a) Begründen Sie, dass der Graph von achsensymmetrisch zur #-Achse ist. Zeigen Sie, dass die Nullstellen der Funktion unabhängig von sind.
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- Christina Kästner
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1 Aufgabe M08A2.1 Ein Klimaforscher beschreibt die Entwicklung der globalen Durchschnittstemperatur modellhaft durch die Funktion mit 2,8, 0,0311, Dabei gibt die Zeit in Jahren seit Beginn des Jahres 1900 und die globale Durchschnittstemperatur in Grad Celsius an. Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben anhand dieses Modells. a) Geben Sie die globale Durchschnittstemperatur zu Beginn des Jahres 1900 an. Geben Sie die niedrigste globale Durchschnittstemperatur seit 1900 an. In welchem Jahr wird die globale Durchschnittstemperatur 16 überschreiten? Ermitteln Sie die momentane Änderungsrate der globalen Durchschnittstemperatur zu Beginn des Jahres Bestimmen Sie den Mittelwert der globalen Durchschnittstemperatur im durch die Modellierung beschriebenen Zeitraum. b) Formulieren Sie eine Fragestellung im Sachzusammenhang, die auf die Gleichung 100,5 führt. Nachdem die globale Durchschnittstemperatur ihren niedrigsten Wert erreicht hat, steigt sie immer weiter an. Zeigen Sie, dass dieser Anstieg immer schneller verläuft. c) Es werden Klimaschutzmaßnahmen geplant. Greifen diese zum Zeitpunkt, so bleibt die momentane Änderungsrate der globalen Durchschnittstemperatur konstant bei dem Wert, der durch das Modell des Klimaforschers für vorausgesagt wird. Bestimmen Sie den späteren Zeitpunkt, zu dem die Maßnahmen greifen müssen, damit die globale Durchschnittstemperatur 15,7 bis zum Beginn des Jahres 2050 nicht überschritten wird. d) Infolge alternativer Klimaschutzmaßnahmen kann der Verlauf der globalen Durchschnittstemperatur ab Beginn des Jahres 2020 durch beschränktes Wachstum modelliert werden. Der Graph der zugehörigen Funktion schließt sich dabei ohne Knick an den Graphen der Funktion an. Außerdem stellt sich nach diesem neuen Modell langfristig eine globale Durchschnittstemperatur von 16,8 ein. Bestimmen Sie einen Funktionsterm von. Aufgabe M08A2.2 Für jedes 0 ist eine Funktion mit 4 " gegeben. a) Begründen Sie, dass der Graph von achsensymmetrisch zur #-Achse ist. Zeigen Sie, dass die Nullstellen der Funktion unabhängig von sind. b) Sowohl der Graph der Funktion mit $" %& ' )*+,- ". als auch der Graph von schließen für 02 eine Fläche mit der -Achse ein. Bestimmen Sie so, dass beide Flächen den gleichen Inhalt haben.
2 Lösung M082.1 Lösungslogik a) Globale Durchschnittstemperatur im Jahr 1900: Wir berechnen 0. Niedrigste globale Durchschnittstemperator: Wir berechnen, setzen 0 und lösen die Gleichung nach Null auf. Globale Durchschnittstemperator größer 16 : Wir bilden 16 und lösen die Gleichung nach auf. Momentane Änderungsrate der globalen Durchschnittstemperatur zu Beginn des Jahres 2000: Wir berechnen 100. Mittelwert der globalen Durchschnittstemperatur im beschriebenen Zeitraum: Wir berechnen das Integral von im Intervall 0100 und dividieren das Ergebnis durch 100. b) Fragestellung zu 100,5: Siehe Klausuraufschrieb Anstieg immer schneller nach Erreichen des Tiefpunktes: Nachdem wir in Aufgabenteil a) den Zeitpunkt der tiefsten globalen Durchschnittstemperatur ermittelt haben, müssen wir nun nachweisen, dass für alle 36,517 streng monoton steigt. c) Spätester Zeitpunkt zur Maßnahmeneinleitung für konstante momentane Änderungsrate: Ist die momentane Änderungsrate ab einem Zeitpunkt konstant, muss das Schaubild ab tangential weiter verlaufen. Gesucht ist also die Tangente an im Berührpunkt wobei ein Punkt dieser Tangente die Koordinaten ,7 haben muss. Gesucht ist also die Tangente von einem bekannten Punkt aus an eine Kurve. d) Aufgabenstellung zum beschränkten Wachstum "#$ & '() (0 im Jahr 2020) mit einer Schranke #16,8 und der Vorbedingung eines knickfreien Übergangs im Jahre 2020, somit " und $#120. Klausuraufschrieb 2,8&,+) 0,0311,1 0,,200 a) Globale Durchschnittstemperatur im Jahr 1900: 02,8&,+ 0,03 011,12,811,113,9 Die globale Durchschnittstemperatur im Jahr 1900 betrug 13,9. Niedrigste globale Durchschnittstemperator: 0,008 2,8&,+) 0,03 0: 0,008 2,8&,+) 0,030 0,008 2,8&,+) 0,03 :0,0224 &,+) 1, ,008ln 1,3393 :0,008 36,517 36,517 13,75
3 Die niedrigste globale Durchschnittstemperatur betrug etwa 13,75 im Verlaufe des Jahres Globale Durchschnittstemperator größer 16 : 16 2,8&,+) 0,0311,116 2,8&,+) 0,034,90 152,3 Im Verlaufe des Jahres 2052 wird die globale Durchschnittstemperatur von 16 überschritten. Momentane Änderungsrate der globalen Durchschnittstemperatur zu Beginn des Jahres 2000: 1000,0024 &,+ 5 0,030,0024 &,+ 0,03 0,023 Die momentane Änderungsrate der globalen Durchschnittstemperatur zu Beginn des Jahres 2000 betrug etwa 0,023 /7$h9. Mittelwert der globalen Durchschnittstemperatur: : 5 < = 5 >,+?@,@@AB,+ 0,015 11,1C : 5 350&,+) 0,015 11,1 15,02 Der Mittelwert beträgt ca. 15,02. b) Fragestellung zu 100,5: In welchem Zeitraum von 10 Jahren nimmt die globale Durchschnittstemperatur um 0,5 zu. Anstieg immer schneller nach Erreichen des Tiefpunktes: streng monoton steigend für alle 36,517? Dies ist der Fall, wenn 0 0,00018&,+) Wegen 0 für 0,,200, ist monoton steigend. Da die Steigung von ist, ist auch monoton steigend, d.h., der Anstieg der globalen Durchschnittstemperatur wird immer schneller. c) Spätester Zeitpunkt für konstante momentane Änderungsrate: Zeitpunkt der Wirksamkeit einer konstanten Änderungsrate sei ,7. Berührpunkt an Kurve sei DD, dann gilt: E D EDD Punkt-Steigungsform 15,7 D 150DD Punktprobe mit D 150DD15,70 0,0224&,+F 0,03 150D2,8&,+) 0,03D11,115,70 3,36&,+F 0,0224D &,+F 4,50,03D2,8&,+) 0,03D4,60 6,16&,+F 0,0224D &,+F 9,10 D 5 122,36 D 174,08 Wegen E G 150 ist D 5 die einzige sinnvolle Lösung. Um im Jahre 2050 eine konstante globale Durchschnittstemperatur von 15,7 zu erreichen, müssen entsprechende Maßnahmen spätestens im Jahr 2022 eingeleitet werden.
4 d) Beschränktes Wachstum: "#$ & '() in Jahren #16,8 120" " , ,029 " $ H& '() " 120$ H & '5( 120"120 (1) 14,816,8$ & '5( 16,8 1 (1) 2$ & '5( :& '5( (1) $? IJK@L 120" 120 (2) 0,029$ H & '5( $ 2 (2) 0,029? IJK@L H &'5( 2H (2) H0,01425 H 1 (1) 2$ & '5,5NO $ & '5,P5 (1) $? IJ,QJ11,058 Die Funktionsgleichung lautet "16,811,06 & ',5NO) 120,,200. Lösung M08A1.2 Lösungslogik a) Begründung Achsensymmetrie: Siehe Klausuraufschrieb. Nullstelen von R : Wir setzen R E0 und lösen die Gleichung nach E auf. b) $ für gleiche Flächen unter R und ": Wir berechnen die Fläche unter dem Graphen von " im Intervall 0,E,2. Wir setzen das Ergebnis gleich mit der Fläche unter dem Graphen von R im gleichen Intervall und lösen die Gleichung nach $ auf. Klausuraufschrieb a) Begründung Achsensymmetrie: Die gegebene Funktionsgleichung ist die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades. Diese Funktionsgleichung besitzt nur geradzahlige Potenzen von E, ist somit achsensymmetrisch. Nullstelen von R : $E N 4$E 0 :$ E N 4E 0 E 4E 0 E 5, 0 E S 2 E N 2 Alle Nullstellen von R sind unabhängig von $.
5 b) $ für gleiche Flächen unter R und ": T U < S 5O V sinyz E[ =E> S 5O V \]^YZ E[ C Z 5O cosv 5O cos0 T bc T U T bc < $E N 4$E 5O $5+ 5O $ O 5+ 5O 5O > =E> R O EO N S $ES C S O $S 5O \]^YZ E[C S $0'd_e5_ 5O $ 5O $
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