Inhalt. PROLOG-1A: Mathematik? PROLOG-1B: Aussagen. PROLOG-2: Mengen, Funktionen. PROLOG-3A: Mathematik in Semestern 1+2
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- Georg Steinmann
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1 Inhalt PROLOG-1A: Mathematik? PROLOG-1B: Aussagen PROLOG-2: Mengen, Funktionen PROLOG-3A: Mathematik in Semestern 1+2 PROLOG-3B: Funktionen, Induktion, Ungleichungen
2 Mathematik in Semestern 1+2
3 Mathematik in Sem Lehrveranstaltungen: Algebra & Diskrete Mathematik f. Inf. u. WInf. 1 Analysis f. Inf. u. WInf. Bestehen jeweils aus Vorlesung (VO) und Übung (UE) VO: morgen, 9:00, Audimax
4 Mathematik in Sem. 1+2 VO-Teil: Tafel-Vortrag. Definitionen, Sätze, Beweise, Beispiele. Vor-Lesen hilfreich! Keine Anwesenheitspflicht.
5 Mathematik in Sem. 1+2 VO-Teil: Tafel-Vortrag. Definitionen, Sätze, Beweise, Beispiele. Vor-Lesen hilfreich! Keine Anwesenheitspflicht. Benotung: VO-Prüfung (findet,,regelmässig statt, siehe TISS).
6 Mathematik in Sem. 1+2 UE-Teil: Lösen von Beispielen als Hausaufgabe (UE-Stoff = VO-Stoff). Vor der UE: Bekanntgabe der gerechneten Bspe via TUWEL. In der UE: Präsentation der Lösungen an der Tafel. LVA-Leiter korrigiert und kontrolliert Punkte pro Test erreichbar
7 Mathematik in Sem. 1+2 UE-Teil: Lösen von Beispielen als Hausaufgabe (UE-Stoff = VO-Stoff). Vor der UE: Bekanntgabe der gerechneten Bspe via TUWEL. In der UE: Präsentation der Lösungen an der Tafel. LVA-Leiter korrigiert und kontrolliert. Anwesenheitspflicht! 3 Test (ca. alle 4 Wochen)! 2 20 Punkte pro Test erreichbar
8 Mathematik in Sem. 1+2 UE-Teil: Lösen von Beispielen als Hausaufgabe (UE-Stoff = VO-Stoff). Vor der UE: Bekanntgabe der gerechneten Bspe via TUWEL. In der UE: Präsentation der Lösungen an der Tafel. LVA-Leiter korrigiert und kontrolliert. Anwesenheitspflicht! 3 Test (ca. alle 4 Wochen)! Benotung: 60% Bspe gerechnet. Insgesamt positive Tafelleistung. 20 Punkte auf die 2 besten Tests Punkte pro Test erreichbar
9 Mathematik in Sem. 1+2 M. Drmota et al. Mathematik für Informatik, Heldermann, 2007.
10 Mathematik in Sem. 1+2 M. Drmota et al. Mathematik für Informatik, Heldermann, Vorsicht: 3. Auflage enthält nicht den gesamten VO-Stoff. 4. Auflage erscheint Mitte Oktober.
11 Inhalt PROLOG-1A: Mathematik? PROLOG-1B: Aussagen PROLOG-2: Mengen, Funktionen PROLOG-3A: Mathematik in Semestern 1+2 PROLOG-3B: Funktionen, Induktion, Ungleichungen
12 Funktionen Definition Eine Funktion f : D B heißt injektiv falls gilt x, y D : x y f (x) f (y). In anderen Worten: Unterschiedliche Elemente haben unterschiedliche Bilder unter f.
13 Funktionen Definition Eine Funktion f : D B heißt surjektiv falls gilt: y B : x D : f (x) = y. In anderen Worten: Jedes Element von B tritt als Bild mindestens eines Elements von D auf.
14 Funktionen Definition Eine Funktion heißt bijektiv, falls sie surjektiv und injektiv ist. Für eine Menge M führen wir eine Schreibweise für eine einfache, aber wichtige bijektive Funktion ein: id M : M M : x x.
15 Funktionen Für bijektive Funktionen f gibt es eine nützliche Umkehrfunktion f 1. Definition Für bijektive Funktionen f : D B definieren wir { f 1 B D : b a, falls f (a) = b.
16 Funktionen Funktionen f, g werden als gleich aufgefasst, wenn sie den gleichen Definitions- und Bildraum haben und alle Elemente gleich abbilden. Definition Für Funktionen f 1 : D 1 B 1 und f 2 : D 2 B 2 legen wir fest, dass f 1 = f 2 (D 1 = D 2 B 1 = B 2 x D 1 : f 1 (x) = f 2 (x)).
17 Funktionen Eine wichtige Operation von Funktionen: Hintereinanderausführung (auch: Zusammensetzung, Komposition). Definition Für Funktionen f : A B and g : B C definieren wir die Abbildung { A C f g : a g(f (a)).
18 Vollständige Induktion
19 N und Induktion Wir betrachten die natürlichen Zahlen N = {0, 1, 2, 3,...}. Mit den natürlichen Zahlen kommt die Beweisregel der vollständigen Induktion: ((A(0) N N : ( n N : A(n)) A(N+1))) N N : A(n). wobei A(n) eine Aussage über eine natürliche Zahl n ist.
20 Induktionsbeweis mit anderen Worten Ziel: Beweisen, dass n N : A(n) wahr ist. Beweis durch Induktion: 1. A(0) (Induktionsanfang) beweisen. 2. A(N + 1) (Induktionsbehauptung) beweisen. Erlaubte Annahmen (Induktionsvorraussetzung): A(0), A(1), A(2),..., A(N) (in anderen Worten n N : A(n)).
21 N und Induktion Nebenbemerkung: Vollständige Induktion sehr eng mit rekursiver Programmierung verbunden. Induktionsvorraussetzung = Rekursivem Funktionsaufruf.
22 N und Induktion Induktion wichtig zum Verstehen von Algorithmen: Wieso liefert ein Algorithmus das richtige Ergebnis? Dijkstra s Algorithmus, Quicksort,...
23 Ungleichungen Eine wichtige Relation zwischen Zahlen (ausser,,= ) ist,,. x y gilt falls x auf der Zahlengeraden links von y liegt.
24 Ungleichungen Welche Regeln dürfen wir im Beweis mit Ungleichungen verwenden? Regeln für Totalordnungen: x y y x (total) (y x x y) x = y (Antisymmetrie) (x y y z) x z (Transitivität) Regeln für angeordnete Körper: x, y, c R : x y x + c y + c, x y, c 0 c x c y, x y, c 0 c x c y,
25 Ungleichungen Beweise werden oft mittels Fallunterscheidung geführt: Annahme x y y x führt zu Fallunterscheidung: Fall 1: x y... Fall 2: y x... z.b. für y = 0: Fall 1: x 0... Fall 2: x 0...
26 Ungleichungen Die Betragsfunktion : R R sei erwähnt: x = { x für x 0 x für x 0.
Inhalt. 1 Mathematik? 2 PROLOG-1: Aussagen und Mengen. 3 PROLOG-2: Funktionen. 4 PROLOG-3: Zahlenmengen und vollständige Induktion
Inhalt 1 Mathematik? 2 PROLOG-1: Aussagen und Mengen 3 PROLOG-2: Funktionen 4 PROLOG-3: Zahlenmengen und vollständige Induktion 5 PROLOG-4: Ungleichungen Daniel Weller (Inst. f. Diskr. Math.) PROLOG 2013
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