Wertetabelle für f(x, y) = x² + y² Konstruktion des Punktes (2 2 8)

Transkript

1 6 Differentialrechnung bei Funktionen in mehreren Veränderlichen DEFINITION Es seien, ;..., n reelle unabhängige Variablen. Wenn jede Wertekombination ( ; ;..., n ) genau eine Zahl R zugeordnet ist, so nennt man diese Zuordnung eine reelle Funktion f der n- unabhängigen Variablen. Allgemeine Zuordnungsvorschrift ( ; ;..., n ) = f( ; ;..., n ) (, ) f(, ) = ² + ² (, ) f(, ) = ² + ² =5 Wertetabelle für f(, ) = ² + ² Konstruktion des Punktes ( 8) Parallelverschiebung { 8 z (//8) Darstellung mehrdimensionaler Funktionen (Rotationsparbolid) 6. Partielle Ableitung Hierbei wird nach einer Variablen abgeleitet; alle anderen Variablen bleiben konstant (= ceteris paribus-bedingung) f(; ; z) = ln + e + z³ f = f f = f = e f z = 3z² Alle Ableitungen werden zu einem Vektor zusamengefaßt Grad (f) = e 3z² Der Gradient ist der Vektor der. Partiellen Ableitung und gibt die Richtungen der Funktion in einem beliebigen Punkt (... n ) an. Christian Leitner und Jürgen Meisel Seite 4von 55 Stand:

2 Bei mehrmaligem Ableiten der Funktion mit mehreren Variablen ist die Ableitungreihenfolge (nach den einzelnen Variablen) beliebig austauschbar. f() ln; f ; f = = = ² ; f = 0 f() = e ; f = e ; f = 4e ; f = 0 f(z) = z³; f = 3z²; f = 6z; f = 6; f = 0 z zz zzz z 6. Relative Etrema bei Funktionen in mehreren Variablen 6.. Funktionen mit unabhängigen Variablen DEFINITION Es f(,) differenzierbar und P( 0 ; 0 ) stationäre Stelle von f, d. h. f() = 0 und f() = 0. Dann besitzt f in P ein relatives Etremum, wenn gilt: Ist keine Bedingung erfüllt Sattelpunkt bei P( 0 ; 0 ).. Beispiel für die Ermittlung eines Etremums: f(,) = ² + ² I. Bildung der partiellen Ableitungen f = ; f = II. Berechnung der stationären Stelle f = 0; f = 0 = 0; = 0 =0; = 0 stationäre Stelle: (,) = (0/0) III. Prüfung der Art des Etremwertes f = ; f = 0 f = ; f = 0 f( 0, 0 ) ist negativ definit relatives Maimum <. f 0 ( 0 ). f f ( f )² 0 f( 0, 0 ) ist positiv definit relatives Minimum >. f 0 ( 0 ). f f ( f )² 0. f = > 0 positiv definit. f f -(f )² = - 0 = 4 > 0 relatives Minimum. Beispiel für die Ermittlung eines Etremums: f(,) = 0- ² - ² I. Bildung der partiellen Ableitungen f = -; f = - Christian Leitner und Jürgen Meisel Seite 4von 55 Stand:

3 II. Berechnung der stationären Stelle f = 0; f = 0 - = 0; - = 0 =0; = 0 stationäre Stelle: (,) = (0/0) III. Prüfung der Art des Etremwertes f = -; f = 0 f = -; f = 0. f = - < 0 negativ definit. f f -(f )² = (-) (-) - 0 = 4 > 0 relatives Minimum an der stationären Stelle P(0/0) Funktionswert an P(0/0): f(0/0)=0-0²-0²=0 Maimum (0/0/0) 3 3. Beispiel mit stationärer Stelle ( / ) = (0 / 0) f = -; f = 0; f = -3 0.f = < 0.f f (f )² = 0 a < 0 Sattelpunkt Funktionen mit n unabhängigen Variablen (n 3) DEFINITION Es sei f( ; ;... ; n ) differenzierbar und P( n ) stationäre Stelle von f, d. h. f( 0 ) = 0 f( 0 ) = 0... f( 0n ) = 0. Dann besitzt f in P ein relatives Etremum, wenn gilt: f( 0 ; 0 ;...; 0n ) ist negativ definit relatives Maimum Det( H;( )) > 0 f( 0 ; 0 ;...; 0n ) ist positiv definit relatives Minimum Det( H;( )) > 0 Anmerkung: H() = Hesse-Matri Die Hesse-Matri ist die Matri der zweiten partiellen Ableitung einer Funktion mit n unabhängigen Variablen. f f Λ f n f f f n H() = Λ Μ Μ Μ Μ f f Λ f n n nn Aus der gesamten Hesse-Matri werden nacheinander die Determinantenwerte der einzelnen Hauptminoren ermittelt: Christian Leitner und Jürgen Meisel Seite 43von 55 Stand:

4 H () = f f f H () = f f f f f H () = f f f 3 f f f H () = H() n Etrema unter Nebenbedingungen Beispiele Nutzenmaimierung bei vorgegebenem Budget Kostenminimierung bei vorgegebenem Produktionsniveau Gewinnmaimierung bei vorgegebenen Gesamtkosten Zwei Tpen von Angaben sind zur Berechnung notwendig:. Zielfunktion Was optimiert werden soll?. Nebenbedingung(en) Restriktionen Ziel: Man ermittle das Maimum/Minimum der Zielfunktion Z = f( ; ;...; n ), wobei die auftretenden n-variablen gleichzeitig den einzelnen Nebenbedingungen genügen müssen Lösung durch Variablen-Substitution U(,) = (Zielfunktion) 60 = 3 + (Nebenbedingung [Budget=60;, = Produkte]) NB wird nach aufgelöst = 30 3 Einsetzen in ZF U( ) = 30 3 = 3² + 60 Bestimmen der Etrema U'( ) = U'( ) = 0 = 0 U''( ) = 6 < 0 Maimum Einsetzen in NB 60 = = 5 Größe des Gesamtnutzens (optimale Produktionsverteilung) U(0 / 5) = 0 5 = Lagrange-Verfahren Lösung erfolgt durch additives Anfügen der Nebenbedingung(en) an die Zielfunktion; danach Ableiten der Lagrange-Funktion. U(,) = (Zielfunktion) 60 = 3 + (Nebenbedingung [Budget=60;, = Produkte]) Nebenbedingung 0 setzen: Christian Leitner und Jürgen Meisel Seite 44von 55 Stand:

5 = 0 } ZF NB L(,,l) = + l(60 3 ) l gleichsetzen = 0 60 = 0 L = 3l = 0 l = 3 L = l = 0 l = L = = 0 l = 3 in NB einsetzen = 5 in obere Funktion einsetzen = 3 = 3 5 = 0 Eine Etremwertprüfung ist nicht notwendig, da das Ergebnis grundsätzlich das Optimum anzeigt! Um eine generelle Aussage treffen zu können, müßten zusätzlich noch die sogenannten Kuhn-Tucker- Bedingungen geprüft werden. Diese bleiben hier jedoch außer Betracht. Übung: ZF: f(,,z) = ² + ² + z² NB. = = 0 = + z - - z = 0 L(,,z,λ,µ) = ² + ² + z² + λ( - - ) +µ( - - ) L = - λ = 0 λ = L = - λ - µ = 0 L z = z - µ = 0 µ = z L λ = - - = 0 = - z L µ = - - z = 0 z = ( - ) = = 0-3 = -3 = in z einsetzen z = - = = - z = 0 Maimum bei (0//) f(0,,) = 0² + ² + ² = Christian Leitner und Jürgen Meisel Seite 45von 55 Stand:

6 6.3.3 Graphische Lösung nur bei Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen U(,) = (Zielfunktion) 60 = 3 + (Nebenbedingung [Budget=60;, = Produkte]) NB nach auflösen 3 = + 30 ZF nach auflösen U = willkürlich Zahlenwerte für U benennen U(00,00,300) 50 = 00 = 50 3 = NB 3 In dem Punkt, wo die Zielfunktion die Nebenbedingung mit ihrem tiefen Punkt tangiert ist der optimale Wert. 6.4 Totales Differential und totale Ableitung Hierbei ändern sich alle Variablen 6.4. Totales Differential Aussage über die Änderung des Funktionswertes (=df), wenn sich die Funktionsvariablen um d verändern (im Gegensatz zur ceteris-paribus-bedingung). df = f d + f d + + f n d n p(a,k) = A 0,5 K Ausgangspunkt: A = 4; K = p(4,) = 4 Es ändert sich der Arbeitseinsatz um 5 Einheiten: da = 5 es ändert sich der Kapitaleinsatz um Einheit: dk = Um wieviel ändert sich das Produktionsvolumen? f A } dp 0,5 K f K 0,5 = da + A dk 0,5 A = 0,5 5 + = 4,5 Der alte und neue Wert (Veränderung hier: Steigerung) ergibt näherungsweise die Gesamtveränderung bzw. -steigerung bei Veränderung aller Variablen. Der genaue Wert wird nur durch Einsetzen der neuen Variablen in die ursprüngliche Funktion errechnet. Christian Leitner und Jürgen Meisel Seite 46von 55 Stand:

7 6.4. Totale Ableitung Aus dem totalen Differential ergibt sich durch Division von d; die totale Ableitung. Anwendungen:. Ableitung impliziter Funktionen (nicht nach aufgelöst) Problem: Finden einer Ableitung Lösung: I. Umwandlung in eplizite Form und ableiten II. Funktionen, die nicht umgeleitet werden können? e + = e - df d Formel für die Ableitung impliziter Funktionen i f d d d = + f f n d d d i für die Funktion f(,,..., n ) i n i d d f = f Implizite Darstellung Eplizite Darstellung ² + = 3 = 3 - ² I. Ableitung der epliziten Funktion f () = - II. Ableitung der impliziten Funktion d f = d f d d = = Da allerdings nicht alle implizit gegebenen funktionalen Ausdrücke in eplizite Darstellungen umgerechnet werden können, ist die Formel zur Differentiation impliziter Funktionen sehr nützlich. 6.5 Grenzrate der Substitution (GRS bzw. MRS) Idee: Wieviel muss man von einem Faktor mehr aufwenden, um eine Einheit des anderen zu ersetzen? Anwendung ist nur bei zwei Variablen möglich; bei mehr Variablen müssen die über zwei hinausgehenden Variablen als konstant angesehen werden. Steigung der Isoquante (3D-Kurve, auf der gleiches Niveau herrscht) = Grenzrate der Substitution P(A, K) = A K Wieviel Kapital muss aufgewandt werden, um eine Arbeitskraft einzusparen?. Fall vorgegebenes Produktionsniveau A K = 00 9 K = 00 K DK = Christian Leitner und Jürgen Meisel Seite 47von 55 Stand:

8 K neue Situation (9 ) GRS=m Ausgangssituation (0 0) P=00 A Um eine Einheit Arbeitskraft einzusparen, muß eine Einheit Kapital mehr aufgewendet werden.. Fall: allgemeine Darstellung dk da PA = P Beispiel : 0, 5 P( A, K) = A K; A = 4; K = 0, 5 dk 05, A K = 0, 5 da A K = A dk = = da 4 A = K dk dk = 4 = 4 Wenn eine EH Arbeitskraft weniger eigesetzt werden soll, muß 4 EH mehr Kapital aufgewendet werden. Christian Leitner und Jürgen Meisel Seite 48von 55 Stand: