Klausur zu Analysis und Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 1 Klausur zu Analysis und Wahrscheinlichkeitsrechnung WS 016/17, Prof. Dr. Hans-Jürgen Steens Name: Vorname: Matrikelnummer: Die Klausur besteht aus 3 Aufgaben. Es sind maximal 00 Punkte ) zu erreichen. Teilnehmer des Studienganges medizinische Informatik bearbeiten ausschlieÿlich den Analysisteil Aufgaben 1-15) Es sind alle Hilfsmittel zur selbständigen Bearbeitung erlaubt. Sie werden zeitlich nicht alle Aufgaben bearbeiten können. Konzentrieren Sie sich deshalb auf diejenigen Aufgaben, die Ihnen liegen. Markieren Sie bitte die Aufgaben, die Sie bearbeitet haben. Aufgabe Punkte Aufgabe Punkte

2 1. Teil Analysis Basics Aufgabe 1: 8 Punkte) Worin unterscheiden sich die reellen Zahlen von rationalen Zahlen und welche Konsequenzen hat das für die Informatik also für die zur Darstellung benötigten Datenstrukturen)? Aufgabe :? Punkte) i) Berechnen Sie: a) b) 7 1 ) c) d) a b : c d ii) Begründen sie Ihr Ergebnis von i)a) und i)d) mithilfe der Eigenschaften der reellen Zahlen und der Denition eines Bruches a b. Aufgabe 3:? Punkte) Zeigen Sie mit Hilfe der Bernoullischen Ungleichung, dass die Folge a n = x n für jedes x > 1 für n gegen unendlich geht, d.h. jede vorgegebene Zahl S ab einem gewissen N überschreitet. Können Sie die Zahl N berechnen, ab der dies spätestens der Fall ist? Aufgabe 4:? Punkte) Das aritmetische Mittel zweier positiver) Zahlen a, b ist bekanntlich deniert durch a + b. Das geometrische Mittel von a, b ist deniert durch a b. Zeigen Sie, dass dass geometrische Mittel stets kleiner oder gleich ist dem arithmetischen Mittel. Hinweis: Schreiben Sie die Behauptung in Form einer formalen Ungleichung auf und wandeln Sie sie äquivelent so lange um, bis Sie zu einer Ungleichung gelangen, die ganz sicher wahr ist. Aufgabe 5:? Punkte)

3 3 In der Vorlesung hatten wir gezeigt, dass keine rationale Zahl ist. Beweisen Sie ausgehend davon, dass für alle rationalen Zahlen p q p, q ganzzahlig, q 0) die Zahlen + p q irrational sind. Hinweis: Versuchen Sie es mit einem Widerspruchsbeweis. Unendliche Folgen und Reihen Aufgabe 6 :? Punkte) In der Vorlesung resp. den Übungen hatten wir gezeigt, dass n) n monoton wachsend ist. Können Sie den Beweis so erweitern/modizieren, dass Sie damit zeigen, dass 1 + n) x n für jedes positive x monoton wachsend ist? Aufgabe 6:? Punkte) Betrachten Sie folgede induktiv denierte Folge: a 0 = { 1 n = 0; a n 1 a n 1 +, n > 0. i) Zeigen Sie per Induktion, dass a n > 0 für alle n. ii) Zeigen Sie dann, dass a n 1 für alle n. iii) Zeigen Sie dann, dass a n monoton fallend ist. iv) Aus i) bis iii) folgt bekanntermaÿen, dass a n konvergiert. Berechnen Sie den Grenzwert. Aufgabe 7:? Punkte) Beweisen Sie ausnahmsweise) mittels der Denition der Konvergenz, dass a n = 1 n 3 n 0. Ab welchem N = N ε hat die Folge a n spätestens nur noch einen Abstand kleiner als ε von der 0? Aufgabe 8 :? Punkte) Schauen Sie sich folgende Folgen einmal genau an und nde Sie ein gemeinsames Muster, das Ihnen hilft, sofort ihren Grenzwert zu berechnen: a) a n = ) n 3n 1 b) a n = n 1 ) n n n n + 1

4 4 c) a n = x ) ) n 1 + 4n Aufgabe 9? Punkte) Welche der folgenden Folgen konvergieren und falls ja, gegen welchen Grenzwert? a) a n = n + 1)3 n 3 b) a n = n4 + n 3 5 5n 4 0n c) a n = n 4 n + 1 n 3 d) a n = n + 1)n 1) e) a n = n 4 n Aufgabe 10: 4 Punkte) Welche der folgenden unendlichen Reihen konvergiert? 1 a) 4 1 ) n n b) ) n n c) d) e) f) 1 n + n n + 3) n! 3 n n 3 n 3 3 n Aufgabe 11: 7 Punkte) Ist die Funktion fx) = { x sinx) x 0; 0 x = 0. im Nullpunkt dierenzierbar? Hinweis: Betrachten Sie den Dierenzenquotienten fx) fx 0) x x 0 für x 0 = 0 und sinx) benutzen Sie den Satz, dass lim = 1. x 0 x

5 5 Aufgabe 1? Punkte): Bilden Sie die Ableitung folgender Funktionen: a) fx) = x 5 + 7x 3 b) fx) = x 1 x c) fx) = loglogx)) d) fx) = sinx) cosx) e) fx) = e x +1 Aufgabe 13 :? Punkte) Bekanntlich ist e x = lim n eine Beweis zu skizzieren, dass e x ) = e x. 1 + x n) n. Können Sie diesen Sachverhalt nutzen, um Aufgabe 14:? Punkte) i) Bilden Sie die Taylorentwicklung der Funktion fx) = x + x + 1 um den Punkt x 0 = 1. ii) Können Sie an Hand der Taylorentwicklung begründen, warum eine Funktion an einem Punkt x 0 einen Extremwert besitzt, wenn die Ableitung dort 0 ist und die. Ableitung an dieser Stelle ungleich 0? Aufgabe 15: 10 Punkte) Bilden Sie die Stammfunktionen folgender Funktionen: a) x + x + 5dx b) logx)dx 1 c) x a dx x d) x + 1 dx e) x logx)dx

6 6. Teil Wahrscheinlichkeitsrechnung Ein wenig Theorie Aufgabe 16? Punkte) Welche grundlegenden Eigenschaften gelten für Wahrscheinlichkeiten pa) von Ereignissen A Ω eines Ereignisraumes Ω? Hinweis: Vergleichen Sie die Gleichungen für die Wahrscheinlichkeiten mit den Gleichungen für die booleschen Wahrheitsfunktionen. Wo liegen die Unterschiede? Aufgabe 17? Punkte) i) Folgern Sie aus den Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit p, dass für disjunkte Ereignisse, also für Ereignisse A 1, A mit A 1 A = gilt: pa 1 ) A ) = pa 1 ) + pa ). ii) Verallgemeinern Sie das Ergebnis für paarweise disjunkte Ereignisse A 1, A, A n und führen Sie hierfür einen Beweis durch vollständige Induktion. Aufgabe 18? Punkte) i) Wie lautet die Dention einer bedingten Wahrschinlichkeit und wie lässt sich damit die Formel von Bayes, nämlich beweisen? pa B) = pb A) pa) pb) ii) Wie kann man die Bayessche Formel modizieren, wenn Ω = A 1 A A n für paarweise disjunkte A 1, A, A n? iii) Sei B A für zwei Ereignisse A, B. Zeigen Sie, dass pa B) = pa) pb) pb) Elementare Ereignisse Aufgabe 19: 15 Punkte) Zwei Würfel werden einmal geworfen. i) Man berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man die folgenden Augenkombinationen erhält: a) auf wenigstens) einem Würfel drei Augen, b) in der Summe höchstens drei Augen, c) eine ungerade Augensumme, d) eine durch zwölf teilbare Augensumme, e) eine Augensumme, die kleiner ist als zwölf,

7 7 f) eine Augensumme, die keine Primzahl ist. Hinweis: wir haben es hier mit 36 Elementarereignissen zu tun, da die Würfel unterscheidbar sind. ii) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion F x) = prx < x), die sich aus der Zufallsvariablen X ergibt, die die Gesamtaugenzahl von drei Würfeln liefert. An welcher Punkt hat diese Verteilungsfunktion die gröÿte Steigung? Begründen Sie letzteres qualitativ.) iii) Wieviele Elementarereignisse haben sie beim Würfeln mit 4 ununterscheidbaren Mikroteilchen, die wie eine Münze zwei Seiten besitzen? Wie hoch sind Wahrscheinlichkeit dieser jeweiligen Elementarereignisse? Spezielle Verteilungen Aufgabe 0: Punkte) i) Kleine Theoriefrage: Inwieweit lässt sich die Poisson-Verteilung als Grenzfall einer Binomialverteilung auassen? ii) Für eine Zufallsvariable, die Poisson verteilt ist mit Parameter λ, gilt bekanntlich px = k) = λk k! eλ Generell muss ja gelten, dass die Summe dieser Einzelwahrscheinlichket über alle k 1 ergeben muss. Können Sie also zeigen, dass px = k) = 1? Aufgabe 1 :? Punkte) k=0 In der Vorlesung haben wir gesehen, dass die Überlebenszeit instabiler Mikroteilchen, die innerhalb eines festgewählten Zeitintervalls zerfallen, exponential-verteilt ist. Bewegen sich solche Teilchen mit gleicher Geschwindigkeit, dann ist auch die zurückgelegte Wegstrecke da proportional zur Überlebenszeit) exponential-verteilt. Solche Teilchen können in der oberen Atmosphäre gebildet werden und haben dann fast) Lichtgeschwindigkeit ca m/sec). Ihre Überlebenszeit liegt in der Gröenordnung von 10 6 Sekunden. Man rechnet leicht nach wieviele Meter sie bis zum Zerfall maximal zurücklegen können. Wir stellen zu unserem Erstaunen fest, dass wir extrem viele von diesen Teilchen noch auf dem Erdboden messen können, sie bis zum Weg hierher oenischtlich noch nicht zerfallen sind. Ist das nur) eine statistische Fluktuation, oder steckt da etwas anderes dahinter?

8 8 Aufgabe : 8 Punkte) i) Gegeben seien 3 Urnen: Die erste Urne enthält 5 rote und 6 weiÿe Kugeln. Die zweite Urne enthält rote und weiÿe Kugeln. Die dritte Urne enthält rote und 4 weiÿe Kugeln. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen, wenn man mit gleicher Wahrscheinlichkeit) eine Kugel aus einer der drei Urnen zieht? ii) Aus einer zufällig ausgewählten Urne wird eine Kugel zufällig gezogen. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel aus der dritten Urne gezogen wurde, wenn sie rot ist? Hinweis: Benutzen Sie die Bayessche Formel.

9 9 Statistische Analysen Aufgabe 3: 10 Punkte) Wir betrachten einen Wahrscheinlichkeitsraum mit 6 Elementarereignissen Ω = {e 1, e, e 3, e 4, e 5, e 6 }. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Elementarereignisse mögen folgende Wert haben: pre 1 ) 1/4 pre ) 1/10 pre 3 ) 1/10 pre 4 ) 1/0 pre 5 ) 1/4 pre 6 ) 1/4 Sei X : Ω R eine Zufallsvariable mit den Funktionswerten: Xe 1 ) 3 Xe ) 5 Xe 3 ) 7 Xe 4 ) 9 Xe 5 ) 10 Xe 6 ) 1 Berechnen Sie den Mittelwert Erwartungswert) EX) und Varianz EX EX) )dieser Zufallsvariablen. Hinweis: Für eine Zufallsvariable Y ist EY ) = i prω i) Y ω i ). Aufgabe 4 :? Punkte): Wir Würfeln mit zwei Würfeln. Die Zufallsvariable X liefere die Augenzahl des ersten Würfels, die Zufallsvariable Y die des zweiten. i) Berechnen Sie den Erwartungswert EX) und die Varianz V arx) von X.Für Y erhalten wir dasselbe Ergebnis). Welchen Korrelationskoezienten ρx, Y ) = für X und Y. CovX, Y ) V arx) V ary ) erhalten wir Hinweis: Sie können entweder rechnen, oder intelligent argumentieren.