Technische Universität Berlin

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1 Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik WS / Knipping R Naen R Patterson M Scheutzow 44 April Klausur ineare Algera für Ingenieure ösungsskizze Aufgae Punkte Gegeen seien die Matrix A : R 5 und der Vektor : (a) Bringen Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix A in normierte Zeilenstufenform () Bestimmen Sie die ösungsmenge des linearen Gleichungssystems A x (c) Bestimmen Sie eine Basis von Bild(A) 4 6 R (d) Git es einen Vektor v R sodass das lineare Gleichungssystem A x v keine ösung esitzt? (a) ( Punkte) A III I I 4 II II+I II 4 () ( Punkte) Ausgehend von der NZSF in a): Die Nichtkopfvarialen parametrisieren die ösungsmenge Setze: x : s x 4 : t R Dann gilt für die Kopfvarialen: x s t x + s + t x + 4t x 4t und x 5 Somit ist die ösungsmenge des GS: + s + t s 4t t s t R + s + t 4 s t R (c) ( Punkte) Eine Basis von Bild(A) wird durch die Spalten der Matrix A geildet ei denen { in der NZSF ein Kopf steht Nach a) sind dies die erste dritte und fünfte Spalte von A Somit ist eine Basis von Bild(A) NZSF(A ) } (d) ( Punkte) Nach c) sind in einer Basis von Bild(A) drei Vektoren Somit ist dim(bild(a)) dim(r ) Also liegt jeder Vektor v R auch im Bild von A und das GS A x v ist immer lösar Einen solchen Vektor kann es folglich nicht geen Aufgae Punkte Gegeen sei die Matrix B : R (a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom p B der Matrix B () Bestimmen Sie alle Eigenwerte von B und estimmen Sie den Eigenraum zum größten Eigenwert (c) Ist B diagonalisierar? (d) Ist B invertierar? (a) ( Punkte) λ aplace p B (λ) det(b λi n ) λ λ Zeile ( )+ ( λ) det λ λ ( λ)( λ)( λ) ( λ)( λ + λ ) λ( λ) λ + 6λ 9λ

2 ineare Algera f Ing - April-Klausur WS / - ösungsskizze () (4 Punkte) Die Eigenwerte von B sind die Nullstellen des char Polynoms Aus p B λ( λ)! folgt dass λ und λ / die Eigenwerte von B sind Für den Eigenraum zum Eigenwert λ / gilt: V λ/ Kern { { } } I B λ / I Kern Kern II+I } span { { (c) ( Punkte) B ist diagonalisierar falls die algvfh gleich der geomvfh für alle Eigenwerte ist Nach a) zw ) ist λ / eine doppelte Nullstelle des char Polynoms und die algvfh von λ / ist somit Die geomvfh von λ / ist eenfalls da nach ) der zugehörige Eigenraum von zwei linear unahängigen Vektoren aufgespannt wird denn und } sind keine Vielfachen voneinander Die algvfh von λ ist denn nach a) zw ) ist λ eine einfache Nullstelle des char Polynoms Da die geomvfh eines Eigenwerts maximal so groß ist wie die algvfh aer mindestens ist auch die geomvfh von λ gleich Also stimmt die algvfh mit der geomvfh für alle Eigenwerte üerein und B ist folglich diagonalisierar (d) ( Punkte) B ist invertierar falls ijektiv Ein Eigenwert von B ist Der zugehörige Eigenraum ist gerade der Kern von B denn V λ { } Kern(B I ) Kern(B) Dieser ist nach c) eindimensional Somit ist Kern(B) und B also nicht injektiv Da B nicht injektiv folglich auch nicht ijektiv ist ist B nicht invertierar Aufgae Punkte Gegeen seien die folgenden Aildungen: F : R R x F : R x R ax + x + (a ) ax + a (a) Üerprüfen Sie o F eine lineare Aildung ist () Üerprüfen Sie o F eine lineare Aildung ist (c) Bestimmen Sie Kern(F ) (d) Ist F invertierar? Falls ja estimmen Sie F a + a + (a) ( Punkte) ) ( ) ( F ( F x x F F ist nicht homogen und somit auch nicht linear ) () ( Punkte) F ist linear falls additiv und homogen Für p : ax + q : cx + d R x und α R muss also gelten: F (p + q) F (p) + F (q) und F (αp) αf (p) (a + c) + ( + d) F (p + q) F ((ax + ) + (cx + d)) F ((a + c)x + ( + d)) (a + c) + ( + d) a + c + d + F a + c + d (ax + ) + F (cx + d) F (p) + F (q) αa + α a + F (αp) F (α(ax + )) F (αax + α) α αf αa + α a + (ax + ) αf (q) Also ist F eine lineare Aildung { } (c) ( Punkte) Kern(F ) ax + R x F (ax + ) a +! Aus F (ax + ) ergit sich das GS a + II I I+II II Das GS hat die eindeutige ösung a Somit ist Kern(F ) {x + } (d) (5 Punkte) Nach c) ist Kern(F ) {} Also ist F injektiv Nach dem Dimensionssatz gilt nun dim(bild(f )) dim(r x) dim(kern(f )) Also ist die Dimension des Bildes gleich der Dimension des Bildraums (dim(r ) ) und F also auch surjektiv F injektiv und

3 ineare Algera f Ing - April-Klausur WS / - ösungsskizze surjektiv und somit ijektiv F ist eine invertierare ( ( Aildung )) F : R a R x; cx + d mit F F a a ( ( )) Aus F F a c + d a F (cx + d) ergit sich das GS c + d a II I a I+II a a II a Die oige Gleichung ( ) hat also die ösung c a und d a Somit ist F a ( a)x + (a ) 4 Aufgae Punkte Gegeen seien der Vektorraum V : { A R } A oere Dreiecksmatrix und die lineare Aildung : V V von der folgendes ekannt ist: ( (a) Zeigen Sie dass ) ( ) im Kern von liegt 4 ( ) () Geen Sie einen Eigenwert sowie einen zugehörigen Eigenvektor von an { (c) Bestimmen Sie die darstellende Matrix von zgl der Basis B : von V } (a) ( Punkte) ( ) Kern) falls gilt ( ) ( ) + ( ) ( ) lin Also ist Kern) () ( Punkte) ( ) nach a) Also ist ein Eigenvektor zum Eigenwert von (c) (6 Punkte) spaltenweise Bestimmung von B : ( )) ( ) B e K B (K B ( e ))) K B K B ( ) ( ) lin K B + K B e + e ( )) ( B e K B (K B ( e ))) K B K B 4 ( ) ( ) lin K B + K B e + e ( )) ( B e K B (K B ( e ))) K B K B ( ) lin K B e B K B ( ) ( K B ) ( K B + ) + ) ) 5 Aufgae } 9 Punkte Gegeen sei mit T : a R ein Teilraum des R { a

4 ineare Algera f Ing - April-Klausur WS / - ösungsskizze (a) Wählen Sie aus der Menge M : { 4 } eine Basis C von T aus Begründen Sie Ihre Wahl () Ist Ihre in a) gewählte Basis eine Orthonormalasis von T zgl des Skalarprodukts a d : T T R mit e : c f 6 ad + e + 8 cf? (c) Zeigen Sie dass die folgende Aildung kein Skalarprodukt auf R definiert: : R R a c R mit : ac ad c d (a) (4 Punkte) { 4 } Wähle C : Die eiden Vektoren in C sind linear unahängig da keine Vielfachen voneinander { Weiter gilt: } { } { } 4 4 4t span C span s + t s t R s s s t R s: 4 a { } a t: a R T Also ist C auch ein Erzeugendensystem von T und somit eine Basis von T () ( Punkte) C ist orthonormal falls die einzelnen Vektoren in C normiert und orthogonal sind Die eiden Vektoren sind orthogonal zgl denn es gilt: ( ) + 8 Die eiden Vektoren sind auch normiert zgl denn es gilt: 6 + ( ) ( ) + 8 und C ildet also eine Orthonormalasis von T zgl (c) ( Punkte) ist kein Skalarprodukt da nicht positiv definit denn e e aer e 6 Aufgae 8 Punkte Geen Sie Matrizen C C C C 4 R an sodass die entsprechenden Bedingungen erfüllt werden Zeigen Sie dass die Bedingungen von den von Ihnen gewählten Matrizen erfüllt werden (a) Es gilt C und Kern(C ) () Es gilt C und C (c) Der Vektor liegt nicht im Bild von C (d) y(t) e t ist die ösung des Anfangswertprolems d y(t) dt C 4 y(t) y y() (a) ( Punkte) C : Offensichtlich gilt Da ist im Kern von C 4

5 ineare Algera f Ing - April-Klausur WS / - ösungsskizze () ( Punkte) C : und es gilt (c) ( Punkte) C : Das Bild einer Matrix wird durch die Spalten erzeugt Bild(C ) da { span } (d) ( Punkte) C 4 : ist ein Eigenvektor von C 4 zum Eigenwert denn es gilt: Somit ist also y(t) e (t ) e t die ösung des Anfangswertprolems 5