Computerunterstützte Gesichtserkennung = Eigenface - Methode = Thomas Weise Betreuer: PD Dr. Oliver Ernst

Transkript

1 Matheatsches Senar 00 Nuerk Coputerunterstützte Geschtserkennung = Egenface - Methode = hoas Wese Betreuer: PD Dr. Olver Ernst Glederung:. Enletung/Allgeenes. HauptKoponentenAnalyse 3. Egenface Methode. Enletung/Allgeenes Geschtserkennung st ene Aufgabe, de en Mensch t Lechtgket erfüllen kann. Für Coputer kann des aber ene recht ächtge Aufgabe sen. Der Algorthus, der für de Geschtserkennung benutzt wrd, wurde 988 von Krby und Srovch an der Brown Unversty entwckelt. De Vson und Modelng Group des M.I.. befasst sch t Forschung auf dese Gebet. Das entwckelte Syste basert auf der Arbet von Pentland, urk, Moghadda und Starner. Blder können auf zwe Art und Wesen betrachtet werden. Enal nhaltlch, also das was dargestellt wrd, oder an betrachtet das Bld als Anenanderrehung von Pxel, de sch ledglch n hre Farbton unterscheden. Der Coputer kann kene nhaltlchen Dnge unterscheden, sondern nur Pxel analyseren. Der Ansatzpunkt der Egenface Methode st de Struktur bestter Motven, d.h. es gbt n ener solchen Klasse wet aus wenger unterschedlche Merkale als zu untersuchende. Auf Grund deser Strukturerung können Motve/Blder verglchen werden. Mt Hlfe der HKA kann an Blder auf hre sgnfkanten Merkale reduzeren, so dass an ledglch dese Merkale auf Ähnlchket untersuchen uss!

2 . Hauptkoponentenanalyse De HKA st en statstsches Verfahren u Mengen von Messdaten auf statstsche Größen we Durchschntt (Mttelwert) und Streuung (Varanz) zu untersuchen. Man geht davon aus, dass de n Merkale der Objekte rgendwe zusaenhängen, sprch korrelert snd. Bsp.: Untersucht an Personen auf hr Gewcht, so wrd an feststellen, dass das Gewcht t der Körpergröße zusaenhängt. A In der Matrx zelenwese abgespechert. R snd de Objekte spaltenwese und de n Merkale x... x x... x A = x n... xn Dese Matrx wrd nun auf Mttelwert und Varanz bzw. Kovaranz untersucht. Mttelwertvektor: γ = ( γ, γ,..., γ ) j n γ = x j =,..., n = Mt Hlfe des Mttelwertvektors können wr jetzt de Varanz bzw. Kovaranz berechnen! De Varanz gbt an, we wet en Merkal vo Mttelwert abwecht, d.h. je größer de Abwechung uso arkanter das Merkal. De Kovaranz sagt etwas über de Korrelaton zweer Merkale aus. Man geht davon aus, dass Merkale korrelert snd, wenn se bede vo Mttelwert abwechen, d.h. je ehr de beden Merkale vo Mttelwert abwechen, uso größer st de Kovaranz und u so stärker snd dese korrelert. Varanz: s = ( x, γ) = S = (s,s,...,s n) stellt den Varanzvektor dar. Kovaranz: c, = ( x, γ) ( x, γ) = j,

3 C R st ene quadratsche, syetrsche Matrx, für de n De Kovaranzatrx glt: C= C Τ. Dese benhaltet de Inforaton über de Korrelaton der enzelnen Merkale, sodass jedes Objekt n endeutger Art und Wese beschreben werden kann. Mt Hlfe der Egenwertzerlegung kann an de Egenwerte und de dazugehörgen Egenvektoren besten. Be sehr großen Matrzen gestaltet sch das Proble sehr schwerg auf Grund des hohen Rechenaufwandes. Man behlft sch, sofern und n u Größen vareren, t ene rck, d.h. an acht sch de Sngulärwertzerlegung (SVD) zu nutze. Ene Matrx A kann t Hlfe der SVD we folgt zerlegt werden: A = UΣ V Τ wobe U n R, Σ, V R. Glücklcher ustand st, das sch C auch als Matrxprodukt darstellen lässt. Wobe A we folgt defnert st: C= AA x γ x γ x γ x γ x γ x γ A = R R R xn γn xn γn xn γn Also kann C folgender aßen zerlegt werden: τ C= UΣΣ U C ΣΣ = τ n ( ) AA U = U dag τ,..., τ,0,...,0 AA u =τ u =,...,

4 Sot st das Egenwertproble noch ncht klener geworden. Aber AA und AAhaben de Egenschaft, das se de selben Egenwerte haben. Also lösen wr das Proble t AA. AA= VΣ Σ V ΣΣ= τ τ De Egenwerte von C snd de (Sngulärwerte )², d.h. λ =τ. Wenn an A = UΣV Τ t V durchultplzert kot an auf de For: AV = UΣ Av =τu j =,..., De, von Null verschedenen Egenvektoren von C erhält an durch u = λ Av =,..., Durch de Egenwerte bzw. Egenvektoren wrd de Matrx C beschreben. De Egenvektoren u,u,...,u snd de ON Bassvektoren des Raus B R n welche de Werte von C legen. De Varanzen werden durch de Egenwerte λ repräsentert. Das bedeutet, λ λ... λ... λ, de klen snd, können vernachlässgt Egenwerte, k werden, da se belanglose Korrelatonen darstellen. Wenn k snkt de Denson der Datenatrx. Sot bleben noch k Egenwerte λ, λ,..., λ k und de dazugehörgen übrg. Dese spegeln de Hauptnforatonen der Egenvektoren u,u,...,uk Datenatrx A weder. Man braucht also nur noch k Varablen, sprch Merkale, u A ohne größere Inforatonsverluste darzustellen. Man erhält aus korrelerten Varable k unkorrelerte Varablen.

5 3. Egenface Methode De zu untersuchenden Blder üssen enge bestte Egenschaften aufwesen. Unter andere:. gleche Auflösung haben (gleche Anzahl an Pxel). de Geschter sollten sch kontrastäßg abgrenzen 3. n Graustufen vorlegen.) De Blder üssen de gleche Auflösung haben, d.h. de gleche Anzahl an Pxel, dat ene estset-matrx erstellt werden kann. Wenn de Blder ene unterschedlche Auflösung hätten, könnte an se ncht auf hre Merkale untersuchen, da das ene oder andere Bld ehr oder wenger Merkale hat..) De Geschter üssen sch vo Hntergrund unterscheden, dat nur de Geschter sgnfkante Merkale lefern, welche t Hlfe der HKA extrahert werden. Wenn des ncht der Fall wäre würden durch den Hntergrund relevante Inforatonen verloren gehen. 3.) Graustufen deshalb, wel sch das Proble t farbgen Blder nur schwer pleenteren lässt. Aus dese Grund haben wr Graustufenblden gewählt. De Blder, bzw. de Graustufenwerte der Pxel, werden n ener Matrx x y P R abgespechert. Dese Matrx wrd zu ene Spaltenvektor Γ transforert. x y x y P Γ So setzt sch de Matrx D aus jede deser Spaltenvektoren zusaen. Be xy Bldern ergbt sch de Matrx D = [ Γ, Γ,..., Γ ]. Dese Matrx bezechnet an auch als estset oder Datenatrx. Dese Matrx wrd nun der Hauptkoponentenanalyse unterzogen u de sehr große Matrx zu verklenern (Kopreren). U de Eleente der Matrx auf Korrelaton untersuchen zu können, blden wr als erstes en Durchschnttsgescht über das estset. Ψ = = Γ Deses Durchschnttsgescht wrd nun genutzt, u de Streuung zu ertteln. Des gescheht durch Subtraheren des Vektors Ψ von den enzelnen Vektoren Γ,...,, Γ Γ. Φ = Γ Ψ =,...,

6 Sot erhalten wr Vektoren Φ n de das Bld über de Abwechung zu Mttewert Ψ beschreben wrd. Des st nun unser Ausgangspunkt für de Erzeugung der Covaranzatrx C. Τ C = Φ Φ xy = We schon n der HKA beschreben lässt sch C auch als Matrxprodukt beschreben. A wrd we folgt defnert: xy C= A A Τ A = Φ, Φ,..., Φ xy [ ] Nun uss ene Egenwertzerlegung auf C angewandt werden, u de Egenwerte und de dazugehörgen Egenvektoren zu besten. Wr gehen her genauso we unter Punkt beschreben vor! Dese Egenvektoren werden auch Egenfaces genannt! En Bespel we so etwas aussehen kann zegen de folgenden Blder. xy xy B. In B De k neue ON - Bassvektoren spannen enen Unterrau legen alle Werte der Datenatrx D. U nun Blder n de Unterrau K darzustellen, üssen de Pxelwerte da hnen projzert werden. K

7 Projekton: B K k Forel: k k Ω = ( ω = u Φ ) Sot ergbt sch für jedes Bld en Vektor (,,..., ) Ω= ω ω ω Unterrau K. k Wenn nun en Bld X t de estset verglchen werden soll, wrd das Bld als Graustufenwerte n der Matrx P X abgespechert und dann n den Vektor ΓX transforert. Man erstellt aus dese Vektor enen VaranzvektorΦ X, welcher dann n den Unterrau K projzert wrd. Der Abstand des Vektors Ω, Ω,..., k Ω verglchen. X ( ) Ω = ω = u Φ X k k X Ω wrd, t Hlfe Eukldnor, t den enzelnen Vektoren ε k = ΩX Ω k Je klener der Abstand von Φ X zu Φ (=,, k) uso näher st das Bld X an Bld.