10 Numerische Integration

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1 1 Numerishe Integrtion Integrle sind in den seltensten Fällen nlytish geshlossen berehenbr. Die numerishe Berehnung von Integrlen (Qudrtur) ist eine der ältesten Aufgben in der numerishen Mthemtik. In diesem Kpitel werden Methoden zur Lösung dieser Aufgbe diskutiert. Wir konzentrieren uns zunähst uf einige wihtige Grundprinzipien der Konstruktion von Näherungsformeln für ein eindimensionles Integrl f(x) dx einer stetigen Funktion f C[, b]. Im Anshluß wird ein einfher Anstz zur näherungsweisen Berehnung von mehrdimensionlen Integrlen diskutiert. 1.1 Einleitung Sei I = f(x) dx, Ĩ = f(x) dx wobei f ein gestörter Integrnd ist. Mit f f := mx f(x) f(x) erhält x b mn I Ĩ = f(x) f(x) dx f(x) f(x) dx (b ) f f. Dies zeigt, dß die bsolute Kondition des Integrtionsproblems (bezüglih der Mximum-Norm) gut ist. Für die reltive Kondition ergibt sih hingegen I Ĩ I (b ) f f = f dx b f(x) dx f(x) dx f f f =: κ f f rel. f

2 348 1 Numerishe Integrtion Somit knn gnz nlog zur Auslöshung bei der Summenbildung κ rel 1 uftreten (nämlih wenn f(x) dx f dx). Die gängige Strtegie zur näherungsweisen Berehnung von läßt sih folgendermßen umreißen: f(x) dx 1. Mn unterteile [, b] in Teilintervlle [t k 1,t k ]z.b.mitt j = + jh, j =,...,n, h = b n. 2. Approximiere f uf jedem Intervll [t k 1,t k ]durheineeinfh zu integrierende Funktion g k, und verwende n k=1 tk t k 1 g k (x) dx n k=1 tk t k 1 f(x) dx = ls Näherung für ds exkte Integrl. f(x) dx (1.1) Als einführendes Beispiel betrhten wir die sogennnte Trpezregel. Dbei wählt mn in (1.1) speziell g k (x) = x t k 1 h f(t k )+ t k x f(t k 1 ), (1.2) h d. h. die linere Interpoltion n den Intervllenden von [t k 1,t k ]. Folglih ist tk t k 1 g k (x) dx gerde die Flähe h 2 [f(t k 1)+f(t k )] (1.3) des durh den Grphen von g k (x) definierten Trpezes (vgl. Abbildung 1.1). f h 2 [f(t k 1)+f(t k )] t k 1 t k Abb Trpezregel

3 1.1 Einleitung 349 Dies liefert die summierte Trpezregel [ 1 T (h) =h 2 f()+f(t 1)+ + f(t n 1 )+ 1 ] 2 f(b) (1.4) ls Näherung für f(x) dx. Für den Verfhrensfehler der Teilintegrle gilt folgende Drstellung: Lemm 1.1. Sei f C 2 ([t k 1,t k ]). Esgilt: h tk 2 [f(t k 1)+f(t k )] = f(x) dx + f (ξ k ) h 3 t k 1 12 für ein ξ k [t k 1,t k ]. Beweis. Aus Stz 8.22 folgt, mit g k wie in (1.2), f(x) g k (x) =f(x) P (f t k 1,t k )(x) =(x t k 1 )(x t k ) f (ξ), 2 mit einem ξ wofür min{x, t k 1 } ξ mx{x, t k } gilt. Behte, dß ξ = ξ x von x bhängt. Integrtion liefert tk f(x) dx = h t k 1 2 [f(t k 1)+f(t k )]+ 1 tk (x t k 1 )(x t k )f (ξ x ) dx. (1.5) 2 t k 1 Sei 1 tk 2 t := k 1 (x t k 1 )(x t k )f tk (ξ x ) dx t 1 tk = k 1 (x t k 1 )(x t k )f (ξ x ) dx 2 t k 1 (x t k 1 )(x t k ) dx 1. 6 h3 Weil (x t k 1 )(x t k )für x [t k 1,t k ] ein festes Vorzeihen ht, gilt min f (x) mx f (x). x [t k 1,t k ] x [t k 1,t k ] Aufgrund des Zwishenwertstzes muß gelten = f (ξ k ) für ein ξ k [t k 1,t k ]. Einsetzen in (1.5) bestätigt die Behuptung. Für den Verfhrensfehler von T (h) ergibt sih dmit die Abshätzung b T (h) f(x) dx = n n k=1 f (ξ k ) h 3 h k=1 f (ξ k ) h3 12 n mx x [,b] f (x).

4 35 1 Numerishe Integrtion Mit nh = b ergibt sih insgesmt die Fehlershrnke T (h) f(x) dx h 2 (b ) mx 12 f (x). (1.6) x [,b] Ebenflls erhält mn wegen E(h) :=T (h) und E(h) lim h h 2 = 1 12 die Fehlershätzung E(h) f(x) dx = n k=1 f (ξ k ) h 3 = h n hf (ξ k ) k=1 f (x) dx = 1 12 (f (b) f ()) Ê(h) :=h2 12 (f (b) f ()). (1.7) Die Fehlershätzung Ê(h) in (1.7) liefert llerdings keine strikte Shrnke für den Diskretisierungsfehler und bietet somit eine etws weniger zuverlässige ber in der Prxis in der Regel sehr gute quntittive Aussge. Eine shlehte Shätzung erhält mn z.b. wenn f () =f (b) lso Ê(h) =ist,bere(h) groß ist. Wenn ber beispielsweise die dritte Ableitung von f beshränkt ist, gibt Ê(h) im folgenden Sinne ttsählih zuverlässigen Aufshluß über den wirklihen Fehler. Es gilt nämlih b Ê(h) E(h) h3 mx 12 f (x). (1.8) x [,b] Der Shätzwert gibt lso den wirklihen Fehler unter obiger Annhme bis uf einen Restterm der Ordnung h 3 wieder. Mn sieht (1.8) folgendermßen ein. Wegen mx x [tk 1,t k ] f (x) f (ξ k ) h mx x [,b] f (x) gilt nämlih Ê(h) E(h) = h 2 = 12 n { t k } f (x) dx hf (ξ k ) t k 1 k=1 n h2 tk h n k=1 tk k=1 h 3 b 12 (f (x) f (ξ k )) dx t k 1 t k 1 f (x) f (ξ k ) dx mx x [,b] f (x).

5 Beispiel 1.2. Zur näherungsweisen Berehnung von I = π/2 1.2 Newton-Cotes-Formeln 351 x os x + e x dx = π 2 + e 1 2 π 2 mit der Trpezregel ergeben sih die in Tbelle 1.1 ngegebenen Näherungswerte, Verfhrensfehler und Fehlershätzungen (1.7). Tbelle 1.1. Trpezregel n T (h) E(h) = T (h) I h2 Ê(h) = π 12 2 f () e e e e e e e e Newton-Cotes-Formeln Die Trpezregel ist ein Spezilfll der folgenden llgemeinen Vorgehensweise. Für ein typishes Teilintervll [t k 1,t k ] in (1.1) stehe der Einfhheit hlber im Folgenden [, d]. Seien nun x,...,x m [, d] vershiedene Punkte. Als Näherung für f verwendet mn ds Interpoltionspolynom P (f x,...,x m )zudenstützstellen x j. Als Näherung für f(x) dx erhält mn dnn die Qudrturformel I m (f) = P (f x,...,x m )(x) dx, (1.9) wobei ds Integrl eines Polynoms einfh zu berehnen ist. Obiges Beispiel der Trpezregel ist von diesem Typ (m =1,x =, x 1 = d). Stz 1.3. Sei I m (f) durh (1.9) definiert. Für jedes Polynom Q Π m gilt I m (Q) = Q(x) dx. Mn sgt, die Qudrturformel ist exkt vom Grde m. Beweis. Sei Q Π m. Wegen der Eindeutigkeit der Polynominterpoltion gilt P (Q x,...,x m )(x) =Q(x),

6 352 1 Numerishe Integrtion und deshlb I m (Q) = P (Q x,...,x m )(x) dx = Q(x) dx. Wie wir später sehen werden, ist der Exktheitsgrd ein wesentlihes Qulitätsmerkml einer Qudrturformel. In der Form (1.9) ist die Qudrturformel noh niht prktish nwendbr. Für die Konstruktion konkreter Formeln ist folgendes Resultt nützlih. Lemm 1.4. I m (f) us (1.9) ht die Form I m (f) =h j f(x j ), (1.1) j= wobei wieder h = d und die Gewihte j durh j = 1 h m k= k j x x k x j x k dx = 1 h l jm (x) dx (1.11) gegeben sind. Die Polynome l jm ( j m) sind die Lgrnge- Fundmentlpolynome zu den Stützstellen x,...,x m. Beweis. (1.1) und (1.11) folgen sofort us der Drstellung (8.5) des Lgrnge- Interpoltionspolynoms. Wählt mn speziell die Stützstellen x j äquidistnt x = h =: + ξ h, wenn m =, x j = + j m h =: + ξ jh, j =,...,m, wenn m>, (1.12) erhält mn die Newton-Cotes-Formeln. Mn knn dnn (1.1) in der Form I m (f) =h j f( + ξ j h) (1.13) j= mit normierten Stützstellen ξ j und Gewihten j shreiben, die jetzt unbhängig vom speziellen Intervll [, d] sind. Tbelle 1.2 enthält einige gängige Beispiele.

7 Tbelle 1.2. Newton-Cotes-Formeln 1.2 Newton-Cotes-Formeln 353 m ξ j j I m(f) R d f(x) dx 1 Mittelpunktsregel h3 f (2) (ξ) 1 Trpezregel, 1 1 2, Simpson-Regel, 1, 1 1, 4, Regel, 1, 2, 1 1, 3, 3, Milne-Regel, 1, 1, 3, 1 7, 32, 12, 32, h3 f (2) (ξ) 1 ( h)5 f (4) (ξ) 3 ( h)5 f (4) (ξ) 8 ( h)7 f (6) (ξ) Fehlershrnken Je höher der Grd der Exktheit ist, desto genuere Näherungen für ds Integrl erwrtet mn, vorusgesetzt, ds Interpoltionspolynom liefert eine gute Approximtion der Funktion f. Mith = d liefert die Restgliedbshätzung (8.34) ls (grobe) Abshätzung f(x) dx I m (f) h mx m x [,d] j= x x j f (m+1) (m +1)! hm+2 (m +1)! f (m+1), (1.14) wobei f =mx x [,d] f(x) die Mximumnorm uf [, d] ist. Dß diese Abshätzung niht immer bestmöglih ist, zeigt Tbelle 1.2. Flls m gerde ist, ist in den ufgelisteten Fällen die h-potenz im Restglied für m und m+1 die gleihe. Ds Resultt für den Verfhrensfehler der Trpezregel in Tbelle 1.2 ist in Lemm 1.1 bewiesen. Summierte Newton-Cotes-Formeln Wie bei der Trpezregel knn mn für jede Newton-Cotes-Formel eine zugehörige summierte (oder wiederholte) Regel herleiten. Als Beispiel behndeln wir die summierte Simpson-Regel. Anwendung der Simpson-Regel uf jedem Teilintervll [, d] =[t k 1,t k ], t k = + kh, k =,...,n, h = b n ergibt die summierte Simpson-Regel mit S(h) = f(x) dx + E(h)

8 354 1 Numerishe Integrtion S(h) = h 6 [ f(t )+4f ( t + t ) 1 +2f(t 1 )+4f 2 2f(t 2 )+...+2f(t n 1 )+4f ( t1 + t ) ] (1.15) ( tn 1 + t ) n + f(t n ) 2 und E(h) = n k=1 Es gilt, wegen nh = b, 1 9 (1 2 h)5 f (4) (ξ k )= h4 288 n hf (4) (ξ k ), ξ k [t k 1,t k ]. k=1 E(h) h4 288 h4 E(h) 288 (b ) f (4), f (4) (x) dx = h4 288 ( f (3) (b) f (3) () ). Für die Shätzung gelten nloge Bemerkungen wie bei der Trpezregel. Der Shätzwert gibt den ttsählihen Fehler bis uf einen Term der Ordnung O(h 5 ) n, flls die fünfte Ableitung von f beshränkt ist. Mn behte, dß beim Aufsummieren der einzelnen Teilintegrle, f(x) dx = n tk k=1 t k 1 f(x) dx, im Fehler eine h-potenz verloren geht. Beispiel 1.5. Für ds Integrl in Beispiel 1.2 ergeben sih die Resultte wie in Tbelle 1.3. Tbelle 1.3. Simpson-Regel n S(h) E(h) h 4 ( π ) f (3) () e e e e e 7 2.7e e e 8 Mn behte, dß die Simpson-Regel für gegebenes n etw doppelt so viele Funktionsuswertungen benötigt wie die Trpezregel, llerdings ufgrund des höheren Exktheitsgrdes einen qudrtish kleineren Fehler die doppelte Anzhl korrekter Stellen bietet.

9 1.3 Guß-Qudrtur Guß-Qudrtur Bei Newton-Cotes-Formeln höherer Ordnung ergeben sih shließlih Gewihte mit wehselnden Vorzeihen. Aufgrund von Auslöshung sind derrtige Formeln weniger stbil. Der Aufwnd bei Qudrtur wird im llgemeinen n der Anzhl der Funktionsuswertungen fest gemht. Letztere können beispielsweise wiederum die Ausführung eines mögliherweise ufwendigen Algorithmus erfordern. Insofern knn mn folgende Zielvorgben formulieren: Entwikle für m N eine Formel ŵ i f(x i )= i= P (f x,...,x m )(x)dx (1.16) mit: positiven Gewihten ŵ i, i =,...,m; mit möglihst hohem Exktheitsgrd n m, d.h., Q(x) dx = ŵ i Q(x i ), Q Π n. (1.17) i= Der Exktheitsgrd bei Newton-Cotes-Formeln I m (f) ist entweder m oder m+1. Es zeigt sih, dß mn dies verbessern knn. Allerdings sieht mn leiht, dß mn mit einer Formel des Typs (1.17) höhstens den Exktheitsgrd 2m + 1 relisieren knn. Würde nämlih (1.17) für n 2m +2 gelten, ergäbe sih für Q(x) := m i= (x x i) 2 Π 2m+2 < Q(x)dx = ŵ i Q(x i )=, lso ein Widerspruh. Dß mn jedoh (1.17) für n =2m + 1 relisieren knn, lso einen im Verhältnis zu den Funktionsuswertungen doppelten Exktheitsgrd erreihen knn, deutet folgende Heuristik n. Für n =2m+1knn mn us (1.17) 2m+ 2 Gleihungen erhlten, wenn mn für Q jeweils n+1=2m+2bsispolynome für den (n + 1)-dimensionlen Rum Π n einsetzt. Bei den Newton-Cotes- Formeln wurden nun die Stützstellen x i äquidistnt vorgegeben. Betrhtet mnjedohdiem+1 Stützstellen x i sowie die m+1 Gewihte ŵ i ls insgesmt 2m+2 Freiheitsgrde, so stehen für besgte 2m+2 Gleihungen genu 2m+2 Unbeknnte zur Verfügung. Obwohl dies noh keine Lösbrkeit impliziert (die Gleihungen sind nihtliner in den x i ), so hält dies doh die Möglihkeit offen. Dß es dnn ttsählih funktioniert, zeigen die Gußshen Qudrturformeln, die eine Verdopplung des Exktheitsgrdes erluben. i=

10 356 1 Numerishe Integrtion Stz 1.6. Sei m. EsexistierenStützstellen x,...,x m (, d), so dß mit h = d h w i f(x i ):= i= = P (f x,...,x m )(x) dx f(x) dx + E f (h) (1.18) und E Q = für lle Q Π 2m+1. (1.19) Die Gewihte w i sind positiv und durh w i = 1 h m k= k i x x k x i x k dx = 1 h gegeben. Ferner gilt für pssendes ξ [, d] l im (x) dx ( ) 4 (m +1)! E f (h) = ( ) 3 h 2m+3 f (2m+2) (ξ). (1.2) (2m +2)! (2m +3) Beweis. Einen Beweis findet mn etw in [HH]. Wie bei den Newton-Cotes-Formeln (Lemm 1.4) folgt die Formel für die Gewihte sofort us der Drstellung (8.5) des Lgrnge-Interpoltionspolynoms. Diese Gewihte w i stimmen mit h 1 ŵ i in (1.16) überein. Die Fehlerdrstellung (1.2) besgt gerde, dß E f =istfür jedes f Π 2m+1, die Guß- Formel lso exkt vom Grde 2m+1 ist (und somit folgt (1.19) us (1.2)). Im Vergleih mit den Newton-Cotes-Formeln ist hier lso entsprehend uh der Exponent der h-potenz in der Fehlershrnke (vgl. (1.14)) etw um einen Fktor 2 größer. Dies mht diese Qudrtur-Methode sehr ttrktiv, wenn die Glttheit der Integrnden entsprehend groß ist. Stz 1.6 liefert nur eine Existenz ussge für Stützstellen. Er ist ein Spezilfll eines llgemeineren Resultts für die näherungsweise Berehnung von Integrlen der Form f(x) ω(x) dx, wobei hier ω eine feste uf (, d) gegebene positive Gewihtsfunktion ist. Konstruktive Methoden zur Bestimmung der Stützstellen x i (und Gewihte w i ) hängen eng mit sogennnten Orthogonlpolynomen bezüglih der Gewihtsfunktion ω zusmmen. Orthogonlpolynome bilden gerde polynomile Bsisfunktionen, die bezüglih des Sklrproduktes (f,g) ω := f(x)g(x) ω(x) dx,

11 1.3 Guß-Qudrtur 357 f,g C([, d]), orthogonl sind. Mn knn zeigen, dß derrtige Orthogonlpolynome stets reelle prweise vershiedene Nullstellen in [, d] hben. Diese Nullstellen des Orthogonlpolynoms vom Grde m +1sind gerde die Stützstellen x i in der Guß-Qudrturformel h m i= w if(x i )für ds Integrl f(x)ω(x) dx. Speziell für [, d] =[ 1, 1] und ω(x) = 1 sind die Stützstellen bei der Guß-Qudrtur ls die Nullstellen des sogennnten Legendre- Polynoms vom Grde m + 1 hrkterisiert. Diese Nullstellen können für llgemeines m zwr niht durh eine geshlossene Formel ngegeben werden, jedoh über eine numerishe Methode bestimmt werden. Es gibt ntürlih Tbellen mit diesen Werten für entsprehend stndrdisierte Intervlle (vgl. [HH]). Für ein llgemeines Intervll [, d] [ 1, 1] knn mn die Stützstellen über eine geeignete Trnsformtion us denen des Intervlls [ 1, 1] berehnen, wie in Abshnitt erklärt wird. Ws stekt hinter der hohen Fehlerordnung? Wir deuten nun kurz ds Zustndekommen dieser hohen Fehlerordnung für den speziellen Fll ω(x) = 1 n (die Argumenttion im llgemeinen Fll ist gleih) und nehmen n, P m+1 (x) seids(m+1)-te Orthogonlpolynom, d. h., (P m+1,q):= P m+1 (x)q(x) dx = Q Π m. (1.21) Wir können P m+1 so normieren, dß der führende Koeffizient gleih eins ist, P m+1 lso die Form P m+1 (x) =(x x ) (x x m ) ht, wobei, wie oben erwähnt wurde, die x j gerde die prweise vershiedenen Nullstellen von P m+1 in [, d] sind. Sei Q Π 2m+1 beliebig. Mit Polynomdivision knn mn zeigen, dß eine Fktorisierung Q = P m+1 Q 1 + Q 2, mit Q 1,Q 2 Π m existiert. Weil P m+1 Nullstellen x,...,x m ht, gilt für ds Interpoltionspolynom von P m+1 Q 1 n diesen Stützstellen P (P m+1 Q 1 x,...,x m ) =. Wegen Q 2 Π m gilt P (Q 2 x,...,x m )=Q 2. Hierus und mit Hilfe von (1.21) erhält mn Q(x) dx = = = = P m+1 Q 1 (x) dx + Q 2 (x) dx = Q 2 (x) dx P (Q 2 x,...,x m )(x) dx P (P m+1 Q 1 x,...,x m )(x) dx + P (Q x,...,x m )(x) dx, P (Q 2 x,...,x m )(x) dx

12 358 1 Numerishe Integrtion lso E Q =. Dmit ist gezeigt, dß diese Qudrturformel den mximlen Exktheitsgrd 2m+1 ht. Um die Fehlerdrstellung (1.2) zu erläutern wählen wir ein spezielles Q Π 2m+1,nämlih ein Hermite-Interpoltionspolynom so dß Q(x j )=f(x j ), Q (x j )=f (x j ), j m. Hierfür gilt die Fehlerdrstellung (vgl. (8.33), Bemerkung 8.35) f(x) Q(x) =(x x ) 2...(x x m ) 2 f (2m+2) (ξ) (2m +2)! = P m+1 (x) 2 f (2m+2) (ξ) (2m +2)!. Weil f und Q n den Stützstellen übereinstimmen gilt P (f x,...,x m )= P (Q x,...,x m ), und erhält mn E f = = = f(x) dx f(x) dx f(x) dx = f (2m+2) (ξ) (2m +2)! P (f x,...,x m ) dx P (Q x,...,x m ) dx Q(x) dx = P m+1 (x) 2 dx. f(x) Q(x) dx Aus Eigenshften des Orthogonlpolynoms P m+1 knn mn dnn die Beziehung (1.2) herleiten. Dß die Gewihte w j ttsählih positiv sind, ergibt sih us der Exktheit vom Grde 2m + 1 durh Anwendung uf ds spezielle Polynom q(x) := m i=,i k (x x i) 2 Π 2m Π 2m+1,denn < q(x)dx = i= w i q(x i )=w k q(x k )=w k m i=,i k (x k x i ) 2. Ein gewisser Nhteil der Guß-Formeln liegt llerdings drin, dß mn bei einer Steigerung des Grdes einen kompletten Stz neuer Funktionsuswertungen benötigt, d die Nullstellen des nähst höheren Orthogonlpolynoms untershiedlih sind. Numerishe Tests Wir untersuhen nun den in der Fehlerformel uftretenden Fktor C k,h := (k!) 4 ((2k)!) 3 (2k +1) h2k+1 (k = m +1).Für gltte Funktionen (d. h., f (2k) wird niht llzu groß, wenn k größer wird) wird die Qulität der Guß-Qudrtur im Wesentlihen durh

13 1.3 Guß-Qudrtur 359 Tbelle 1.4. C k,h h k =2 k =4 k = e 1 1.5e 4 2.9e e 3 2.9e 7 2.2e e 4 5.6e 1 1.7e e 6 1.1e e 28 den Fktor C k,h bestimmt. In Tbelle 1.4 werden einige Werte für diesen Fktor ufgelistet. Sei I k,n f(x) dx = I(f) die Qudrturformel, wobei [, b] inn Teilintervlle mit Länge b n = h unterteilt wird und uf jedem Teilintervll eine Guß-Qudrtur mit k Stützstellen ngewndt wird. Sowohl für I 2k,n ls uh für I k,2n wird die Anzhl der Funktionsuswertungen etw verdoppelt im Vergleih zu I k,n. In Tbelle 1.4 knn mn sehen, dß mn I I 2k,n I I k,2n erwrten drf. Dher wird in der Prxis bei Guß- Qudrtur n in der Regel klein gewählt, oft sogr n =1. Beispiel 1.7. Die Guß-Qudrtur mit [, d] =[, π 2 ] (d. h. n = 1 in (1.1)) für ds Integrl in Beispiel 1.2 ergibt die Resultte in Tbelle 1.5. Tbelle 1.5. Guß-Qudrtur m I m I m I e e e e 1 Mn sieht, dß in diesem Beispiel die Genuigkeit der Guß-Qudrtur mit 5 Funktionswerten (m =4;k = 5) besser ist ls die der Simpson-Regel ngewndt uf n = 32 Teilintervlle (vgl. Tbelle 1.3), wobei insgesmt 65 Funktionswerte benötigt werden. Für Probleme mit glttem Integrnden ist die Guß-Qudrtur dher oft gut geeignet, wenn eine hohe Genuigkeit erforderlih ist. Mn knn die Chrkterisierung der Stützstellen über die Legendre-Polynome umgehen und sie direkt mit Hilfe der Eigenshft (1.19) bestimmen, lso ds entsprehende Gleihungssystem lösen. Diese Methode wird nhnd des folgenden Beispiels illustriert. Beispiel 1.8. Es sei [, d] =[ 1, 1] und m = 1. Die Guß-Qudrturformel I 1 (f) =2( f(x )+ 1 f(x 1 ))

14 36 1 Numerishe Integrtion muß für p Π 3 exkt sein, d. h. 1 p(x) dx =2( p(x )+ 1 p(x 1 )) für p(x) =x k,k=, 1, 2, 3. 1 Aus 1 x k dx =2( x k + 1 x k 1), k =, 1, 2, 3, 1 erhält mn die Gleihungen 2=2( + 1 ), =2( x + 1 x 1 ), 2 3 =2( x x 2 1), =2( x x 3 1). Dieses nihtlinere Gleihungssystem ht genu zwei Lösungen: = 1 = 1 2, x = 1 3, x1 = 1 3, 3 3 = 1 = 1 2, x = 1 3, x1 = 1 (1.22) Dies führt uf die Guß-Qudrturformel: I 1 (f) =f ( 1 ) (1 ) 3 + f Drus erhält mn uh eine Formel für ein beliebiges Intervll [, d], siehe Beispiel Extrpoltion und Romberg-Qudrtur Ds Prinzip der Extrpoltion liefert eine weitere wihtige Methode zur Genuigkeitsverbesserung, bei der mn insbesondere im Gegenstz zu den Guß- Formeln progressiv vorgehen knn, d. h., bei einer Steigerung knn mn vorher berehnete Funktionswerte wieder verwenden. Im Flle der numerishen Integrtion läßt sih dieses Prinzip z. B. im Zusmmenhng mit der Trpezregel verwenden. Zu berehnen sei ds Integrl I = f(x) dx. Die Trpezsumme (1.4) liefert eine Approximtion der Ordnung h 2 (siehe (1.6)). Diewesentlihe Grundlgefür den Erfolg von Extrpoltionstehniken bildet eine sogennnte symptotishe Entwiklung des Diskretisierungsfehlers.

15 1.4 Extrpoltion und Romberg-Qudrtur 361 Im Flle der Trpezsumme knn mn diesen Fehler genuer in folgender Reihenentwiklung beshreiben, wenn f genügend gltt ist: Für f C 2p+2 ([, b]) gilt (s. [SB]) T (h) I = 1 h h h p h 2p + O(h 2p+2 ). (1.23) Wihtig für die folgende Argumenttion ist keinesflls die Kenntnis der Koeffizienten k, sondern lediglih die Ttshe, dß die Koeffizienten k niht von h bhängen. Dnn ergibt sih nämlih T ( 1 2 h) 1 I = 1 4 h2 +ĉ 2 h ĉ p h 2p + O(h 2p+2 ). (1.24) Multipliziert mn (1.24) mit 4 3 und subtrhiert dnn 1 3-ml (1.23), so erhält mn [4 3 T (1 2 h) 1 3 T (h)] I = 1 h p h 2p + O(h 2p+2 ). (1.25) Mn knn lso die Trpezsumme uf einem Gitter der Shrittweite 1 2 h mit einer Trpezsumme zur Shrittweite h kombinieren, um eine Genuigkeit der Ordnung h 4 zu bekommen. D in der Trpezsumme bei Hlbierung der Shrittweite die Anzhl der Funktionsuswertungen nur verdoppelt wird, ist die ddurh erreihte qudrtishe Fehlerreduktion eine sehr effiziente Genuigkeitssteigerung. Mn knn diese Idee systemtish weitertreiben. Sei Aus (1.25) ergibt sih T 1 (h) = 4T ( 1 2 h) T (h). 3 T 1 (h) I = 1 h h O(h 2p+2 ), und dmit T 1 ( 1 2 h) I = h h O(h 2p+2 ), 16( T1 ( h) I) 1 ( T1 (h) I ) = 16T 1( 1 2 h) T 1(h) I = d 1 h 6 + d 2 h O(h 2p+2 ). Mn erkennt, dß die Entwiklung des Fehlers der Qudrturformel T 2 (h) := 16T 1( 1 2 h) T 1(h) 15 mit einem Glied der Ordnung h 6 beginnt.

16 362 1 Numerishe Integrtion Tbelle 1.6. Extrpoltion n T (h) T 1(h) = 4 T (h) 1 T (2h) 3 3 T1(h) I e e e 7 Beispiel 1.9. Sei I = π/2 x os x + e x dx = π 2 + e 1 2 π 2undT (h) die zugehörige Trpezregel (vgl. Beispiel 1.2). Die Extrpoltion ngewndt uf die Trpezregel liefert die Resultte in Tbelle 1.6. Es gilt T 1 (h) =S(2h), wobei S( ) die Simpson-Regel us (1.15) ist. Deshlb stimmen die Resultte in der dritten und vierten Splte mit denen in der zweiten und dritten Splte von Tbelle 1.3 überein. Die Systemtik dieser Genuigkeitssteigerungen, d. h., die Systemtik der rekursiven Kombintion bereits ermittelter Formeln knn mn uh us folgender Interprettion der Näherungsformel T 1 (h) := 4 3 T ( 1 2 h) 1 3T (h) ershließen. Die zugrunde liegende Idee ist folgende. Der gesuhte Wert ist T () = f(x)dx = I. Wegen (1.23) ist g(x) :=T ( x)für betrgsmäßig kleine x-werte etw ein Polynom. Den Wert g() knn mn nnähern vi Polynominterpoltion zu Dten g(x j ), j =,...,n. Mn erwrtet bessere Resultte wenn die Stützstellen x j dihter bei Null liegen. Bestimmt mn konkret ds linere Interpoltionspolynom der Funktion x g(x) =T ( x)=i + 1 x+ 2 x p x p +O(x p+1 ), (x ), (1.26) zu den Punkten (h 2,T(h)) und ( 1 4 h2,t( 1 2h)), ergibt sih P (T ( ) h 2, 1 4 h2 )(x) =T (h)+ T ( 1 2h) T (h) 1 (x h 2 ). 4 h2 h 2 D mn T () nnähern will, extrpoliert mnnderstellex =,d.h. P (T ( ) h 2, 1 4 h2 )() = T (h)+ 4 ( 1 T ( 3 2 h) T (h)) = T 1 (h), (1.27) d. h., mn erhält genu die vorhin durh Kombintion der Trpezsummen gewonnene Näherung vierter Ordnung (s. Abb. 1.2). Die Näherung T 2 (h) läßt sih wie T 1 (h) ebenflls über Extrpoltion erklären (vgl. (1.27)): Es gilt P (T ( ) h 2, 1 4 h2, 1 16 h2 )() = T 2 (h), (1.28)

17 1.4 Extrpoltion und Romberg-Qudrtur 363 T (h) T ( x) T ( 1 2 h) T 1 (h) 1 4 h2 h 2 x Abb Extrpoltion d. h. T 2 (h) bekommt mn durh Auswertung n der Stelle x =desqudrtishen Interpoltionspolynoms der Funktion x T ( x)ndenstützstellen h 2, ( 1 2 h) 2 (, 1 4 h) 2. Dies legt folgende llgemeine Vorgehensweise nhe. Mit der Bezeihnung T i, := T (2 i h), i =, 1, 2,..., wobei h eine feste Anfngsshrittweite ist, soll ds Interpoltionspolynom P (T ( ) h 2,...,(2 k h) 2 )(x) n der Stelle x = usgewertet werden. Dies ist eine klssishe Anwendung des Neville-Aitken Shems (8.13). Um den Wert T k (h) =T k,k = P (T ( ) h 2,...,(2 k h) 2 )() zu berehnen, liefert (8.12) (mit der Bezeihnung T i,k n Stelle von P i,k )die Rekursion T i,j = 4j T i,j 1 T i 1,j 1 4 j, j =1, 2,..., i j. 1 Hierus ergibt sih ds Romberg-Shem in Abb In der ersten Splte stehen die Werte, welhe die Trpezregel für die Shrittweite 2 i h (i =, 1, 2,...) liefert. Jede ndere Splte des Romberg-Shems entsteht durh Linerkombintion der Werte der vorngehenden Splte. Diese Linerkombintionen sind so ngelegt, dß der Fehler in T i,j von der Ordnung h 2j+2 ist. Diese Methode zur Annäherung des Integrls I wird Romberg- Qudrtur gennnt. Beispiel 1.1. Sei I = π/2 x os x + e x dx = π 2 + e 1 2 π 2, wie in Beispiel 1.2, und T i, = T (2 i h), wobei T ( ) die Trpezregel ist. Für die Anfngsshrittweite h = 1 π 4 2 ergibt ds Romberg-Shem die Werte in Tbelle 1.7.

18 364 1 Numerishe Integrtion T (h) = T, T ( 1 h)=t1, T1,1 2 T ( 1 h)=t2, T2,1 T2,2 4 T ( 1 h)=t3, T3,1 T3,2 T3, T i 1,j 1 T i,j j 1 T i,j 4 j 4 j 1 Abb Romberg-Shem Tbelle 1.7. Romberg-Shem i T i, T i,1 T i,2 T i, Tbelle 1.8. Fehler im Romberg-Shem i I T i,j 1.57e e e e e e e 4 2.7e e e 12 In Tbelle 1.8 sieht mn, dß I T i,j (2 i h) 2j+2 gilt, lso je höher j ist, desto shneller ist die Konvergenz für zunehmendes i. Sttt der Stützstellen (2 i h) 2, i =, 1,...,knn mn ndere Folgen der Form (h/n i ) 2 verwenden. Insbesondere die etws kompliziertere Bulirsh-Folge reduziert nohmls die benötigte Anzhl der Funktionsuswertungen gegenüber der Romberg-Folge, siehe etw [SB]. Ds Prinzip der Extrpoltion ist llgemein und knn uh für ndere Frgestellungen genutzt werden. Sei J eine unbeknnte sklre Größe, die mn numerish nnähern will (z. B. J = I). Wir nehmen n, dß dzu eine numerishe Methode N(h) zur Verfügung steht, wobei h > ein Prmeter ist (oft eine Shrittweite, z.b. N(h) = T (h)). Weiter sei ngenommen, dß eine symptotishe Entwiklung der Form N(h) =J + 1 h q + 2 h 2q p h pq + O(h (p+1)q ) (h ) (1.29) mit q (, ), p 1existiert.Für die Extrpoltion wird die Existenz einer solhen Entwiklung vorusgesetzt, und mn benötigt die Werte der Größen

19 1.5 Zweidimensionle Integrle 365 p und q (z. B. q =2,p m, wennf C 2m+2 ([, b]) in (1.23)). Die Werte der Koeffizienten 1,..., p werden jedoh niht benötigt. Wir wählen Stützstellen x j := h q j, j =,...,k mit <h j h für lle j, und nehmen n, dß die Werte N j, := N(h j ),j=,...,k,berehnet worden sind. Sei nun F (x) :=N(x 1 q ) und P (F x,...,x k ) Π k (1.3) ds Interpoltionspolynom zu den Stützstellen (x j,f(x j )) = (h q j,n j,), j =,...,k. Der Wert der Extrpoltion N k,k := P (F x,...,x k )() liefert eine neue Näherung für die gesuhte Größe J. Dieser Wert N k,k knn einfh über den Neville-Aitken-Algorithmus 8.13 us den Werten N j,, j k, berehnet werden. 1.5 Zweidimensionle Integrle In diesem Abshnitt sollen einige einfhe numerishe Ansätze zur Berehnung zweidimensionler Integrle vorgestellt werden. Wir beshränken uns uf einige wihtige Grundprinzipien in diesem Bereih. Für eine breitere Drstellung wird uf [HH] und [Ü], Teil 2, verwiesen Trnsformtion von Integrlen Wir betrhten zunähst die Trnsformtion eines eindimensionlen Integrls f(x) dx. Sei I 1 =[, b], I 2 =[, d] und ψ : I 1 I 2 eine stetig differenzierbre bijektive Abbildung. Drus folgt ψ (x) für lle x I 1, ψ() =, ψ(b) =d (1.31) oder ψ (x) für lle x I 1, ψ() =d, ψ(b) =. (1.32)

20 366 1 Numerishe Integrtion Im Fll von (1.31) ergibt sih und im Fll (1.32) f(ψ(x)) ψ (x) dx y=ψ(x) = f(ψ(x)) ψ (x) dx y=ψ(x) = ψ(b) ψ() ψ(b) ψ() f(y) dy = f(y) dy = Also gilt die Trnsformtionsformel f(ψ(x)) ψ (x) dx = I 1 d f(y) dy f(y) dy = I 2 f(y) dy. (1.33) Ein interessnter Spezilfll ergibt sih, flls ψ ffin ist, d.h. Wenn ˆψ :[, b] [, d], Q m (g; I 1 )=(b ) f(y) dy. x ˆψ(x) = b d + b x. (1.34) b w i g(x i ) eine Formel zur Annäherung von g(x) dx ist, knn mn nun einfh eine entsprehende Qudrturformel für ds Intervll I 2 =[, d] herleiten: f(y) dy = f( ˆψ(x)) ˆψ (x) dx I 2 lso insgesmt: = d b i= f( ˆψ(x)) dx (d ) w i f( ˆψ(x i )), i= Q m (g; I 1 )=(b ) Q m (f; I 2 )=(d ) w i g(x i ) i= ŵ i f(ˆx i ), mit (1.35) i= ŵ i = w i, ˆx i = x i b d + b x i b.

21 1.5 Zweidimensionle Integrle 367 Beispiel Guß-Qudrturformeln (vgl. Abshnitt 1.3) werden oft für ds Intervll [ 1, 1] spezifiziert, z. B. die Guß-Qudrturformel mit zwei Stützstellen 1 [ 1 f(x) dx f( 1 ) f( 1 ) ] 3 3 us Beispiel 1.8. Mit Hilfe von (1.35) ergibt sih die entsprehende Formel für ein beliebiges Intervll [, d] f(x) dx h [ f ( +( )h) + f ( +( )h)], h := d. Anlog knn mn für die Guß-Qudrtur mit 4 Stützstellen 1 1 f(x) dx 2 3 w i f(x i ), i= w = w 3 = , w 1 = w 2 = 1 2 w, x = x 3 = , x 1 = x 2 = , eine Formel für ein beliebiges Intervll [, d] herleiten. Sei Q m (f;[ 1, 1]) eine Qudrturformel mit Exktheitsgrd M. Seip(x) ein Polynom vom Grd k M und ˆψ eine ffine Trnsformtion wie in (1.34), dnn ist p( ˆψ(x)) uh ein Polynom vom Grd k. Drus folgt, dß die trnsformierte Formel Q m (f; I 2 ) in (1.35) Exktheitsgrd M ht. In diesem Sinne bleibt bei einer ffinen Trnsformtion die Genuigkeit der Qudrturformel erhlten. Niht-ffine Trnsformtionen werden den Genuigkeitsgrd niht erhlten. Wir betrhten nun die Trnsformtion eines zweidimensionlen Integrls f(x, y) dx dy, B R 2. B Sei B 1,B 2 R 2 und ψ : B 1 B 2 eine stetig differenzierbre bijektive Abbildung mit Jobi-Mtrix ( ) ψ1 ψ1 x (x, y) y (x, y) J(x, y) = ψ 2 ψ2. x (x, y) y (x, y) Es gilt folgende Verllgemeinerung von (1.33): Stz Flls det J(x, y) für lle (x, y) B 1,sogilt f(ψ(x, y)) det J(x, y) dx dy = f( x, ỹ) d xdỹ. B 1 B 2

22 368 1 Numerishe Integrtion Für den Spezilfll, dß ψ ffin ist, ( ) x ψ(x, y) =A + b, A R 2 2, det(a), b R 2, y ergibt sih drus die Trnsformtionsformel det A f(a B 1 ( x y ) + b) dx dy = B 2 f( x, ỹ) d xdỹ. (1.36) Mit Hilfe dieser Trnsformtionsformel knn mn, wie im eindimensionlen Fll, eine Qudrturformel für einen Stndrdbereih (z. B. Einheitsqudrt, Einheitsdreiek) in eine Formel für einen ffin-äquivlenten Bereih überführen. Bemerkung Sei vol(b i ), i =1, 2, der Fläheninhlt von B i, und sei f(x, y) =1für lle (x, y) R 2. Aus (1.36) shließt mn die Formel det A = vol(b 2) vol(b 1 ). (1.37) Es gibt unter nderem folgenden wihtigen Untershied zwishen ein- und mehrdimensionler Integrtion: Zwei Intervlle [, b] und[, d] lssen sih stets durh ffine Trnsformtionen ufeinnder bbilden. Hingegen ist es meistens niht möglih, einfhe Gebiete in R n,n 2, durh eine ffine Trnsformtion ineinnder zu überführen. Beispiel Sei B 1 =[, 1] [, 1] ds Einheitsqudrt. Jede ffine Abbildung bildet B 1 uf ein Prllelogrmm b. Eine ffine Abbildung von B 1 uf den Einheitskreis S = {(x, y) (x 2 + y 2 ) 1} ist lso niht möglih. Beispiel Sei B 2 ds Prllelogrmm in Abb Die Abbildung ( ) ( )( ) ( ) x 21 x 2 ψ(x, y) =A + b = + y 12 y 3 bildet ds Einheitsqudrt uf B 2 b. Wegen Bemerkung 1.13 gilt vol(b 2 )= det A =3.SeiB 2 ds Dreiek in Abb Die Abbildung ( ) ( )( ) ( ) x 31 x 2 ψ(x, y) =A + b = + y 12 y 2 bildet ds Einheitsdreiek uf B 2 b. Wegen Bemerkung 1.13 gilt vol(b 2 )= 1 2 det A =21 2. In den nähsten beiden Abshnitten werden Qudrturformeln für ds Einheitsqudrt und ds Einheitsdreiek diskutiert. Über die Trnsformtionsformel (1.36) erhält mn dnn einfh Qudrturformeln für ffin-äquivlente Bereihe.

23 1.5 Zweidimensionle Integrle B1 ψ B B 2 1 ψ B Abb Affine Trnsformtion Integrtion über dem Einheitsqudrt Wir betrhten ds Integrl 1 1 f(x, y) dx dy. (1.38) Für den Produktbereih [, 1] [, 1] knn mn Integrtionsformeln bsierend uf eindimensionlen Formeln herleiten. Sei Q m (g) = w i g(x i ) (1.39) i= eine Qudrturformel für ds eindimensionle Integrl 1 g(x) dx. Ds eindimensionle Teilintegrl in (1.38) wird mit F (y) = 1 f(x, y) dx bezeihnet. Anwendung der Qudrturformel (1.39) zur Berehnung des Integrls (1.38) liefert eine Produktregel Q (2) m (f): 1 1 f(x, y) dx dy = = = 1 j= F (y) dy w j F (x j ) j= 1 w j f(x, x j ) dx i,j= j= w j w i w j f(x i,x j )=:Q (2) m (f). m i= w i f(x i,x j ) Bemerkung Bei der Produktintegrtion bruht niht ein und dieselbe Qudrturformel in beiden Integrtionsrihtungen verwendet zu werden. Fehlershätzungen für die Produktregel ergeben sih us den Fehlershätzungen der dfür verwendeten eindimensionlen Qudrturformeln (siehe z. B.

24 37 1 Numerishe Integrtion [HH]). Flls die Formel (1.39) Exktheitsgrd M ht, ergibt sih, dß die Produktformel Q (2) m für lle Polynome exkt ist. Beispiel Sei p spn{ x k1 y k2 k 1,k 2 M } Q 1 (g) = 1 2 g(x )+ 1 2 g(x 1), x := , x 1 := , die eindimensionle Guß-Qudrturformel mit zwei Stützstellen für ds Intervll [, 1] wie in Beispiel Drus ergibt sih die Produktregel Q (2) 1 (f) =1 4 f (x,x )+ 1 4 f (x,x 1 )+ 1 4 f (x 1,x )+ 1 4 f (x 1,x 1 ) für den Bereih [, 1] [, 1]. Diese Formel ist exkt für lle Linerkombintionen von Polynomen x k1 y k2, k 1,k Integrtion über dem Einheitsdreiek Während sih bei Rehteken für lle Dimensionen in ntürliher Weise Produktregeln wie oben ergeben, ist die Sitution beim Dreiek (bzw. beim Simplex) dvon vershieden. Für Dreieke ist es zwekmäßig, von den Monomen 1,x,y,x 2,xy,y 2 usw. uszugehen und die Frge nh solhen Qudrturformeln zu stellen, die lle Monome der Form x k1 y k2, k 1 + k 2 M exkt integrieren. Wir sgen dnn, eine solhe Formel hbe den Exktheitsgrd M. Wir beshränken uns hier uf einige typishe Beispiele: (i) Q(f) = 1 2 f(1 3, 1 3 ) (ii) Q(f) = 1 [f(, ) + f(1, ) + f(, 1)] 6 (iii) Q(f) = 1 6 [f(1 2, ) + f(, 1 2 )+f(1 2, 1 2 )] (iv) Q(f) = 1 6 [f(1 6, 1 6 )+f(2 3, 1 6 )+f(1 6, 2 3 )]. Mn rehnet einfh nh, dß die Monome 1,x,y durh die Formeln in (i), (ii) exkt integriert werden (Exktheitsgrd 1) und dß die Monome 1,x,y,xy,x 2,y 2 durh die Formeln in (iii), (iv) exkt integriert werden (Exktheitsgrd 2). Sei T ein beliebiges Dreiek, ds in kleinere Dreieke unterteilt ist (vgl. Abb. 1.5). Die Trnsformtionsformel 1.36 wiederholt ngewndt uf eine der Formeln (i) (iv) ergibt eine zusmmengesetzte Qudrturformel für T. Kompliziertere Gebiete knn mn durh geeignet gewählte Viereke und Dreieke möglihst gut usshöpfen. Zum Verfhrensfehler kommt dnn noh der Fehler hinzu, der durh die Approximtion des Gebiets entsteht.

25 1.6 Übungen 371 T Abb Unterteilung eines Dreieks 1.6 Übungen Übung Seien f,g :[, b] R stetig mit g(x) für x [, b] sowie ξ :[, b] [, b] gegeben. Zeigen Sie: es existiert ein z [, b], so dß gilt: (Hinweis: Mittelwertstz). f(ξ(x))g(x) dx = f(z) g(x) dx Übung Sei f C 1 ([, b]), t k = + kh, k =, 1, 2,...,n, h = b n Abshnitt 1.1). ) Zeigen Sie, dß (s. hf(t k 1 )= tk t k 1 f(x) dx 1 2 h2 f (ξ k ) für ein ξ k [t k 1,t k ] gilt. b) Zeigen Sie, dß für die summierte Rehtekregel R(h) =h n k=1 f(t k 1) gilt R(h) f(x) dx h (b ) mx 2 f (x). x [,b] Übung Sei [, b] unterteilt in Teilintervlle wie in (1.1), und sei M(h) =h n k=1 f ( t k 1 + t k ) 2 die summierte Mittelpunktsregel. Beweisen Sie, dß für den Verfhrensfehler E(h) :=M(h) f(x) dx folgendes gilt (f C2 ([, b]), f () f (b)): E(h) h2 (b ) mx 24 f (x) x [,b] und lim h 24E(h) h 2 (f (b) f ()) =1.

26 372 1 Numerishe Integrtion Übung Sei f C 6 ([, b]), t k = + kh, k =, 1,...,n, h = b n. Sei m(h) ds Resultt der summierten Milne-Regel (d. h. wende die Milne- Regel uf jedes Teilintervll [t k 1,t k ] n und summiere uf), und E(h) der entsprehende Diskretisierungsfehler: m(h) = ) Geben Sie eine Formel für m(h) n. b) Zeigen Sie, dß gilt. f(x) dx + E(h). E(h) h6 (b ) mx f (6) (x) x [,b] Übung Mn betrhte die Newton-Cotes-Formeln (1.13). Mn zeige: ) Die Gewihte j für die Newton-Cotes-Formel I m (f), m 1, sind durh j = 1 m gegeben. b) Diese Gewihte sind symmetrish m m k= k j s k j k ds k = m k, k =,...,m. ) Sie lssen sih uh über folgende Momentenbedingungen bestimmen: k= k k i = mi+1 i +1, i =,...,m. Übung Es sei eine Qudrturformel mit der Drstellung I 2 (f) =αf() + βf( 1 2 )+γf(1) für die Annäherung von 1 f(x) dx gegeben. Bestimmen Sie die Konstnten α, β, γ so, dß der Exktheitsgrd dieser Formel so hoh wie möglih ist. Übung Sei f genügend gltt und für festes x J := f (x), N(h) := f(x h) f(x 1 2 h). h Mn zeige, dß eine Entwiklung wie in (1.29) existiert. Mn entwerfe ein Extrpoltionsshem wie ds Romberg-Shem.

27 1.6 Übungen 373 Übung Bestimmen Sie vier Näherungen T i, i =, 1, 2, 3, für I = x dx mit der Trpezsumme zu den Shrittweiten h i =2 i 1. Verbessern Sie die gewonnenen Werte mit Hilfe eines Romberg-Shems. Vergleihen Sie die Ergebnisse mit dem exkten Wert I =ln2. Übung Bestimmen Sie die Näherungen T i, i =, 1, 2, 3, 4, 5für I = 1 x 3 2 dx mit der Trpezsumme zu den Shrittweiten h i =2 i. Verbessern Sie die gewonnenen Werte mit Hilfe eines Romberg-Shems. Vergleihen Sie die Ergebnisse mit dem exkten Wert I = 2 5.Erklären Sie, weshlb die Ergebnisse viel shlehter sind ls die in Beispiel 1.1. Übung Leiten Sie ds Romberg-Shem in Abb. 1.3 über ds Neville-Aitken-Shem 8.13 b. Übung Es sei die Guß-Qudrturformel I 2 (f) =2 2 i f(x i ) (1.4) i= mit = 1 = 5 18, 2 = 8 18, x = x 2 = 1 f(x) dx gegeben. 1 ) Zeigen Sie, dß , x 1 =zurannäherung von x k dx = I 2 (x k ) für k =, 1,...,5 gilt, d. h. I 2 (f) ist exkt vom Grde 5. b) Bestimmen Sie die entsprehende 3-Punkt-Guß-Qudrturformel zur Annäherung von 7 f(x) dx. 6 ) Geben Sie die uf (1.4) bsierende Produktregel I (2) 2 (f)zurannäherung des Integrls n. Für welhe k 1, k 2 gilt f(x, y) dx dy x k1 y k2 dx dy = I (2) 2 (xk1 y k2 )?

28 374 1 Numerishe Integrtion Übung Sei B ds Prllelogrmm mit Ekpunkten (1, 1), (3, 4), (2, 3), (4, 6). ) Bestimmen Sie eine ffine Trnsformtion, die ds Einheitsqudrt uf B bbildet. b) Bestimmen Sie für die Guß-Qudrturformel I (2) 1 (f) us Beispiel 1.17 zur Annäherung von 1 1 f(x, y) dx dy die entsprehende Guß-Qudrturformel Ĩ(2) 1 (f) zurannäherung von f(x, y) dx dy. ) Für welhe k 1, k 2 gilt B B x k1 y k2 dx dy = Ĩ(2) 1 (xk1 y k2 )? Übung Es sei f : Ω R ein gltte Funktion uf dem konvexen Gebiet Ω R 2. Beweisen Sie fdx= Ω f(x S )+O( Ω dim(ω) 2 ), Ω wobei x S den Shwerpunkt, Ω den Fläheninhlt und dim(ω) = sup x y 2 x,y Ω den Durhmesser von Ω bezeihnet. Hinweis: Für den Shwerpunkt gilt Ω (x S y) dy =.