3 Vom Kreis- zum Smithdiagramm

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1 3 Vom Kreis- zum Smithdiagramm Für den Entwurf von Transformationsschaltungen aus konzentrierten Bauelementen ist das Kreisdiagramm wegen seiner Übersichtlichkeit besonders geeignet. Das Kreisdiagramm hat den Nachteil, dass immer nur ein Ausschnitt der positiven Impedanz- bzw. Admittanzebene dargestellt werden kann, nie aber z. B. die Werte j, j und. Gesucht ist also ein Diagramm, das sämtliche Impedanz- bzw. Admittanzwerte beinhaltet. In Kapitel 4 wird als eine komplexe Größe zur Berechnung von Leitungsproblemen der Reflexionsfaktor r eingeführt. Bei passiven Zweipolen kann der Reflexionsfaktorbetrag r niemals größer als werden. Da der Reflexionsfaktorwinkel arg{r} jeden beliebigen Wert zwischen und 2π annehmen kann, ist die Umrandung der Reflexionsfaktorebene ein Kreis mit dem Radius, der sog. Einheitskreis. Innerhalb dieser Umrandung spielen sich alle realen Probleme der Leitungstheorie ab, wenn man aktive Bauelemente (z. B. Reflexionsverstärker) bei der Betrachtung ausschließt. Mit der Reflexionsfaktorebene liegt also ein abgeschlossenes Gebiet vor, in das das nichtabgeschlossene Gebiet des Kreisdiagramms transformiert werden soll. Durch diese mathematische Transformation (sog. konforme Abbildung) soll das ganze positive Gebiet des Kreisdiagramms auf das Innere des Einheitskreises ( r ) abgebildet werden. Der Reflexionsfaktor berechnet sich nach (4.3./3) mit der Gl. (3/), wobei Z in der Leitungstheorie den komplexen Wellenwiderstand charakterisiert. Meistens kann man jedoch den Imaginärteil Im{Z } vernachlässigen, sodass mit einem reellen Z gearbeitet werden darf. Dieser reelle Wellenwiderstand Z bewirkt in der Reflexionsfaktorebene die gleiche Normierung (Z/Z = Z' = R' + jx') wie der Normierungswiderstand Z im Kreisdiagramm. Deshalb wurde schon beim Kreisdiagramm die Größe Z eingeführt. Bei Transformationsproblemen mit konzentrierten Bauelementen (C oder L) kann der Normierungswiderstand Z frei gewählt werden. Benutzt man Leitungsstücke zur Transformation, dann erhält man mit dem Leitungswellenwiderstand den erforderlichen Normierungswiderstand Z. Mit einem reellen Z in (3/) ergibt sich die Gl. (3/2). Beispiel 3/: Die folgenden R'- und X'-Größen des Kreisdiagramms sollen in der Reflexionsfaktorebene abgebildet werden. a) R',5,,5 2, 2,5 b) X' ±,5 ±, ±,5 ± 2, ± 2,5 ± Berechnen und skizzieren Sie die Re{r}- und Im{r}-Werte. 3/87

2 Lösung: R' Re{r},5,333,,5,2 2,,333 2,5,429 Da X' = ist, liegen alle Werte auf der reellen Achse. Man erkennt an Bild 3-a, dass der Abstand zwischen den Re{r}-Werten nicht mehr konstant ist, d. h. es tritt bei der konformen Abbildung eine Maßstabsverzerrung auf. Dies ist verständlich, da ja auch der R' = -Wert auf einen endlichen Wert Re{r} =, abgebildet wird. Der unbegrenzte Bereich R' des Kreisdiagramms wird in den begrenzten Bereich, Re{r}, der Reflexionsfaktorebene überführt. X' Re{r} Im{r} ±,5,6 ±,8 ±, ± ±,5,385 ±,923 ± 2,,6 ±,8 ± 2,5,724 ±,69 ± Trägt man die Real- und Imaginärteilwerte des Reflexionsfaktors in die komplexe Reflexionsfaktorebene ein, dann erkennt man an Bild 3-b, dass die X'-Werte des Kreisdiagramms für R' = auf einem Kreis mit dem Radius abgebildet werden. Auch hier tritt natürlich eine Maßstabsverzerrung auf, da der unendliche Wert jx' = j auf Re{r} =, abgebildet wird. Die Kreuze in den beiden Bildern markieren die ursprünglichen Z'-Werte des Kreisdiagramms. Eliminiert man das zur Konstruktion erforderliche Koordinatensystem des Reflexionsfaktors r, dann ergibt sich Bild 3-c. Damit haben wir die unendlich ausgedehnten Real- und Imaginärteilachsen des Kreisdiagramms auf dem Einheitskreis abgebildet. Theoretisch könnten 3/88

3 wir jetzt jeden R'- und X'-Wert getrennt in Bild 3-c eintragen. Die Parametrierung der Kreisumrandung sowie des horizontalen Kreisdurchmessers liegt damit vor. Unbekannt ist noch, wie ein beliebiger komplexer Wert Z' = R' + jx' des Kreisdiagramms innerhalb des Einheitskreises in Bild 3-c abgebildet wird. Betrachten wir die Ergebnisse des Beispiels 3/ aus der Sicht der Ortskurventheorie, dann liegen eine Geradenortskurve (bzw. Kreis mit Radius ) und ein Kreis in allgemeiner Lage vor. Wählt man in (3/2) als Parametergröße zuerst = X', dann ergibt sich die Gl. (3/3). Die Kreisortskurve durch den Nullpunkt K() ist in Bild 3-2a skizziert, 2K() in Bild 3-2b, und die vollständige r(x')-ortskurve zeigt Bild 3-2c. In Bild 3-2b wurde jeder Punkt der Ortskurve um nach rechts verschoben, auch 2 R bei X' =. Der Mittelpunkt der Kreisortskurve liegt auf der Re{r}-Achse. Je nach Wahl von R' ( R' ) verändert sich die Größe des Kreises. Für R' = erhält man den in Bild 3-c skizzierten Einheitskreis. Um die Kreise als Funktion von R' einfacher konstruieren zu können, sollen der Mittelpunkt M(R') und der Radius R(R') ermittelt werden. Betrachtet man in Bild 3-2c den Durchmesser D(R') auf der Re{r}-Achse, so ergibt sich die Gl. (3/6). Der Mittelpunkt M(R') ergibt sich, wenn man vom konstanten Wert auf der Re{r}-Achse den Radius abzieht (Gl. (3/7)). Mit der neuen Parametergröße = R' lässt sich (3/2) schreiben als Gl. (3/8). Werden die Werte aus (3/9) in die Konstruktionsgleichung eingesetzt, dann ergibt sich die Gl. (3/). Die Kreisortskurve durch den Nullpunkt (K()) ist in Bild 3-2d dargestellt. Der Startwert bei R' = wurde mit (3/) berechnet. Im Gegensatz zur r(x')-ortskurve läuft der Parameterwert = R' nur von R', die X'-Werte können jedoch positives und negatives Vorzeichen annehmen. Deshalb muss hier eine Fallunterscheidung getroffen werden (X' > bzw. X' < ). Die gestrichelt gezeichneten Ortskurven der Bilder 3-2d bis f) gelten für X' <. 3/89

4 Nachteilig für die Berechnung des Mittelpunktes in Bild 3-2d ist der fehlende Schnittpunkt einer Kreisortskurve mit der imaginären Achse beim Parameterwert R' =. Deshalb sollen die beiden vorhandenen Kreisbögen zu Halbkreisen ergänzt werden. Der Parameterwert wird dann negativ (R' < ). Ein Schnittpunkt mit der imaginären Achse liegt vor, wenn Re{K()} gesetzt wird. Beim fiktiven Parameterwert von R' = schneidet die Kreisortskurve K() die imaginäre Achse. R' = wird in Im{K()} eingesetzt, um den Kreisdurchmesser und damit den Mittelpunkt zu erhalten. Bei den Ortskurven für X' < wurde für die imaginäre Achse die Betragsschreibweise eingeführt, damit sich das Vorzeichen wegen X' < nicht mehr ändert. Statt j könnte man auch X ' j (X' < ) schreiben. Jedoch wäre es auf den ersten Blick ungewohnt, an der positiven X ' j X' imaginären Achse ein j vorzufinden. Die gleichen Überlegungen gelten für den 2 X' in Bild 3-2d. -Wert Nach (3/) muss die K()-Ortskurve in Bild 3-2d mit 2 multipliziert werden. Das Minuszeichen bedeutet wieder eine Drehung um 8, die 2 bewirkt eine Streckung. Diese drehgestreckte Ortskurve 2K() ist in Bild 3-2e dargestellt. Die vollständige r(r')-ortskurve ist in Bild 3-2f skizziert. Dabei wurde jeder Realteilwert der Ortskurve in Bild 3-2e um nach 2 rechts verschoben, so z. B. auch der Realteilwert 2 X ' bei R' =. Man erkennt an Bild 3-2f, dass die Halbkreise immer durch den Punkt Re{r} = verlaufen. Die Mittelpunkte M(X') der Kreise liegen auf einer parallel zur jim{r}-achse befindlichen Geraden, die wir willkürlich als jy-achse bezeichnen wollen und die nur zur Konstruktion der Ortskurven eingeführt wird. Da wir die Halbkreise bis zum Parameterwert R' = ergänzt haben, können wir jetzt aus Bild 3-2f sofort den Durchmesser bzw. Radius ablesen. 3/9

5 Beispiel 3/2: Skizzieren Sie quantitativ a) die r(x')-ortskurven für R',5,,5 2, 2,5 b) die r(x')-ortskurven für X' ±,5 ±, ±,5 ± 2, ± 2,5 ± Lösung: a) Aus (3/6): R(R') = R' R' Aus (3/7): M(R') = R' Kontrolle bei numerischen Berechnungen: R(R') + M(R') = R' R(R') M(R'),5,,5 2, 2,5,667,5,4,333,286,333,5,6,667,74 Die Mittelpunkte M(R') wurden auf der Re{r} des Bildes 3-3a eingezeichnet und die entsprechenden R' = konst.-kreise konstruiert. b) Aus (3/5): R(X') = Aus (3/6): M(X') = X ' X ' 3/9

6 X' R(X') M(X') ± ±,5 ±, ±,5 ± 2, ± 2,5 ± 2,667,5,4 ± ± 2 ± ±,667 ±,5 ±,4 ± Die M(X')-Berechnung wurde abgeleitet für die jy-achse. Auf der jy-achse des Bildes 3-3b wurden die positiven und negativen Mittelpunkte eingetragen und die entsprechenden X' = konst.-kreisbögen konstruiert. Für die Konstruktion der Ortskurven in Bild 3-3 war das rechtwinklige Koordinatensystem des Reflexionsfaktors erforderlich. Liegen aber die R' = konst.- bzw. X' = konst.-verläufe vor, dann verzichtet man aus Übersichtlichkeitsgründen auf das Koordinatensystem. Man erhält damit die Bilder 3-4b und d). Zusätzlich zu den beiden Darstellungen der Reflexionsfaktorebene sind noch die entsprechenden R' = konst.- bzw. X' = konst.-verläufe im Kreisdiagramm skizziert (Bilder 3-4a und c)), um noch einmal grafisch die Transformationswirkung zu zeigen. Die vertikalen R' = konst.-geraden in Bild 3-4a werden in der Reflexionsfaktorebene zu Kreisen, deren Mittelpunkte auf der Re{r}-Achse liegen. Die Re{r}-Achse wird mit den entsprechenden R'-Werten bezeichnet. Die Bezeichnung der R'-Achse bezieht sich dann auf den ganzen Kreis, d. h. jeder Kreis ist der Ort für einen bestimmten R'-Wert. Die horizontal verlaufenden X' = konst.-geraden des Bildes 3-4c werden auf Kreisbögen abgebildet, deren Mittelpunkte auf einer vertikal durch Re{r } = verlaufenden Geraden (jy) liegen. Auch hier ist jeder Kreisbogen der Reflexionsfaktorebene der Ort für einen bestimmten X'-Wert. Eingehüllt wird die Reflexionsfaktorebene von dem schon aus Bild 3-c bekannten Einheitskreis. Werden die Bilder 3-4a und c) sowie die Bilder 3-4b und d) zusammengefasst zu je einem Bild, dann erhält man die Darstellungen der Bilder 3-5a und b). Bild 3-5a zeigt die Impedanzebene des Kreisdiagramms ohne die G'- und B'-Kreisverläufe. Diese rechtwinklig verlaufenden Impedanzlinien werden auf die Kreislinien des Bildes 3-5b abgebildet. Man erkennt, dass die 9 -Winkel zwischen den R' = konst.- und X' = konst.-verläufen bei der Abbildung erhalten bleiben (winkeltreue oder konforme Abbildung). 3/92

7 Ersetzt man in Bild 3-5a X' durch B' und R' durch G', dann hätte man ein Kreisdiagramm für die Admittanzebene (s. Bild 3-3b). Da sich an der geometrischen Form nichts verändert hätte, würde man formal bei der konformen Abbildung das Bild 3-5b erhalten (X' wird wieder durch B' und R' durch G' ersetzt), d. h. aus der Impedanzebene ist eine Admittanzebene geworden. Würde man nur mit Leitwerten arbeiten, dann würde das neue Diagramm alle Transformationen richtig ausführen. Ein Fehler würde erst auftreten, wenn man versuchen würde, aus der Admittanzebene direkt den Reflexionsfaktor r zu berechnen bzw. umgekehrt, da aus der Reflexionsfaktorgleichung (3/2) nur die Reflexionsfaktorebene für Impedanzen abgeleitet wurde. Möchte man eine Reflexionsfaktorebene für Admittanzen ableiten, dann muss in (3/2) Z = /Y gesetzt werden (Gl. (3/7)). Mit Y' = G' + jb' ergibt sich die Gl. (3/8). Wählt man in (3/8) als Parametergröße zuerst = B', dann bekommt man die Gl. (3/9). Vergleicht man (3/2) mit (3/5), dann erkennt man, dass die K()-Ortskurven formal übereinstimmen, d. h. Bild 3-2a mit ausgetauschten Bezeichnungen (X' B', R' G') würde die K()-Ortskurve in (3/2) darstellen. Anschließend wurde in (3/5) die K()-Ortskurve drehgestreckt ( 2K()), in (3/2) findet nur eine Streckung statt (2K()). Die 2K()-Ortskurve in (3/5) wurde dann um + nach rechts verschoben (Bild 3-2c), während die 2K()-Ortskurve in (3/2) um nach links verschoben wird, d. h. alle Kreise gehen durch Re{r} =. Die neue Ortskurve für (3/2) wäre das Spiegelbild der Ortskurve in Bild 3-2c mit der jim{r}-koordinate als Spiegelachse. Mit der zweiten Parametergröße = G' lässt sich (3/8) schreiben als (3/2). Werden die Werte aus (3/2) in die Konstruktionsgleichung eingesetzt, dann ergibt sich die Gl. (3/22). Auch hier findet man eine Übereinstimmung der K()-Ortskurven für (3/22) und (3/). Statt der Drehstreckung ( 2K()) in (3/) findet in (3/22) wieder nur eine Streckung (2K()) statt. Durch die fehlende 8 -Drehung vertauschen sich die Vorzeichen bei den Imaginärteilen (X' B'). Auch die Verschiebung um nach links statt um + nach rechts ist hier vorhanden, d. h. auch hier ist die neue Ortskurve das Spiegelbild der schon vorhandenen Ortskurve in Bild 3-2f, hinzu kommt eine Vertauschung der Vorzeichen bei den Imaginärteilen. Man braucht also nur die vorhandenen Ortskurven an den jim{r}-koordinaten zu spiegeln, die Vorzeichen der Imaginärteile mit zu multiplizieren, oder die in Bild 3-5b skizzierte Impedanzebene um 8 zu drehen, um die Admittanzebene (Bild 3-5d) zu erhalten. 3/93

8 Bild 3-5c zeigt die Leitwertkreise des Kreisdiagramms. Vergleicht man die Bilder 3-5c und d), dann erkennt man die Abbildungsgesetze. Die G' = konst.-kreise des Kreisdiagramms werden wieder als G' = konst.-kreise in der Admittanzebene des Reflexionsfaktordiagramms abgebildet, während die B' = konst.-halbkreise des Kreisdiagramms in der Reflexionsfaktorebene als Kreisbögen erscheinen. Möchte man wie beim Kreisdiagramm gleichzeitig Impedanz- und Admittanzwerte vorfinden, so müssten die Diagramme der beiden Bilder 3-5b und d) zusammengefasst werden zu einem Bild. Manchmal wird auch ein Diagramm auf Transparentpapier gezeichnet und auf das andere Reflexionsfaktordiagramm gelegt, damit man zwischen Impedanz- und Admittanzwerten hinund herspringen kann (z. B. bei einer Inversion oder bei Transformationsschaltungen). Der Nachteil dieser beiden Methoden ist die große Unübersichtlichkeit, da zu viele Kreise und Bezeichnungen nicht nur einen Anfänger verwirren. Genau wie beim Kreisdiagramm bevorzugt man nur eine Darstellung, meistens die Impedanzebene. Bevor wir uns aber anschauen, wie man Bild 3-5b gleichzeitig als Impedanz- und Admittanzebene nutzen kann, sollen mit Hilfe der Bilder 3-5a bis d) die Transformationswege in der Reflexionsfaktorebene abgeleitet werden. In der Hochfrequenztechnikvorlesung sind die Transformationswege des Kreisdiagramms (Impedanzebene) dargestellt. Diese Transformationen wurden auf die beiden Bilder 3-5a und c) übertragen, d. h. für zwei normierte Lastimpedanzen Z L und Z L wurden alle möglichen Transformationsrichtungen 2 skizziert. Z. B. läuft die SL l -Transformation in Bild 3-5a auf einer R' =,5-Geraden von jx' = j, bis jx' = j,5. Aus der R' =,5-Geraden des Kreisdiagramms wird in der Reflexionsfaktorebene ein R' =,5-Kreis, und die Transformation verläuft zwischen den beiden jx'-werten j, und j,5; statt der Begrenzung mit jx' = konst.-geraden findet man nun in der Reflexionsfaktorebene jx' = konst.-kreisbögen. Genauso kann man die anderen eingezeichneten Transformationen von der Kreisdiagramm- auf die Reflexionsfaktorebene übertragen. Um die konforme Abbildung noch zu verdeutlichen, sind in den Bildern 3-5a und b) vier willkürliche Gebiete herausgehoben worden. Da bei Transformationsschaltungen näherungsweise verlustlos transformiert werden soll, werden die SR- und PR-Transformationen nur sehr selten angewendet. Man erkennt dann an den Bildern 3-5b und d), dass alle verlustlosen Transformationen auf R' = konst.- bzw. G' = konst.-kreisen verlaufen. Der G' = konst.-transformationskreis in Bild 3-5d verläuft durch den Wert der normierten Lastadmittanz Y' L = /Z' L. Wenn es gelingt, das Reflexionsfaktordiagramm in Bild 3-5b gleichzeitig als Impedanz- und Admittanzebene zu benutzen, dann laufen weiterhin die PLund PC-Transformationen auf G' = konst.-kreisen, deren Mittelpunkte auf der Re{r}-Achse liegen und die Schnittpunkte mit Re{r} = + (wegen der 8 -Drehung) und Y' L = /Z' L, aufweisen würden. 3/94

9 Die Impedanzebene des Bildes 3-5b kann man durch eine Spiegelung an der jim{r}-achse und durch eine Vertauschung der Vorzeichen bei den Imaginärteilen in die Admittanzebene des Bildes 3-5d überführen. Da man aus Übersichtlichkeitsgründen nicht beide Diagramme gleichzeitig benutzen möchte, wird das Spiegelungsprinzip mit vertauschten Vorzeichen nicht auf die Impedanzen bzw. Admittanzen angewendet (rechte Seite der Gleichung (3/2) bzw. (3/7)), sondern direkt auf den Reflexionsfaktor r (linke Seite der Gleichung (3/2) bzw. (3/7)). Der Reflexionsfaktor r für die Impedanzebene in Bild 3-5b berechnet sich nach (3/2) mit der Gl. (3/23), während sich ein Reflexionsfaktor r für die Admittanzebene in Bild 3-5d mit (3/7) berechnet. Die rechten Seiten der beiden Gleichungen (3/23) und (3/25) besitzen den gleichen formalen A Aufbau, nämlich, d. h. für beide Ausdrücke gilt das in Bild 3-5b skizzierte A Reflexionsfaktordiagramm. Wird formal A' = Z' gesetzt, erhält man die Impedanzebene und kann nach (3/23) sofort den Reflexionsfaktor r ablesen. Für A' = Y' ergibt sich die Admittanzebene, und nach (3/25) kann man dem Diagramm j r r e entnehmen. Um in der Admittanzebene auf den Reflexionsfaktor r zu kommen, muss r um 8 gedreht werden. Man braucht also in der Praxis nur noch ein Diagramm, z. B. die Impedanzebene in Bild 3-5b. Trägt man hier z. B. einen Lastreflexionsfaktor r L nach Betrag und Phase ein, dann lässt sich sofort die Impedanz Z' L ablesen (Bild 3-6a). Benötigt man den Admittanzwert Y' L, dann dreht man den Reflexionsfaktor r L um 8 bis zum Punkt r L. Damit hat man formal aus der Impedanz- eine Admittanzebene gemacht (alle Parameterkurven werden jetzt gedanklich mit Leitwerten beschriftet: R' G', X' B') und es lässt sich im gleichen Diagramm Y' L ablesen (Bild 3-6a). Da wir uns jetzt formal in der Admittanzebene befinden, gelten die Transformationswege, die wir in Bild 3-5d abgeleitet haben, d. h. die PL- und PC-Transformationen verlaufen auf einem G' = konst.-kreis durch Y' L. Aus Übersichtlichkeitsgründen wird das rechtwinklige Koordinatensystem (Re{r}, jim{r}) wieder weggelassen und man erhält Bild 3-6b. Damit wir später bei der Leitungstheorie (Kap. 4) mit dem Reflexionsfaktor arbeiten können, wird in Bild 3-6b der Winkel des Reflexionsfaktors aufgetragen. Damit ist es möglich, den Reflexionsfaktor r nach Betrag ( r ) und Phase (arg{r}) in das Diagramm einzutragen. Bild 3-6b zeigt noch einmal die Inversion einer normierten Lastimpedanz Z' L. Z' L wird nach Real- und Imaginärteil in das Diagramm eingetragen und mit dem Nullpunkt der r-ebene (Mittelpunkt des Diagramms) verbunden. Die Länge beträgt r. Die Gerade wird weiter um r verlängert. Hier kann nun der Admittanzwert Y' L abgelesen werden (s. Bild 3-6b), d. h. Z' L und Y' L haben den gleichen Abstand r vom Punkt des Diagramms. 3/95

10 Beispiel 3/3: Ermitteln Sie aus der Reflexionsfaktorebene in Bild 3-6b die zu Z L = 6,7 e j45 Ω gehörige Admittanz Y L = /Z L. In Bild 3-6b wurde die obere Reflexionsfaktorebene mit den Impedanzparametern R' und jx' bezeichnet, die untere mit den Admittanzparametern G' und jb'. Diese aus didaktischen Gründen vorgenommene Bezeichnung ist in der Praxis nicht üblich. Es liegt entweder ein Reflexionsfaktordiagramm der Impedanz- oder der Admittanzebene vor. Auch Diagramme ohne Parameterbezeichnungen sind im Einsatz. Die in Bild 3-6b vorgenommene Parametrierung findet meistens nur gedanklich im Kopf des Anwenders statt. Wie schon beim Kreisdiagramm wollen wir uns auch hier auf die Impedanzebene (Bild 3-5b) festlegen. Da wir formal durch die 8 -Drehung des Reflexionsfaktors aus der Impedanz- eine Admittanzebene erzeugen, können wir auch ganz formal die Transformationswege des Bildes 3-5d übernehmen. Da das Bild 3-5d durch eine 8 -Drehung des Bildes 3-5b entstanden ist, müssen wir jetzt das Bild 3-5d und damit die Transformationsrichtungen um 8 zurückdrehen, damit wir die Paralleltransformationen auf das Bild 3-5b anwenden dürfen. Bild 3-7 zeigt jetzt sämtliche Transformationsrichtungen für die gemeinsame Impedanz- bzw. Admittanzebene. Die nicht in den Klammern stehenden Bezeichnungen beziehen sich auf die Impedanzebene; hierfür gilt unser Reflexionsfaktor. Drehen wir den Reflexionsfaktor um 8, dann befinden wir uns in der Admittanzebene und es gelten die in den Klammern stehenden Bezeichnungen. Zeichnet man weitere R' = konst.-kreise und X' = konst.-kreisbögen mit Hilfe unserer abgeleiteten Ortskurvenkonstruktionsvorschriften, dann erhält man das in Bild 3-8 skizzierte Reflexionsfaktordiagramm, das nach seinem Erfinder Smith-Diagramm genannt wird. Die Bezeichnungen Wellenlängen zum Generator und Wellenlängen zum Abschluss werden erst bei der Leitungstheorie in Kapitel 4 benötigt und sollen deshalb erst dort abgeleitet werden. Das unterhalb des Diagramms aufgeführte m wird im nächsten Kapitel (3.) eingeführt. Übung 3/: Ermitteln Sie mit Hilfe des in Bild 3-8 skizzierten Smithdiagramms die zu Z L = (,25 + j,8) kω gehörige Admittanz Y L = /Z L. Beispiel 3/4: Eine Lastimpedanz Z L = (,5 j,6) kω soll durch einen aus zwei Reaktanzen bestehenden Vierpol bei der Frequenz f = 3 MHz in den Wert Z in = (2,4 + j,475) kω transformiert werden. a) Skizzieren Sie die möglichen Transformationswege im Smithdiagramm. b) Zeichnen Sie zu a) die dazugehörigen Schaltbilder. c) Bestimmen Sie die Größen der Bauelemente für die in b) gefundenen Schaltungen. 3/96

11 Übung 3/2: Die Impedanz Z L = (6 + j8) Ω soll durch einen aus zwei Reaktanzen bestehenden Vierpol bei der Frequenz f = 5 MHz in den Wert Z in = 8 Ω transformiert werden. a) Skizzieren Sie quantitativ die möglichen Transformationswege im Smithdiagramm. b) Zeichnen Sie zu a) die dazugehörigen Schaltbilder. c) Bestimmen Sie die Größen der Bauelemente für die in b) gefundenen Schaltungen. 3. Kreise konstanter Wirkleistung Da im Hochfrequenzbereich die zur Verfügung stehende Nutzleistung meistens sehr klein ist (z. B. Empfangsleistung einer Satellitenbodenstation), dürfen bei der Übertragung (z. B. relative Dämpfungsminima der Atmosphäre) und im Empfänger nicht zu viel Wirkleistung verloren gehen. Deshalb werden bei Transformationsschaltungen Kondensatoren, Spulen oder kurze Leitungsstücke benutzt, deren Verluste näherungsweise vernachlässigbar sind. Mit diesen Transformationsschaltungen kann man z. B. eine komplexe Last Z a = R a + jx a an eine Sendeoder Generatorimpedanz Z G leistungsmäßig anpassen. Bild 3.-a zeigt eine solche prinzipielle Anpassschaltung. Der Reaktanzterm jx a einer Lastimpedanz Z a kann immer mit zur verlustlosen Transformationsschaltung gezählt werden. Da in der verlustlos angenommenen Transformationsschaltung keine Wirkleistung umgesetzt wird, muss nach dem Prinzip der durchgehenden Wirkleistung die gesamte in den Transformationsvierpol hineinfließende Wirkleistung P a am Ausgang auch wieder erscheinen und dem ohmschen Widerstand R a (Realteil der Impedanz Z a ) zur Verfügung stehen, d. h. zur Berechnung von P a ist die Ersatzschaltung in Bild 3.-b ausreichend. Die Wirkleistung P a berechnet sich mit Gl. (3./). Nur dem Realteil (Re{Z L } = R L ) der Eingangsimpedanz Z in = Z L wird formal die Wirkleistung P a zugeführt. Dieser Sachverhalt ist in Bild 3.-c dargestellt. Der Lastwiderstand R a in Bild 3.-a nimmt die maximale Leistung P a,max auf, wenn auch dem Eingangswiderstand R L die maximale Leistung P a,max angeboten wird. Dies ist der Fall bei Leistungsanpassung * ( Z L Z G RL RG, X L X G Gl. (3./2). ). Den Strom bei Leistungsanpassung erhält man mit der Setzt man (3./2) in (3./) ein, dann bekommt man die maximale Leistung (Gl. (3./3)). An die transformierte Lastimpedanz Z L (und damit auch an R a ) wird die maximale Leistung P a,max abgegeben. Diese Leistung P a,max, die die Quelle (Generator) bei Leistungsanpassung ( Z ) an den Lastzweipol abgibt, nennt man die verfügbare Leistung der Quelle * L Z G (Gl. (3./4)). 3/97

12 Liegt keine Leistungsanpassung vor ( Z ), dann berechnet sich der Strom mit der * L Z G Gl. (3./5), wobei die Abkürzung X = X G + X L eingeführt wurde. Mit dieser Abkürzung hat man formal eine Spannungsquelle U mit einem reellen Innenwiderstand R G erzeugt (s. Bild 3.-d). Die der Last R a zugeführte Wirkleistung P a ergibt sich, wenn man (3./5) in (3./) einsetzt (Gl. (3./6)). Damit man abschätzen kann, wie weit man bei einer bestimmten Transformation noch von der maximalen (verfügbaren) Leistung P a,max = P V entfernt ist, bezieht man (3./6) auf (3./4) und man erhält die Gl. (3./7). Die Gleichung (3./8) wird normiert, indem alle Terme durch 2 R G dividiert werden. Mit den Abkürzungen R' L = R L /R G und X' = X/R G erhält man die Gl. (3./9). Für einen Kreis in allgemeiner Lage gilt nach [] die Kreisgleichung (3./). Ein Koeffizientenvergleich zwischen (3./9) und (3./) liefert die Gl. (3./). Die Kreise der konstanten Wirkleistung P a haben wegen y = ihre Mittelpunkte auf der reellen R' L -Achse (s. Bild 3.-e). Aus Bild 3.-e lassen sich der minimale und maximale ohmsche Widerstand ablesen (Gl. (3./2) und Gl. (3./3)). Wir wollen schon hier eine weitere Größe aus der Leitungstheorie einführen, weil der gleiche physikalische Hintergrund existiert. Die Größe m in (3./4) wird in der Leitungstheorie als Anpassungsmaß bezeichnet und bestimmt auch dort den Wirkleistungsumsatz. Die Gleichungen (3./2) und (3./3) lassen sich auch aus (3./7) für X = ableiten. X = bedeutet, dass die Gleichung (3./7) nur noch für die reelle Achse gültig ist. Normiert man wieder (3./7) für den Sonderfall X =, dann ergibt sich die Gl. (3./5). Da (3./5) wegen X = nur für die reelle Achse abgeleitet wurde, gibt es nach Bild 3.-e für R' L nur die beiden Lösungen R' L,min und R' L,max. 3/98

13 Man erkennt an diesen Ableitungen, dass man die Kreise konstanter Wirkleistung nicht nur mit dem Parameter P a /P V, sondern auch mit m bezeichnen kann. Man spricht deshalb auch von m-kreisen. Mit dieser Größe m lässt sich allgemein das Wirkleistungsverhältnis in Gl. (3./6) berechnen. Beispiel 3./: Skizzieren Sie quantitativ in der Impedanzebene die Kreise konstanter Wirkleistung für folgende Parameterwerte: P a,9,8,7,6,5 P V Lösung: P a x R m = R' L,min R' L,max P V,9,222,73,59,925,8,5,8,382 2,68,7,857,565,292 3,422,6 2,333 2,8,225 4,44,5 3 2,828,72 5,828 Die Kreise konstanter Wirkleistung sind in Bild 3.-2a skizziert. Sämtliche auf einem m-kreis liegende Impedanzwerte bewirken nur eine bestimmte Leistungsumsetzung P a /P V. Die m-kreise (Kreise konstanter Wirkleistung) lassen sich auch auf das Smithdiagramm übertragen. Ein G' = konst.-kreis in der Impedanzebene des Kreisdiagramms (Bild 3-5c) wird im Smithdiagramm wieder als Kreis mit einem Mittelpunkt auf der reellen Achse abgebildet (s. z. B. Bild 3-5d). Daraus folgt, dass auch ein m-kreis des Kreisdiagramms in der Smithdiagrammebene als Kreis abgebildet wird. Die Mittelpunkte der m-kreise liegen in beiden Diagrammen auf den reellen Achsen. Um die Lage des Kreises im Smithdiagramm zu erhalten, geben wir uns die beiden R' L -Werte (R' L,min, R' L,max ) des Kreisdiagramms vor, die auf der Re{r}-Achse des Smithdiagramms abgebildet werden (Gl. (3./7)). 3/99

14 Analog zu (3/2) für R' = R' L ergibt sich die Gl. (3./8). Betrachten wir im Kreisdiagramm wieder nur die reelle Achse (X' = ), dann folgt aus (3./8) die Gl. (3./9). Setzen wir für X' = die zwei Fälle aus (3./7) in die Gleichung (3./9) ein, dann erhält man die zwei Gleichungen (3./2) und (3./2). Re{r } = Re{r 2 } Der m-kreis im Smithdiagramm hat seinen Mittelpunkt bei Re{r} = (Mittelpunkt des Smithdiagramms). Der Radius R(m) berechnet sich deshalb mit Gl. (3./22). Die Kreise konstanter Wirkleistung (m-kreise) sind im Smithdiagramm konzentrische Kreise um den Mittelpunkt Re{r} =. Deshalb ist R(m) = r und (3./22) lässt sich mit Gl. (3./23) beschreiben. Beispiel 3./2: Skizzieren Sie quantitativ in der Impedanzebene des Smithdiagramms die Kreise konstanter Wirkleistung für folgende Parameterwerte: P a,9,8,7,6,5 P V Lösung: P a m R(m) P V,9,8,7,6,5,59,382,292,225,72,37,447,548,633,77 Bild 3.-2b zeigt die Kreise konstanter Wirkleistung im Smithdiagramm. m = liegt auf dem Einheitskreis (Umrandung des Smithdiagramms) und bedeutet, dass keine Wirkleistung P a einer Lastimpedanz Z a zugeführt wird (P a = wegen R' L = ). Die maximale Leistung P a,max = P V wird von einer Lastimpedanz für m = aufgenommen. 3/

15 m,,2,3,4,5,6,7,8,9 r,88,667,538,429,333,25,76,,53 m = ist der Mittelpunkt des Smithdiagramms (R' L =,, jx' =, R(m) = ), d. h., hat man die Impedanzen des Smithdiagramms auf R G normiert, dann sollten bei Leistungsbetrachtungen alle Transformationswege in der Nähe des Mittelpunktes enden (exakt den Mittelpunkt zu treffen, ist bei Reaktanzschaltungen nur bei einer Frequenz möglich), damit der Lastimpedanz fast die gesamte verfügbare Leistung P V angeboten wird. Betrachtet man Frequenzbänder, dann ist es leistungsmäßig günstig, wenn die Ortskurve in kleinen Kringeln um den Mittelpunkt (Anpassungspunkt) des Smithdiagramms verläuft. Mit Hilfe der angegebenen m-skala unterhalb des Smithdiagramms in Bild 3.-2b (s. auch Bild 3-8) lassen sich die m-kreise sofort in das Smithdiagramm einzeichnen, bzw. bei einer vorgegebenen Ortskurve im Smithdiagramm erhält man die m-werte für bestimmte Impedanzwerte, wenn man mit einem Stechzirkel den Abstand Impedanzwert-Mittelpunkt des Smithdiagramms ermittelt und auf der m-skala mit Hilfe der Stechzirkellänge den m-wert abliest. Übung 3./: Die in Bild 3.-3a dargestellte Schaltung besitzt die in Bild 3.-3b skizzierte normierte Eingangsimpedanz Z' in (f) = Z' L (f). Normiert wurde die Eingangsimpedanz auf den Generatorwiderstand R G, = Ω (Z' L = Z L /R G, ). Der Generator hat eine verfügbare Leistung von P V = mw. Bei der Ortskurve der normierten Eingangsimpedanz in Bild 3.-3b wurden Frequenzpunkte eingezeichnet. Der Abstand zwischen zwei benachbarten Frequenzpunkten beträgt jeweils Δf. a) Wie groß ist die Amplitude der Generatorleerlaufspannung? b) Berechnen Sie für die eingezeichneten Frequenzpunkte die an den Lastwiderstand R a jeweils abgegebene Wirkleistung P a sowie û a. Der Generatorwiderstand wird jetzt auf R G,2 = 2 Ω erhöht. Die verfügbare Leistung soll weiterhin P V = mw betragen. c) Wie groß ist nun û? d) Ermitteln Sie P a und û a. e) Skizzieren Sie P a (f) für die beiden Generatorwiderstände R G, und R G,2. 3/

16 Bild 3.-3 a) Transformationsschaltungen b) Normierte Eingangsimpedanz Z' in (f) der Transformationsschaltung 3/2