Eigenwerte und Eigenvektoren

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1 KAPITEL Eigenwerte und Eigenvektoren Eigenwerte 4 2 Algebraische Vielfachheit 5 3 Eigenvektoren 6 4 Invarianten 4 5 Diagonalisierung 5 6 Positiv definite Matrizen 2 In der folgenden Übersicht sind einige Anwendungen von Eigenwertproblemen zusammengefasst:

2 Eigenwerte und Eigenvektoren Ê Wozu benötigt man Eigenwerte und Eigenvektoren? Diagonalmatrizen sind leicht zu handhaben Eigenvektoren werden zur Diagonalisierung von Matrizen verwendet siehe später Zur Analyse von Quadriken bzw quadratischen Formen Darauf gehen wir nicht ein Für die Langzeitvorhersage von Wetter oder auch der Entwicklung einer Population basierend auf Wahrscheinlichkeitsmatrizen bzw sogenannten Markovschen Ketten Sollte in der Statistik/Stochastik behandelt werden Matrizen repräsentieren lineare Abbildung Drehung, Scherung, Spiegelung Eigenvektoren geben die Geraden an, die dabei erhalten bleiben Und Strecken auf diesen Geraden werden um die Eigenwerte gestreckt bzw gestaucht Invarianten physikalischer Systeme: Eigenfrequenzen, Eigenformen und gegebenenfalls auch Dämpfungscharakteristik eines schwingfähigen Systems, Knicklast eines Knickstabs siehe Balkentheorie, Hauptspannungen in der Festigkeitslehre: Umrechnung der Spannungen in ein Koordinatensystem, in dem es keine Schubspannungen gibt Eigenwerte spielen in der Quantenmechanik eine besondere Rolle Bestimmung von Drehachse und Drehwinkel Anwendung in der Bildverarbeitung: In der Bildverarbeitung werden Eigenvektoren gerne benutzt, um Objekte auszurichten Wenn man beispielsweise Mikroskopbilder von ellipsenförmigen Bakterien hat, gibt der größte Eigenvektor die Lage der Hauptachse an daher auch Hauptachsentransformation Mit dieser Hauptachse können alle Bilder gleich ausgerichtet gedreht werden Die Eigenwerte geben die Verteilung entlang der Achsen an Sie sind unabhänging von der Ausrichtung, so daß man sie zum Vermessen oder Klassifizieren benutzten kann, ohne das Bild vorher zu drehen Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen Ordnung Beispiel : Einführungsbeispiel In dem folgenden Bild ist ein blaues Haus zu sehen, dass durch die lineare Abbildung A, gegeben durch die Matrix 3 2 A 2 2 2

3 Eigenwerte und Eigenvektoren in das rote Haus transformiert wird Fragen: Wie kann man diese Transformation interpretieren? Ist es ein Streckung, Stauchung, Drehung, Drehstreckung,?? Es handelt sich um eine Streckung bzw Stauchung in bestimmte Richtungen Warum? Wie kann man diese Richtungen und die Größe der Streckung bzw Stauchung bestimmen? Wenn es sich um eine Streckung/Stauchung in bestimmte Richtungen b handelt, so müssen diese Richtungen erhalten bleiben, dh es muss A b λ b mit einem λ, das die Größe der Streckung bzw Stauchung angibt, gelten Definition : Eine Zahl λ C heißt Eigenwert der Matrix einer reellen oder komplexen n n-matrix A, wenn es mindestens einen Spaltenvektor b C n, b, gibt mit A b λ b Jeder Vektor b, der diese Gleichung erfüllt, heißt Eigenvektor von A zum Eigenwert λ Der Nullvektor ist niemals ein Eigenvektor Ergibt Ihre Rechnung den Nullvektor als Eigenvektor, so ist der Wurm drin! 3

4 Eigenwerte und Eigenvektoren Eigenwerte Wenn λ ein Eigenwert der Matrix A ist, dann gibt es einen Spaltenvektor b mit A b λ b A λe b Folglich besitzt das Gleichungssystem?? nichttriviale Lösungen und damit ist die Determinante der Koeffizientenmatrix gleich Null, also det A λe Umgekehrt, ist diese Determinate gleich Null, dann hat das Gleichungssystem nichttriviale Lösungen vgl Rechenregeln für Determinanten bzw Cramersche Regel Insgesamt haben wir damit, λ ist ein Eigenwert der Matrix A genau dann wenn gilt: det A λe Deshalb Ê Zur Berechnung der Eigenwerte einer n n-matrix betrachtet man mit einer Variablen λ das charakteristische Polynom von A χ A λ : deta λe Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind die Eigenwerte der Matrix A Bemerkung : Wenn man die Determinante deta λe χ A λ berechnet und nach Potenzen von λ ordnet, so erhält man χ A λ λ n + spura λ n + + det A, wobei spura a + a a nn die Summe der Elemente der Hauptdiagonale ist Da die Eigenwerte die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, gilt χ A λ λ n + spura λ n + + det A λ λ k λ λ 2 k2 λ λ r kr λ n + k λ + k 2 λ k r λ r + + λ k λk 2 2 λkr r mit den algebraischen Vielfachheiten k i, i,2,,r Hieraus liest man ab, Ê spura k λ + k 2 λ k r λ r det A λ k λk 2 2 λkr r 4

5 Eigenwerte und Eigenvektoren Diese Formeln sind nützlich für Rechenkontrollen, außerdem gestattet insbesondere die 2 Formel Eigenwerte zu erraten, da die Eigenwerte Teiler des Absolutgliedes des charakteristischen Polynoms sind Beispiel 2: Wir betrachten die Matrix und damit A, es ist A λe λ λ λ deta λe λ λ λ + + λ λ λ 2 λ 3 + 2λ und ergibt die Nullstellen λ sowie λ 2 + λ 3 2λ λλ 2 + λ 2 und die Nullstellen λ 2 und λ 3 2 λ 2 + λ 2 λ 2,3 2 ± Für obige Matrix ist spura + und deta, was auch aus dem charakteristischen Polynom χ A λ λ 3 + λ 2 + 2λ + ablesbar ist 2 Algebraische Vielfachheit Das charakteristische Polynom χ A λ λ n + spura λ n + + deta ist folglich ein Polynom n-ten Grades für eine n n-matrix und hat deshalb n nicht notwendigerweise voneinander verschiedene komplexe Nullstellen λ, λ 2, λ n Dh wir haben die Nullstelle λ mit der Vielfachheit k, die Nullstelle λ 2 mit der Vielfachheit k 2,, die Nullstelle λ r mit der Vielfachheit k r Dabei kann man die Eigenwerte der Größe nach ordnen λ λ 2 λ r und es ist k + k k r n Definition 2: Man bezeichnet die Vielfachheit k i der Nullstelle λ i als die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes λ i 5

6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3 Eigenvektoren Hat man nun alle Eigenwerte der Matrix A bestimmt, so werden dann die Eigenvektoren berechnet, dh man löst das Gleichungssystem A λ i E b, i,2,,r Da die Determinate der Koeffizientenmatrix gleich Null ist, besitzt das Gleichungssystem nichttriviale Lösungen mit n Rang A λ i E freien Parametern Definition 3: Jede Lösung b von A λ i E b ist ein Eigenvektor zum Eigenwert λ i V λ i { b C n : A λ i E b } Kern A λ i E heißt Eigenraum zum Eigenwert λ i, i r Man nennt die Dimension des Eigenraumes Dim V λ i die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes λ i Ê Algebraische und geometrische Vielfachheit stimmen i Allg nicht überein! Ê Vorgehensweise bei Eigenwertproblemen Geben sei die reellwertige n n-matrix A Man bestimme die Eigenwerte λ índem man die Nullstellen des charakteristischen Polynoms bestimmt, dh man löst deta λe 2 Die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts λ ist gleich der Vielfachheit der Nullstelle λ des charakteristischen Polynoms 3 Man bestimme die zu den Eigenwerten λ gehörigen Eigenvektoren b als Lösung des homogenen Gleichungssystems A λe b 4 Die Dimension des Eigenraums zum Eigenvektor λ ist gleich n Rang A λe, sie ist die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ 6

7 Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiel reeller 2 2-Matrizen: Gegeben sei a b A c d R 2 2 Es werden zunächst die Eigenwerte als Nullstellen des charakteristischen Polynoms bestimmt: a λ b χ A λ a λd λ cb c d λ λ 2 a + dλ + ad bc λ 2 spuraλ + det A λ λ λ λ 2 Anschließend wird für jeden Eigenwert λ i, i,2, der Eigenraum und eine Basis des Eigenraums bestimmt Dazu löst man das Gleichungssystem a λi b c d λ i b Im Fall n 2 gibt es somit 4 verschiedene Fälle: λ, λ 2 R, λ λ 2, b 2 2 λ λ 2 R algebraische geometrische Vielfachheit 2, 3 λ λ 2 R algebraische Vielfachh 2 geometrische Vielfachh, 4 λ 2 λ C, λ R Es seien konkrete Zahlenbeispiele für alle 4 Fälle angegeben: Fall : λ, λ 2 R, λ λ 2, Es sei A 2 2 Wir bestimmen die Eigenwerte: λ 2 χ A λ det A λe 2 λ λ 2 4 2λ + λ 2 4 λ 2 2λ 3 hat die Nullstellen: λ,2 ± 3 ± 2 Folglich hat A die beiden Eigenwerte λ und λ 2 3 Die algebraische Vielfachheit von λ und λ 2 3 ist 7

8 Eigenwerte und Eigenvektoren Wir bestimmen nun die Eigenräume: Für λ : x 2 2 x A λ E y 2 2 y ergibt die Lösung y t und x t, dh V λ V { t t t, t R Eine Basis für den Eigenraum V ist der Vektor und die Dimension des Eigenraumes ist damit Folglich hat der Eigenwert λ die geometrische Vielfachheit Nun für λ 2 3 : A λ 2 E x ergibt die Lösung y t und x t, dh y V λ 2 V { t t 2 2 t x y, t R Eine Basis für den Eigenraum V 3 ist der Vektor und die Dimension des Eigenraumes ist damit Folglich hat der Eigenwert λ 2 3 die geometrische Vielfachheit Fall 2: λ λ 2 R algebraische Vielfachheit geometrische Vielfachheit 2, Es sei A 3 3 } } Wir bestimmen die Eigenwerte 3 λ χ A λ deta λe 3 λ 3 λ 2 hat die Nullstelle: λ,2 3 Folglich hat A die beiden Eigenwerte λ λ λ 2 3 Die algebraische Vielfachheit von λ 3 ist 2 8

9 Eigenwerte und Eigenvektoren Wir bestimmen nun den Eigenraum: Für λ 3 : x x A λe y y ist erfüllt für alle x, y T R 2, dh V 3 R 2 und der Eigenraum hat die Dimension 2 Dh der Eigenwert λ 3 hat die algebraische und geometrische Vielfachheit 2 Fall 3: λ λ 2 R algebraische Vielfachheit 2 geometrische Vielfachheit Es sei A 2 2 Wir bestimmen die Eigenwerte 2 λ χ A λ deta λe 2 λ 2 λ 2 hat die Nullstelle: λ,2 2 Folglich hat A die beiden Eigenwerte λ λ λ 2 2 Die algebraische Vielfachheit von λ 2 ist 2 Wir bestimmen nun den Eigenraum: Für λ 2 : x x A λe y y und der Eigenraum ist V λ V 2 { t t, t R Eine Basis für den Eigenraum V 2 ist der Vektor und die Dimension des Eigenraumes ist damit Folglich hat der Eigenwert λ 2 die geometrische Vielfachheit Fall 4: Ein Paar konjugiert komplexer Nullstellen Es sei A cos ϕ sin ϕ sinϕ cos ϕ } 9

10 Eigenwerte und Eigenvektoren Bestimmung der Eigenwerte: cos ϕ λ sin ϕ χ A λ deta λe det sin ϕ cos ϕ λ cos ϕ λ 2 + sin 2 ϕ 2λcos ϕ + λ 2 für λ,2 cos ϕ ± cos 2 ϕ cos ϕ ± isin ϕ Falls ϕ kπ, k Z gibt es keine reellen Eigenwerte und damit auch keine reellen Eigenvektoren Die komplexen Eigenräume sind: Für λ cos ϕ + isin ϕ : A λ E x y cos ϕ cos ϕ isin ϕ sin ϕ sin ϕ x cos ϕ cos ϕ isin ϕ y i x sin ϕ i y und hat die Lösung y t und x it, und der Eigenraum ist V λ V cos ϕ + isin ϕ { it t t i Eine Basis für den Eigenraum V cos ϕ+isin ϕ ist der Vektor man für λ 2 cos ϕ isin ϕ : A λ 2 E x y cos ϕ cos ϕ + isin ϕ sin ϕ sin ϕ, t C i } Analog erhält x cos ϕ cos ϕ + isin ϕ y i x sin ϕ i y und hat die Lösung y t und x it, und der Eigenraum ist V λ V cos ϕ + isin ϕ { it t t i Eine Basis für den Eigenraum V cos ϕ isin ϕ ist der Vektor, t C i }

11 λ 3 + λ 2 3λ 2 + 7λ Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiel 3: Es sei A Bestimmung der Eigenwerte deta λe 5 λ λ λ 5 λ 3 λ2 λ λ + 45 λ λ 5 2λ + λ 2 2 λ λ 3 4λ + 2λ 2 + 5λ + 2λ 2 λ λ λ 3 + 4λ 2 + 7λ Wir müssen den ersten Eigenwert erraten Man findet schnell, dass λ ein Eigenwert ist, die übrigen Eigenwerte findet man durch abdividieren: λ 3 + 4λ 2 + 7λ : λ λ 2 + 3λ + 3λ 2 3λ λ λ Folglich ergeben sich die beiden anderen Eigenwerte aus λ 2 3λ + zu λ 2, ± ± 7 2, also λ 2 5 und λ 3 2 Die dazugehörigen Eigenvektoren und Eigenräume sind für

12 Eigenwerte und Eigenvektoren λ : z z 3 z 2 z 3 A λ E x Damit ist x 3 x 2 t und x 4 t t Der Eigenraum zum Eigenvektor λ ist V λ V t t, t R t Für λ 2 5 : A λ 2 E x z 2 z Damit ist x 3 x 2 t und x 4 t + 3t t Der Eigenraum zum Eigenvektor λ 2 5 ist t V λ 2 V 5 t t, t R t Für λ 3 2 : z 2 z A λ 3 E x

13 Eigenwerte und Eigenvektoren Damit ist x 2,x t und x 3 t Der Eigenraum zum Eigenvektor λ 3 2 ist t V λ 3 V 2 t, t t R Alle Eigenwerte λ, λ 2, λ 3 haben die algebraische und die geometrische Vielfachheit Anwendungsbeispiel: Zwei-Massen-Schwinger: Für einen Zwei-Massen-Schwinger mit den Massen m und m 2 gelten unter Vernachlässigung der Dämpfung die Bewegungsgleichungen m ẍ k x + k 2 x 2 x m 2 ẍ 2 k 2 x x 2 k 3 x 2 mit den Federkonstanten k, k 2, k 3 und dem Massenpunkt x mit dem Koordinaten x x x 2 Die Gleichungen?? können mit Hilfe der Matrix A k +k 2 m k 2 m k 2 m 2 k 3+k 2 m 2 geschrieben werden als x ẍ ẍ 2 A x x 2 A x Macht man für x den Ansatz x be iωt, b R 2, ω R so ergibt sich zunächst x iωe iωt b und x ω 2 e iωt b und damit x ω 2 be iωt A x A be iωt A b ω 2 b, dh ω 2 sind die Eigenwerte und b die dazugehörigen Eigenvektoren der Matrix A Vergleiche hierzu auch das noch kommende Kapitel über Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen 3

14 Eigenwerte und Eigenvektoren 4 Invarianten Definition 4: Zwei n n-matrizen A und C heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare n n-matrix B gibt, so dass gilt C B AB Satz : Es sei A eine reelle oder komplexe n n-matrix Dann gilt: A und die transponierte Matrix A T haben dasselbe charakteristische Polynom, deshalb besitzen sie dieselben Eigenwerte aber im Allg andere Eigenräume 2 Die ähnlichen Matrizen A und B AB haben dasselbe charakteristische Polynom und deshalb auch dieselben Eigenwerte; b ist ein Eigenvektor zu A genau dann wenn B b Eigenvektor von B AB ist 3 Die Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn alle Eigenwerte sind Ist λ ein Eigenwert von A mit dem Eigenvektor b, dann ist λ Eigenwert von A mit demselben Eigenvektor b Beweis zu : Es gilt A λe T A T λe T A T λe und deta λe deta λe T deta T λe Beide Polynome sind also identisch und haben damit dieselben Nullstellen Eigenwerte zu 2: Es gilt deta λe det B det A λe det B det B A λeb detb AB λe Damit sind beide charakteristische Polynome identisch und haben dieselben Nullstelle Eigenwerte Weiterhin gilt A b λ b ABB b λbb b BλB b B ABB b λb b zu 3: deta λ k λk 2 2 λkr r λ i für alle i,2,,r Außerdem ist A b λ b b λa b A b λ b# Bemerkung 2: Die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms χ A λ sind Invarianten der n n-matrix A, bzw Invarianten der zugehörigen linearen Abbildung x A x, da sie sich bei einem Basiswechsel nicht ändern 4

15 Eigenwerte und Eigenvektoren Satz 2: Eigenvektoren b, b 2,, b r zu paarweise verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig Beweis: Aus α b + α 2 b2 + + α r br folgt nach Anwendung von A : α A b + α 2 A b α r A b r α λ b + α 2 λ b α r λ r br und nach Subtraktion von λ α b + α 2 b2 + + α r br erhält man λ λ 2 α 2 b2 + λ λ r + α r br Wendet man auf diese Gleichung wiederum A an und subtrahiert das λ 2 -fache dieser Gleichung, so folgt: λ λ 3 λ 2 λ α 3 b3 + + λ λ r λ 2 λ r α r br Sukzessive Fortsetzung ergibt λ λ r λ 2 λ r λ r λ r α r br woraus α r folgt Dies ergibt rückwärts eingesetzt α r α 2 α # 5 Diagonalisierung Besonders günstig ist der Fall, wenn man eine Basis aus Eigenvektoren bilden kann: 5

16 Eigenwerte und Eigenvektoren Satz 3: Besitzt eine reelle oder komplexe n n-matrix n linear unabhängige Eigenvektoren b, b 2,, b n mit A b i λ i bi, und den nicht notwendiger Weise verschiedenen Eigenwerten λ i, dann bringt die Transformationsmatrix B b b2 bn mit den Eigenvektoren als Spalten die Matrix A auf Diagonalform, dh, es gilt, wenn die Reihenfolge der λ i mit den der b i übereinstimmt, λ λ 2 B AB λ 3 : D λ n Ê Eine n n-matrix muss nicht n linear unabhängige Eigenvektoren besitzen! Beweis: AB A b A b 2 A b n λ b λ 2 b2 λ n bn BD# Beispiel 4: Es sei A Man berechne A Es ist von sehr großem Nutzen, wenn es gelingt A durch eine entsprechende Transformation auf Diagonalgestalt zu bringen, denn dann gilt: A k BDB k BDB BDB BDB BDB λ k BD k B λ k 2 B B λ k n 6

17 Eigenwerte und Eigenvektoren Ê Man berechne A der n n-matrix A mittels Diagonalisierung Vorgehensweise: Man prüfe, ob die Matrix A n linear unabhängige Eigenvektoren besitzt, dies kann durch direkte Berechnung geschehen oder auch durch theoretische Überlegungen Gibt es keine n linear unabhängigen Eigenvektoren, so können wir die Matrix nicht diagonalisieren 2 Man berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren b, b 2,, b n der Matrix A 3 Sind die Eigenvektoren linear unabhängig? Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten sind immer linear unabhängig Bei gleichem Eigenwert nehme man eine Basis des Eigenraums 4 Bilde die Matrix B b b2 b n und berechne B 5 Dann ist A BDB mit D λ λ 2 λ n Dabei gehört der Eigenwert λ j zum Eigenvektor b j Wir wenden die Vorgehensweise auf unser Beispiel an: Wir bestimmen die Eigenwerte von A : 2 λ 8 2 deta λe 4 λ 4 λ 2 λ4 λ λ + 8 λ 2λ + λ 2 λ λλ 2 λ und wir erhalten die Eigenwerte λ, λ 2, λ Wir bestimmen die Eigenvektoren: zu lösen ist des GS A λ i E b : 7

18 Eigenwerte und Eigenvektoren für λ : t 4 V λ V t t 4, t R, b für λ 2 : V λ 2 V 4t t t 4, 4 t R, b2 für λ 3 2 : t 2 V λ V t t 2, t R, b 3 Diagonalisierung: B

19 Eigenwerte und Eigenvektoren Wir bestimmen B : Damit ist B und A BD B Satz 4: Eigenwertproblem für symmetrische Matrizen Für jede reelle symmetrische n n-matrix gilt: Alle Eigenwerte von A sind reell 2 Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten von A sind orthogonal 3 Algebraische und geometrische Vielfachheit jedes Eigenwertes sind gleich Beweis: Wir beweisen nur die erste Eigenschaft Ist λ C ein Eigenwert und b C n ein Eigenvektor von A, so folgt A b λ b und durch komplexe Konjugation A b λ b A b λ b A b λ b, 9

20 Eigenwerte und Eigenvektoren da A reell ist Damit erhält man und wegen λ b T b A b T b T b T A T b b T λ b λ b T b n b T b b i b i i n b i 2 > ergibt sich λ λ und folglich ist λ eine reelle Zahl # Ê Für symmetrische n n Matrizen gibt es folglich immer n linear unabhängige Eigenvektoren Es gibt folglich eine orthogonale Basis von Eigenvektoren i 6 Positiv definite Matrizen Die Bestimmung der Extremwerte einer reellen Funktion in n Veränderlichen ist eng verbunden mit der Frage, wann eine quadratische Form q x x T A x für x nur positive oder nur negative Werte annimmt Definition 5: Eine quadratische Form q x x T A x bzw die zugehörige symmetrische Matrix A, heißt positiv definit negativ definit, wenn aus x stets q x x T A x > q x x T A x < folgt Die quadratische Form heißt indefinit, wenn sie sowohl positive als auch negative Werte annimmt Sie heißt positiv negativ semidefinit, wenn stets q x x T A x q x x T A x gilt Bemerkung 3: In der speziellen Relativitätstheorie spielen die nach HALorentz benannten Transformationen x x y y W, z z t t mit einer 4 4 Matrix W des Raum-Zeit-Kontinuums, so dass die quadratische Form qx,y,z,t x 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 invariant bleibt, eine wichtige Rolle Diese quadratische Form ist indefinit; es gibt raumartige Vektoren u R 4 mit q u > und zeitartige Vektoren v R 4 mit q v < 2

21 Eigenwerte und Eigenvektoren Satz 5: Notwendige Bedingung: Wenn die symmetrische Matrix A positiv definit ist, so müssen alle Hauptdiagonalelemente positiv sein Beweis: Ist die Matrix A positiv definit, so muss insbesondere für die Einheitsvektoren e i gelten e T i A e i a ii > # Beispiel 5: Die Matrix ist nicht positiv definit A Satz 6: Positivität reeller symmetrischer Matrizen: D diag α, α 2,, α n ist genau dann positiv definit, wenn alle α i positiv sind 2 Die reelle symmetrische Matrix A also A A T ist genau dann positiv definit, wenn W T AW für irgend eine invertierbare n n Matrix W positiv definit ist 3 Die relle symmetrische Matrix A ist genau dann positiv definit, wenn sämtliche Eigenwerte von A positiv sind Beweis: zu q x x T D x n i α ix 2 i > für alle x alle α i > zu 2 A positiv definit, dann gilt x T W T AW x xw T AW x > für alle x, ist dagegen W T AW positiv definit, so folgt W T W T AWW A ist positiv definit 3 folgt aus und 2 mit einem Hauptachsensystem W # Beispiel 6: Die Matrix A ist positiv definit mit den Eigenwerten λ, λ und λ