Staatliche Berufliche Oberschule für Wirtschaft München. 2. Schulaufgabe aus der Mathematik BOS

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1 Staatliche Berufliche Oberschule für Wirtschaft München 2. Schulaufgabe aus der Mathematik BOS Arbeitszeit 75 min Gegeben ist die Polynomfunktion f k ( 0,1 x (16 k ) x 0,8x 0, k mit k, x IR. 1.1 Bestimmen Sie k so, dass f k ( achsensymmetrisch zur y-achse ist. (1 BE) 2 Im Folgenden sei k =, also f ( 0,1 x 0,8x 1, Berechnen Sie die Nullstellen von f mit ihren Vielfachheiten und geben Sie die Linearfaktorzerlegung an. 1.3 Bestimmen Sie ohne weitere Rechnung die Koordinaten der Tief- und Hochpunkte von f (mit Begründung). 1. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t( an f an der Stelle x = 3. ( BE) 1.5 Zeichen Sie den Graphen von f und die Tangente t mit allen relevanten Punkten im Bereich 3 x 3, Eine monopolistische Firma hat bei einer Marktanalyse herausgefunden, dass der erzielbare monatliche Gewinn G (in 100 ) von der produzierten Menge x (in 100 Stück) wie folgt abhängt: G ( x x,5x 3, 5. Berechnen Sie den maximalen monatlichen 8 3 Gewinn. (5 BE) 2 3. Gegeben ist die Polynomfunktion f a ( ( x 9)( x a) mit a, x IR. Bestimmen Sie die Nullstellen mit ihrer Vielfachheit in Abhängigkeit von a.. Gegeben ist folgender Graph einer ganzrationalen Funktion. Grades:.1 Geben Sie die Intervalle an für die h ( < 0 gilt. (1 BE).2 Geben Sie die Intervalle an für die h( < 0 gilt. (1 BE) Bitte wenden!

2 Lösung 2. SA BOS 12 (A) 2013/1: 1.1 Für k : Achsensymmetrie, da nur gerade Exponenten von x vorhanden sind f ( 0,1 x 0,8x 1,6 0 x ² z 0,1 z² 0,8z 1,6 0 0,8 0,8² 0,1 1,6 0,8 z 1,2 2 0,1 0,2 x² x 2 x 2 beide doppelt 1,2 3, ( 0,1( x 2)²( x f 2)² 1.3 Aus doppelter Nullstelle ist Extremum und der Achsensymmetrie folgt (oder mit Skizze) TIP(-2 0) TIP(2 0) HOP(0 1,6) 3 1. f (3) 2, 5 also (3 2,5) f ' (3) 6 m 2,5 63 t t 15,5 t ( 6x 15,

3 2. G '( 0,5x³ x²,5 0 G'(3) 0 x1 3 ( 0,5x³ x² 0x,5) : ( x 3) 0,5x² 0,5x 1,5 0 ( 0,5x³ 1,5 x²) 0,5x² 0x ( 0,5x² 1,5 1,5 x,5 ( 1,5 x,5) 0 0,5 0,5² ( 0,5) ( 1,5) 0,5 2,75 x 2,3 also keine weiteren Extrema 2 ( 0,5) 1 Da der Graph nach unten geöffnet ist, ist das absolute Maximum bei x = 3. G ( 8,875 also ist der maximale monatliche Gewinn 887, ( ( x 7)( x 7)( x a) 0 f a x1 7 x2 7 x3 a Fall a = 7: x doppelt x 7 einfach 1,3 7 2 x2,3 7 doppelt x2 x1 x2 7 x3 Fall a = -7: 7 Fall 7 einfach a : 7 a alle einfach 3.1 h '( 0 : ]-5;-1[ und ]7; [.2 h ( 0 : ]- ;-6,5[ und]-2;0[ und]10; [ 2

4 Stochastik: 1. Karies entsteht durch eine Infektionskrankheit. Die Karies-Bakterien (Streptococcus mutans) werden durch Speichel übertragen. Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der im Alter von 65 Jahren durch Karies geschädigten Zähne an. Gezählt werden nur die 28 bleibenden Zähne - also ohne Weisheitszähne. x P(X= a b a+b 2b 6b 10b 1.1 Aus einer Untersuchung weiß man, dass im Durchschnitt 22,1 Zähne im Alter von 65 Jahren geschädigt sind. Bestimmen Sie die Parameter a und b entsprechend. (Zw.erg.: b = 0,05) ( BE) 1.2 Stellen Sie die obige Wahrscheinlichkeitsverteilung geeignet grafisch dar. (2 BE) 2.0 Beim Roulette gibt es 37 Zahlen, auf die man setzen kann (0-36). Sollte die Zahl erscheinen, auf die ein Spieler gesetzt hat, erhält er das 36fache des Einsatzes als Auszahlung. Alternativ kann man z.b. auf Farbe setzen (rot oder schwarz). Die Hälfte der Ziffern von 1-36 sind rot markiert, die andere Hälfte entsprechend schwarz. Die Null ist grün. Bei korrekt gesetzter Farbe erhält man das Doppelte des Einsatzes als Auszahlung. Nadine (Spieler X) setzt 10 Euro auf die Ziffer 16, Markus (Spieler Y) 10 Euro auf Rot. 2.1 Stellen Sie die Tabellen der beiden Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit dem Gewinn der jeweiligen Spieler auf. ( BE) 2.2 Zeigen Sie, dass der durchschnittliche Gewinn der Spieler (trotz unterschiedlicher Strategie) gleich ist und begründen Sie kurz, warum beide Spiele nicht fair sind. 2.3 Welcher der beiden Spieler geht ein höheres Risiko ein? Weisen Sie dies durch Rechnung nach.

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