3. Vorlesung Sommersemester

Transkript

1 3. Vorlesung Sommersemester 1 Bespele (Fortsetzung) 1. Der starre Körper: Formulerung der Zwangsbedngungen später. Anschaulch snd schon de Frehetsgrade: dre der Translaton (z. B. Schwerpuntsoordnaten) und dre der Rotaton (m Untersched zur Hantel ann en starrer Körper sch um jede Achse drehen). Deser Fall st weder sleronom. 2. En Telchen auf ener Kugeloberfläche: Wenn es von der Kugel herunterfallen ann: nchtholonom. 3. En Telchen n ener Kugel engesperrt: Zwangsbedngung: x 2 + y 2 + z 2 < R 2 : nchtholonom. 4. En Zylnder, der ene schefe Ebene hnunterrollt: Wenn er rutschen ann: nchtholonom, andernfalls sleronom. Als generalserte Koordnaten snd etwa der zurücgelegte Weg oder der Drehwnel denbar. 5. En Telchen auf enem roterenden Draht: En Draht rotere mt onstanter Wnelgeschwndget ω, und en Massenpunt bewege sch auf hm. De Zwangsbedngung st holonom und rheonom. Ene passende generalserte Koordnate st der Abstand r vom Rotatonszentrum und de Koordnaten des Massenpuntes snd gegeben durch x r cosωt, y r snωt. (1) 1.1 Das Doppelpendel Als en etwas omplzerteres Bespel se noch das Doppelpendel aus der folgenden Fgur angegeben. 1

2 y l 1 m 1 l 2 x m 2 Das System st holonom und sleronom. De Zwangsbedngungen snd x y 2 1 l 2 1, z 1 0, (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 l 2 2, z 2 0, (2) so dass de Zahl der Frehetsgrade s wrd. Nahelegende generalserte Koordnaten snd etwa de Wnel α und β. Mt hnen werden de Koordnaten ausgedrüct als x 1 l 1 cosα, y 1 l 1 sn α, z 1 0, x 2 l 1 cosα + l 2 cosβ, y 2 l 1 sn α + l 2 cosβ, z 2 0. (3) 2 Das d Alembert sche Prnzp Ene Beschrebung der Bewegung enes mechanschen Systems mt Hlfe generalserter Koordnaten hätte den Vortel, dass de Koordnaten. a. ene gerngere Anzahl haben und de Zwangsbedngungen automatsch erfüllt werden, d. h. aus der Beschrebung verschwnden. De Frage st, we man von den elementaren physalschen auf de generalserten Koordnaten umschreben ann. In den Newtonschen Glechungen auf generalserte Koordnaten zu transformeren macht se nur omplzerter und elmnert eneswegs de Zwangsräfte. Den Ausweg betet das Prnzp von d Alembert, das m wesentlchen besagt, dass de Zwangsräfte ene Arbet lesten. Wr begnnen also mt der Betrachtung der Arbet, de von den verschedenen Kräften am Punttelchen Nummer gelestet wrd, und zwar be ener lenen Verrücung δ r, de mt den Zwangsbedngungen verträglch st, d. h. z. B. bem pendel, dass δx und δy so mtenander vernüpft snd, dass de Bewegung tangental erfolgt. 2

3 Enes st noch zu beachten: wr önnen nur be sleronomen Zwangsbedngungen erwarten, dass de Zwangsräfte ene Arbet lesten. Dagegen wrd z. B. bem Telchen m Aufzug de potentelle Energe des Telchens durch de Zwangsraft erhöht, de es nach oben bewegt, und der Massenpunt auf dem roterenden Draht wrd, we man aus Erfahrung weß, nach außen geschleudert, also durch de Zwangsraft beschleungt. Für de Formulerung des d Alembertschen Prnzps betrachtet man also vrtuelle Verrücungen, be denen de Zet festgehalten wrd, deswegen δ r statt d r. Se snd also verträglch mt den Zwangsbedngungen zu fester Zet. Wenn man de auf den Massenpunt wrende Kraft F zerlegt n Zwangsraft F z und trebende Kraft F, so wrd zunächst aus der Newtonschen Bewegungsglechung m r F F + F z, (4) und de Multplaton mt der vrtuellen Verrücung und Sumaton über alle Telchen führt auf (m r F ) δ r F z δ r. (5) Warum de Summe über? Es st. a. tatsächlch nur de Summer der vrtuellen Arbeten an den Massenpunten onstant, we man am Bespel der Hantel seht. r 2 r 1 Z 2 m 2 Z 1 m 1 De Zwangsräfte, de de beden Massenpunte auf festem Abstand halten, erfüllen nach dem 3. Newtonschen Axom F z1 F z2. Wenn nun bede Massenpunte deselbe vrtuelle Verrücung δ r 1 δ r 2 erfahren, de mt der Zwangsbedngung verträglch st, so snd de enzelnen vrtuellen Arbeten zwar unglech Null, aber für de desamte glt F z1 δ r 1 + F z2 δ r 2 0. (6) In desem Fall st natürlch erlaubt, dass ener der Massenpunte ene zusätzlche Rotaton relatv zum anderen erfährt; dese st aber dann senrecht zu den Zwangsräften und spelt be Betrachtung der Arbet ene Rolle. Damt haben wr das Prnzp der vrtuellen Arbet F z δ r 0, das zusammen mt (5) das d Alembertsche Prnzp ( F p ) δ r 0 (7) ergbt. De Annahme, dass de Zwangsräfte ene Arbet be vrtuellen Verrücungen lesten, lässt sch natürlch ncht aus den Newtonschen Axomen ableten, sondern st ene zusätzlche Forderung, de sch aber n der Praxs bewährt hat. 3

4 3 Abletung von Bewegungsglechungen 3.1 Zeldsusson Was haben wr durch das d Alembertsche Prnzp gewonnen? Zum enen snd de Zwangsräfte verschwunden das glt aber nur schenbar: de Komponenten der δ r snd ja ncht unabhängg vonenander wählbar, sondern müssen de Zwangsbedngungen enhalten. Der Trc st nun folgender: wenn wr de vrtuellen Verrücungen δ r durch de Änderungen der generalserten Koordnaten δq ersetzen, dann snd dese vonenander unabhängg, Das bedeutet aber, dass wr aus ener resulterenden Glechung der Form G δq 0 (8) sofort G 0 für alle erhalten, wel wr ja z. B. alle δq außer enem enzgen Null setzen önnen de Defnton der q garantert ja, dass hre Änderung mmer mt den Zwangsbedngungen verträglch st. Somt sollte es also möglch sen, aus der Summenglechung ene Rehe enzelner Glechungen für jedes q zu erhalten, also Bewegungsglechungen. Wenn es übrgens ene Zwangsbedngungen gbt, snd de δ r vonenander unabhängg und man erhält aus (7) sofort weder de Newtonschen Bewegungsglechungen für de enzelnen Telchen zurüc. 3.2 Transformatongrundlagen Gehen wr von den Defntonsglechungen aus: r r (q 1, q 2,...q s, t), 1,... N. (9) Her bezechnet we üblch N de Anzahl der Punttelchen und s de der Frehetsgrade. De Zetabletung ergbt nach der Kettenregel s r r q + r t 1 r (q 1,..., q s, q 1,..., q s, t). (10) Deser Ausdruc hängt aber von den generalserten Geschwndgeten nur lnear ab und man seht aus der ersten Zele sofort de Glechung r q r, (11) de später noch benötgt wrd. Für de vrtuellen Verrücungen wrd de Zet festgehalten, also glt δ r r δq. (12) 3.3 Transformaton des Kraftterms Jetzt önnen wr de enzelnen Bestandtele des d Alembertschen Prnzps transformeren. Für de Arbet der trebenden Kräfte erhält man s F δ r F r δq s Q δq, (13) 1 4

5 wobe Q 1 F r (14) de Komponenten der generalserten Kraft darstellen. In onservatven Systemen lassen sch de Kräfte aus dem Potental über darstellen. Dann wrd enfach F V ( r 1,..., r N ), 1,...,N (15) Q Transformaton des Impulsterms V r V. (16) Der andere Tel des d Alembertschen Prnzps st etwas schwerger umzuformen. Zunächst erhält man p δ r m r r m r r δq. (17) q Hern muss noch de Beschleungung durch generalserten Koordnaten und hre Zetabletungen ausgedrüct werden. Wr schreben r r d ( r r ) dt q d r r. (18) dt Der zwete Term hern ann wederum umgeformt werden: d r dt 2 r q l + 2 r q l t l ( ) r q l + r q l t r, l (19) Dese Nebenrechnung führt egentlch nur aus, dass man de vollständge Abletung nach t mt den partellen Abletungen nach den q vertauschen ann. Mt desen Ergebnssen ann nun umgeformt werden: [ ( d r r ) r r ] δq dt [ d dt q ( 1 r 2 2 ) ( )] 1 r 2 2 δq (20) 5