Holonome Mehrkörpersysteme

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1 Kaptel 6 Holonome Mehrkörpersysteme In Anlehnung an de Vorgehenswese be Massenpunktsystemen n Kaptel 5 werden n desem Kaptel de Formulerungen der Bewegungsglechungen von Mehrkörpersystemen mt holonomen Bndungen entwckelt De knematsche Beschrebung wrd dazu n Abschntt 61 um de Rotaton der Körper erwetert In entsprechender Wese werden n Abschntt 62 de Impulssätze um de Drallsätze ergänzt De Bewegungsglechungen holonomer räumlcher Mehrkörpersysteme n Absolutkoordnaten und n Mnmalkoordnaten werden n Abschntt 63 hergeletet De Spezalserung der entsprechenden Formulerungen für ebene Mehrkörpersysteme folgt n Abschntt 64 Bespele ebener und räumlcher Mehrkörpersysteme werden n den Abschntten 65 und 66 gezegt 61 Knematk holonomer Mehrkörpersysteme Mt Hlfe der translatorschen und rotatorschen Bewegungsgrößen enes starren Körpers werden n Anlehnung an Abschntt 52 de mplzten und explzten holonomen Bndungen für räumlche Mehrkörpersysteme aufgestellt 611 Bewegungsgrößen enes starren Körpers In enem räumlchen Mehrkörpersystem mt n starren Körpern wrd de Bewegung des -ten Körpers repräsentert durch de Bewegung des körperfesten Koordnatensystems K, dessen Ursprung her n den Massenmttelpunkt S gelegt wrd Lage De Lage von K relatv zum Inertalsystem K 0 wrd beschreben durch den Ortsvektor r S von S und den Drehtensor R von K relatv zu K 0 (Abb 61 a) Der Drehtensor R und der Ortsvektor r S blden de Menge der Lagegrößen des -ten Körpers ˆr =(R, r S ), =1,n (61) Sprnger-Verlag Berln Hedelberg 2016 C Woernle, Mehrkörpersysteme, DOI / _6 189

2 190 6 Holonome Mehrkörpersysteme z 0 R( p ) K S O 0 r S z S Abb 61 Räumlches Mehrkörpersystem x0 y x y S S 0 Im System K 0 haben r S und R de Koordnaten 0 r S = x S, 0 R 0 T = [ ] 0 e 0 x e 0 y e z y S z S (62) mt der Transformatonsmatrx 0 T von K nach K 0 Für de neun Koordnaten des Drehtensors glt de Orthogonaltätsbedngung R T R = E Werden de Bewegungsglechungen n den absoluten Lagekoordnaten der Körper aufgestellt, so st es günstg, de Drehung durch ene gegenüber den neun Drehtensorkoordnaten reduzerte Anzahl von Koordnaten zu beschreben Dre Rotatonskoordnaten, we z B de Kardan-Wnkel oder de Rodrgues-Parameter, können verwendet werden, wenn n der jewels vorlegenden Aufgabenstellung de sngulären Werte deser Parametrerungen ncht errecht werden Für de allgemene sngulartätsfree Beschrebung der Orenterung des Koordnatensystems K relatv zu K 0 egnen sch de n Abschntt 37 behandelten Euler-Parameter [ ] [ ] ps cos ϕ 2 p = = (63) p u sn ϕ 2 Herbe st (u,ϕ ) der Drehzeger, der das Koordnatensystem K 0 nach K dreht Es glt de Normerungsbedngung der Euler-Parameter (3178), g E (p ) p 2 s + pt p 1=0 (64) Entsprechend (3181) können aus den Euler-Parametern p de Koordnaten des Drehtensors R berechnet werden, R (p )=E +2p s p +2 p p (65) Be Verwendung der Euler-Parameter werden de Lagegrößen ˆr des -ten Körpers abwechend von (61) defnert als der räumlche 7-Lagevektor [ ] p ˆr =, =1,,n (66) r S

3 61 Knematk holonomer Mehrkörpersysteme 191 Geschwndgket De Geschwndgket des -ten Körpers m Raum wrd durch de Wnkelgeschwndgket ω des Systems K relatv zum System K 0 und de Geschwndgket v S = 0 ṙ S des Massenmttelpunktes S relatv zu K 0 beschreben Dese Größen defneren entsprechend Abschntt 313 den Bewegungswnder des Körpers, der m Folgenden als räumlcher 6-Geschwndgketsvektor [ ] ω ˆv =, =1,n (67) v S geschreben wrd Der Zusammenhang zwschen der Wnkelgeschwndgket ω und der zetlchen Abletung des Drehtensors R relatv zu K 0 st durch de tensorelle Posson-Glechung (3150) defnert, 0Ṙ = ω R (68) Für de zetlche Änderung der Euler-Parameter p relatv zu K 0 glt de knematsche Dfferentalglechung (3211), ] [ ] [ ṗs 0ṗ }{{} 0ṗ = 1 2 p T ω, =1,,n (69) p s E p }{{} H (p ) Für de zetlche Änderung der Lagegrößen ˆr aus (66) relatv zu K 0 glt damt de knematsche Dfferentalglechung [ ] [ ][ ] 0ṗ H (p ) 0 ω = 0 E (610) 0ṙ S v S 0 ˆr = Ĥ (ˆr ) ˆv, =1,,n Beschleungung De Wnkelbeschleungung α und de Beschleungung a S von K relatv zu K 0 snd de zetlchen Abletungen von ω und v S relatv zu K 0 Sewerden zusammengefasst zum räumlchen 6-Beschleungungsvektor [ ] [ ] 0 ω α = 0 v S a S (611) 0 ˆv = â, =1,,n 612 Implzte holonome Bndungen De mplzten holonomen Bndungen n Mehrkörpersystemen werden n Analoge zu Abschntt 521 formulert Implzte holonome Bndungen auf Lageebene De mplzten Bndungen auf Lageebene werden her für de räumlchen Lagegrößen der Körper ˆr mt den

4 192 6 Holonome Mehrkörpersysteme Euler-Parametern zur Beschrebung der Rotaton der Körper gemäß (66) formulert De Lagegrößen der n Körper werden dazu zusammengefasst zum globalen 7n-Lagevektor ˆr 1 ˆr = mt ˆr = ˆr n [ p r S ] (612) De Lagegrößen ˆr unterlegen b < 6n holonomen, Allg rheonomen mplzten Bndungen, vgl (512), g 1 (ˆr 1,,ˆr n,t) g b (ˆr 1,,ˆr n,t) = 0 0 g(ˆr,t) = 0 (613) ZusätzlchgeltenfürdeEuler-Parameter der Körper p jewels de Normerungsbedngungen (65) De Bndungen (613) zusammen mt (65) blden en unterbestmmtes nchtlneares System von b + n Glechungen n den 7n >blagekoordnaten ˆr aus (612) Implzte holonome Bndungen auf Geschwndgketsebene Werden de räumlchen Geschwndgketen der n Körper aus (67) zusammengefasst zum globalen 6n-Geschwndgketsvektor ˆv 1 ˆv = mt ˆv = ˆv n [ ω v S ], (614) so lauten de knematschen Dfferentalglechungen der Körper (610) n Blockmatrzenschrebwese ˆr 1 Ĥ 1 (ˆr 1 ) 0 ˆv 1 = ˆr n 0 Ĥ (615) n(ˆr n ) ˆv n ˆr = Ĥ(ˆr) ˆv De mplzten Bndungen auf Geschwndgketsebene werden durch de totale zetlche Abletung der mplzten Lagebndungen (613) erhalten, ( ) n g ġ ṗ p + g ṙ S + g t = 0 (616) =1 r S Ensetzen von (610) überführt de Geschwndgketsbndungen n de Form

5 61 Knematk holonomer Mehrkörpersysteme 193 ġ n =1 (G R (ˆr,t) ω + G T (ˆr,t) v S ) + γ(ˆr,t)=0 (617) mt den (b,3)-bndungsmatrzen der Rotaton G R und Translaton G T und dem von den Geschwndgketen v S und ω unabhänggen, nur be rheonomen Bndungen auftretenden Term γ, G R = g p H (p ), G T = g r S, γ = g t (618) Werden de Lagebndungen (613) vektorell formulert, so können de zetlchen Abletungen der darn auftretenden Vektoren unter Verwendung der Wnkelgeschwndgketen ω entsprechend (313) ausgedrückt werden Herdurch werden de Bndungsmatrzen G R und G T drekt erhalten, ohne de partellen Abletungen n (618) ausführen zu müssen En Bespel wrd n Abschntt 661 gezegt Mt den räumlchen Geschwndgketen aus (614) können de Geschwndgketsbndungen (617) auch geschreben werden n der Form n [ ġ GR (ˆr,t) G T (ˆr,t) ] [ ] ω + γ(ˆr,t)=0 (619) }{{} v S =1 }{{} G (ˆr,t) ˆv mt den (b,6)-bndungsmatrzen der enzelnen Körper G = [ G R G T ] (620) In Blockmatrzenschrebwese lauten de Geschwndgketsbndungen (619) ġ [ G 1 (ˆr,t) G n (ˆr,t) ] ˆv 1 + γ(ˆr,t)=0 ˆv n ġ G(ˆr,t) ˆv + γ(ˆr,t)= 0 (621) mt der globalen (b,6n)-bndungsmatrx G DerRangr(G) der globalen Bndungsmatrx entsprcht der Anzahl vonenander unabhängger Bndungen Be vollem Rang r(g) =b snd n der betrachteten Lage ˆr alle b Bndungen vonenander unabhängg Implzte holonome Bndungen auf Beschleungungsebene De räumlchen Beschleungungen der n Körper gemäß (611) werden zusammengefasst zum globalen 6n-Beschleungungsvektor ˆv = â mt â = â 1 â n und â = [ α a S ] [ ω v S ] (622)

6 194 6 Holonome Mehrkörpersysteme De mplzten holonomen Bndungen auf Beschleungungsebene werden durch de totale Zetabletung der mplzten Geschwndgketsbndungen (619) erhalten, n [ g GR (ˆr,t) G T (ˆr,t) ] [ ] α + γ(ˆr, ˆv,t)=0 (623) }{{} a S =1 }{{} G (ˆr,t) â mt dem ncht von den Beschleungungen a S und α abhängenden b-vektor γ = n =1 ( dgr ω + dg T v S ) + dγ (624) In Blockmatrzenschrebwese lautet (623) g [ G 1 (ˆr,t) G n (ˆr,t) ] â 1 + γ(ˆr, ˆv,t)=0 â n g G(ˆr,t) â + γ(ˆr, ˆv,t)= 0 (625) 613 Explzte holonome Bndungen En räumlches Mehrkörpersystem mt n starren Körpern, de kenen Bndungen unterlegen, bestzt wegen der jewels sechs unabhänggen Lagegrößen der Körpers den Frehetsgrad f =6n Legen b vonenander unabhängge holonome Bndungen vor, so wrd de Anzahl der unabhänggen Lagegrößen um b verrngert, und der Frehetsgrad des Systems beträgt f =6n b (626) Mt der Defnton von f Mnmalkoordnaten q werden de explzten Bndungen n Mehrkörpersystemen n Analoge zu Abschntt 523 formulert Explzte holonome Bndungen auf Lageebene De explzten Bndungen auf Lageebene stellen de Lagegrößen der Körper n Abhänggket von den f Mnmalkoordnaten q und be rheonomen Bndungen zusätzlch von der Zet t dar De explzten Bndungen n knematschen Ketten werden durch de Bezehungen der Relatvknematk aus Abschntt 322 wedergegeben Dementsprechend st es zweckmäßg, her de Lagegrößen der Körper mt den Drehtensoren zur Beschrebung der Rotaton gemäß (61) zu verwenden, r S = r S (q,t), =1,n, (627) R = R (q,t), =1,n (628)

7 61 Knematk holonomer Mehrkörpersysteme 195 De durch (628) und (627) beschrebene Lage des Mehrkörpersystems st für belebge q und t mt den mplzten Lagebndungen (613) verträglch Explzte holonome Bndungen auf Geschwndgketsebene De explzten holonomen Bndungen auf Geschwndgketsebene werden als de total nach der Zet abgeleteten explzten Lagebndungen erhalten De zetlche Abletung der explzten Lagebndungen r S (q,t) aus (627) ergbt de Geschwndgketen der Massenmttelpunkte S dr S = r S(q,t) q q + r S(q,t) t (629) oder n Analoge zu (532) v S = J T (q,t) q + v S (q,t), =1,n, (630) mt den (3,f)-Jacob-Matrzen der Translaton J T und den nur be rheonomen Systemen auftretenden 3-Vektoren der partellen Zetabletungen, J T = r [ ] S q = rs r S, v q 1 q S = r S (631) f t De zetlche Abletung der Drehtensoren R (q,t) lefert mt Hlfe der Posson- Glechung (3152) de Wnkelgeschwndgketen ω = vec(ṙ R T ) dφ (632) mt den dfferentellen Drehvektoren dφ In Analoge zu (629) glt dann dφ = Φ (q,t) q q + Φ (q,t) t (633) oder ω = J R (q,t) q + ω (q,t), =1,n, (634) mt den (3,f)-Jacob-Matrzen der Rotaton J R und den nur be rheonomen Systemen auftretenden 3-Vektoren der partellen Zetabletungen ω, J R = Φ [ q = Φ Φ ], ω q 1 q = Φ f t (635) Mt Hlfe der n Abschntt 322 gezegten vektorellen Bezehungen der Starrkörperknematk können de Wnkelgeschwndgketen der Körper drekt n Abhänggket von den Mnmalgeschwndgketen q ausgedrückt werden, ohne de Abletungen (635) ausführen zu müssen Mt (630) und (634) können de explzten Geschwndgketsbndungen auch mt Hlfe der 6-Vektoren ˆv der räumlchen Geschwndgketen der enzelnen Körper

8 196 6 Holonome Mehrkörpersysteme formulert werden, [ ] [ ] ω JR (q,t) = q + J T (q,t) v S [ ] ω (q,t) v S (q,t) ˆv = J (q,t) q + ˆv (q,t), =1,,n, (636) mt den (6,f)-Jacob-Matrzen J und den 6-Vektoren ˆv Entsprechendkannder globale 6n-Geschwndgketsvektor ˆv des Gesamtsystems mt der globalen (6n,f)- Jacob-Matrx J und dem globalen 6n-Vektor ˆv ausgedrückt werden, ˆv 1 ˆv n = J 1 (q,t) J n (q,t) q + ˆv1 (q,t) ˆvn (q,t) ˆv = J(q,t) q + ˆv(q,t) (637) Orthogonaltät der freen und gesperrten Raumrchtungen De explzten holonomen Bndungen auf Geschwndgketsebene (637) erfüllen für belebge q, q und t de mplzten Bndungen (621), vgl (538), G(J q + ˆv)+ γ = 0 oder GJ q + G ˆv + γ = 0 (638) Damt glt de Orthogonaltätsbezehung GJ = 0 oder n (G R J R + G T J T )=0 (639) =1 sowe de Bezehung G ˆv + γ = 0 Explzte holonome Bndungen auf Beschleungungsebene De totale Zetabletung der Geschwndgketen v S aus (630) lefert de Beschleungungen der Massenmttelpunkte S v S a S = J T (q,t) q + ā S (q, q,t), =1,,n, (640) mt den ncht von q abhängenden 3-Vektoren ā S = dj T q + d v S (641) De totale zetlche Abletung von (634) ergbt de Wnkelbeschleungungen ω α = J R (q,t) q + ᾱ (q, q,t), =1,,n, (642) mt den ncht von q abhängenden 3-Vektoren ᾱ = dj R q + d ω (643)

9 62 Dynamk holonomer Mehrkörpersysteme 197 Für de 6-Vektoren der räumlchen Beschleungungen â der enzelnen Körper glt [ ] [ ] [ ] α JR (q,t) ᾱ (q, q,t) = q + a S J T (q,t) ā S (q, q,t) (644) â = J (q,t) q + â (q, q,t), =1,,n, und für den globalen 6n-Beschleungungsvektor â des Gesamtsystems â 1 J 1 (q,t) â 1 (q, q,t) = q + J n (q,t) â n (q, q,t) â n â = J(q,t) q + â(q, q,t) (645) 62 Dynamk holonomer Mehrkörpersysteme De dynamschen Glechungen enes gebundenen holonomen Mehrkörpersystems umfassen de Impuls- und Drallsätze der fregeschnttenen Körper mt den engeprägten Kräften und Momenten sowe den Reaktonskräften und Reaktonsmomenten an den Bndungen Aus den Bndungen ergeben sch mt Hlfe des für Mehrkörpersysteme formulerten Prnzps von Jourdan de explzten und mplzten Reaktonsbedngungen 621 Impuls- und Drallsätze De Impuls- und Drallsätze der fregeschnttenen Körper können ohne Beschränkung der Allgemenhet bezüglch der jewelgen Massenmttelpunkte S formulert werden (Abb 62 a) De Formulerung für allgemene Körper-Bezugspunkte wrd n Abschntt 932 angegeben y x ω x y e r τ + τ z 0 z S v S z 0 z S e f + f r r S r S O 0 y 0 O 0 y 0 a x 0 Abb 62 Fregeschnttener Körper a Knematsche Größen b Kräfte und Momente b x 0

10 198 6 Holonome Mehrkörpersysteme Der Impulssatz (458) für den fregeschnttenen -ten Körper lautet mt den Resulterenden der engeprägten Kräfte f e und der Reaktonskräfte f r, sehe Abb 62 b, m a S = f e + f r, =1,,n (646) Der Drallsatz (464) für den fregeschnttenen -ten Körper bezüglch des Massenmttelpunkts S lautet mt den Resulterenden der engeprägten Momente τ e und der Reaktonsmomente τs r sowe dem Träghetstensor Θ S jewels bezüglch S Θ S α + ω Θ S ω = τ e S + τ r S, =1,,n (647) De knetschen Glechungen (646) und (647) können zusammengefasst werden zu der Matrzenglechung [ ][ ] [ ] [ ] [ ] ΘS 0 α ω Θ S ω τ e S τ r S = m E a S 0 f e f r (648) M â = ˆf c + ˆf e + ˆf r, =1,,n, mt der (6,6)-Massenmatrx M sowe den 6-Vektoren der engeprägten Kraftwnder ˆf e und der Reaktonskraftwnder ˆf r jewels bezüglch S und des Träghetskraftwnders ˆf c mt dem Kreselmoment De nsgesamt 6n Glechungen (648) snd de Newton-Euler-Glechungen des Mehrkörpersystems Se können zusammengefasst werden zu der globalen Blockmatrzenglechung M 1 0 â 1 ˆf c 1 ˆf e 1 ˆf r 1 = + + (649) 0 M n â n ˆf c n M â = ˆf c + ˆf e + ˆf r ˆf e n ˆf r n 622 Engeprägte Kräfte und Momente De engeprägten Kräfte f e und Momente τ e S m Kraftwnder ˆf e n (648) werden durch physkalsche Kraftgesetze defnert De engeprägten Kräfte können nach Schehlen und Eberhard [94] untertelt werden n de dealen engeprägten Kräfte, de ncht von den Reaktonskräften abhängen, und n de nchtdealen Rebungskräfte Alle Aussagen gelten snngemäß auch für de engeprägten Momente De dealen Kräfte können durch algebrasche oder durch dfferentelle Kraftgesetze beschreben werden Ideale engeprägte Kräfte mt algebraschen Kraftgesetzen De engeprägten Kraftwnder ˆf e werden algebrasch n Abhänggket von der Lage ˆr, derge-

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