Automatisierungstechnik 1

Transkript

1 Johannes epler Universität Linz Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung Übung Automatisierungstechnik 1 l x x soll 0 2r J A m J B U +U J G x soll R P +U U L A U F = konst. u A R A i A R 2 R 2 R 1 + Stand: SS 2016 Anastasiia Galkina, Bernd olar, Sven-Olaf Lindert

2 Übungsmodalitäten Abmeldung: Bis zu dem ersten Übungstest ist eine reguläre Abmeldung von der Übung AUT1 möglich. Bis zur ersten Lehrveranstaltung geht es über USSS( ab dann bis zum ersten Test im Institutssekretariat. Danach ist grundsätzlich keine Abmeldung von der Übung mehr möglich. Alle verbleibenden Teilnehmer werden wie folgt benotet: Übungsmodus/Benotung: In den Übungen werden Beispiele zum Inhalt der Vorlesung vorgerechnet und diskutiert. In den Übungen besteht grundsätzlich Anwesenheitspflicht, die jedoch nur bei den ersten beiden Übungsklausuren überprüft wird. s wird jedoch empfohlen die Übungen zu besuchen. Für eine positive Gesamtbeurteilung müssen insgesamt 2 von 3 Übungsklausuren positiv absolviert werden (d.h. mindestens 2 von 8 Punkten je Übungsklausur). Von diesen 3 lausuren werden dann die besten 2 für die Beurteilung herangezogen. Bei den ersten beiden lausuren besteht ANWSNHITS- PFLICHT! Für die Übungsklausuren dürfen als Hilfsmittel das Vorlesungsskriptum AUT1, die vom Institut zur Verfügung gestellte Formelsammlung, welche sich im Downloadbereich der Homepage befindet, und die mathematischen Formelsammlungen, welche anschließend angegeben sind, verwendet werden. Die angegebenen Unterlagen dürfen nur ohne zusätzliche rgänzungen(schriftliche rgänzungen, Skizzen,...) verwendet werden. Alle weiteren Hilfsmittel (Taschenrechner, Bücher, Übungsmitschriften,...) sind ausnahmslos verboten! [Bartsch] Bartsch: Taschenbuch mathematischer Formeln, Fachbuchverlag Leipzig öln. [Bronstein] Bronstein et al.: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main. [Springer] Rade und Westergren: Springers mathematische Formeln, Springer Verlag. Hausübungen: Die Beispiele im Abschnitt Aufgaben am nde eines jeden Übungsblattes sind freiwillig auszuarbeiten. Diese werden nicht kontrolliert und gehen nicht in die Benotung ein. Als weiteres Übungsmaterial stehen auch die Tests vergangener Semester im Downloadbereich des Instituts zur Verfügung. 1

3 Übung 1 Modellbildung und Zustandsraum Die erste Übung widmet sich der mathematischen Modellbildung. Hierbei werden physikalische Systeme mit Hilfe gewöhnlicher Differentialgleichungen beschrieben, welche die Grundlage für die Untersuchung von Systemen sowie für den modellbasierten Reglerentwurf bilden. Hierbei wird essentiell vom Begriff des Zustandsraumes Gebrauch gemacht. Dieser ist im Rahmen dieser LVA ein linearer Vektorraum, weswegen grundlegende igenschaften linearer Vektorräume wiederholt werden. 1.1 Beispiele zur Modellbildung Anhand der folgenden Beispiele wird die Vorgehensweise bei der Modellbildung illustriert Mathematisches Pendel Siehe Abbildung Modellierung einer Gleichstrommaschine Zur mathematischen Modellbildung der Gleichstrommaschine sollen folgende Vereinfachungen getroffen werden: konstante Induktivitäten und Widerstände des Anker- und des rregerkreises, keine Sättigungseffekte, keine Bürstenspannung. 2

4 Übung 1. Modellbildung Modellierung einer Gleichstrommaschine Reibkoeffizient d Drehfedermoment M c (ϕ) M e M c (ϕ) M c (ϕ) = cϕ ϕ g L M c (ϕ) = cϕ 3 ϕ m Abbildung 1.1: Mathematisches Pendel i A R A L A ω,ϕ ua u i L Θ M el R u i Abbildung 1.2: GSM 3

5 Übung 1. Modellbildung Modellierung einer im Magnetfeld schwebenden ugel Modellierung einer im Magnetfeld schwebenden ugel ine ferromagnetische ugel mit der Masse m schwebe, gehalten durch einen lektromagneten, im Schwerefeld der rde (siehe nebenstehende Skizze). Nimmt man einen kleinen Luftspalt x an, so ergibt sich die im magnetischen Feld gespeicherte nergie 1 in grober Näherung zu i 2 = k (x+x 0 ) = 1 2 L(x)i2 mit den onstanten k und x 0, die sich aus der Physik und der Bauweise ergeben. i g x m F mag Der Strom i im lektromagneten sei zunächst die Stellgröße. Stellen Sie die nichtlineare Differentialgleichung des Systems aus dem zweiten Newtonschen Gesetz F = mẍ auf. Vernachlässigen Sie den Luftwiderstand. Bei welchem Strom wird die ugel in der Schwebe gehalten? Geben Sie die Differentialgleichungen in Zustandsdarstellung ẋ = f(x, i) an. Modellieren Sie das elektrische Verhalten. Dazu wird der Strom i als Zustandsvariable aufgefasst. Die ingangsspannung U wird als neue Stellgröße aufgefasst. Dabei hängt die Induktiviät L(x) der Spule von der Position der ugel ab. Bedenken Sie das Induktionsgesetz. i U R L(x) Stellen Sie die Differentialgleichung des elektrischen reises auf und geben Sie die nichtlineare Zustandsdarstellung ẋ = f(x, U) des gesamten Systems an. 1 genau genommen handelt es sich um die oenergie

6 Übung 1. Modellbildung 1.2. Linearität 1.2 Linearität Stellt ein lineares System dar? m v = dv +mg +u, v(0) = v 0 (1.1) y = v Überprüfen Sie die Linearität anhand der Punkte 1 bis 3: 1. y(0,v 0,u(t)) = y(0,v 0,0)+y(0,0,u(t)) 2. y(0,α 1 v 0,1 +α 2 v 0,2,0) = α 1 y(0,v 0,1,0)+α 2 y(0,v 0,2,0) 3. y(0,0,β 1 u 1 (t)+β 2 u 2 (t)) = β 1 y(0,0,u 1 (t))+β 2 y(0,0,u 2 (t)) Die Lösung ergibt sich zu ( ) y 0 }{{} t 0,v 0,u(t) = v(t) = e d m t v 0 + t 0 e d m (t τ) ( g + 1 m u(τ) )dτ. 1.3 Lineare Vektorräume und Unterräume 5

7 + + Übung 1. Modellbildung 1.. Aufgaben 1. Aufgaben Aufgabe 1.1 Brückenschaltung + Abbildung 1.3: Brückenschaltung 1. Führen Sie die Modellbildung der Brückenschaltung von Abbildung 1.3 durch. Die positiven onstanten L und C bezeichnen die Induktivität der Spule bzw. die apazität des ondensators. 2. Ist das System linear? Aufgabe 1.2 OPV Schaltung ) Abbildung 1.: OPV Schaltung Gegeben ist die OPV-Schaltung nach Abbildung 1. mit der ingangsspannung u und der Ausgangsspannung u A. 1. Welche Größen eignen sich als Zustandsgrößen? 2. Geben Sie ein mathematisches Modell der Form zu der OPV-Schaltung an. ẋ = Ax+bu y = c T x+du Hinweis. Sie können die Annahmen eines idealen OPV s verwenden! Aufgabe 1.3 Veranschaulichen Sie sich grafisch im R 2 die Rechenregeln laut Definition 2.5 des VO-Skriptums für einen linearen Vektorraum. 6