(a) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung dieser Abbildung bzgl. einer möglichst einfachen Basis von P n - (b) Bestimmen Sie die zu F duale Abbildung F.

Transkript

1 Übung. Wiederholen Sie die folgenden Begriffe und geben sie jeweils Beispiele (a) Vektorraum (b) Vektorraumhomomorphismus mit Spezialfällen (c) Basis (d) Dualraum (e) Duale Basis (f) Koordinatenabbildung (g) Koordinatensystem 2. Sei P n der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad n und F : P n P n bilde jedes Polynom auf seine Ableitung ab. (a) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung dieser Abbildung bzgl. einer möglichst einfachen Basis von P n - (b) Bestimmen Sie die zu F duale Abbildung F. 3. Gegeben seien die Basen {( im R 3 und U 2 = 0) der Matrixdarstellung U =,, 0, U = 2, 2, ( 0, )} ( 2 0 {( ( 2, im R ) )} 2. Betrachten Sie die lineare Abbildung ϕ : R 3 R 2 mit, U 2 = ) bezüglich der Basen U, U 2. (a) Was ist die Matrixdarstellung von ϕ bezüglich der Standardbasen? (b) Und bezüglich U, U 2? (c) Berechnen Sie Kern und Bild von ϕ und geben Sie eine Basis von R 3 / ker ϕ an! 4. Beweisen Sie Beobachtung 6.20 aus der Vorlesung! 5. Zerlegen Sie die folgende Matrix in Elementarmatizen und bestimmen Sie ihre Inverse und ihre Determinante: (a) (b) (c) Berechnen Sie folgende Determinanten für reelle Parameter! Wann sind die Determinanten 0? Lassen sich die gefundenen Formeln in Ihrer vereinfachten Form verallgemeinern (ggf. und wie?)? (a) (c) a b c d a 2 b 2 c 2 d 2 a 3 b 3 c 3 d a b a b a 2 b 2 2a 2 2b 2 a 3 b 3 3a 3 3b 3 (b) cos(α) cos(β) sin(α) cos(α) sin(β) sin(α) cos(β) cos(α) sin(α) sin(β) sin(β) 0 cos(β)

2 Hausaufgabe Abgabe: Dienstag, Beweisen Sie: Zu gegebenem Körper (K, +, ) und a, b, c, d, a, b, c, d K gibt es genau dann genau ein Polynom p vom Grad drei, welches p(a) = a, p(b) = b, p(c) = c und p(d) = d erfüllt, wenn keine zwei der Körperelemente a, b, c und d gleich sind. 2. Lösen Sie das Gleichungssystem Ax = b für A = (a) b = (b) b = und ( ) 3. Sei P 3 der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad 3 mit der Basis B =, x, x(x ) 2, x(x )(x 2) 6, der Basis B 2 = ( x 3.x 3, x 3 x, x 3 x 2), sowie die Abbildung ϕ, welche jedem der Polynome in P 3 seine Ableitung zuordnet. Bestimmen Sie die Matrixdarstellung zu ϕ bezüglich der Basen B (für den Definitionsbereich) und B 2 (für den Wertevorrat)! falls j + = i ξ falls i = j n 4. Sei (R, +, ) ein Ring mit Eins und A = (a ij ) i,j {,...,n} mit a ij = a n + ξ falls i = j = n a i falls j = n 0 sonst. Bestimmen Sie det(a) und beweisen Sie Ihr Ergebnis! Hinweis: Schreiben Sie sich A für kleines n in der üblichen Matrixform hin und erinnern Sie sich an ein entsprechendes Beispiel aus der Vorlesung!

3 Übung 2 7. Berechnen sie die Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren folgender Matrizen: (a) (b) ( ) 0 (c) 2 falls j + = i 0 falls i = j n (d) (a ij ) i,j {,...,n} mit a ij = a n falls i = j = n a i falls j = n 0 sonst. für gegebenen reelle Parametern a i falls j + = i ξ falls i = j n (e) (a ij ) i,j {,...,n} mit a ij = a n + ξ falls i = j = n a i falls j = n 0 sonst. für gegebenen reelle Parametern ξ und a i 8. Die Fibonacci-Zahlen genügen der Rekursion f n+ = f n + f n. (a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix A der linearen Abbildung ϕ, die der kanonischen Basis in Definitionsbereich und Wertevorrat! (b) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von A! ( fn f n ) ( auf f n f n+ (c) Die Eigenvektoren von A bilden eine Basis B des R 2. Bestimmen Sie die Koordinaten von bezüglich dieser Basis! (d) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von ϕ bezüglich B in Definitionsbereich und Wertevorrat! ( ) fn (e) Bestimmen Sie die Koordinaten von für allgemeines n bezüglich B! f n ) abbildet bezüglich ( ) ( f0 0 := f (f) Ermitteln Sie durch Rücktransformation auf die kanonische Basis die explizite Darstellung der Fibonacci-Folge f n! 9. Ein reelles Polynom P P 3 höchstens dritten Grades wird durch Integration nach der Variablen gleich eine Menge von Polynomen. (a) Welche? (b) Wie ergibt sich dieser Bildraum der durch Integration beschriebenen Abbildung aus der Menge P 4 der reellen Polynome vierten Grades? (Es kann hilfreich sein, die Umkehrabbildung zu betrachten) )!

4 Hausaufgabe 2 Abgabe: Dienstag, Berechnen sie die alle Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren folgender Matrizen: (a) a a 0 0 (b) 0 0 a a a 6. Wir betrachten eine Zahlenfolge a n, die der Rekursion a n+3 = a n+ 2(a n+2 a n ) genügt. (a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix A der linearen Abbildung ϕ, die bezüglich der kanonischen Basis in Definitionsbereich und Wertevorrat! (b) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von A! a n a n+ a n+2 auf (c) Die Eigenvektoren von A bilden eine Basis B des R 2. Bestimmen Sie die Koordinaten von bezüglich dieser Basis! (d) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von ϕ bezüglich B in Definitionsbereich und Wertevorrat! (e) Bestimmen Sie die Koordinaten von a n a n+ a n+2 für allgemeines n bezüglich B! a n+ a n+2 a n+3 a 0 a a 2 (f) Ermitteln Sie durch Rücktransformation auf die kanonische Basis die explizite Darstellung der Folge a n! 7. Bestimmen Sie für n N: Denken Sie komplex! n := abbildet 0 0!

5 Übung 3 0. Die komplexen Zahlen C können als ein zweidimensionaler R-Vektorraum aufgefasst werden und die komplexe Multiplikation mit z = a + bi, a, b R als eine R-lineare Abbildung M z : C C, w m z (w) = zw. Bestimmen Sie eine Darstellungsmatrix A bezüglich der Basis (, i), det M z, Eigenwerte und das Minimalpolynom m Mz. Deuten Sie A geometrisch (Polarkoordinaten). Geben Sie eine möglichst einfache Darstellung von A n an.. Sei A : R n R n der Flip-Operator, d.h. (x,..., x n ) T A (x n,..., x ) T. Geben Sie eine Matrixdarstellung bezüglich der Standardbasis an. Bestimmen Sie charakteristisches Polynom, Minimalpolynom, Eigenwerte und Eigenvektoren. Ist A diagonalisierbar? 2. Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und F End K (V ) gegeben. Ferner gebe es ein N 2 mit F N = F. Beschreiben Sie, wie das Minimalpolynom m F (x) aussehen kann, (a) wenn K = C, (b) wenn K = R. Was kann man in beiden Fällen zur Diagonalisierbarkeit sagen?

6 Hausaufgabe 3 Abgabe: Dienstag, Geben Sie eine hinreichende und notwendige Bedingung an zwei Matrizen A, B R n n dafür an, dass für jedes N N die binomische Formel N ( ) N (A + B) N = A N k B k k gilt. Natürlich mit Beweis. Berechnen Sie damit A N λ wobei A λ R n n gegeben ist durch λ 0 0. A λ = λ k=0 9. Sei P n der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad kleiner oder gleich n und A : P n P n, f Af = f der Ableitungsoperator. Geben Sie das Minimalpolynom m A (ξ) von A an. Geben Sie für ein beliebiges f P n vom Grade k n den Raum [f] A an. Ist P n A-zyklisch? 0. Wir betrachten den Ring (R[x], +, ) aller Polynome in der Unbestimmten x mit reellen Koeffizienten (ersetzen Sie von mir aus R durch Ihren Lieblingskörper). Ferner sei I eine Untergruppe von (R[x], +) mit der Eigenschaft: g(x), h(x) R[x] : h(x) I g(x)h(x) I Zeigen Sie: es gibt ein normiertes Polynom m(x) I mit der Eigenschaft h(x) I q(x) R[x] : h(x) = q(x)m(x). Entscheiden Sie ob m(x) eindeutig bestimmt ist (mit Beweis).

7 Übung 4 3. Vollziehen Sie Satz 8.27 und 8.29 der Vorlesung nach am Beispiel der Matrix A und das Abspalten eines maximalen zyklischen Unterraums anhand von B, wobei A = R , B = R Zeigen Sie: Ist A C n n invertierbar, so ist A span(i, A, A 2,...) C n n, d.h. A ist eine Linearkombination von Potenzen von A. Geben Sie die Koeffizienten einer solchen Linearkombination an. 5. Zeigen Sie: F ist genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom P F (ξ) in Linearfaktoren zerfällt und das Minimalpolynom m F (ξ) nur einfache Nullstellen hat.

8 Hausaufgabe 4 Abgabe: Dienstag, Sei A K n n eine invertierbare Matrix. Wie lässt sich das charakteristische Polynom p A (ξ) von A durch das charakteristische Polynom p A (ξ) von A ausdrücken? 2. Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und F End K (V ) gegeben. Ferner gebe es ein N mit F N+ = F, siehe Übung 3, Aufgabe 2. Entscheiden Sie ob F diagonalisierbar ist in den beiden Fällen K = C und K = R. 3. Entscheiden Sie, ob die beiden Matrizen A, B C 4 4, a b 0 A = b a a b 0 0 b a, B = ähnlich sind und geben Sie ggf. S an, so dass S AS = B. z z z z, z = a + bi, 4. Sei A C n n eine Matrix mit reellen Einträgen und λ, λ ein Paar konjugierter komplexer Eigenwerte. Wie hängen die Haupträume Hau(A, λ) und Hau(A, λ) zusammen? 5. Bestimmen Sie die Jordan sche Normalform für die beiden Matrizen A = , B = sowie jeweils eine Transformationsmatrix.

9 Übung 5 6. Vefahren zur Bestimmung der Normalmatrix, einer Transformationsmatrix, und der elementaren Divisoren Input: Matrix (Endomorphismus) A und die irreduziblen Faktoren p (ξ),..., p k (ξ) von P A (ξ). Output: (r,..., r k ) mit m A (ξ) = p (ξ) r p k (ξ) r k, die elementaren Divisoren mit ihren Vielfachheiten und folglich die allgemeine Normalmatrix, eine Basis S mit M S S (A) = Normalmatrix, bzw. S mit S AS =Normalmatrix. Initialisierung: S = (S enthält am Ende eine Basis mit M S S (A) = Normalmatrix, bzw. die Spalten einer Transformationsmatrix) Verfahren: Für jedes p(ξ) {p (ξ),..., p k (ξ)} setze und führe die folgenden Schritte (a) und (b) durch: q = deg p(ξ) (a) Bestimme linear unabhängige Mengen U, U 2,... mit der Eigenschaft, dass j : Ker p(a) j = span(u )... span(u j ). Ferner setze r = min{j, U j = }. Dann ist r die Vielfachheit von p(ξ) in m A (ξ). Weiter definiere D(j) durch D(r) = U r q und D(j) = U j q D(j + )... D(r). Falls p(ξ) = ξ λ (d.h. q = ), dann gibt D(j) die Anzahl der Jordanblöcke der Größe j zum Eigenwert λ an. Allgemein gibt D(j) die Anzahl der jq jq-blöcke M(d) an, die zum Elementardivisor d = p(ξ) j gehören, vgl. Satz Bemerkung: Ist man also nur an der Gestalt der Normalmatrix interessiert, kann man Schritt (b) überspringen und zum nächsten Primteiler übergehen. Das Verfahren zur bestimmung der Transformationsmatrix geben wir zunächst nur für den Fall an, dass alle p(ξ) Linearfaktoren sind, also ab jetzt p(ξ) = ξ λ und q =. (b) Setze V = V 2 =... = V r =. Für m = r,..., führe folgende Schritte durch i. Ergänze die linear unabhängige Menge U U 2... U m V m durch eine D(m)-elementige Menge W m zu einer Basis von Ker (A λi) m, etwa durch D(m) geeignete Elemente aus U m. ii. Für jedes v W m : Bemerkungen: i) In Schritt (a) ist S S {v, (A λi)v,..., (A λi) m v} und für i = 0,..., m : V m i V m i {(A λi) i v} Ker p(a) Ker p(a) 2... Ker p(a) r Ker p(a) r = Ker p(a) r+ =..., und U ist eine Basis von Ker p(a), U U 2 eine Basis von Ker p(a) 2 und allgemein ergänzt U i die bisher gewonnene Basis von Ker p(a) i, zu einer von Ker p(a) i. ii) Im ersten Durchlauf der Schleife in Schritt (b) (d.h. m = r) kann man direkt W r = U r nehmen (eine Rechnung gespart). In späteren Durchläufen kann auch W m = vorkommen (nämlich, wenn D(m) = 0 ist). iii) In der Schleife in Schritt (b) wird insbesondere W m zu V m zugefügt, so dass nach den r Schleifendurchläufen gilt j : Ker p(a) j = span(v )... span(v j ). Für v W m nennt man {v, (A λi)v,..., (A λi) m v} Jordan-Kette der Länge m. Jedes v V m \ W m liegt auf genau einer Jordan-Kette einer Länge m + l für ein l, d.h. es gibt w W m+l V m+l mit (A λi) l w = v. iv) Schreibt man die Jordan-Ketten in der angegebenen Reihenfolge (d.h. beginnend mit v) in die Basis S, so stehen die en in den Jordanblöcken unterhalb der Diagonalen. v) Für allgemeines p(ξ) vom Grade q lautet Schritt (b) wiefolgt:

10 (b) Für m = r,..., führe folgende Schritte durch i. Ergänze die linear unabhängige Menge U U 2... U m V m durch eine Menge W m zu einer Basis von Ker p(a) m, wobei man geeignete Vektoren v, v 2,..., v D(m) wählt, so dass (es ist W m = qd(m) ). ii. Für jedes v {v, v 2,..., v D(m) } : W m = {v, Av,..., A q v, v 2, Av 2,..., A q v 2,. v D(m), Av D(m),..., A q v D(m) } S S {v, Av,..., A q v, und für i = 0,..., m : p(a)v, p(a)av,..., p(a)a q v,. p(a) m v, p(a) m Av,..., p(a) m A q v} V m i V m i {p(a) i v, p(a) i Av,..., p(a) i A q v} Probieren Sie das Verfahren jeweils über K = Q aus an , Begründen Sie, dass das Verfahren funktioniert. 8. Bestimmen Sie eine Normalmatrix (über K = R) von B A = I..... ( 2 a b R2r 2r, B = b a 0 I 2 B ). Untersuchen Sie auch alle möglichen Fälle für allgemeines B R 2 2.

11 9. Für eine Matrix A K n n betrachte die Abbildung Für K = R und K = C überlege man sich: Übung 6, A : K n K n K, (x, y) y T Ax. (a) Sei A = Diag(λ,..., λ n ). Für welche λ i ist die Abbildung, A ein Skalarprodukt? (b) Welche Bedingung muss man allgemein an A stellen, damit, A ein Skalarprodukt ist? 20. Sei (v,..., v n ) eine Basis eines euklidischen/unitären Vektorraumes (V,, ). (a) Welche Werte legen, eindeutig fest? (b) Welche Beschreibung durch Matrizen und Koordinatenvektoren ergibt sich daraus? 2. Wir betrachten den Vektorraum C[, ] mit dem Skalarprodukt (f, g) f, g = f(x)g(x)dx und darin den von (, x, x 2, x 3, x 4 ) erzeugten Untervektorraum U. (a) Geben Sie mit dem Gram-Schmidt-Verfahren eine Orthonormalbasis von U an. (b) Geben Sie ein Polynom p(x) vom Grad kleiner gleich 2 an, so dass p(x) sin(x), p(x) sin(x) minimal wird. 22. Gegeben sei eine Basis B = (v,..., v n ) eines unitären Vektorraumes (V,, ) und sei B ad = (u,..., u n ) die zu B adjungierte Basis. Ferner sei M = (µ ij ) die Matrix des Basiswechsels von B ad nach B, also u j = n µ ij v i. Wie lassen sich die Einträge von M durch die Elemente von B ausdrücken? i=

12 Hausaufgabe 5 Abgabe: Dienstag, Wir betrachten den Vektorraum C[, ] mit dem Skalarprodukt (f, g) f, g = f(x)g(x)dx und der Norm f = f, f. (a) Rechnen Sie Aufgabe 2 aus der Übung 6 zu Ende. (b) Zeigen Sie, dass C[, ] als bezüglich, orthogonale Summe von G und U darstellbar ist, wobei G = {f C[, ] f(x) = f( x)} und U = {f C[, ] f(x) = f( x)}. (c) Sei M n = span(sin(πmx), cos(πmx), m = 0,,..., n). Approximieren Sie die Funktion x 2 bestmöglich (bezüglich ) durch ein Element aus M n. (d) Geben Sie eine Isometrie von M 2 auf den Unterraum der Polynome vom Grade kleiner oder gleich vier an. 7. Gegeben seien zwei Geraden G, H in R n. Bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden, d.h. min{ x y, x G, y H}. Dabei sei die vom Standardskalarprodukt induzierte Norm. 8. Gegeben sei eine Basis B = (v,..., v n ) eines unitären Vektorraumes (V,, ) und sei B ad = (u,..., u n ) die zu B adjungierte Basis. Ferner sei M = (µ ij ) die Matrix des Basiswechsels von B ad nach B, also u j = n µ ij v i. Wie lassen sich die Einträge von M durch die Elemente von B ausdrücken? 9. Es bezeichne P n den Vektorraum der reellen Polynome vom Grad kleiner gleich n. Wir statten P und P 2 jeweils mit dem Skalarprodukt aus Aufgabe 6 aus und betrachten die Abbildung F : P P 2, g(x) F g(x) = xg(x). Bestimmen Sie F ad, etwa indem sie angeben, was es mit einer geeigneten Basis tut. i=

13 Übung Es seien V, W endlichdimensionale euklidische (oder unitäre) Vektorräume. Zeigen Sie, dass das Bilden der adjungierten Abbildung ad : Hom K (V, W ) Hom K (W, V ), F F ad ein Vektorraumisomorphismus ist. Zeigen Sie ferner (F G) ad = G ad F ad. 24. Analog zur Charakterisierung der orthogonalen 2 2 Matrizen (vor Satz 9.33) geben Sie eine Charakterisierung der unitären 2 2 Matrizen an. 25. Gegeben sei die 3 2 Matrix A und Vektoren b, b 2 durch A =, b = 0, b 2 = Bestimmen Sie für i =, 2 jeweils x R 2, so dass Ax b i kleinst möglich wird. Dabei sei die durch das Standardskalarprodukt induzierte Norm. 2 0

14 Hausaufgabe 6 Abgabe: 9. Juli Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von R 3, deren Elemente gleichzeitig Eigenvektoren von A und B sind, wobei A = , B = Wieviele solcher Basen gibt es? 2. Lösen Sie Aufgabe 23 aus Übung Zeigen Sie: Zu jeder reellen symmetrischen Matrix A und jeder ungeraden natürlichen Zahl n existiert eine reelle symmetrische Matrix B mit B n = A. Bestimmen Sie eine Quadratwurzel von A und eine Kubikwurzel von B, d.h. symmetrische Matrizen C, D mit C 2 = A und D 3 = B. Dabei sind A = [ ], B = 5 [ Es sei eine submultiplikative Matrixnorm auf R n n und f(x) = n=0 f nx n eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0. (a) Zeigen Sie: Ist für eine Matrix A R n n A < R dann existiert f(a) = n=0 f na n. (b) Was ist dann f(a) für (c) Was ist n=0 An für A mit A <? (d) Was ist exp(a) für A = [ λ 0 0 µ ] A = und A = [ 2 2 ] [ λ 0 λ ]. ]?

15 Übung Wir hatten uns am Beispiel der Matrix A aus Übung 7, Aufgabe 25 überlegt, wie man x 0 bestimmt, so dass Ax 0 b = min{ Ax b, x R 2 }. Dazu wurde b orthogonal auf b 0 ImA projiziert und dann x 0 als Lösung von Ax = b 0 gewonnen. Ferner wurden alle Linksinversen von A bestimmt. Sei nun A = [a,..., a n ] R m n mit m n und RangA = n. Die Matrix A R n m werde wiefolgt konstruiert: () Bestimme eine Basis a n+,..., a m von KerA T und setze  = [a,..., a n, a n+,..., a m ]. (2) A bezeichne nun die Matrix, die aus den ersten n Zeilen von  besteht, also c T c  =. T und A =. R n m c T m c T n Anmerkung: (c,..., c m ) ist die zu (a,..., a m ) adjungierte Basis von R m, c T i a j = δ ij. [ ] (a) Berechnen Sie A für A = und berechnen Sie A A. Zeichnen Sie ImA und KerA T in ein Koordinatensystem ( ) ( ) ( ) und tragen Sie ferner die Punkte b und AA b in die Zeichnung ein für b =, b = und b = Beschreiben Sie die Abbildung AA geometrisch. (b) Zeigen Sie, dass allgemein A eine Linksinverse von A ist, also A A = I n. (c) Zeigen Sie, dass für jedes b R m gilt: Mit x 0 = A b gilt Ax 0 b = min{ Ax b, x R n }. Erinnerung: Für A R m n gilt stets: R m = KerA T ImA wobei die Summe orthogonal ist, denn für y KerA T und v = Ax ImA ist (Ax) T y = x T A T y = x T 0 = 0 und m = RangA T + dim KerA T = RangA + dim KerA T. (d) Berechnen Sie A für A = (a) Betrachten Sie die Matrix A = [ ]. Zeichnen Sie KerA und KerA T in ein Koordinatensystem ein. Zeichnen Sie ferner die Lösungsmenge von Ax = b für b = 2, 3 ein. Berechnen Sie ferner die Matrix P = A T (AA T ) und tragen Sie die Punkte P b ein. Wie kann man P b geometrisch deuten? (b) Sei nun A R m n und RangA = m. Zeigen Sie, dass P = A T (AA T ) existiert und eine Rechtsinverse von A ist. Zeigen Sie ferner, dass für b R m x = P b diejenige Lösung von Ax = b mit kleinster euklidischer Norm ist.

16 Übung Gegeben seien R 2 und R 3 mit ihren jeweiligen Standardskalarprodukten. Ferner seien eine Basis A von R 3, eine Basis B von R 2 und F : R 3 R 2 gegeben durch 0 0 ([ ] [ ]) [ ] A = 2,, 0, B =,, M A B (F ) = (a) Bestimmen Sie die adjungierten Basen A ad und B ad. (b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von F ad bezüglich einer clever gewählten Basis. (c) Bestimmen Sie M E2 E 3 (F ad ), wobei für i {2, 3} E i jeweils die Standardbasis von R i bezeichnet. 29. Wir betrachten den Vektorraum P n der Polynome vom Grade n mit dem Skalarprodukt (f, g) f, g = f(x)g(x)dx und der Norm f = f, f. (a) Berechnen sie die Gram-Matrix G n von, bezüglich der Basis B n = (, x, x 2,..., x n ). Wie kann man nun konkret p(x), q(x) ausrechnen? (b) Geben Sie die adjungierten Basen B ad und B ad 2 von P bzw. P 2 an. (c) Geben Sie die Darstellungsmatrix der Abbildung F : P P 2, x xp(x) bezüglich B und B 2 an. (d) Geben Sie die Darstellungsmatrix der Abbildung F ad : P 2 P bezüglich der dualen Basen B ad und B ad 2 an. (e) Geben Sie die Darstellungsmatrix der Abbildung F ad : P 2 P bezüglich B und B 2 an. 30. Sei V ein 2-dimensionaler C-Vektorraum mit Skalarprodukt und F : V V ein Endomorphismus mit der Eigenschaft F ad = αf. Für welche α existiert so ein F, falls F 0 gefordert ist? Was kann man über die Darstellungsmatrix bezüglich einer Orthonormalbasis aussagen?