Schaltungen mit Widerständen und Kondensatoren

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1 Fakultät für Technik Bereich Informationstechnik Studiengang Elektrotechnik / Informationstechnik Elektrotechnisches Grundlagenlabor Versuch 3 Schaltungen mit Widerständen und Kondensatoren Laboranleitung/Laborbericht Für Betreuer mit Lösungen Gruppe: Teamnummer: vorgelegt von: Name Vorname Labortermin:

2 Inhalt 1 Einführung Vor dem Labor Während des Labors Nach dem Labor Versuchsdurchführung Kondensator als frequenzabhängiger Widerstand Sprungantwort einer Kombination aus Kondensator und Widerstand... 13

3 Elektrotechnisches Grundlagenlabor 1 1 Einführung 1.1 Vor dem Labor Drucken Sie sich diese Laboranleitung aus und arbeiten Sie diese mit Ihrem Team, jeweils immer 2 Studierende, gründlich durch. Bearbeiten Sie die mit Vor dem Labortermin bearbeiten! gekennzeichneten Aufgaben. Alle Antworten, Skizzen, Gleichungen usw. sind dabei handschriftlich in diese Laboranleitung einzutragen. Pro Team ist eine bearbeitete Laboranleitung in Papierform zu erstellen. Diskutieren Sie offene Fragen und Probleme in Ihrem Team. Notieren Sie sich offene Fragen und Probleme und sprechen Sie diese dann im Labor an. Die Laboranleitung mit allen beantworteten Fragen bringen Sie bitte in Originalform ausgedruckt in Papierform am Versuchstag mit (keine Kopien). Drucken Sie sich das Testatblatt aus und füllen Sie es aus. Bitte beachten: Bei fehlender Vorbereitung können Sie nicht am Labor teilnehmen! 1.2 Während des Labors Während der Versuchsdurchführung werden alle Aufgaben gemeinsam bearbeitet und die Aufgaben aus der Vorbereitung ausführlich besprochen. Die Aufgaben, die während des Labors gemeinsam bearbeitet werden, sind mit Wird im Labor bearbeitet! gekennzeichnet. Alle Ergebnisse, Skizzen, Diagramme und Messwerte sind dabei von Ihnen handschriftlich in die Laboranleitung einzutragen. Nutzen Sie bei offenen Fragen die Hilfestellung der Laborbetreuer. Bringen Sie bitte am Versuchstag zusätzliches Papier (am besten kariert), Stifte, Taschenrechner (kein PC) und ein Geodreieck mit. Bringen Sie am letzten Versuchstag Ihr ausgefülltes Testatblatt mit. Haben Sie am Ende des Labors alle gestellten Aufgaben (vgl. Laborordnung, Vorbereitungsfragen beantwortet, aktive Teilnahme an den Versuchen) erfüllt, wird Ihnen das von den Betreuern auf dem Testatblatt mit einer Unterschrift bestätigt. 1.3 Nach dem Labor Überarbeiten Sie Ihren Laborbericht so, dass Sie auch nach einiger Zeit (auch für die Klausurvorbereitung) die Ergebnisse zur Hilfestellung heranziehen können. Sollten noch offene Fragen vorhanden sein, können Sie diese mit den Laborbetreuern beim nächsten Labortermin oder in der Vorlesung besprechen.

4 Elektrotechnisches Grundlagenlabor 2 2 Versuchsdurchführung Jeder Laborplatz besteht aus einem digitalen Speicheroszilloskop, einem Funktionsgenerator, einem Labornetzteil, mehreren digitalen Vielfachmessgeräten (Multimeter), Prüfspitzen und Kabel sowie verschiedenen Bauteilen (Widerständen) inkl. Steckbrett. Eine Beschreibung der Geräte finden Sie auf der Internetseite zum Labor. 2.1 Kondensator als frequenzabhängiger Widerstand Aus der Schule oder der Vorlesung kennen Sie den allgemeingültigen Zusammenhang für einen Kondensator der Kapazität C: Q ( t) C u ( t) C Mit der Spannung u C (t) am Kondensator. Da die Ladung Q(t) in der Praxis keine leicht zu messende Größe ist, formen wir obige Gleichung so um, dass sie den Strom durch den Kondensator enthält. Wir leiten deshalb beide Seiten der Gleichung nach der Zeit t ab und erhalten: d dt Q ( t) i c c i ( t) C ( t) C d dt u C ( t) d dt u C ( t) In den beiden letzten Versuchen betrachteten wir stets stationäre Fälle. Das bedeutet, dass bei unseren Messungen alle Größen konstant waren. Um das Verhalten von Schaltungen aus Widerständen und Kondensatoren verstehen zu können, ist es erforderlich, Spannungen und Ströme als Funktion der Zeit f(t) zu betrachten. Dieses geht zwar etwas über den Inhalt der Vorlesung hinaus, sollte aber mit einfachen physikalischen und mathematischen Grundkenntnissen für Sie kein Problem sein. Von elektrotechnischer Seite reichen Grundkenntnisse, wie das Ohmsche Gesetz und die Kirchhoffschen Gesetze aus, die Sie bereits in der Vorlesung kennengelernt haben.

5 Elektrotechnisches Grundlagenlabor 3 Aufgabe 1: Vor dem Labortermin bearbeiten! Im Folgenden taucht der Begriff Wechselspannung auf, den Sie im zweiten Semester genauer kennen lernen. Trotzdem werden wir versuchen Eigenschaften des Kondensators bei veränderlichen Spannungen und Strömen zu verstehen und auch zu messen. Ihre Mathematikkenntnisse aus der Schule und der Vorlesung sind dazu völlig ausreichend. Nehmen Sie an, dass an einem Kondensator folgende sinusförmige Spannung (Wechselspannung) entsprechend Abbildung 1 und Abbildung 2 anliegt: u C ( t) uˆ sin( t) (Amplitude û, Kreisfrequenz 2 f, Frequenz, Periodendauer T) Abbildung 1: Kondensator an sinusförmiger Spannung 2 u c in V û t in s -1-2 T Abbildung 2: Sinusförmige Spannung

6 Elektrotechnisches Grundlagenlabor 4 Setzen Sie in Gleichung (2) die Spannungsgleichung (3) ein und berechnen Sie den Kondensatorstrom i c (t) mit Hilfe der Ableitung von Gleichung (3). û und sollen dabei konstant sein:

7 Elektrotechnisches Grundlagenlabor 5 Skizieren Sie hier ( t) uˆ sin( t) und ( t) C uˆ cos( t) für die beiden Fälle: Fall 1: u C 1 uˆ 1V und 1 und C 1F s i c 2 u c in V i c in A t in s -1-2 Fall 2: 1 uˆ 1V und 2 und C 1F s 2 u c in V i c in A t in s -1-2

8 Elektrotechnisches Grundlagenlabor 6 In der vorherigen Skizze ist im Fall 2 die max. Amplitude für den Strom doppelt so groß, wie im Fall 1. Die Spannung ist aber in beiden Fällen gleich. Welche Größe ist dafür verantwortlich?

9 Elektrotechnisches Grundlagenlabor 7 Aufgabe 2: Vor dem Labortermin bearbeiten! Wenn Sie die Phase der Gleichung (3) und der errechneten Gleichung (2) für i c (t) vergleichen, was fällt Ihnen dabei auf? Hilfe: Mit Phase ist die Verschiebung auf der Zeitachse gemeint. Wie hängt die Amplitude des Stroms von der Kapazität und von der Frequenz ab? Bitte Gleichung angeben. î Aufgabe 3: Vor dem Labortermin bearbeiten! Schauen Sie sich folgende Definition des Blindwiderstandes eines Kondensators an und versuchen Sie diese zu verstehen: Definition: Als Blindwiderstand X C des Kondensators bezeichnet man das Verhältnis X C uˆ iˆ uˆ C uˆ 1 C Prüfen Sie diese Definition durch einen Einheitenvergleich und geben Sie die Einheit von X C X C an.

10 Elektrotechnisches Grundlagenlabor 8 Aufgabe 4: Wird im Labor bearbeitet! Bauen Sie folgende Schaltung auf: Abbildung 3: Frequenzabhängiger Spannungsteiler mit einem Kondensator Aufgabe 5: Wird im Labor bearbeitet! Messen Sie bei verschiedenen Frequenzen mit Kanal 1 des Oszilloskops die Spannung u 0 am Funktionsgenerator und mit Kanal 2 die Spannung u c über dem Kondensator. Entsprechend Versuch 2 messen wir wieder die Eingangsspannung und die Ausgangsspannung des Spannungsteilers. Dadurch erhalten wir auch hier wieder die Kennlinie dieser Schaltung. Für die grafische Auswertung werden Sie eine normierte Darstellung verwenden. Daher müssen Sie aus Ihren Messwerten noch rechnerisch den Quotienten u c bestimmen. u 0 Tragen Sie Ihre Messergebnisse in die folgende Tabelle 1 ein. Notieren Sie nur so viele Nachkommastellen wie nötig!

11 Elektrotechnisches Grundlagenlabor 9 Tabelle 1: Messung frequenzabhängiger Spannungsteiler entsprechend Abbildung 3 mit R = 10 kω und C = 47 nf f in Hz R C 2 f R C berechnet u 0 in V gemessen u c in V gemessen 1 X c C in kω berechnet u c u 0 berechnet

12 Elektrotechnisches Grundlagenlabor 10 Aufgabe 6: Wird im Labor bearbeitet! Tragen Sie hier u c über R C in einem Diagramm auf. u 0 Tragen Sie also die Werte für u c auf der y-achse und die Werte für R C auf der x-achse auf. u 0

13 Elektrotechnisches Grundlagenlabor 11 Aufgabe 7: Wird im Labor bearbeitet! Diskutieren Sie Ihre Ergebnisse: Bestimmen Sie zeichnerisch bei R C 1 den Wert von u c aus dem Diagramm: u 0

14 Elektrotechnisches Grundlagenlabor 12 Da kann aber etwas nicht stimmen? In Versuch 2 haben Sie gelernt, dass bei einem ohmschen Spannungsteiler die Ausgangsspannung genau der halben Eingangsspannung entspricht, wenn die beiden Widerstände gleich groß sind. Schauen Sie sich Ihre Tabelle 1 an und schätzen Sie ab bei welcher Frequenz die Widerstandswerte von R und X C ungefähr gleich sind, also 10 kω haben. Frequenz bei der R und X ungefähr gleich sind: f Hz C g Wie groß ist bei dieser Frequenz f g das Verhältnis u c? u 0 u c u 0 Bei welcher Frequenz ist bei unserer Messung u c 0, 5? f g _ Messung Hz u 0 Wie groß ist bei dieser Frequenz f g _ Messung der Widerstandswert C X? X k C Was stimmt nun? Unsere Erkenntnis über den ohmschen Spannungsteiler aus Versuch 2 oder unsere Messergebnisse aus Tabelle 1? Es stimmt beides. Was wir vergessen haben ist, dass beim Kondensator die Spannung und der Strom nicht in Phase sind, sondern eine Phasenverschiebung von bzw. 90 Grad haben. 2 Beim ohmschen Spannungsteiler (ohne Phasenverschiebung) war u0 u R 1 ur2. Beim Kapazitiven-Spannungsteiler muss man die Phasenverschiebung berücksichtigen. Es gilt: u u R u C Die Spannungen werden dann geometrisch addiert. Für den Fall, dass die Ausgangsspannung der halben Eingangsspannung entspricht muss somit u c u sein. Im zweiten Semester erfahren dazu mehr.

15 Elektrotechnisches Grundlagenlabor Sprungantwort einer Kombination aus Kondensator und Widerstand In diesem Versuch sollen Sie wieder ein praktisches Problem untersuchen und lösen: Sie haben ein Förderband, an dem Sie die Bandgeschwindigkeit durch eine Spannung u E zwischen 0 und 10 Volt variieren können. Bei einer Spannung von u E = 0 V steht das Förderband und bei einer Spannung von u E = 10 V hat es seine maximale Geschwindigkeit erreicht. Durch einen Schalter soll das Förderband ein- und ausgeschaltet werden. Die Ausgangsspannung des Schalters wechselt dabei sprungartig zwischen 0 und 10 Volt, je nachdem, ob das Förderband ein- oder ausgeschaltet wird. Ihre Aufgabe ist es nun, eine Anpassungsschaltung zu entwickeln, so dass das Förderband nach dem Einschalten nicht sprungartig seine Maximalgeschwindigkeit einnimmt. In der Praxis führt eine solche abrupte Geschwindigkeitsänderung dazu, dass Dinge, die auf dem Förderband stehen, umfallen können. Dieses wollen wir mit unserer Anpassungsschaltung vermeiden. Die Anforderung an die Anpassungsschaltung ist, dass die Ausgangsspannung nach einem Spannungssprung am Eingang langsam auf den maximalen Spannungswert ansteigt und dadurch auch die Geschwindigkeit des Förderbands langsam seine maximale Geschwindigkeit erreicht. Für dieses Problem gibt es sehr viele Lösungsvarianten, wir wollen uns hier allerdings auf die Lösung mit Hilfe einer einfachen Schaltung aus ohmschem Widerstand und Kondensator beschränken. Wie zuvor, werden wir diese Aufgabe daher wieder zu Beginn theoretisch beschreiben und damit versuchen, eine optimale Lösung zu finden. Wir gehen also wieder genau wie bei den letzten Versuchen vor. Anschließend werden wir durch ein Experiment bzw. eine Messung überprüfen, ob unsere theoretischen Überlegungen richtig waren. Unsere Aufgabenstellung lässt sich vereinfacht entsprechend Abbildung 4 beschreiben: Abbildung 4: Modell zum verzögerten Einschalten bei einem Förderband

16 Elektrotechnisches Grundlagenlabor 14 Aufgabe 8: Vor dem Labortermin bearbeiten! In der Praxis müssten Sie sich jetzt eine elektronische Schaltung überlegen, mit der Sie die Aufgabe lösen. Da die meisten von Ihnen als Entwickler noch wenig Erfahrung haben, wird Ihnen auch dieses Mal diese Aufgabe abgenommen. In Abbildung 5 sehen Sie einen Lösungsvorschlag für die Aufgabenstellung. Begründung für diese Lösung: Es handelt sich um die gleiche Schaltung wie im Versuch zuvor. Wir sind daher etwas mit ihr vertraut. Aus den Gleichungen (1) und (2) haben Sie gesehen, dass man diesen Aufbau als frequenzabgängigen Spannungsteiler betrachten kann. Sie werden im Folgenden sehen, dass ausgehend von Gleichung (1) und (2) diese Schaltung auch unsere Aufgabe, das Eingangssignal zu verzögern, löst. Für unsere späteren Messungen werden wir als Schalter S einen Funktionsgenerator verwenden. Den Innenwiderstand Ri = 50 Ω des Funktionsgenerators werden wir bei allen weiteren Betrachtungen vernachlässigen! Das Förderband wird in unserem Fall als idealer Spannungsmesser angenommen. Abbildung 5: Schaltplan der Anpassungsschaltung Zur Vorbereitung machen Sie sich mit dem Schaltplan vertraut und versuchen Sie die Funktionsweise der Schaltung zu verstehen. Tipp: In der Vorlesung wurde diese Aufgabenstellung als Aufladung eines Kondensators behandelt.

17 Elektrotechnisches Grundlagenlabor 15 Aufgabe 9: Vor dem Labortermin bearbeiten! Aus der Vorlesung kennen Sie das Aufladen eines Kondensators. Leiten Sie hier nochmal entsprechend der Schaltung in Abbildung 5 den Zusammenhang zwischen der Eingangsspannung und der Ausgangsspannung her. Tipp: Verwenden Sie die Maschenregel von Kirchhoff und Gleichung (1) und Gleichung (2). Geben Sie die Differenzialgleichung (DGL) (mit Herleitung) für die Berechnung der Spannung ua ( t) uc ( t) an: Zur Überprüfung Ihrer Herleitung hier die gesuchte DGL: d dt 1 ua ( t) ua ( t) R C 1 u R C i

18 Elektrotechnisches Grundlagenlabor 16 Aufgabe 10: Vor dem Labortermin bearbeiten! Um die Spannung u a (t) am Kondensator zu bekommen, muss die Differenzialgleichung (DGL) d dt 1 ua ( t) ua ( t) R C 1 u R C i aus Aufgabe 9 gelöst werden. Zur Lösung von DGL s gibt es mathematische Verfahren, die Sie im zweiten Semester noch kennen lernen. Daher geben wir an dieser Stelle die Lösung der DGL für den Fall, dass der Kondensator aufgeladen wird, an. Schauen Sie sich hier die Lösung der DGL für das Laden eines Kondensators an und versuchen Sie diese zu verstehen: t u ( t) u 1 e R C a i Welche Einheit hat der Quotient t R C bei der e-funktion?

19 Elektrotechnisches Grundlagenlabor 17 Fleißaufgabe: Die DGL aus Aufgabe 9 können Sie noch nicht lösen. Sie können aber prüfen, ob obige Lösung stimmt. Setzen Sie dazu einfach die Lösung in die DGL ein..

20 Elektrotechnisches Grundlagenlabor 18 Aufgabe 11: Vor dem Labortermin bearbeiten! Skizzieren Sie hier zweimal die Funktion aus Aufgabe 10. Tragen Sie dazu u a (t) über der Zeit 0 t 10s auf. Verwenden Sie für u i 10V und einmal für R C 1s und einmal für R C 2s

21 Elektrotechnisches Grundlagenlabor 19 Aufgabe 12: Vor dem Labortermin bearbeiten! Das Produkt R C hat die Einheit einer Zeit. In der Literatur wird dieses Produkt mit τ (Tau) bezeichnet. Geben Sie für den Fall, dass an.: R 10 k und C 47nF ist, den Zahlenwert mit der Einheit für ms Aufgabe 13: Wird im Labor bearbeitet! Aus Aufgabe 11 erkennt man, dass unser Lösungsvorschlag für die Anpassungsschaltung theoretisch funktioniert. Erkennen Sie das auch? Versuchen Sie einmal selber die bisherigen Ergebnisse zu erklären. Nach dem Einschalten steigt die Spannung am Förderband langsam an bis sie ihren Endwert, in unserem Fall 10 Volt, erreicht hat. Mathematisch wäre das natürlich erst bei t der Fall. Wir wissen auch, dass wir die Zeit, wie lange es dauert bis der Endwert erreicht wird, über das Produkt R C variieren können. Somit ist unsere Aufgabe theoretisch gelöst. Nun wollen wir durch eine Messung wieder überprüfen ob unsere theoretischen Überlegungen richtig waren. Bauen Sie dazu den Messaufbau entsprechend der Versuchsskizze aus Abbildung 5 auf. Verwenden Sie folgende Bauteilwerte: R 10 k C 47nF Für Ihre Messungen verwenden Sie als Schalter S den Funktionsgenerator. Stellen Sie diesen auf ein Rechtecksignal mit 50 Hz und 10 Volt ein. Tragen Sie Ihre Messergebnisse in die folgende Tabelle 2 ein. Notieren Sie nur so viele Nachkommastellen wie nötig!

22 Elektrotechnisches Grundlagenlabor 20 Aufgabe 14: Vor dem Labortermin bearbeiten! Skizzieren Sie Ihre Versuchsanordnung entsprechend Abbildung 5 mit allen für Ihre Messung notwendigen Messgrößen und Beschriftungen hier nochmal. Zur Messung von u i verwenden Sie Kanal 1 des Oszilloskops, für die Messung von ua verwenden Sie den Kanal 2 des Oszilloskops. Skizze der Versuchsanordnung:

23 Elektrotechnisches Grundlagenlabor 21 Tabelle 2: Messung der Ladekurve eines Kondensators entsprechend Abbildung 5 mit R 10 k, C 47nF, u i 10V und 0,47ms t in ms u i in V gemessen u a in V gemessen t berechnet 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,5 2 2,5

24 Elektrotechnisches Grundlagenlabor 22 Aufgabe 15: Tragen Sie hier Wird im Labor bearbeitet! t u a über in einem Diagramm auf.

25 Elektrotechnisches Grundlagenlabor 23 Aufgabe 16: Wird im Labor bearbeitet! Diskutieren Sie Ihre Ergebnisse: t Bestimmen Sie zeichnerisch aus dem Diagramm die Spannung u a bei 1: u a = V t Wieviel Prozent vom Endwert hat u a bei 1? Bestimmen Sie aus den Messwerten die Zeitkonstante τ:

26 Elektrotechnisches Grundlagenlabor 24 Abschlußbemerkung: Bitte überarbeiten Sie im Anschluss der Laborübung Ihr Protokoll mit allen Ergebnissen, die wir im Labor besprochen haben. Sie sollen Ihr Labor-Protokoll auch für spätere Anwendungen verwenden können. Darüber hinaus lernen Sie, wie Sie gestellte Aufgaben vorbereiten, durchführen und dokumentieren. Viel Spaß.