Variationsrechnung Kapitel 2. Die erste Variation. 2.1 Definition der ersten Variation

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1 Vritionsrechnung Kpitel 2 Die erste Vrition 2.1 Definition der ersten Vrition Sei R n und F : R R n R eine Funktion. Für J in 1.1, lso J u = F x, u x, u x dx 2.1 und wenn folgendes gilt: 1. J u wohldefiniert ist, wie zum Beispiel für u C 1, 2. u, p F x, u, p ls reelle Funktion differenzierbr ist, und 3. die Ableitung mit ϕ uch noch Sinn mcht, wie zum Beispiel für ϕ C 1 C, dnn finden wir, dss τ Ju + τϕ τ= = F u x, u, Duϕ + F p x, u, Du Dϕ dx. 2.2 In einer Dimension gilt Dϕ = ϕ ; in mehreren n 2 Dimensionen gilt Dϕ = ϕ, wobei der Grdient ist. Ds Symbol wird nbl gennnt 1 : ϕ = x 1 ϕ. x n ϕ Der Spltenvektor ϕ wird us Pltzgründen oft ls Zeilenvektor geschrieben. Es gibt uch die Divergenz : v 1 x 1,..., x n n v i. = x 1,..., x n. x v n x 1,..., x n i=1 i Für schreibt mn oft uch einfch und us dem Kontext muss mn herusfinden, ob Grdient oder Divergenz gemeint ist. 1 Nbl soll ein hebräisches Wort für eine Art von Hrfe sein und diese Hrfe sieht us wie.. 11

2 12 2. Oktober 211 Kpitel 2, Die erste Vrition Definition Sei F und J wie in 2.1. Ds Funktionl Ju; ϕ := τ Ju + τϕ τ= us 2.2 heißt die erste Vrition von J in der Richtung ϕ. Wenn die Funktion u ein Minimum von J liefert und J Gteux-differenzierbr ist, lso Ju; ϕ = J u ϕ, folgt Ju; ϕ = oder nders gesgt, es gilt die Identität F u x, u, Duϕ + F p x, u, Du Dϕ dx =. 2.3 Abhängig vom Problem gilt 2.3 für lle Funktionen ϕ C 1 oder ϕ C 1 oder sogr ϕ Cc. Die Integrlgleichung 2.3 für lle ϕ us der Klsse der Testfunktionen wird die schwche Form der Euler-Lgrnge Gleichung für J gennnt. Wie gesgt, die Klsse von Funktionen ϕ ist bhängig vom Problem, zum Beispiel von den Rndwerten. Bei der Brchystochrone wren die Rndwerte von u festgelegt und es wäre ϕ C 1 C pssend. Cc ist eine Teilmenge dvon und wir werden zeigen, dss diese Funktionen meistens schon reichen um vom Vritionsproblem zur Differentilgleichung zu gelngen. Wenn wir nnehmen, dss die betreffenden Funktionen genügend gltt sind, knn mn 2.3 prtiell integrieren 2 : F u x, u, Duϕ + F p x, u, Du Dϕ dx = n d F F p x, u, Du ϕ νdσ + F u x, u, Du x, u, Du ϕ dx. 2.4 dx i p i Wenn ϕ C gilt, ist ds Rndintegrl gleich und es folgt us , dss F u x, u, Du n i=1 d dx i i=1 F x, u, Du ϕ dx = p i 2 Die prtielle Integrtion uf R n ist wie folgt. Sei ν der uswärtige Normlenvektor uf. Dnn gilt für zweiml differenzierbre Funktionen u, v : R und v : R n, dss Weil u ν = u ν u x i v dx = u v dx = u v dx = uv ν i dσ u v ν dσ u v x i dx, u v dx, u v u v νdσ + u v dx. gilt, knn mn die letzte Gleichung uch wie folgt schreiben: u v dx = u ν v u v dσ + u v dx. ν Für Beweise suche mn in der Litertur nch Greenschen Formeln.

3 2.2 Ds erste Huptlemm der Vritionsrechnung 2. Oktober Nehmen wir n, die Formel zwischen den Klmmern ist stetig, dnn folgt In einer Dimension wird dies F u x, u, Du n i=1 d dx i F x, u, Du =. 2.5 p i F u x, u, u F px x, u, u u F pu x, u, u u F pp x, u, u = und in mehreren Dimensionen F u x, u, Du n F pi x i x, u, Du u F pu x, u, Du i=1 n i,j 2 u x i x j die sogennnte strke Form der Euler-Lgrnge Gleichung für J. 2 F pj pi x, u, Du =, Ds erste Huptlemm der Vritionsrechnung Schon ein pr Ml hben wir us einer Integrlgleichung mit Testfunktionen eine punktweise Gleichung hergeleitet. Wir formulieren ds ls nächstes. Auch hier ist ein Gebiet in R n, dss heißt ist offen und zusmmenhängend. Lemm Sei u C und nehme n, dss uxϕx dx = für lle ϕ Cc. 2.7 Dnn gilt u. Bemerkung Dieses Lemm gilt uch noch unter wesentlich schwächeren Bedingungen. Sttt u C reicht schon u L p. Beweis. Nehme n, u x > gilt für ein x. Weil u stetig ist, gibt es eine Umgebung B ε x := {x R n ; x x < ε} mit B 2ε x und ux 1u x 2 > uf B ε x. Definiere { 1 ε ϕx = e 2 x x 2 für x B ε x, 2.8 für x \B ε x. Mn zeigt, dss ϕ Cc und weil uxϕx dx = uxϕx dx 1 2 u x ϕx dx > B εx gilt, folgt der Widerspruch. B εx Aufgbe 4 Zeige, dss die Funktion ϕ us 2.8 in C c liegt.

4 14 2. Oktober 211 Kpitel 2, Die erste Vrition Abbildung 2.1:, B ε x, B 2ε x und Testfunktion ϕ. 2.3 Stz beim Minimierungsproblem Theorem Sei F C 2 R R n und definiere für u C 1 ds Funktionl J u = F x, u, Du dx. Sei C C 1 derrt, dss es für jedes u C und ϕ Cc ein ε > gibt mit u+tϕ C für lle t ε, ε. Wenn J : C R ein globles Minimum in ũ ht und ũ C 2, dnn erfüllt ũ die Euler-Lgrnge Gleichung: x F p x, ũx, Dũx F u x, ũx, Dũx = für lle x. 2.9 Beweis. Mn folge der Geschichte vom Prgrph 2.1 und benutzte Lemm Minimlfläche Wenn mn den Flächeninhlt einer durch Ψ x, y = x, y, u x, u : R 2 R 3 prmetrisierten Oberfläche betrchtet, dnn wird dieser Inhlt gegeben durch Ψ Ψ Ψ Ψ x x x y I u = det dxdy. Mn berechnet sofort, dss Ψ y Ψ x Ψ y Ψ y und findet det Ψ Ψ x x Ψ Ψ y x Ψ x = 1,, u x und Ψ x =, 1, u y, Ψ Ψ x y Ψ Ψ y y = 1 + ux u 2 y ux u y 2 = 1 + u 2. Also folgt I u = 1 + u 2 dxdy. Nehmen wir n, diese Oberfläche ist fixiert m Rnd durch u = v. Die erste Vrition n der Stelle u ist τ I u + τϕ u ϕ τ= = dxdy. 1 + u 2

5 2.5 Ein zweites Huptlemm der Vritionsrechnung 2. Oktober Weil u m Rnd fixiert ist, können wir nur im Innern vriieren. Nehmen wir ϕ C 1 C, so folgt für ein Minimum u C 2, dss u ϕ = dxdy = u ϕ dxdy. 1 + u u 2 Dies liefert die Differentilgleichung für eine Minimlfläche: u =. 1 + u 2 Für rdilsymmetrische Rndwertprobleme findet mn eine gewöhnliche Differentilgleichung, die mn sogr explizit lösen knn. Abbildung 2.2: Bild zu der Minimlfläche zwischen zwei horizontlen Ringen, zentriert um die z-achse. 2.5 Ein zweites Huptlemm der Vritionsrechnung Obwohl wir hier n einer Dimension interessiert sind, geben wir ds nächste Lemm gleich für ein Gebiet in mehreren Dimensionen. Lemm Sei u C und nehme n, dss ux ϕ x dx = für lle ϕ Cc und i = 1,..., n. 2.1 x i Dnn gilt u c. Bemerkung Wenn mn wüsste, dss u C 1 gilt, könnte mn prtiell integrieren und findet dnn, dss u x ϕx dx = ux ϕ x dx =. x i x i Mit Lemm bekäme mn u x i x = und uch, dss x i u x 1,..., x i,..., x n konstnt wäre. Wenn dies in jede Richtung gilt, folgt ds gewünschte Ergebnis. Beweis. In einer Dimension geht es wie folgt. Fixiere irgendeine Funktion χ C R, die die folgenden Eigenschften ht χx = für x 1 1 und χx = 1 für x 9 1, χ x für x R. 2.11

6 16 2. Oktober 211 Kpitel 2, Die erste Vrition Abbildung 2.3: ein Bild von χ. Sei ϕ C c, b und definiere ψx = x ϕsds χ b x b ϕsds. Dnn folgt ψ = = ψb und sogr, dss der Träger von ψ innerhlb, b liegt. Also gilt uch ψ Cc, b. Weiter ht mn = = b b uxψ xdx = ux 1 b b b und es folgt mit Lemm 2.2.1, dss ux = 1 b ux χ s b b ϕx χ x b usds ϕxdx 1 b b χ s b usds = konstnt. ϕsds dx = In mehreren Dimensionen betrchtet mn erst ein Rechteck R innerhlb, und setze R := [, b] R R R n 1. Für ϕ Cc R nimmt mn nlog wie vorher, ψx 1, x = x1 ϕs, x ds χ x 1 b b ϕs, x ds. Auch der Träger von ψ liegt innerhlb R und uf ähnliche Art wie vorher folgt, dss u nicht von x 1 bhängig ist, denn ux 1, x = 1 b b χ s b us, x ds. Genu so ist u uch nicht bhängig von den nderen Vriblen; lso gilt u = c uf jedem Rechteck. Weil offen und zusmmenhängend ist, knn mn füllen mit offenen Rechtecken und es folgt, dss u konstnt ist uf. Aufgbe 5 Konstruiere eine explizite Funktion χ derrt, dss 2.11 erfüllt ist. 2.6 Regulrität in einer Dimension In der Formulierung des Theorems stört die Annhme ũ C 2. Für J brucht mn j nur u C 1 und es wäre schöner, wenn diese Eigenschft folgen würde us der Ttsche, dss ũ ein Minimum ist.

7 2.6 Regulrität in einer Dimension 2. Oktober Ein Stz von C 1 zu C 2 In einer Dimension können wir zeigen, dss ein Minimum in C 1 [, b] unter einigen Annhmen bezüglich des Funktionls utomtisch in C 2 [, b] liegt. Wir schreiben I =, b. Theorem Sei F C 2 Ī R R 1. Für u C Ī betrchten wir ds Funktionl J u = F x, u, u dx. I Sei C C 1 Ī derrt, dss es für jedes u C und ϕ C c I ein ε > gibt mit u+tϕ C für lle t ε, ε. Wenn J : C R ein globles Minimum ũ C 1 Ī ht und F pp x, ũx, ũ x gilt, dnn folgt ũ C 2 Ī. Bemerkung Wenn mn den Beweis genu nschut, sieht mn, dss es schon reicht, sttt F C 2 Ī R R nzunehmen, dss F, F p, F u, F px, F pu, F pp C Ī R R. Bemerkung In C stecken die Rndwerte. Wenn u = 1 und u b = 2, dnn nimmt mn C = { u C 1 Ī; u = 1, u b = 2}. Beweis. Wie vorher zeigt mn, dss für ds Minimum die folgende Gleichung erfüllt ist für lle ϕ Cc I b F u x, ũ, ũ ϕ + F p x, ũ, ũ ϕ dx =. Weil wir nicht wissen, dss ũ differenzierbr ist, können wir nicht prtiell integrieren wie bei der Herleitung der strken Euler-Lgrnge Gleichung. In einer nderen Richtung prtiell integrieren geht schon und wir finden dnn: b x F p x, ũx, ũ x F u s, ũs, ũ s ds ϕ x dx =. Mit Lemm gibt es eine Konstnte c so, dss F p x, ũx, ũ x x Wegen der Stetigkeit gilt 2.12 sogr uf Ī. Setzen wir q x = c + F u s, ũs, ũ s ds = c für lle x I x F u s, ũs, ũ s ds. Weil F u und ũ, ũ stetig sind, gilt x F u x, ũx, ũ x CĪ und es folgt q C1 Ī. Durch 2.12 findet mn x F p x, ũx, ũ 1 x C Ī Weil mn uch ngenommen ht, dss F pp x, ũx, ũ x, knn mn für jedes x Ī die Gleichung F p x, ũx, p q x = 2.14

8 18 2. Oktober 211 Kpitel 2, Die erste Vrition implizit lösen in einer Umgebung von x, p mit p = ũ x, sgen wir p = P x ist derrt, dss F p x, ũx, P x q x =. Der Stz über implizite Funktionen besgt sogr, dss P C 1 x ε, x + ε für ε > genügend klein und dss ds Folgende gilt für ll diese x x ε, x + ε: P x = F u s, ũx, ũ x F px x, ũx, P x F pu x, ũx, P x ũx. F pp x, ũx, P x Weil p = P x die eindeutige Lösung von 2.14 in der Nähe von x, p ist und weil p = ũ x eine Lösung von 2.14 ist, folgt ũ x = P x und ũ C 1 x ε, x + ε für jedes x Ī. Wir finden, dss ũ C2 I. Um zu zeigen, 2 dss ũ C Ī gilt, knn mn sich überlegen, dss es uch eine einseitige Version des Stzes über implizite Funktionen gibt, die mn in den Rndpunkten nwenden knn. Eigenrtig in dem Beweis ist schon, dss erst bewiesen wird, dss x F p x, ũx, ũ x C 1 Ī, obwohl mn priori bloß ũ x C Ī ht. Im Nchhinein folgt dnn ũ x C 1 Ī Einige Beispiele, mit und ohne Regulrität Beispiel Für die eingespnnte Site oder Wäscheleine, die durchhängt durch eine Krftdichte f, wird folgendes Funktionl verwendet 1 Ju = 1 + u x 2 1 fxu x dx Die elstische Energie, gespeichert in der usgedehnten Site oder Leine, ist proportionl zu der zusätzlichen Länge. Die durch diese Ausdehnung verurschte zusätzliche Länge der Kurve wird gegeben durch u x 2 1 dx. Für die Energie durch die Auslenkung gilt Krft Weg: Mit der obigen Schreibweise ht mn und es folgt 1 fxu x dx. F x, u, p = 1 + p 2 1 f x u F pp x, u, p = p Für f C [, 1] knn mn Theorem mit Bemerkung nwenden und mn findet, dss ein C 1 [, 1]-Minimierer in C 2 [, 1] liegt.

9 2.6 Regulrität in einer Dimension 2. Oktober Beispiel Ein Funktionl, ds ein vereinfchtes Modell für eine Site beschreibt, bei der seitwärts Kräfte usgeübt werden, ist Ju = u x 2 fxux dx Dieses Funktionl folgt us 2.15, wenn mn für kleine p pproximiert durch 1 + p p2. Die Euler-Lgrnge Gleichung in schwcher Form für 2.16 ist 1 u xϕ x fxϕxdx = und us u x = c x fsds folgt sogr für f C Ī, dss u C2 Ī. Bei festgelegten Endpunkten, zum Beispiel u = u1 = findet mn sogr eine explizite Lösungsformel ux = 1 minx, y 1 mxx, y fydy Aufgbe 6 Zeige, dss die Funktion in 2.17 eine Lösung von der zu 2.16 gehörenden Euler-Lgrnge Gleichung ist. Beispiel Die Konfigurtion bei einem Kristll ist derrt, dss die Funktion F nicht ein Minimum ht, sondern mehrere. So eine Funktion ist F u, p = 1 p p Abbildung 2.4: Skizze zu p 1 p 2 2. In dem eindimensionlen Gebiet 1, 1 ist ds zugehörige Funktionl wie folgt: Ju = Wir sind interessiert n ũ derrt, dss u x 2 2 dx Jũ = inf { Ju; u C 1 [ 1, 1] C [ 1, 1] }. Mn sieht, dss p F p := 1 p 2 2 zwei Minim ht, nämlich für p = ±1. Außerdem ht mn F p und es folgt so direkt, dss Ju. Setzt mn J u; ϕ =, so folgt J u; ϕ = u x 2 u xϕ x dx =,

10 2 2. Oktober 211 Kpitel 2, Die erste Vrition und 1 u x 2 u x = c. Dies ist ein Polynom dritten Grdes in u x und ls Lösungen findet mn u x = c. Hier ist c eine Nullstelle des Polynoms 1 t 2 t c. Es folgt ux = cx + b, und durch die Rndbedingungen u 1 = u1 = folgt ux. D J = dx = 2 gilt, ist die Null-Funktion jedoch nicht ds Minimum. Versuchen Sie ml 1 + x für x < 1, 2n u n x = 1 1 4n für x 1 2n 1 x für x > 1 2n 1 1 Mn zeigt direkt, dss u n C 1 [ 1, 1] C [ 1, 1] und Ju n für n. Weil für jede Funktion J u gilt, ist {u n } n N eine Minimlfolge. Der Limes u, definiert durch u x := lim u n x = 1 x, 2.19 n liegt ber nicht in C 1 [ 1, 1]. Abbildung 2.5: Zwei Funktionen us C,1 [ 1, 1], die 2.18 minimieren, wenn mn die Ableitungen vernünftig definiert hätte. Wenn mn zeigen knn, dss ds Integrl Ju = für J us 2.18 und u wie in 2.19 wohldefiniert ist, zum Beispiel wenn u L 4 1, 1, könnte mn u ls Lösung zulssen. Dnn müsste mn jedoch festlegen, wie eine Ableitung u L 4 1, 1 definiert ist und welchen Lösungsbegriff mn ht. Ableitungen und Lösungen punktweise betrchtet reichen dnn nicht mehr.