Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydromechanik und Hydrosystemmodellierung

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1 Instationäre Strömung /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/6_instationaer/deckblatt.tex Seite 1 von 18. p.1/18

2 Inhaltsverzeichnis 1. Zeitabhängige Strömungen (eindimensional) 2. Explizite Lösung 3. Implizite Lösung 4. Zentrale Lösung 5. Vergleich /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/6_instationaer/inhaltsverzeichnis.tex Seite 2 von 18. p.2/18

3 Zeitabhängige Strömung Wir betrachten ein poröses Medium, zum Beispiel eine mit feinem Sand gefüllte Röhre, die zwei große Behälter verbindet. Zuerst sind die Wasserstände in beiden Behältern gleich; das System ist im Gleichgewicht. Dann wird das Reservoir auf der linken Seite plotzlich um den Betrag h 1 angehoben, so dass sich ein Druckgradient einstellt. Durch die Auslenkung des Wasserstandes auf der linken Seite muss sich ein neues Gleichgewicht im System einstellen. Wie können diese Sytemveränderung mit Hilfe eines instationären eindimensionalen Systems beschreiben. Die Wasserstände in den beiden Behältern gehen als Randbedingungen in unser Modell ein. /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/6_instationaer/zeitabhaenige_stroemung.tex Seite 3 von 18. p.3/18

4 Zeitabhängige Strömung (1D) ag replacements h(0, t) = h 1 h(l, t) = 0 x = 0 t x x = L i, j + 1 i 1, j i, j i + 1, j t x i, j 1 x /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/6_instationaer/zeitabhaenige_stroemung2.tex Seite 4 von 18. p.4/18

5 Zeitabhängige Strömung (1D) Wir möchten bestimmen, wie sich die Piezometerhöhe als Funktion der Zeit ändert, mit anderen Worten, wir möchten nach h = h(x, t) lösen. Wir betrachten dazu die instationäre Massenbilanzgleichung S s h t + v = 0. (1) Hierbei ist S s der spezifischen Speicherkoeffizienten, der die Änderung des gespeicherten Wasservolumens je Volumeneinheit des Grundwasserraumes bei einer Änderung der Standrohrspiegelhöhe um einen Meter beschreibt. /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/6_instationaer/zeitabhaenige_stroemung3.tex Seite 5 von 18. p.5/18

6 Zeitabhängige Strömung (1D) Betrachten wir nun ein eindimensionales System und setzen die Darcy Gleichung in die Kontinuitätsgleichung ein, dann erhalten wir K 2 h x = S h 2 s t. (2) Zusätzlich zu den Randbedingungen benötigen wir für ein instationäres Problem auch noch die Anfangsbedingungen. Hier ist das die ursprüngliche Piezometerhöhe in den beiden Behältern h(x, 0) = 0. /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/6_instationaer/zeitabhaenige_stroemung4.tex Seite 6 von 18. p.6/18

7 Explizite Lösung Wir approximieren die Gleichung mit der anschaulichen Finiten Differenzen Methode und ersetzen die Differentiale durch Differenzenquotienten. K h i 1,j 2h i,j + h i+1,j ( x) 2 = S s h i,j+1 h i,j t Der Ortsterm wird durch den zweiten Ableitungsterm der Taylorreihe approximiert, der Speicherterm durch eine Vorwärtsdifferenz. Man spricht deshalb von einer Differenzengleichung von zweiter Ordnung im Ort und von erster Ordnung in der Zeit. (3) /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/6_instationaer/explizit.tex Seite 7 von 18. p.7/18

8 Explizite Lösung Betrachten wir die Knotenwerte, stellen wir fest, dass nur ein Knoten auf der neuen Zeitebene j + 1 liegt und die drei anderen von der bekannten Zeitebene j kommen. Die Parameter können wie folgt zusammengefasst werden i 1,j i,j+1 i,j i+1,j Θ = K S s t ( x) 2. (4) Wir schreiben nun alle bekannten Werte auf die rechte Seite h i,j+1 = (1 2Θ)h i,j + Θ (h i 1,j + h i+1,j ). (5) /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/6_instationaer/explizit2.tex Seite 8 von 18. p.8/18

9 Explizite Lösung Die neue Piezometerhöhe (Zeitebene j + 1) kann also direkt aus den bekannten Werten der alten Zeitebene j berechnet werden. Da der berechnete Wert immer nur vom Knoten selbst und seinen beiden Nachbarn auf der früheren Zeitebene abhängt, kann sich eine Information pro Zeitschritt auch nur jeweils einen Knoten weit ausbreiten. Es stellt sich nun eine wichtige Frage in Bezug auf die Werte x und t in Gleichung (4). Können sie unabhängig voneinander gewählt werden? Um diese Frage zu beantworten betrachten wir eine Situation, in der t x, und daher Θ eine große Zahl und (1 2Θ) negativ ist. /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/6_instationaer/explizit3.tex Seite 9 von 18. p.9/18

10 Explizite Lösung h i,j würde in dem Fall negativ und die beiden benachbarten Werte positiv in die Berechnung von h i,j+1 eingehen. Dies hat zur Folge, dass im Moment hohe Werte im nächsten Zeitschritt zu niedrigen Werten führen, was im übernächsten Zeitschritt wieder zu hohen Werten führt. Dies führt zu Oszillationen und damit zur Instabiltät des Systems. Um das zu verhindern muss (1 2Θ) immer positiv sein bzw. muss gelten Θ < 0.5. Das Kriterium für Stabilität bei einer eindimensionalen instationären Grundwassergleichung ist also wie folgt definiert t < S s( x) 2 2K. (6) /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/6_instationaer/explizit4.tex Seite 10 von 18. p.10/18

11 Implizite Lösung Wann man alternativ eine Rückwärtsdifferenzen Approximation für die Zeitableitung verwendet, bekommt man die folgende Differenzengleichung: K h i 1,j 2h i,j + h i+1,j ( x) 2 = S s h i,j h i,j 1 t (7) Die Gleichung beinhaltet nun drei Knoten auf der neuen Zeitebene j und einen auf der alten Zeitebene j 1. i 1,j i,j i+1,j i,j 1 /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/6_instationaer/implizit.tex Seite 11 von 18. p.11/18

12 Implizite Lösung Gruppierung der Knoten für die implizite Lösung. Gleichung (7) kann umgruppiert werden zu: h i 1,j + (2 + 1 Θ )h i,j h i+1,j = 1 Θ h i,j 1 (8) Da wir drei Unbekannte am neuen Zeitlevel j haben, kann diese Gleichung nicht direkt gelöst werden. Wenn man jedoch die Gleichung für h an allen Knoten aufschreibt (ausser den Randknoten, an denen der Wert bekannt ist), bekommt man ein algebraisches Gleichungssystem, das gelöst werden kann. /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/6_instationaer/implizit2.tex Seite 12 von 18. p.12/18

13 Implizite Lösung [ (2+1) Θ 1 (2+1) Θ ] 1 }{{} Steifigkeitsmatrix [ h 2 h 3 ] }{{} Unbekannte = [ ] 1 h Θ 2,j 1 + h 1,j 1 h Θ 3,j 1 + h 4,j }{{} rechte Seite (9) Die rechte Seite enthält die Werte des alten Zeitschritts j 1 und zusätzlich den Einfluß der Randwerte am Zeitlevel j. Dies ergibt eine tridiagonale Matrixgleichung, die wiederholt für jeden Zeitschritt gelöst wird. Der erste Zeitschritt greift auf die Anfangsbedingungen zurück. /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/6_instationaer/implizit3.tex Seite 13 von 18. p.13/18

14 Implizite Lösung Diese Lösung ist als implizite Finite Differenzen Lösung bekannt. Die Lösung ist von zweiter Ordnung im Raum und von erster Ordnung in der Zeit. Da Θ im Nenner des Koeffizienten h i,j in Gleichung (8) auftaucht, wird ein großer Wert von t den Diagonalterm klein machen. Dies wird keine Oszillationen verursachen, sondern lediglich zu einer schlechten zeitlichen Auflösung führen. Im Limit, falls t groß wird, wird die Lösung in einem Zeitschritt ins Gleichgewicht kommen. Alternativ kann der Gleichgewichtszustand erreicht werden indem man in der zeitabhängigen Lösung S s = 0 setzt. /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/6_instationaer/implizit4.tex Seite 14 von 18. p.14/18

15 Zentrale Lösung Um eine Genauigkeit in zweiter Ordnung für die Zeitableitung zu erreichen kann man die linke Seite der finite Differenzengleichung als Mittel zwischen den Zeitleveln j und j 1 schreiben: K 2 ( ) hi 1,j 2h i,j + h i+1,j ( x) 2 + K ( ) hi 1,j 1 2h i,j 1 + h i+1,j 1 2 ( x) 2 = S s h i,j h i,j 1 t (10) /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/6_instationaer/zentral.tex Seite 15 von 18. p.15/18

16 Zentrale Lösung Die Gleichung ergibt die beste Näherung für einen Punkt der (zentriert) zwischen den beiden Zeitlevels liegt. i 1,j i,j i+1,j i,j ½ i 1,j+1 i,j 1 i+1,j 1 /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/6_instationaer/zentral1.tex Seite 16 von 18. p.16/18

17 Zentrale Lösung Die Gleichung kann vereinfacht werden zu: ( h i 1,j ) ( h i,j h i+1,j = h i+1,j ) Θ Θ h i,j 1 +h i+1,j 1. Alle Unbekannten (die Werte für h am neuen Zeitlevel j) erscheinen auf der linken Seite der Gleichung und alle Bekannten erscheinen auf der rechten Seite. Die Matrixgleichung ist von der selben Form wie die für die implizite Lösung. Sie ist als zentrale finite Differenzenlösung oder als Crank-Nicholson Methode bekannt, und ist sowohl von zweiter Ordnung im Ort als auch in der Zeit. Die Lösung dieses Verfahren ist, wie auch beim impliziten Verfahren, uneingeschränkt stabil. /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/6_instationaer/zentral2.tex Seite 17 von 18. p.17/18

18 Vergleich Jede der dargestellen drei Lösungstypen hat Vorteile und Nachteile. Die explizite Lösung ist am einfachsten zu programmieren, aber die Stabilitätseinschränkungen können sehr kleine Zeitschritte erfordern. Das implizite und das zentrale Verfahren haben diesen Nachteil nicht, bezahlen dies aber mit einem aufwändigeren Lösungsverfahren. Die zentrale Form ergibt die beste Genauigkeit auf Kosten der höchsten Programmierungsaufwands. Die implizite und zentrale Methode benötigen ebenfalls mehr Computerspeicher als die explizite Form. Bei der impliziten und zentralen Lösung des Strömungsproblems ist die Länge des Zeitschritts willkürlich; ein kürzerer Zeitschritt ergibt jedoch eine bessere Auflösung des Zeitverhaltens. /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/6_instationaer/vergleich.tex Seite 18 von 18. p.18/18