Klausur zur Mathematik II (Modul: Lineare Algebra II)

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1 Technische Universität Hamburg-Harburg Institut für Mathematik Prof. Dr. Anusch Taraz Sommersemester 5 Klausur zur Mathematik II (Modul: Lineare Algebra II) Sie haben 6 Minuten Zeit zum Bearbeiten der Klausur. Tragen Sie bitte zunächst Ihren Namen, Ihren Vornamen und Ihre Matrikelnummer in DRUCKSCHRIFT in die folgenden jeweils dafür vorgesehenen Felder ein. Diese Eintragungen werden auf Datenträgern gespeichert. Name: Vorname: Matr.-Nr.: Stg.: AIW BU ET EUT IIW LUM MB MEC SB VT VTBIO Sch. Grundsätzlich gilt für alle Studierenden, dass die Module Analysis II und Lineare Algebra II die Gesamtnote für das Fach Mathematik II ergeben. Ich bin darüber belehrt worden, dass die von mir zu erbringende Prüfungsleistung nur dann als Prüfungsleistung bewertet wird, wenn die Nachprüfung durch das Zentrale Prüfungsamt der TUHH meine offizielle Zulassung vor Beginn der Prüfung ergibt. (Unterschrift) Bearbeiten Sie alle wie folgt angegebenen Aufgaben. Es werden insgesamt Punkte vergeben. Aufgabe Punkte Korrekteur 4 5 =

2 Aufgabe : (4 Punkte) Bestimmen Sie die Koeffizienten α, β R der Funktion f gegeben durch f(x) := αx+βx, so dass die Summe der Fehlerquadrate zu den Datenpunkten minimal wird. x i y i 4 Die Aufgabe, die Fehlerquadratsumme 4 i= (f(x f(x ) y i) y i ) = f(x 4 ) y 4 minimieren, ist äquivalent (Wurzel ziehen) zum Ausgleichsproblem: x x ( ) y x x α x x y β y minimal ( Punkt). x 4 x 4 y 4 zu Mit und x x M = x x x x = x 4 x 4 8 y y = y y = y 4 4 lauten die zugehörigen Normalgleichungen ( ) α M T M = M T b, β also ( ) ( ) 6 8 α = 8 66 β ( ) 6 ( Punkte) ( Punkte) ( Punkt). Abziehen des dreifachen der ersten Zeile von der zweiten Zeile ergibt ( ) ( ) ( ) 6 8 α 6 =. β Wir lesen aus der zweiten Zeile ab, dass β = ist. Eingesetzt in die erste Zeile ergibt das α = ( Punkt). Also ist f(x) = x + x.

3 Aufgabe : ( Punkte) Ermitteln Sie einen Eigenwert und einen zugehörigen Eigenvektor der Matrix A :=. Das charakteristische Polynom von A ist gegeben durch χ A (λ) = det(a λi ) = ( λ)( λ)( λ) ( λ) ( λ) = ( λ) ( ( λ)( λ) ) = ( λ)( λ)( λ). Damit sind die Eigenwerte von A gleich, und (einer davon genügt) ( Punkt). Zur Bestimmung eines Eigenvektors zum Eigenwert ermitteln wir eine nichttriviale Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = : +I +II Wir lesen ab, dass v = eine Lösung (und damit ein Eigenvektor von A zum Eigenwert ) ist ( Punkt). Alternativ: Zur Bestimmung eines Eigenvektors zum Eigenwert ermitteln wir eine nichttriviale Lösung des linearen Gleichungssystems (A I )x = : I Wir lesen ab, dass v = eine Lösung (und damit ein Eigenvektor von A zum Eigenwert ) ist ( Punkt). Alternativ: Zur Bestimmung eines Eigenvektors zum Eigenwert ermitteln wir eine

4 nichttriviale Lösung des linearen Gleichungssystems (A I )x = : III I II Wir lesen ab, dass v = eine Lösung (und damit ein Eigenvektor von A zum Eigenwert ) ist ( Punkt).

5 Aufgabe : (5 Punkte) Es sei P der R-Vektorraum der Polynome vom Höchstgrad. Gegeben sei die Abbildung f : P R, die jedem p P den Vektor p() f(p) := p () R p () zuweist (wobei p die erste und p die zweite Ableitung von p ist). a) Zeigen Sie, dass f linear ist. b) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von f bezüglich der Monombasis in P und der Standardbasis in R. c) Ist f injektiv bzw. surjektiv? Begründen Sie Ihre Antwort. a) Seien p, q P. Dann gilt (p + q)() p() + q() p() q() f(p+q) = (p + q) () = p () + q () = p () + q () = f(q)+f(q). (p + q) () p () + q () p () q () Seien p P, λ R. Dann gilt (λp)() λp() p() f(λp) = (λp) () = λp () = λ p () = λf(p) (λp) () λp () p () ( Punkt). b) Die Monombasis von P ist gegeben durch (m, m, m ), wobei m i (x) := x i für i =,,. Wir rechnen m () f(m ) = m () = = + + m () m () f(m ) = m () = = + + m () m () f(m ) = m () = = + + m () Damit ist die Abbildungsmatrix gegeben durch A f = ( Punkte). c) Die Abbildungsmatrix ist offensichtlich invertierbar. Damit ist f bijektiv, also sowohl injektiv als auch surjektiv ( Punkte).

6 Aufgabe 4: (4 Punkte) Für n N sei P n der R-Vektorraum der Polynome vom Höchstgrad n. Es sei die Abbildung, : P P R gegeben durch p, q := p(k)q(k) = p( )q( ) + p()q() + p()q(). k= a) Zeigen Sie, dass, positiv definit ist. Für die folgenden Teile können Sie benutzen, dass, ein Skalarprodukt auf P ist. b) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis des Unterraums P von P bezüglich des angegebenen Skalarproduktes. c) Berechnen Sie die Bestapproximation f P P von f P gegeben durch f(x) := x. a) Für p P gilt p, p = p( ) + p() + p(). Außerdem ist p, p = genau dann, wenn p mindestens die drei Nullstellen, und besitzt. Da p aber ein Polynom vom Höchstgrad ist, ist das genau dann der Fall, wenn p konstant Null, also das Nullpolynom, ist ( Punkt). b) Wir nutzen das Gram-Schmidt-Verfahren für die Basis (m, m ) von P, wobei m i (x) := x i. Es gilt b = m, b = b, b = + + =, b = b = m, b also b (x) = ( Punkt). Weiterhin ist wegen m, b = + + = b = m m, b b = m, b = b, b = ( ) + + =, also b (x) = x ( Punkt). b = b = m, b Damit bilden (b, b ) eine Orthonormalbasis von P. c) Es gilt, dass f P die Orthogonalprojektion von f auf P ist. Da wir schon eine Orthonormalbasis von P ausgerechnet haben, ist f P = f, b b + f, b b = ( ( ) + = b, + ) b + ( ( ) ( ) + + ) b also f P (x) = = ( Punkt).

7 Aufgabe 5: (5 Punkte) Gegeben sei die Matrix B :=. Bestimmen Sie eine reguläre Matrix X R, so dass J = X BX eine Jordan-Normalform von B ist. Geben Sie auch die Matrix J an. Die Matrix B ist eine obere Dreiecksmatrix, hat also ihre Eigenwerte auf der Diagonalen. Damit ist λ = einziger Eigenwert von B, mit algebraischer Vielfachheit α =. Es gilt B I =. Wir lesen ab, dass Rang(B I ) = gilt. Damit ist die geometrische Vielfachheit vom Eigenwert λ = gleich γ = dim(kern(b I )) = Rang(B I ) =. Daraus erhalten wir schon d () =, und es gilt J = ( Punkt). Es gilt (B I ) =. Wir lesen ab, dass Rang(B I ) =, also dim(kern(b I ) ) = gilt. Damit ist d () =. Es gilt (B I ) =. Also ist dim(kern(b I ) ) =. Wir erhalten m =, und d () =. Damit ist d 4 () =. Wir bestimmen einen Hauptvektor dritter Stufe, suchen also v, Kern(B I ) \ Kern(B I ). So ein v, ist beispielsweise gegeben durch v, = ( Punkt). Dann ist v, = (B I )v, = ( Punkt), und v, = (B I )v, = ( Punkt). Diese drei Vektoren bilden eine Jordan-Kette. Also ist X = ( Punkt).