Technische Numerik Numerische Integration

Transkript

1 W I S S E N T E C H N I K L E I D E N S C H A F T Technische Numerik Numerische Integrtion Peter Gngl Institut für Angewndte Mthemtik, Technische Universität Grz c Alle Rechte vorbehlten. Nchdruck und Weitergbe nur mit Genehmigung des Autors Skizzen zu Newton Cotes Formeln g +b ) Mittelpunktsformel gb) g) Trpezregel +b b s Simpson Regel b s gb) g +b ) g) +b b s 9 P. Gngl, Institut für Angewndte Mthemtik, Technische Universität Grz

2 Beispiele für Newton Cotes Formeln n Nme x i ω i O. Fehler Mittelpunktsformel Trpezregel, b +b b b, b Simpson Regel, +b, b b 6, b ), b 6 4 /8 Regel, + b b 8, b ) b, b b ), b Milne Regel, + b 4, 7b ) 9, 6b ) 45, 6b ) , b 6b ), 7b ) b ) f η) b ) f η) 9 b )5 f 4) η) 8 b )5 f 4) η) b 4 )7 f 6) η) mit Zwischenwertstellen η, b). Ab n = 8 treten negtive Gewichte uf, ws zu Instbilitäten führen knn. Kleine Änderungen von f wirken sich uf I n f ) stärker us ls uf If ). 4 P. Gngl, Institut für Angewndte Mthemtik, Technische Universität Grz Beispiel.5 f x) = x /4)x /)x 5/)x /4)x 4) + 6, x [, 4] P. Gngl, Institut für Angewndte Mthemtik, Technische Universität Grz

3 Beispiel.5 f x) = x /4)x /)x 5/)x /4)x 4) + 6, x [, 4] Newton-Cotes Formeln: n = : I f ) = 4f ).875 n = : I f ) = 4 f ) + f 4)) n = : I f ) = 4 f ) + 4f ) + f 4)) n = : I f ) = 4 f ) + f 4 8 ) + f 8 ) ) + f 4) 4.9 n = 4 : I 4 f ) = 4 7f ) + f ) + f ) + f ) + 7f 4)) Es gilt I 4 f ) = 4 f x)dx, d f 6) 4 P. Gngl, Institut für Angewndte Mthemtik, Technische Universität Grz Beispiel.5 f x) = x /4)x /)x 5/)x /4)x 4) + 6, x [, 4] Zusmmengesetzte Newton-Cotes Formeln: n = 4 Zusmmengesetzte Trpezregel: I ) n f ) = 4 f ) + f ) + f ) + f ) + f 4)) Zusmmengesetzte Simpson-Regel: I ) n f ) = 4 f ) + 4f ) + f ) + 4f ) + f 4)) P. Gngl, Institut für Angewndte Mthemtik, Technische Universität Grz

4 Guß Legendre Qudrturformel Beispiel.6: n =, [, b] = [, ]: Q G f ) = ω f x ) + ω f x ) Polynome p Π sollen exkt integriert werden. Forderungen: Q G ) = ω + ω = = Q G x) = ω x + ω x = = Q G x ) = ω x + ω x = = Q G x ) = ω x + ω x = = Aus Symmetriegründen und. Gl.: ω = ω =. Aus. und 4. Gl.: x = x. Aus. Gl.: x = somit x = dx = I) x dx = Ix) x dx = Ix ) x dx = Ix ) 44 P. Gngl, Institut für Angewndte Mthemtik, Technische Universität Grz Vergleich Simpson Regel und Guß Legendre Simpson Regel f x)dx = cosαπx)dx I f ) = f ) + 4 f ) + f ) Guß Legendre Qudrturformel für n = Q G f ) = f /) + f /) α Simpson Fehler Simp. Guss Fehler G. exkt / π.7 / π.86 Im Allgemeinen ist die Guß Legendre Qudrturformel für n = genuer ls die Simpson Regel. 45 P. Gngl, Institut für Angewndte Mthemtik, Technische Universität Grz

5 Legendre Polynome Für [, b] = [, ] und wx) = sind die Orthogonlpolynome die Legendre Polynome mit P k x) = d k k k! dx k x ) k P i x)p j x)dx = δ i,j j + Legendre Polynome P.6 P.8 P P und Rekursion P x) =, P x) = x, k + )P k+ x) = k + )xp k x) kp k x) für k =,, P. Gngl, Institut für Angewndte Mthemtik, Technische Universität Grz Guß Legendre Qudrturformeln Für [, b] = [, ] und wx) = sind die Orthogonlpolynome die Legendre Polynome. Für n = : P x) = x ht die Nullstelle x = und mit L x) = ist ds Integrtionsgewicht ω = L x)dx =. Für n = : Ds Orthogonlpolynom P x) = 5 xp x) P x) = 5 x x ) x = 5 x x = x 5x )! = ht die Nullstellen x = 5, x =, x = 5. Die Gewichte sind dnn ω = 5 9, ω = 8 9, ω = P. Gngl, Institut für Angewndte Mthemtik, Technische Universität Grz

6 Fehlerkonstnte der Guss Legendre Qudrtur Für wx) = gilt Cn,[,b] w := b n + )! n x x j ) dx j= b n = n = n = 7 4.4e-.5e-4.9e- 7.4e-.9e-7.e-8.e-4 5.6e-.7e-.5 7.e-6.e-.e-8 48 P. Gngl, Institut für Angewndte Mthemtik, Technische Universität Grz Guß Tschebyscheff Qudrturformeln Für [, b] = [, ] und wx) = x ) / sind die Orthogonlpolynome die Tschebyscheff Polynome vgl. Abschnitt..) T n+ x) = cosn + ) rccos x) mit den Nullstellen x i = cos i + )π n + ) i =,..., n und den Gewichten ω i = π n + i =,..., n. 49 P. Gngl, Institut für Angewndte Mthemtik, Technische Universität Grz

7 Guß Qudrtur im Mehrdimensionlen geg: sklre Funktion f x) vom Ort x R d, d =, ges: Näherung für If ) = f x)d x für Gebiet R d Punkt Guss Formel mit und Schwerpunkt Dbei ist Q G If ) Q G F) = f x ) = d x x = xd x. exkt für konstnte und linere Funktionen. 5 P. Gngl, Institut für Angewndte Mthemtik, Technische Universität Grz Qudrtur für Vierecke chsenprlleles Viereck = [, b] [c, d] b d f x)d x = f x, x )dx dx n i= c m j= b d c ω iω j f b ˆx i + +b, d c ˆx j + c+d ) eindimensionle Integrle mit Guß Qudrtur Stützstellen ˆx i ) exkt in x i Richtung wie die jeweils verwendete Guß Formel llgemeines Viereck durch Trnsformtion uf Referenzqudrt komplexere Gebiete: mittels Zerlegung in elementre Elemente Dreiecke, Vierecke) und Qudrturformeln uf diesen Elementen. 5 P. Gngl, Institut für Angewndte Mthemtik, Technische Universität Grz

8 Qudrtur für Dreiecke Trnsformtion uf ein Referenzdreieck ˆ mit Eckpunkten, ),, ),, ) : x = Aˆx + b für ˆx ˆ ˆx ˆ x ) x ) x ) wobei für die Ecken x j) von ngeordnet im Gegenuhrzeigersinn) ) ) ) x ) = A + b, x ) = A + b, x ) = A + b ˆx lso A = x ) x ), x ) x )), b = x ). 5 P. Gngl, Institut für Angewndte Mthemtik, Technische Universität Grz Integrltrnsformtion für Dreiecke Somit lässt sich ds Integrl trnsformieren: f x)d x = f Aˆx + b) det A d ˆx }{{} ˆ = =:ˆf ˆx) ˆx Approximtion durch Qudrturformel f x)d x ˆf ˆx, ˆx ) d ˆx d ˆx n ω i f Aˆx i) + b) Somit genügen Qudrturformeln für ds Referenzdreieck mit Qudrturpunkten ˆx i) ˆ und Gewichten ω i. i= 5 P. Gngl, Institut für Angewndte Mthemtik, Technische Universität Grz

9 Qudrturformeln fürs Referenzdreieck Mittelpunktsformel Ordnung, s.o): ˆx ) = /, /), ω = / Eckpunkte Ordnung ): ˆx ) =, ), ˆx ) =, ), ˆx ) =, ), ω i = /6 Seitenmitten Ordnung ): ˆx ) =, /), ˆx ) = /, ), ˆx ) = /, /), ω i = /6 innere Punkte Ordnung ): ˆx ) = /6, /6), ˆx ) = 4/6, /6), ˆx ) = /6, 4/6), ω i = /6 54 P. Gngl, Institut für Angewndte Mthemtik, Technische Universität Grz Qudrturformeln fürs Referenzdreieck 7 Punkte Formel Ordnung 6): ˆx ) =, ) ˆx ) = 6 ) 5, 6 5 ˆx ) = 9+ ) 5, 6 5 ˆx ) = 6 ) 5, 9+ 5 ˆx 4) = 6+ ) 5, 6+ 5 ˆx 5) = 9 ) 5, 6+ 5 ˆx 6) = 6+ ) 5, 9 5 ω = 9 8 ω = ω = ω = ω 4 = ω 5 = ω 6 = P. Gngl, Institut für Angewndte Mthemtik, Technische Universität Grz