ƒ (5) +4 ƒ (6) +2 ƒ (7) +4 ƒ (8) +ƒ (9)) = (,84+4,62 +2,24 +4,629 +2,65+4, ,6 +4,69 +2,69) =,229. Wenn mn ds Integrl ekt mithilfe der Stmmfunktion erechnet, erhält mn I =,226. AUFGABe AUFGABe 2 BerechnenSie die Integrle näherungsweise mithilfe derfssregelund derformel von Simpson mit dem ngegeenen m.ermitteln Sie ei ) und )zusätzlich den ekten Wert des Integrls. Runden Sie lle Werte uf drei Dezimlen. 2 ) 2 6,2 4 d, m = 2 ) c) e ( 2 ) d, m = 2 ( ) d, m = 5 d) ln (sin()+) d, m = 4 Sehen Sie sich die Aufge nochmls n. In welchen Fällen mcht es Sinn, ein Näherungsverfhren einzusetzen? 6.4. Berechnungvon Integrlen mit demtschenrechner IhrTschenrechnerreitetmit nderennäherungsverfhren,diegenuereergenisseliefern ls diefssregel und die Simpsonformel,er dfür uch ufwändiger sind. Es leit Ihrem Rechenknecht nichts nderes ürig, d er keine Stmmfunktionen kennt. In dieser Beziehungist er nicht esonders schlu. Dieses Defizit,von dem wir in der Regel nichts emerken,gleicht er durch seineunglulichegeschwindigkeit us. Sie erlut es ihm, ds Integrtionsintervll in sehr viele Streifen zu zerlegen. Durch die hohe AnzhlderStreifenwird die AnzhlderRechenschritte zum Teil so hoch, dss mnche Rechner für ein Integrl mehrere Sekunden Areitszeit enötigen. NurinAusnhmefällenmchtIhrTschenrechnerkleineFehlereiderBerechnung einesintegrls. TestenSieihnmit 2, d.mncherechnergeendenwert des Integrls mit n. Der richtige Wert eträgt er 999. Rechnen Sie von Hnd nch! Üerlegen Sie, wrum Ihr elektronisches Hilfsgerät hier n seine Grenzen stößt. SkizzierenSiedzu dsschuildderkurvemit = 2 underechnensieim Intervll [,;] mehrere -Werte

4 6 Ds estimmte Integrl Wenn uns nur der Wert eines estimmten Integrls und nicht die Stmmfunktion des Integrnden interessiert,üerlssen wir unserem grfikfähigen Tschenrechner die Areit. BeIspIeL Wir estimmen: 8 ( ) d. Dzu lssen wir den Tschenrechner die Kurvemit der Gleichung = 8 ( ) zeichnen und drücken dnn die entsprechende Funktionstste für die Integrtion. Nchdem wir die Grenzen eingesetzt hen, erhlten wir den Inhlt der Fläche unter der Kurve, der dem estimmtenintegrlentspricht,undden Wert fürdsintegrl. * 6.5 Ds muss ich mir merken Ein Integrl ist eineunendlichesumme.in den meisten Fällen knn mn es nschulich interpretieren ls den Inhlt der Fläche unter einer Kurve. Wenn mn die Bewegung eines Körpers durch v = v ( t )eschreit, erechnet sich der zurückgelegte Weg mit v ( t ) dt. Bestimmte Integrle erechnet mn mithilfe von Stmmfunktionen nch der Regel: ƒ ( ) d =[F ( )] = F ( ) F ( ). Dei ist F ( )die Stmmfunktion von ƒ ( ). Die wichtigsten Stmmfunktionen sind telliert. Ds Integrieren ist die Umkehrung zum Differenzieren. Die wichtigsten Eigenschften eim Rechnen mit Integrlen sind: Mn drf gliedweise integrieren. Ein konstnter Fktor drf vor ds Integrl gezogen werden. Ds Vertuschen der Grenzen ewirkt einen Vorzeichenwechsel. Mn knn ein Integrl in zwei Teilintegrlezerlegen,wenn dieoeregrenze deserstenintegrls mit derunterengrenzedeszweitenintegrls üereinstimmt. Wenn die oere und die untere Grenze üereinstimmen, wird der Wert des Integrls null. BestimmteIntegrleknn mn näherungsweisemit der Kepler schen Fssregel oder mit der Simpsonformel erechnen

5 6.6 Hen sie lles verstnden? 6.6 Hen sie lles verstnden? AUFGABe AUFGABe 2 AUFGABe AUFGABe 4 AUFGABe 5 AUFGABe 6 AUFGABe7 Üen DieKurven mit den ngegeenen Gleichungen schließen mit den Koordintenchsen eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhlt dieser Fläche. ) =cos( )mit $ ) = 2 +4mit $ c) = e + e d) =( +2) Die Kurven mit den ngegeenen Gleichungen schließen mit der -Achse eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhlt dieser Fläche. ) = 2 +4 ) =sin( )mit # # 4 c) = d) =2 cos( 2 )mit # #,5 Berechnen Sie jeweils die uneknnte Grenze. ) ( + +2) d = ) (4 6 2 ) d =28 c) π 2 cos( ) d =2 d) e 2 d =,5 Berechnen Sie jeweils den uneknnten Prmeter. 2 ) 2 ( t +4) d =5 ) ( 2 + k ) d =5 ln(4) c) e d =2 5 π d) sin( ) d = Ein Unternehmen ringt erfolgreich ein neues Produktufden Mrkt. Dietäglichen Verkufszhlen lssen sich gut mit der Formel ƒ (t ) = t eschreien. Mit welchem Gesmtstz knn ds Unternehmen in den ersten Tgen rechnen? (Tipp: Skizzieren Sie ein Schuild für ƒ ( t ). Der Astz m Tg t entspricht der Fläche eines Rechteckstreifens mit der Höhe f( t )und der Breite.) EinenchuntengeöffnetePrelschneidetdie -AchsendenStellen =und 2 =4.Sie schließt mit der -Achse eine Fläche mit dem Inhlt A = 6 FE ein. Bestimmen Sie die Gleichung der Prel. Eine Kurve vierter Ordnung ist smmetrisch zur -Achse und esitzt den Tiefpunkt T ( ). Die von der Kurve und der -Achse egrenzte Fläche ht den Inhlt A = 64,8 FE. Bestimmen Sie die Gleichung der Kurve. AUFGABe 8 AUFGABe 9 entscheiden Zu einer Funktion git es genu eine Aleitungsfunktion. Zu einer Funktion git es genu eine Stmmfunktion

6 6 Ds estimmte Integrl AUFGABe AUFGABe AUFGABe 2 AUFGABe AUFGABe 4 AUFGABe 5 AUFGABe 6 Bei der Berechnung eines Integrls ƒ ( ) d knn nur heruskommen, wenn ƒ ( )=ist. Zwei verschiedene Stmmfunktionen einer Funktion unterscheiden sich um eine Konstnte. DsIntegrlzeichenist ursprünglich derstilisiertebuchste S ls Akürzungfür ds Wort Summe. Die Integrlrechnung wurde von Alert Einstein erfunden. Ein estimmtes Integrl stellt eine unendliche Summe dr. Der Wert eines estimmten Integrls wirdnie negtiv,weil es sich dei immer um einen Flächeninhlt hndelt. Wenn mn zu einer Funktionƒ ( )diestmmfunktion F ( )ildet unddiesenschließend leitet, erhält mn ls Ergenis wieder ƒ ( ). Verstehen AUFGABe 7 Die Kurve mit = ƒ ( )schließt mit den eiden Koordintenchsen eine Fläche ein. Beschreien Sie den Flächeninhlt durch ein estimmtes Integrl. = ƒ () AUFGABe 8 AUFGABe 9 AUFGABe 2 AUFGABe 2 Geen Sie zu ƒ ( )= vier verschiedene Stmmfunktionen n. Wrumist ln( ) d ein sinnloser Ausdruck? 2 Wrum ist die folgende Rechnung flsch? ( + 2 ) d = [ +ln ] = ( +) ( +) = 2 In der Phsik gilt eim freien Fll für diegeschwindigkeit v ( t )= gt.dei ist g die Erdeschleunigung. ) Geen Sie für die Funktion v ( t )eine Stmmfunktion n. ) WelchephsiklischeBedeutunghtdieKonstnte, diemneiderstmmfunktion frei wählen knn?