Theoretische Mechanik

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1 Theoretsche Mechank (Bachelor of Educaton) C. Tmm Technsche Unverstät Dresden, Insttut für Theoretsche Physk Satz: Chrstna Krüger mt engen Korrekturen gesetzt von Martn Körber Sommersemester 009 Stand: 18. Jul 011

2 Inhaltsverzechns 1 Enführung Warum Theoretsche Physk m Lehramtsstudum? Zele und Arbetswese der Theoretschen Mechank Überblck Mehr oder wenger empfohlene Lehrbücher Knematk 6.1 Koordnatensysteme Kartessche Koordnaten Kugelkoordnaten Zylnderkoordnaten Natürlche Koordnaten Glechmäßg beschleungte Bewegung Kresbewegung Newton-Mechank Das Träghetsgesetz Das Bewegungsgesetz Das Reaktonsprnzp Das Superpostonsprnzp Kraftfelder Bespele für Kräfte Gewchtskraft Gravtatonskraft Coulomb-Kraft Lorentz-Kraft Federkraft Rebungskräfte Wechsel des Bezugssystems Translatonen Rotatonen De Newtonsche Bewegungsglechung als gewöhnlche Dfferentalglechung Der harmonsche Oszllator Gedämpfter harmonscher Oszllator Getrebener harmonscher Oszllator Arbet und Energe Arbet Lestung Knetsche Energe und Energeerhaltung Drehmpuls und Drehmoment Zentralkräfte De Planetenbewegung

3 INHALTSVERZEICHNIS 4 Mehrtelchensysteme Erhaltungssätze be Systemen mehrerer Massenpunkte Impulserhaltung Drehmpulserhaltung Energeerhaltung Der Vralsatz Zwe-Telchen-Systeme De Planetenbewegung Streuprozesse Klene Schwngungen Der starre Körper Knematk des starren Körpers Der Träghetstensor Stenerscher Satz Der Drehmpuls des starren Körpers De Bewegungsglechung des Kresels De Euler-Wnkel De Euler-Glechungen Der kräftefree Kresel Rotaton um free Achsen Der symmetrsche Kresel Lagrange-Mechank Zwangsbedngungen und Zwangskräfte Holonome Zwangsbedngungen Ncht-holonome Zwangsbedngungen Generalserte Koordnaten Das d Alembertsche Prnzp Lagrange-Funkton und Lagrange-Glechungen Formnvaranz der Lagrange-Glechungen Verallgemenerte Potentale Das Hamltonsche Prnzp Homogentät der Zet und Energeerhaltung Das Noether-Theorem Hamlton-Funkton und Energe Relatvstsche Mechank Enstens Postulate De Lorentz-Transformaton Egenzet und Verergeschwndgket Lagrange-Glechung für das free Telchen Lagrange-Glechung für en Telchen m elektromagnetschen Feld Hamlton-Mechank Kanonsche Glechungen Zyklsche Koordnaten Telchen m elektromagnetschen Feld Formnvaranz unter Punkttransformatonen De Posson-Klammern Possonscher Satz Kanonsche Transformatonen Äquvalente erzeugende Funktonen Hamlton-Jacob-Theore

4 Kaptel 1 Enführung 1.1 Warum Theoretsche Physk m Lehramtsstudum?... wel Se Sachverhalte verstehen müssen, um se erklären zu können. Nur wenn Se en über den Unterrchtsstoff hnaus gehendes Verständns haben, können Se entscheden, welche begrfflchen Hlfsmttel Se n der konkreten Stuaton be der Erklärung verwenden wollen und welche Detals Se erwähnen oder weglassen sollten. Mt Bertolt Brecht: Ich rate, leber mehr zu können als man macht, als mehr zu machen als man kann.... wel Se aktuelle Entwcklungen n der Physk nur dann verfolgen und ggf. m Unterrcht behandeln können (Nobelprese!), wenn Se se n en Gesamtkonzept enordnen können.... wel de Vorlesungen der Expermentalphysk manchmal ncht de Zusammenhänge und de zu Grunde legenden Prnzpen heraus stellen. Damt besteht de Gefahr, dass de Physk als Rehung von zusammenhanglosen Erfahrungstatsachen erschent.... wel nur m Zusammenwrken von Experment und Theore naturwssenschaftlche Erkenntns gewonnen werden kann. Das st m Unterrcht genauso.... wel de Theoretsche Physk Se de Welt auf enem fundamentaleren Nveau verstehen lässt, was ntellektuell und ästhetsch befredgend st, unabhängg vom praktschen Nutzen. 1. Zele und Arbetswese der Theoretschen Mechank De Theoretsche Mechank soll folgendes lesten: Verständns der Bewegungen matereller Körper unter dem Enfluss von Kräften. Erkennen der zu Grunde legenden Gesetzmäßgketen. Beschrebung der Bewegungen matereller Körper unter dem Enfluss von Kräften. Voraussage der Bewegungen. Wr werden zunächst klären müssen, was de her auftretenden Begrffe, nsbesondere der Begrff der Kraft, genau bedeuten. De Theoretsche Mechank hat also, we allgemen de Theoretsche Physk, das zwefache Zel des Verständnsses von allgemenen Gesetzmäßgketen und der quanttatven Beschrebung von Vorgängen. Dese beden Zele hängen eng zusammen. De Arbetswese der Theoretschen Physk besteht n der Formulerung von Theoren, d.h. Beschrebungen der allgemenen Gesetzmäßgketen. Aus ener brauchbaren Theore lassen sch Voraussagen für Expermente herleten, de dann gestatten, de Theore zu überprüfen. We der Naturphlosoph Sr Karl Popper sagte, kann man ene Theore nemals bewesen aber m Prnzp lecht wderlegen (falsfzeren). Expermente, de mt den Vorhersagen ener Theore überenstmmen, stützen dese, bewesen se aber ncht. Für de Wderlegung recht dagegen ene Beobachtung aus, de der Theore wdersprcht. Das Experment st mmer de letzte Instanz n der Physk de Grundglechungen der Theoretschen Mechank lauten so und ncht anders, wel umfangreche Expermente dese und ncht andere Glechungen stützen. Enge Bemerkungen herzu: 3

5 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 4 Man muss sch klar machen, was Popper mt bewesen mente: Man kann ene Theore ncht n mathematscher Strenge bewesen, aber vele physkalsche Theoren snd m jurstschen Snne bewesen, nämlch nach menschlchem Ermessen wahr. De englsche Formulerung wthout reasonable doubt st noch treffender. De strkte Wderlegung ener Theore durch en Experment m Snne Poppers st auch ene dealserte Vorstellung, da man ne absolut scher st, dass en Experment wrklch zegt, was man denkt, dass es zegt. Vele Theoren snd m Snne Poppers falsfzert. Zum Bespel wssen wr, dass de Theoretsche Mechank falsche Voraussagen macht, wenn wr se auf mkroskopsche Objekte we Atome oder Elementartelchen anwenden. Das bedeutet ncht, dass de Theoretsche Mechank nutzlos oder nur von hstorschem Interesse wäre. Wr wssen heute, dass se den Grenzfall ener allgemeneren Theore darstellt, nämlch der Quantenmechank und letztlch der Quantenfelheore. Es st gut verstanden, unter welchen Bedngungen se präzse Voraussagen macht. In desen Fällen wäre es unsnng, de vel komplzertere Quantenfelheore zu verwenden: Nemand wrd ernsthaft versuchen, de Frequenz enes Federpendels m Rahmen der Quantenfelheore zu berechnen. De Theoretsche Physk formulert de zu Grunde legenden Gesetzmäßgketen n der Sprache der Mathematk, wel das de für de Beschrebung quanttatver Zusammenhänge am besten geegnete Sprache st. Daher werden wr zahlreche mathematsche Methoden verwenden. Aber Theoretsche Physk st ncht Mathematk, ähnlch we en Werk der Lteratur ncht mt der Sprache dentsch st, n der es verfasst st. De Formulerung verwendet mest Begrffe der Analyss und der Lnearen Algebra, ncht selten aber auch solche der Gruppentheore und Geometre. De spezell n der Theoretschen Mechank notwendgen mathematschen Hlfsmttel snd nsbesondere Lneare Algebra Analyss (Dfferental- und Integralrechnung), enschleßlch Vektoranalyss Gewöhnlche Dfferentalglechungen Varatonsrechnung Dese werden n der Vorlesung entwckelt oder wederholt, sowet es notwendg erschent. Varatonsrechnung st z.b. praktsch ne Stoff von Enführungsvorlesungen n der Mathematk. 1.3 Überblck Wr werden n deser Vorlesung folgende Kaptel behandeln: Knematk Defnton der Begrffe, de wr zur Beschrebung der Bewegung von Körpern brauchen Newton-Mechank Newtons Axome und Anwendungen Planetenbewegung de Motvaton und hstorsch bedeutendste Anwendung der Newton-Mechank Mehrtelchensysteme Erhaltungssätze, Stöße, klene Schwngungen Mechank des starren Körpers Rotatonen und Kreseltheore Zwangsbedngungen und Lagrange-Mechank ene alternatve Formulerung der Mechank, de ncht vom Koordnatensystem abhängt und auch anwendbar st, wenn de Bewegung Zwangsbedngungen unterworfen st Hamlton-Mechank ene noch allgemenere Formulerung der Mechank unter Verwendung des Phasenraumes Hamlton-Jacob-Theore en allgemenes Lösungsverfahren für mechansche Probleme, zuglech ene Formulerung, de den Übergang zur Quantenmechank erlechtert Relatvstsche Mechank we ändern sch de Bewegungsglechungen, wenn de Relatvgeschwndgketen ncht klen gegenüber der Lchtgeschwndgket snd?

6 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 5 Chaos ntegrable und ncht ntegrable Dynamk und hre Konsequenzen Aufgrund der Kürze deser Mechank-Vorlesung von 3 SWS werden wr enge Themen nur anreßen können. 1.4 Mehr oder wenger empfohlene Lehrbücher W. Noltng, Grundkurs Theoretsche Physk, Band 1: Klasssche Mechank, 8. Aufl. (Sprnger-Verlag, Berln, 006) und Band : Analytsche Mechank, 7. Aufl. (Sprnger-Verlag, Berln, 006): De gesamte Rehe von Lehrbüchern st empfehlenswert. Noltng legt relatv großes Gewcht auf das Enüben der Formalsmen und entsprechend wenger auf de ausführlche Dskusson des physkalschen Gehaltes. Er führt Herletungen oft m Detal vor, wo andere Autoren nur das Ergebns angeben. De Darstellung st fast mmer klar. De Bücher enthalten vele gut Übungsaufgaben mt Lösungen und Kontrollfragen. De Theoretsche Mechank st auf zwe Bände vertelt. Der 1. Band begnnt mt ener recht ausführlchen Wederholung der relevanten mathematschen Methoden. Angenehmes Format und Layout. Leder ohne Lteraturverzechns. Moderne Themen we Integrabltät und Chaos fehlen. Relatvstsche Mechank fehlt ebenfalls und wrd n Band 4 behandelt. H. Goldsten, C. P. Poole und J. L. Safko, Klasssche Mechank, 3. Aufl. (Wley-VCH, Wenhem, 006): Der Klassker n neuer Auflage, aus dem Generatonen von Studerenden Mechank gelernt haben. Legt mehr Gewcht auf Dskusson und wenger auf mathematsche Zwschenschrtte, verglchen mt Noltng. Der zusätzlche Text hlft aber ncht unbedngt bem Verständns. In engen Abschntten unnötg komplzert oder obskur. Negt dazu, Methoden aus dem Hut zu zehen, ohne zu verraten, worauf se beruhen (nämlch mest auf Symmetreargumenten). Enthält en Kaptel über relatvstsche Mechank. De neue Auflage hat moderne Kaptel we Chaos und numersche (computergestützte) Übungsaufgaben ergänzt, ohne den vorhanden Text wesentlch zu verändern. Insgesamt en geegnetes Buch für Studerende, de sch den Stoff selbst erarbeten. L. D. Landau und Je. M. Lfschtz, Lehrbuch der theoretschen Physk, Band 1: Mechank, 14. Aufl. (Verlag Harr Deutsch, Frankfurt am Man, 1997/004): Der andere Klassker, Tel ener Rehe von russschen Lehrbüchern. Der Band zur Mechank st brutal knapp gehalten und überraschenderwese ncht fre von Fehlern. Zwschenschrtte werden selten angegeben und de Dskussonen snd kürzer als be Goldsten. Modernere Themen fehlen. Enthält mest schwerge Übungsaufgaben ohne Lösungen. De relatvstsche Mechank bldet en Kaptel des zweten Bandes über Elektrodynamk und Allgemene Relatvtätstheore. F. Kuypers, Klasssche Mechank, 8. Aufl. (Wley-VCH, Wenhem, 008): En gutes deutsches Lehrbuch mt enem hohen Antel von Bespelen und Übungsaufgaben mt ausführlchen Lösungen. Zusammen mt den engeschobenen Zusammenfassungen und Wederholungen führt des dazu, das relatv weng Raum für de egentlche Darstellung der Theoretschen Mechank blebt. Daher v.a. für Studerende gut geegnet, de de enthaltenen Übungsaufgaben tatsächlch zusätzlch zu den n der Vorlesung gegebenen lösen. De Rehenfolge der Kaptel st etwas ungewöhnlch, da Anwendungen we z.b. das Zentralkraftfeld zwschen de Lagrange-Mechank und de Hamlton-Mechank engeschoben snd. De Dskusson der Anwendungen st aber etwas ausführlcher als n anderen Büchern. Enthält en Kaptel zu relatvstscher Mechank und enes zu chaotscher Dynamk. J. L. McCauley, Classcal Mechancs (Cambrdge Unversty Press, Cambrdge, 1997): En deutlch tefer gehendes Lehrbuch als de bsher genannten, das leder ncht n deutscher Übersetzung vorlegt. Legt das Hauptgewcht auf Dskusson (we Goldsten), st aber deutlch klarer. Formalsmen werden knapp und präzse engeführt, de Schrebwese verletet aber dazu, Vektoren und Skalare zu verwechseln. Enthält de Standardkaptel der anderen Bücher, geht aber darüber hnaus. Relatv schwerge Übungsaufgaben ohne Lösungen. Zemlch umfangreches Lteraturverzechns. Relatvstsche Mechank wrd sehr knapp n enem Kaptel über Elektrodynamk, Spezelle und Allgemene Relatvtätstheore (!) angerssen. Interessante hstorsche Enführung. Als Zwetbuch für Interesserte zu empfehlen.

7 Kaptel Knematk In desem Kaptel s unser Zel de Defnton von mathematschen Größen zur Beschrebung der Bewegung von Massenpunkten. Wr fragen noch ncht nach den Ursachen der Bewegung. Was st en Massenpunkt? Der Massenpunkt st en Modell für enen physkalschen Körper n Problemstellungen, n denen es ausrecht, enen Punkt des Körpers zu betrachten, wenn also de Angabe senes Ortes ausrecht. Es kommt also darauf an, was wr beschreben wollen. Be der Planetenbewegung werden wr z.b. Sonne und Planeten als Massenpunkte beschreben. Enen gletenden Block können wr ebenfalls als Massenpunkt beschreben. De Körper müssen also ncht klen sen. De Bewegung enes Massenpunktes st charaktersert durch de Vektoren Ort r(t) Geschwndgket v(t) := r(t) = d r Beschleungung a(t) := r(t) = d r. Aus r(t) erhält man also sofort v(t) und a(t), aber oft st de Aufgabenstellung umgekehrt: a(t) st bekannt und r(t) st gesucht. Wr müssen a(t) zwemal ntegreren. Be jeder der beden Integratonen trtt ene Integratonskonstante auf. Um dese festzulegen, benötgen wr zusätzlch zwe Angaben, z.b. von Ort r(t 0 ) und Geschwndgket v(t 0 ) zu enem Zetpunkt t 0. Dann st a(t) st gegeben. v(t) = C t + a(t ) t 0 da v(t = t 0 ) = C + t t 0 a(t ) }{{} =0 folgt t v(t) = v(t 0 ) + a(t ). (.1) t 0 r(t) = C t + t [ v(t 0 ) + a(t )], also t 0 t 0 t r(t) = r(t 0 ) + v(t 0 )(t t 0 ) + t 0 Bespel: Glechförmge, geradlnge Bewegung Her st a(t) = 0 t. Es folgt v(t) = v(t 0 ) und r(t) = r(t 0 ) + v(t 0 )(t t 0 ). t t 0 a(t ). (.) 6

8 KAPITEL. KINEMATIK 7 0 r(t 0 ) v(t 0 ) Das st de Parameterdarstellung ener Geraden. De unbeschleungte Bewegung verläuft also geradlng..1 Koordnatensysteme (Wederholung aus der Vorlesung Rechenmethoden) Wr müssen oft Größen n verschedenen Koordnatensystemen darstellen, da n geegneten Koordnatensystemen de Lösung bestmmter Probleme sehr vel enfacher wrd. Gewsse Größen snd nvarant unter Koordnatentransformatonen (d.h. se ändern sch ncht). Dese nennen wr Skalare. Wr verwenden her nur solche Koordnatensysteme, de an jedem Punkt des Raumes durch dre (oder auch ene andere Anzahl) orthogonale Enhetsvektoren ê 1, ê, ê 3 charaktersert snd ( Dreben ). 0 r r Das Dreben muss ncht an jedem Punkt glech sen. Wr ordnen de ê so, dass se en Rechtssystem blden. Dann glt ê ê j = δ j und (ê 1 ê ) ê 3 = 1 (Rechtssystem). An enem Ort r drücken wr enen Vektor a durch de Enhetsvektoren ê am Ort r aus: a = a 1 ê 1 + a ê + a 3 ê Kartessche Koordnaten Be kartesschen Koordnaten st das Dreben überall glech. Wr schreben auch ê 1 = ˆx, ê = ŷ, ê 3 = ẑ. De Komponentendarstellung a = a xˆx + a y ŷ + a z ẑ schreben wr auch als a = (a x, a y, a z ). Wenn nchts anderes gesagt st, menen wr damt de Komponenten n kartesschen Koordnaten. Der Gradent lautet dann = ˆx x + ŷ y + ẑ z ( x, y, z ) (.3) und das Volumenelement, das wr für Volumenntegrale benötgen,.1. Kugelkoordnaten Her st das Dreben vom Ort r abhängg. d 3 r = dxdydz. (.4)

9 KAPITEL. KINEMATIK 8 z N ˆφ ˆr r ˆθ θ y φ Längengrad x ˆr, ˆθ, ˆφ blden en Rechtssystem. Es st r = rˆr und Daraus folgt sofort d r = drˆr + rdθˆθ + r sn θdφ ˆφ. (.5) v = d r = ṙˆr + r θˆθ + r sn θ φ ˆφ. (.6) Während sch v unmttelbar aus d r ergbt, st a = v = r deutlch komplzerter, wel de Enhetsvektoren ˆr, ˆθ, ˆφ d von r und damt von t abhängen: z.b. ˆr 0. Wr fnden a = v = rˆr + ṙ ˆr + ṙ θˆθ + r θˆθ + r θ ˆθ + ṙ sn θ φ ˆφ + r θ cos θ φ ˆφ + r sn θ φ ˆφ + r sn θ φ ˆφ. (.7) Her st und ˆr = d r vr rṙ = r r ṙ = r ˆr + θˆθ + sn θ φ ˆφ ṙ ˆr (.8) r ˆφ = d ẑ ˆr snθ = ẑ ˆr sn θ ẑ ˆr θ cos θ sn θ = ẑ ( θˆθ + sn θ φ ˆφ) sn θ ˆφ θ cos θ sn θ = ˆφ θ cos θ sn θ + φẑ ˆφ ˆφ θ cos θ sn θ = φ( sn θˆr cos θˆθ) = sn θ φˆr cos θ φˆθ (.9) und schleßlch ˆθ = d ( ˆφ ˆr) = ˆφ ˆr + ˆφ ˆr = cos θ φˆθ ˆr + θ ˆφ ˆθ = cos θ φ ˆφ θˆr. (.10) Also ergbt sch a = ( r rθ r sn θφ )ˆr + (ṙ θ + ṙ θ + r θ r sn θ cos θφ )ˆθ + (ṙ sn θ φ + r θ cos θ φ + ṙ sn θ φ + r θ cos θ φ + r sn θ φ) ˆφ = ( r rθ r sn θφ )ˆr + (ṙ θ + r θ r sn θ cos θφ )ˆθ + (ṙ sn θ φ + r θ cos θ φ + r sn θ φ) ˆφ. (.11) Das st offenbar zemlch komplzert und unanschaulch. Den Gradenten (Nabla-Operator) schreben wr als =: ˆr r + ˆθ θ + ˆφ φ. (.1) Wchtg: Wr defneren de Komponenten r, θ, φ so, dass se rechts von den Enhetsvektoren ˆr, ˆθ, ˆφ stehen. Das st ncht dasselbe we rˆr + θ ˆθ + φ ˆφ, da de ˆr, ˆθ, ˆφ vom Ort abhängen.

10 KAPITEL. KINEMATIK 9 Nun st r = ( x + y + z x x,...,...) = ( x + y + z,...,...) = r = ˆr (.13) r Das st rchtg: ˆr st defnert als Enhetsvektor n der Rchtung, n der sch r ändert, daher muss r zumndest parallel zu ˆr sen. Ebenso sollten θ ˆθ und φ ˆφ gelten. Das fnden wr auch explzt: θ = ( x arctan x + y 1 x,...,...) = ( z 1 + x +y z x z + y,..., 1 x + y 1 + x +y z ) z = z r x + y (x, y, + y x = ˆθ z r φ = ( x arctan y x,..., 0) = ( 1 ( y 1 + y x ), 1 x 1 + y ˆφ = r sn θ. Nun glt nach Kettenregel für jede Funkton f f = f r r + f θ θ + f φ φ = Da des für jedes f glt, folgt de Operator-Identtät mt glt = ˆr r + ˆθ 1 r Für Volumenntegrale brauchen wr das Volumenelement (x, y, z) (r, θ, φ) = Es folgt dv = drdθdφ r sn θ. dv = dxdydz = ( x 1 ˆr r + ˆθ r x, 0) = 1 ˆφ x ( y, x, 0) = + y θ + ˆφ r sn θ x + y (.14) (.15) ) f. (.16) φ θ + ˆφ 1 r sn θ φ. (.17) (x, y, z) (r, θ, φ) }{{} drdθdφ (.18) Funktonal-/Jacobdetermnante x = r sn θ cos φ (.19) y = r sn θ sn φ (.0) z = r cos θ (.1) x/ r x/ θ x/ φ y/ r y/ θ y/ φ z/ r z/ θ z/ φ = sn θ cos φ r cos θ cos φ r sn θ sn φ sn θ sn φ r cos θ sn φ r sn θ cos φ cos θ r sn θ 0 = r sn θ. (.).1.3 Zylnderkoordnaten z ˆφ ẑ ˆρ ˆφ ρ φ ẑ y ˆρ x

11 KAPITEL. KINEMATIK 10 Wr fassen her nur de Ergebnsse zusammen, de Herletungen snd analog. Es st r = ρˆρ + zẑ und d r = dρˆρ + ρdφ ˆφ + dzẑ, also v = d r = ρˆρ + ρ φ ˆφ + żẑ. (.3) Man erhält auch a = ( ρ ρφ )ˆρ + (ρ φ + ρ φ) ˆφ + zẑ (.4) und = ˆρ ρ + ˆφ 1 ρ φ + ẑ z und dv = dρdφdz ρ. Ebene Polarkoordnaten erhalten wr natürlch enfach durch de Setzung z = Natürlche Koordnaten (.5) Wenn wr de Bewegung enes Massenpunktes beschreben wollen, betet es sch manchmal an, an jedem Punkt der Bahnkurve en der Bahn angepasstes Dreben zu wählen. Wr defneren zunächst de Bogenlänge s als de vom Massenpunkt zwschen den Zeten t 0 und t zurückgelegte Strecke. s st der Skalar t t t s = ds(t ) d r(t ) = d r(t ). (.6) t 0 t 0 t 0 }{{} ncht sehr nützlch für Berechnungen s parametrsert de Bahnkurve, d.h. jeder Punkt r auf der Bahnkurve wrd durch enen Wert von s charaktersert. Deser Wert von s st der Abstand entlang der Bahnkurve vom Ausgangspunkt r(t 0 ). Es gbt nun de folgenden dre ausgezechneten Rchtungen bzw. Enhetsvektoren am Punkt r: Tangentenenhetsvektor ˆt, st tangental zur Bahn, also parallel zur Geschwndgket und zegt n deselbe Rchtung (Verenbarung!). Also glt ˆt := v v d r d r d r ds = d r ds. (.7) Normalenenhetsvektor ˆn: ˆt(s) ändert sch.a. entlang der Bahn, ene zwete ausgezechnete Rchtung st de, n der sch ˆt ändert, das st de Rchtung von dˆt/ds. (Da ˆt Enhetsvektor st, st dˆt/ds ˆt.) Den Normalenenhetsvektor ˆn defneren wr durch Normerung ˆn := dˆt ds dˆt ds. (.8) Der Betrag dˆt/ds hat übrgens ene wchtge geometrsche Bedeutung: κ := dˆt/ds st de Krümmung und ρ := 1/κ st der Krümmungsradus, d.h. der Radus enes Kreses, der sch am Punkt r an de Bahn anschmegt. Also st ˆn = ρ dˆt/ds. ρ r(t) r Bnormalenenhetsvektor ˆb := ˆt ˆn, dann blden ˆt, ˆn, ˆb en rechtshändges Dreben. Deses heßt begletendes Dreben.

12 KAPITEL. KINEMATIK 11 In natürlchen Koordnaten st r ncht enfach auszudrücken, aber v und a snd es. Es st nämlch v = vˆt (nach Defnton). Mt v = ds/ folgt v = ds ˆt ṡˆt (.9) und a = d v = vˆt + v ˆt = sˆt + ṡ ds ˆt s = sˆt + ṡ ˆn. (.30) ρ a legt also n der durch ˆt und ˆn aufgespannten (zu ˆb orthogonalen) sogenannten Schmegungsebene. In a = sˆt + ṡ ρ ˆn = a tˆt + a nˆn (.31) nennen wr a t de Tangentalbeschleungung und a n de Normalenbeschleungung, letztere spezell m Fall von Kresbahnen auch Zentrpetalbeschleungung.. Glechmäßg beschleungte Bewegung Das st ene Bewegung mt a = const a 0. Des ergbt offenbar v(t) legt n der von v 0 und a 0 aufgespannten Ebene. v(t) = v(t 0 ) + a 0 (t t 0 ) v 0 + a 0 (t t 0 ), (.3) r(t) = 1 r(t 0 ) + v 0 (t t 0 ) + }{{} a 0(t t 0 ). (.33) r 0 v(t) ˆt(t) a 0 ˆn(t) v 0 a 0 Daher legt de gesamte Bahnkurve n der Ebene durch den Punkt r 0, aufgespannt durch v 0 und a 0. Der Bnormalenenhetsvektor st damt konstant und, we de Skzze zegt, gegeben durch ˆb = v 0 a 0 v 0 a 0. (.34) Der Tangentenenhetsvektor st ˆt(t) = v(t)/ v(t) und der Normalenenhetsvektor demnach ˆn(t) = ˆb ˆt(t) = ( v 0 a 0 ) v v 0 a 0 v. (.35) Wr wählen en Koordnatensystem mt ẑ v 0, a 0 und ŷ := a 0 /a 0. Dann st Das st de Glechung ener Parabel, we erwartet. r(t) = r 0 + v 0 (t t 0 ) + 1 a 0ŷ(t t 0 ). (.36).3 Kresbewegung Wenn wr schon wssen, dass de Bahnkurve en (Tel enes) Kreses st, können wr ẑ = ˆb senkrecht zur Bahnebene und de Koordnatenursprung m Kresmttelpunkt wählen.

13 KAPITEL. KINEMATIK 1 y R r φ x r = r = const R (.37) v = R φ ˆφ (.38) a = Rφ ˆr + R φ ˆφ, (.39) (vgl. Abschntt.1). Her st a r = Rφ de Zentrpetalbeschleungung und a φ = R φ de Tangentalbeschleungung. Wr defneren noch de Wnkelgeschwndgket ω = φ, dann st v = Rω, a r = Rω und a φ = R ω. Ist ω = const, so sprcht man von ener glechförmgen Kresbewegung. Man defnert auch de vektorelle Wnkelgeschwndgket ω := ωẑ. Dann st ω r = ωẑ rˆr = ωr ˆφ = v.

14 Kaptel 3 Newton-Mechank De Zele deses Kaptels snd de Formulerung und Motvaton der Axome der Newtonschen Mechank und hre Anwendung auf enfache Bespele. Jede physkalsche Theore enthält Aussagen, de m Rahmen der Theore ncht hergeletet werden können. Dese nennt man de Axome der Theore. Versuche, de Physk ren deduktv zu begründen (nsbesondere n der mtteralterlchen Scholastk, auf höherem Nveau auch n jüngerer Zet, z.b. durch Carl Fredrch von Wezsäcker), waren ncht erfolgrech. De Axome werden durch den Verglech der Voraussagen der Theore mt Expermenten gerechtfertgt. Oft wurden solche Axome n der Geschchte der Physk m Rahmen ener fundamentaleren Theore hergeletet, deren Axome aber weder durch Expermente gerechtfertgt werden müssen. Aus den Axomen kann man dann Folgerungen zehen, de den egentlchen Mehrwert der Theore darstellen und de man expermentell überprüfen kann. 3.1 Das Träghetsgesetz Es st ncht nur unmöglch, m Rahmen ener bestmmten Theore alle hre Aussagen zu bewesen, man kann se ncht enmal formuleren. Da sch physkalsche Theoren auf de reale Welt bezehen, machen se Aussagen über Kategoren, de ncht nnerhalb der Theore (mathematsch) defnert werden können. In der Newtonschen Mechank st ene solche Kategore de Kraft. Wr sehen daher den Begrff der Kraft als durch unsere Snneserfahrung hnrechend genau defnert an z.b. bem Heben enes Gewchts. Es st auch unmttelbar klar, dass de Kraft mt ener Rchtung behaftet st, se st daher ene vektorelle Größe. Wr defneren zunächst enge Begrffe, um das 1. Newtonsche Axom formuleren zu können. Defnton: En kräftefreer Körper st en Körper, auf den kene äußeren Käfte wrken. Defnton: En Bezugssystem st en Koordnatensystem m verdmensonalem Raum, der von den dre realen räumlchen Rchtungen und der Zet aufgespannt wrd. Für feste Zet t ergbt sch en Koordnatensystem m Realraum, das ncht für alle t dasselbe sen muss. 1. Newtonsches Axom (Träghetsgesetz): Es exsteren Bezugssysteme, n denen jeder kräftefree Körper ene geradlnge, glechförmge Bewegung ausführt. Das schleßt de Möglchket en, dass er n Ruhe verharrt. Defnton: Solche Bezugssysteme heßen Inertalsysteme. Also lautet das 1. Axom kurz: Es gbt Inertalsysteme. 3. Das Bewegungsgesetz Wr wssen aus Erfahrung, dass wr ene größere Kraft ausüben müssen, um ene Esenkugel auf ene bestmmte Geschwndgket zu beschleungen, als enen glech großen luftgefüllten Ball. De beden Körper setzen hrer Beschleungung enen unterschedlch großen Wderstand entgegen. Als zwete, ncht nnerhalb der Mechank zu defnerende Größe führen wr de träge Masse m t als Maß für den Wderstand von Körpern gegen Bewegungsänderungen en. De träge Masse hat kenen Rchtungssnn und st daher ene skalare Größe. Defnton: Das Produkt aus träger Masse m t und Geschwndgket v heßt Impuls p := m t v.. Newtonsches Axom (Bewegungsgesetz): In enem Inertalsystem st de Änderung des Impulses enes 13

15 KAPITEL 3. NEWTON-MECHANIK 14 Körpers pro Zetenhet zur angrefenden Kraft proportonal und parallel, F p = d (m t v). (3.1) Wr wählen de Maßenheten von Kraft und Masse so, dass Glechhet glt: F = p. (3.) Dese Glechung nennen wr de Newtonsche Bewegungsglechung. Bemerkungen: Ist de Masse konstant, so glt F = m t v = mt a. Dann st a = F /m t. Des ergbt ene Methode, das Verhältns von Kraft und träger Masse zu messen, aber ncht ene der beden Größen für sch allen. 3.3 Das Reaktonsprnzp Wenn wr auf glattem Boden versuchen, ene schwere Person wegzuscheben, fnden wr, dass wr uns überwegend selbst n de entgegengesetzte Rchtung scheben. Offenbar übt de andere Person ene Kraft auf uns aus, ohne selbst etwas zu tun. In quanttatver Form st das der Inhalt des 3. Axoms: 3. Newtonsches Axom (Reaktonsprnzp): De Kraft F 1, de der Körper auf Körper 1 ausübt, und de Kraft F 1 des Körpers 1 auf Körper snd betragsmäßg glech und entgegengesetzt gerchtet, F 1 = F 1. (3.3) Folgerung: Wr können nun de träge Masse m t defneren, ncht nur das Verhältns F /m t. Dazu betrachten wr folgendes Gedankenexperment: F 1F F F 1 FF FF rebungsfre m 1 m zusammengedrückte Feder, ncht fest mt Massen verbunden Wr stauchen de Feder so, dass de Massen n Ruhe snd. Dann glt F 1F = F F 1 = F F = F F (3.4) ( F 1F st de Kraft, de de Feder auf Masse 1 ausübt usw.). Nach dem. Axom folgt nach dem Loslassen m 1 a 1 = m a. (3.5) Für de Beträge folgt m 1 /m = a /a 1. Damt können wr das Verhältns ener Probemasse zu ener bekannten Masse über de messbaren Beschleungungen bestmmen. Dann brauchen wr nur noch ene Referenzmasse, d.h. en Massennormal, um ene Massenenhet (das Klogramm) zu defneren. Damt können wr dann über F = m t a auch Kräfte messen und ene Enhet (1 Newton := 1kg m/s ) festlegen. 3.4 Das Superpostonsprnzp Das Superpostonsprnzp st egentlch en zusätzlches Axom, we Newton auch bewusst war, wurde von hm aber ncht als glechberechtgtes Axom bezechnet, vellecht, wel es selbstverständlch schent. De Aussage st: Wrken zwe oder mehr Kräfte F auf enen Körper, so st de gesamte Kraft (de m. Axom auftrtt) de vektorelle Summe F = F 1 + F +... = F. (3.6)

16 KAPITEL 3. NEWTON-MECHANIK Kraftfelder Es st snnvoll, Kräfte begrfflch von den Körpern, auf de se wrken, zu trennen. Defnton: En Kraftfeld F ( r, r, t) st de Kraft, de an enem Ort r zur Zet t auf enen Testkörper der Geschwndgket r wrken würde. Das Kraftfeld st also nsbesondere an jedem Punkt defnert, egal ob sch dort en Massenpunkt befndet. Das macht es zu enem Feld. Es kann zusätzlch von der Zet und der Geschwndgket abhängen. Höhere Abletungen von r kommen n fundamentalen Kräften ncht vor und werden daher n der Mechank mest ncht betrachtet. 3.6 Bespele für Kräfte Gewchtskraft Wr wssen aus Erfahrung, dass de genannte Esenkugel schwerer st als der glech große Ball. Das hat zunächst nchts mt hrer trägen Masse zu tun de Kugel st auch schwerer, wenn wr se nur ohne Beschleungung halten. Körper haben also ene wetere Egenschaft, de wr schwere Masse m s nennen, und de für de Esenkugel größer st als für den Ball. Wr beobachten, dass auf Körper ene Kraft n der Rchtung nach unten wrkt, de umso größer st, je schwerer der Körper st. Wr defneren de schwere Masse m s durch F s =: m s g. (3.7) Das st noch ncht endeutg, da wr den Betrag von g noch ncht defnert haben (de Rchtung st nach unten ). Nach dem. Axom st mt a = ms g m t m s = g a = g a. (3.8) Nun können wr für rgendenen Probekörper g = a wählen, dann glt für desen Körper m t = m s. De zunächst erstaunlche Beobachtung st, dass dann für alle Körper de träge und de schwere Masse überenstmmen, m t = m s. Das st nnerhalb der Newton-Mechank ncht zu begründen. Es folgt aber m Rahmen der Allgemenen Relatvtätstheore. Wr lassen daher jetzt den Index t oder s weg. Für enen Massenpunkt unter Enfluss der Schwerkraft glt nun also m a = m r = m g r = g. (3.9) Das st gerade der Fall konstanter Beschleungung aus Abschntt., wr erhalten also als Bahn ene Parabel Gravtatonskraft Für enen Körper, dessen Abstand von der Erdoberfläche ncht klen gegenüber dem Erdradus st (Satellt, Mond) beobachtet man kene konstante Beschleungung g. Stattdessen glt für de Kraft zwschen zwe Massen (z.b. Erde und Satellt) das Newtonsche Gravtatonsgesetz Her snd r: Abstandsvektor ( r = rˆr) γ: Gravtatonskonstante, γ 6, m 3 /kg s (ene Naturkonstante) Coulomb-Kraft F ( r) = γ mm ˆr. (3.10) r De Kraft zwschen zwe Ladungen q 1 und q hat ene sehr ähnlche Form, nämlch das Coulomb-Gesetz F ( r) = 1 q 1 q ˆr. (3.11) 4πɛ 0 r De Herletung wrd n der Elektrodynamk-Vorlesung erfolgen. Wchtg: De Coulomb-Kraft kann anzehend (für q 1 q < 0) oder abstoßend (für q 1 q > 0) sen. Bemerkung: Dass Gravtatons- und Coulomb-Kraft deselbe 1/r -Form haben, legt letztlch daran, dass bede durch masselose Telchen vermttelt werden.

17 KAPITEL 3. NEWTON-MECHANIK 16 Gravtatons- und Coulomb-Kraft snd Bespele für Zentralkräfte. Das snd alle Kräfte der allgemenen Form F = f( r, r, t) ˆr }{{} Rchtung ˆr. (3.1) Skalar Lorentz-Kraft Auf ene Ladung q n enem allgemenen elektromagnetschen Feld wrkt de Lorentz-Kraft F = qe + q r B, (3.13) mt dem elektrschen Feld E und dem magnetschen Induktonsfeld B, oder ausführlcher F ( r, r, t) = qe( r, t) + q r B( r, t). (3.14) Das st das wchtgste Bespel für ene geschwndgketsabhängge Kraft Federkraft Für ene Feder glt näherungswese das Hookesche Gesetz F = kx (n ener Dmenson). m x ohne Rebung De Kraft st proportonal zur Auslenkung und entgegengesetzt gerchtet. Deses Kraftgesetz beschrebt den harmonschen Oszllator. Wr werden später n deser Vorlesung und auch n der Quantenmechank sehen, dass der harmonsche Oszllator wetaus wchtger st, als man vermuten könnte. Der Grund st, dass sch fast jedes System gegenüber klenen Auslenkungen aus dem Glechgewcht we en harmonscher Oszllator verhält Rebungskräfte Das snd Kräfte, de der Bewegung enes Körpers entgegen wrken und also sener Geschwndgket gegenüber dem Medum bzw. der Unterlage entgegen gerchtet snd. Ihre Herletung aus fundamentalen Kräften st schwerg. Man fndet näherungswese folgende Formen: Gletrebung: F = µg F ˆv mt ˆv := v/ v. F st de Normalkraft, d.h. de Kraft zwschen dem Körper und der Unterlage. Bespel: Auto mt blockerenden Bremsen. Rollrebung hat deselbe Form mt enem kleneren Koeffzenten µ R. Stokesche Rebung: F = α v αvˆv. Bespel: langsame Bewegung n ener Flüssgket oder enem Gas. Newtonsche Rebung: F = αv ˆv. Bespel: schnelle Bewegung n ener Flüssgket oder enem Gas, wobe Turbulenz auftrtt. 3.7 Wechsel des Bezugssystems Das 1. Axom postulert de Exstenz von Inertalsystemen, also von Bezugssystemen, n denen für kräftefree Körper v = const glt, also m a = 0. Wr wollen nun alle Inertalsysteme fnden. Transformatonen, de nur de räumlchen Koordnaten betreffen, snd herbe langwelg, denn se ändern weder de Gestalt der Glechung F = p, noch de Form der Bahnkurve. Wr können daher kartessche räumlche Koordnaten zu jedem Zetpunkt t annehmen. Dann kann en Bezugssystem S aus enem anderen, S, durch belebge, zetabhängge Kombnatonen von Translatonen und Rotatonen hervorgehen. Wr beschränken uns her auf rene Translatonen und rene Rotatonen, ohne dadurch wrklch etwas zu verleren.

18 KAPITEL 3. NEWTON-MECHANIK Translatonen Wr können o.b.d.a. annehmen, dass zwe Bezugssysteme S, S zur Zet t = 0 dentsch snd. S se en Inertalsystem, d.h. ohne äußere Kräfte gelte m r = 0. S gehe aus S durch ene zetabhängge Translaton R(t) hervor. (Nach Voraussetzung st R(0) = 0.) S st genau dann auch en Inertalsystem, wenn für Koordnaten r n S ebenfalls m r = 0 glt. Nun st r = R + r (3.15) z S y x r R z r y x Es folgt r = R + r und damt m r = m r m R. Des st genau dann glech Null, wenn R = 0, also R = V = const und R = V t. Also: Durch Translaton erhält man genau dann weder en Inertalsystem, wenn S sch mt konstanter Geschwndgket relatv zum Inertalsystem S bewegt. Für de räumlchen Koordnaten glt dann Mt der zetlchen Koordnate haben wr überhaupt nchts gemacht, also glt r = V t + r. (3.16) t = t. (3.17) Zusammen blden dese Abbldungen ene Galle-Transformaton. Wr werden sehen, dass Rotatonen kene zusätzlchen Inertalsysteme erzeugen, also snd de Galle-Transformatonen de allgemensten Transformatonen, de Inertalsysteme nenander überführen. Wrkt ene Kraft, so glt n S (. Axom) F = m r. (3.18) Nach der Galle-Transformaton st r = r V t, also r = r und m r = m r. Das. Axom behält also sene Form be, wenn wr enfach F = F setzen. De Kraft ändert sch unter Galle-Transformaton ncht. Wr müssen aber F durch de transformerten r, r ausdrücken, falls de Kraft F von r, r abhängt. Be ener belebgen Translaton von S relatv zu S glt und damt r(t) = R(t) + r (t) (3.19) m r = m R + m r. (3.0) Im Inertalsystem glt F = m r. Wr wollen de Kraft F n S so defneren, dass auch n S glt F = m r. Es folgt F = m r = m r m R = F m R. (3.1) Wr können de Newtonsche Bewegungsglechung auch n S verwenden, wenn wr zur Kraft ene Schenkraft m R adderen. Se heßt Schenkraft, wel se ncht auf fundamentalen Kräften beruht, sondern nur auf der Wahl enes komplzerten Bezugssystems. Schenkräfte haben sehr wohl fühlbare Auswrkungen. Bespel: Bewegung n enem ICE be Notbremsung Rotatonen De Systeme S und S sollen für t = 0 zusammenfallen. Ihre Koordnatenursprungspunkte sollen für alle t zusammenfallen. Dann führt S gegenüber S ene allgemene Rotaton aus. S se durch en Dreben ê 1, ê, ê 3 charaktersert, S durch en Dreben ê 1, ê, ê 3. Der nteressante Fall st natürlch der, dass das Dreben ê 1, ê, ê 3 von der Zet abhängt. Über de Zetabhänggket des Drebens ê 1, ê, ê 3 nehmen wr nchts an, wr können uns aber vorstellen, dass es zetlch konstant st.

19 KAPITEL 3. NEWTON-MECHANIK 18 Wr können enen Ortsvektor r n S oder S darstellen: 3 3 r = r ê = r ê. (3.) Für enen Beobachter n S st de Geschwndgket =1 =1 r = ṙ ê = (ṙ ê + r ê ), (3.3) für enen n S mtroterenden Beobachter dagegen r = ṙ ê (3.4) (der Beobachter rotert mt, also ändern sch de ê ncht mt der Zet). Es folgt r = r + r ê. (3.5) Als nächstes vollen wr herausfnden, we sch de Enhetsvektoren ê aus Scht von S ändern. Wr können zu jedem Zetpunkt de Rotaton von S als Rotaton mt ener Wnkelgeschwndgket ω um ene momentane Drehachse entlang ˆn beschreben. ω und ˆn snd.a. zetabhängg. Wr untersuchen nun, we sch en n S fester Vektor a (z.b. ê ) m Zetnterval [t, t + ] aus Scht von S ändert. ˆn dφ ρ a (t) d a a (t + ) a θ Es glt ρ = a sn θ und da = ρdφ = ρω, daher da = a ω sn θ. (3.6) (Hnwes: Wr nehmen ncht Bezug auf en bestmmtes räumlches Koordnatensystem. d a soll ncht de Änderung von a n S darstellen, de natürlch veschwndet. Der Strch soll velmehr andeuten, dass a n S fest st.) Weterhn steht d a senkrecht auf ˆn und a, und ˆn, a, d a blden en Rechtssystem. Es folgt Zusammen ergbt sch const = ω und d a = const ˆn a (3.7) d a = const ˆn a = const Wr verwenden den Vektor der Wnkelgeschwndgket ω := ωˆn: =1 {}}{ ˆn a sn θ. (3.8) d a = ω ˆn a. (3.9) d a = ω a d a = ω a. (3.30)

20 KAPITEL 3. NEWTON-MECHANIK 19 Das glt für jeden n S festen Vektor, nsbesondere also für ê 1, ê, ê 3. Damt wrd r = r + r ω ê = r + ω r ê = r + ω r. (3.31) Das können wr als allgemene Transformaton formuleren: ( ) d d = }{{} }{{} + ω (3.3) Abletung aus Scht von S Abletung aus Scht von S (angewendet auf enen belebgen Vektor). Nochmals auf Glechung (3.31) angewendet ergbt des r = d r + d ( ω r ) = d r + d ω r + ω d r = r + ω r + ω r + ω r + ω ( ω r ) = r + ω r + ω r + ω ( ω r ) (3.33) F = m r = m r m ω r m ω r ω ( ω r ) = F m ω r }{{} trtt nur für beschleungte Rotatonen auf m ω r }{{} =: F C m ω ( ω r ). (3.34) }{{} =: F Z Corolskraft F C und Zentrfugalkraft F Z treten auch be glechmäßger Rotaton auf. De Schenkräfte snd gerade so beschaffen, dass de Bewegung n S so komplzert st, dass n enem Inertalsystem S de Bewegung m kräftefreen Fall glechförmg verläuft. Bespel: En kräftefreer Massenpunkt ruhe be r m Inertalsystem S. We lautet de Schenkraft n enem glechmäßg roterenden Bezugssystem S? F = m ω r m ω ( ω r ), (3.35) r = ω r (3.36) (aus Scht von S bewegt sch der Massenpunkt n der entgegengesetzten Rchtung m Verglech zur Rotaton von S relatv zu S). Es folgt F = m ω ( ω r ) m ω ( ω r ) = m ω ( ω r ). (3.37) Wr verwenden Zylnderkoordnaten mt der z- (und z -) Achse entlang ω. Dann st F = mω r ˆρ = mω rˆρ. (3.38) ẑ = ẑ r ˆρ r = r

21 KAPITEL 3. NEWTON-MECHANIK 0 Man beachte, dass de Zentrfugalkraft nach außen wrkt, aber von der doppelt so großen Corols-Kraft überkompensert wrd. Das Ergebns st mt der Zentrpetalbeschleungung a = ω rˆρ aus Abschntt. kompatbel. 3.8 De Newtonsche Bewegungsglechung als gewöhnlche Dfferentalglechung De Newtonsche Bewegungsglechung für enen Massenpunkt st von der Form m r = F ( r, r, t), sofern de Masse konstant st, egal we das Kraftfeld ausseht und ob das Bezugssystem en Inertalsystem st oder ncht. Des st en System von dre gewöhnlchen Dfferentalglechungen.Ordnung: In kartesschen Koordnaten st mẍ F (ẋ 1, ẋ, ẋ 3, x 1, x, x 3, t) = 0 (3.39) für = 1,, 3. De allgemene Theore gewöhnlcher Dfferentalglechungen sagt aus, dass jede Dfferentalglechung n-ter Ordnung, f(x (n), x (n 1),..., ẋ, x, t) = 0, ene Schar x = x(t; γ 1, γ,..., γ n ) von Lösungen hat, de von n unabhänggen Parametern abhängen. Für gegebene Parameter γ 1,..., γ n erhält man ene spezelle (partkuläre) Lösung. Oft kann man dese Parameter durch Angabe von n Anfangsbedngungen x (n) (t 0 ), x (n 1) (t 0 ),..., x(t 0 ) festlegen. Des glt alles auch für vektorwertge Funktonen r(t), wobe dann de Parameter γ 1,..., γ n ebenfalls Vektoren snd. Das bsher gesagte st ncht ganz rchtg: Ist f(x (n),..., x, t) ncht n allen x (n),..., x lnear, so sprcht man von ener nchtlnearen Dfferentalglechung. In desem Fall st de spezelle Lösung ncht mmer durch de Anfangsbedngungen endeutg bestmmt. Bespel: ẋ = α x, α > 0. (3.40) De allgemene Lösung st sgn(t γ) x(t) = α (t γ) mt sgn a := 4 +1 für a > 0 0 für a = 0 1 für a < 0 (3.41) wegen ẋ(t) = α sgn(t γ) (t γ) = α t γ = α x. (3.4) Aber es gbt zusätzlch de solerte Lösungen x(t) 0, de ncht n der Schar (3.41) enhalten st. x solerte Lösung γ t Geben wr nun z.b. x(0) = x 0 < 0 vor, so snd folgende Lösungen damt kompatbel:

22 KAPITEL 3. NEWTON-MECHANIK 1 x t 1 t t x 0 mt x(t) = α 4 (t t 1) für t < t 1 0 für t 1 t t α 4 (t t ) für t > t (3.43) x(0) = α 4 (0 t 1) = α 4 t! 1 = x 0 (3.44) t 1 = α x0 (3.45) (beachte x 0 < 0). Aber t kann belebg t 1 gewählt werden, solange t t 1. En analoges Problem trtt be der Newtonschen Bewegungsglechung mẍ = β x (3.46) auf, de egentlch harmlos ausseht. In praktsch vorkommenden Fällen schent des aber ncht aufzutreten. Besonders wchtg für uns snd aber lneare Dfferentalglechungen. Dese haben de Form n α j (t) x (j) = β(t). (3.47) j=0 Man beachte, dass de Koeffzenten α j und de Inhomogentät β von t abhängen können. Ist β 0, so heßt de Glechung homogen, sonst nhomogen. Für homogene lneare Dfferentalglechung glt das Superpostonsprnzp: Snd x 1 (t) und x (t) Lösungen, so st es auch c 1 x 1 (t) + c x (t) mt belebgen Konstanten c 1, c. m Lösungen x j (t) heßen lnear unabhängg, wenn m j=1 α jx j (t) = 0 nur durch α 1 = α =... = α m = 0 erfüllt werden kann (analog zu Vektoren). Für homogene lneare Dfferentalglechung können wrd de Parameter γ j, j = 1,..., n als Koeffzenten ener Darstellung durch n unabhängge Lösungen wählen: x(t; γ 1,..., γ n ) = n γ j x j (t). (3.48) Kennt man also n unabhängge Lösungen, so hat man schon de allgemene Lösung. Für de nhomogene lneare Dfferentalglechung j=1 n α j (t)x (j) = β(t) (3.49) j=0 se x spz (t) ene spezelle Lösung. Se x hom (t; γ 1,..., γ n ) de allgemene Lösung der zugehörgen homogenen Glechung n j=0 α j(t)x (j) = 0. Dann st n α j (t)(x spz + x hom ) (j) = j=0 n n α j (t)x (j) + j=0 spz } {{ } =β(t) j=0 α j (t)x (j) hom } {{ } =0 = β(t) (3.50)

23 KAPITEL 3. NEWTON-MECHANIK ene Lösung der nhomogenen Glechung. Da x spz (t) + x hom (t; γ 1,..., γ n ) berets von n unabhänggen Parametern γ j abhängt, st es sogar de allgemene Lösung. Wr brauchen für de Lösung also de allgemene lösung der homogenen Glechung und nur ene spezelle Lösung der nhomogenen Glechung. Bespel: freer Fall unter Enfluss der Luftrebung. Des st en endmensonales Problem, wr wählen de Koordnate x nach unten. 0 y F G h x Es wrken de Gewchtskraft F G = mgˆx und de Stokesche Rebungskraft F R = αẋˆx. De Bewegungsglechung (. Axom) lautet mẍˆx = mgˆx αẋˆx, (3.51) also mẍ = αẋ + mg und damt ẍ + αẋ = mg. (3.5) Des st ene lneare, nhomogene Dfferentalglechung. Ordnung. Aber x selbst trtt gar ncht auf, also st es auch ene lneare, nhomogene Dfferentalglechung 1. Ordnung für ẋ. (a) Allgemene Lösung der homogenen Glechung: Ansatz: ẋ hom = γ 1 e ct (γ 1, c snd unbekannte Konstanten). Ensetzen ergbt mẍ hom + αẋ hom = 0. (3.53) mγ 1 ce ct + αγ 1 e ct = 0 mc + α = 0 c = α m. (3.54) Also st ẋ hom = γ 1 e αt/m ene Lösung für alle γ 1. Da des enen Parameter (γ 1 ) enthält, st es berets de allgemene Lösung. (b) Spezelle Lösung der nhomogenen Glechung: Ansatz: x spz = const =: v 0. Ensetzen ergbt 0 + αv 0 = mg v 0 = mg α. (3.55) (c) Allgemene Lösung: Es folgt ẋ(t) = γ 1 e α m t + m g. (3.56) α Um x(t) zu fnden, müssen wr nochmals ntegreren: m x(t) = γ γ 1 α e α m t + m gt. (3.57) α Des enthält Parameter, st also tatsächlch de allgemene Lösung. Wr brauchen zwe Anfangsbedngungen, um de Lösung endeutg festzulegen. Se x(0) = 0 (Skzze!) und ẋ(0) = 0 (Start n Ruhe). Dann folgt 0 = x(0) = γ γ 1 m α, (3.58) 0 = ẋ(0) = γ 1 + m α g γ 1 = m α g (3.59) (3.60)

24 KAPITEL 3. NEWTON-MECHANIK 3 und schleßlch Also erhalten wr de spezelle Lösung m γ = γ 1 α = m g. (3.61) α und für de Geschwndgket x(t) = m α g + m α ge α m t + m α gt = m m gt α α g(1 e α m t ) (3.6) ẋ(t) = m α g m α ge α m t = m α g (1 e α m t ). (3.63) }{{} =: v G (Grenzgeschwndgket) ẋ m g α 0 0 m α t x m gt α m m gt g α α 0 0 t Der Körper errecht also nach ener Zet von der Größenordnung m/α asymptotsch de Grenzgeschwndgket v G = mg/α. Für enen Fallschrmsprnger snd das, vor dem Öffnen des Fallschrms, ungefähr 00 km/h. 3.9 Der harmonsche Oszllator Für en Fadenpendel mt vernachlässgbarer Masse des Fadens wrkt de resulterende Kraft n ren tangentaler Rchtung. Der radale Antel F r der Gewchtskraft wrd nämlch genau von der Fadenspannung F F kompensert ansonsten würde der Massenpunkt ja n radaler Rchtung beschleungt werden.

25 KAPITEL 3. NEWTON-MECHANIK 4 φ l F F F φ φ m φ ˆφ F r F G De rücktrebende Kraft st also (Skzze!) F φ = F G sn φ ˆφ = mg sn φ ˆφ. (3.64) De Beschleungung hat auch nur enen φ-antel a φ ˆφ = r φ ˆφ = l φ ˆφ. De Bewegungsglechung lautet also Wr sehen, dass de Masse rrelevant st. De Dfferentalglechung ml φ = mg sn φ (3.65) l φ = g sn φ. (3.66) l φ + g sn φ = 0 (3.67) st von. Ordnung, aber ncht lnear, da se sn φ enthält. De exakte Lösung erfordert spezelle Funktonen (ellptsche Integrale). Für klene Auslenkungen st jedoch sn φ = φ und wr erhalten de Bewegungsglechung des harmonschen Oszllators l φ + gφ = 0 φ = g φ. (3.68) l Wr verwenden enen Lösungsansatz mt komplexen Zahlen, der ene besonders kompakte Darstellung gestattet. Komplexe Zahlen treten her ganz natürlch auf: De Glechung φ = (g/l)φ erfordert ene Funkton φ, de zu hrer egenen. Abletung proportonal st. En nahelegender Ansatz st de Exponentalfunkton φ(t) = φ 0 e ct (3.69) φ = φ 0 c e ct, (3.70) also φ 0 c e ct = g l φ 0e ct c = g l < 0. (3.71) Der Ansatz st also erfolgrech, aber nur, wenn c de Wurzel aus ener negatven Größe st. De Lösungen snd g c = ± mt = 1. (3.7) l Da de Dfferentalglechung lnear st, glt das Superpostonsprnzp und de allgemene Lösung (zwe Parameter!) st φ(t) = γ 1 e g l t + γ e g l t. (3.73) Das st scherlch kene Lösung des physkalschen Problems, denn der Wnkel φ muss reel sen. Was haben wr also gewonnen? Wr können aus den zwe unabhänggen komplexen Lösungen e ± g/l t zwe unabhängge reelle Lösungen konstrueren, de damt physkalsch snnvoll snd: Zum enen e g l t + e g l t = cos g l t (3.74)

26 KAPITEL 3. NEWTON-MECHANIK 5 und zum anderen Damt st de allgemene reelle Lösung e g l t e g l t = sn g t. (3.75) l φ(t) = γ 1 cos ωt + γ sn ωt (3.76) mt ω := g/l. Man kann de Adonstheoreme für Kosnus und Snus verwenden, um zu zegen, dass de allgemene Lösung auch als φ(t) = φ 0 sn(ωt + β) (3.77) mt den beden Parametern φ 0 und β geschreben werden kann. We bekannt, erhalten wr ene Lösung derselben Form für das Feder pendel mt der Bewegungsglechung mẍ = kx, wobe dann de Kresfrequenz ω = k/m beträgt Gedämpfter harmonscher Oszllator Das Federpendel mt Stokesscher Rebung hat de Bewegungsglechung mẍ = αẋ kx, also mẍ + αẋ + kx = 0, (3.78) ene homogene lneare Glechung. Ansatz: x(t) = x 0 e ct we zuvor. Ensetzen ergbt mc + αc + k = 0 c + α m c + k m = 0 c = α α m ± 4m k m. (3.79) Für α = 0 (kene Rebung) schreben wr c = ± k m = ± k m =: ±ω 0. (3.80) Wr defneren außerdem β := α/m. Dann glt für belebge α > 0 (oder äquvalent β > 0) c = β ± β ω0. (3.81) Offenbar erhalten wr wesentlch verschedene Lösungen je nach dem Vorzechen von β ω0. Wr machen daher ene Fallunterschedung: (a) β < ω 0 (Schwngfall): c = β ± } ω0 {{ β =: β ± ω } (3.8) reell De allgemene komplexe Lösung st x = x 0 e ct = x 0 e βt e ±ωt. (3.83) De allgemene reelle Lösung st, analog zur ungedämpften Schwngung, x = e βt (x 1 e ωt + x e ωt ). (3.84) x x = e βt (x 1 sn ωt + x cos ωt) = x 0 e βt sn(ωt + φ). (3.85) x 0 e βt t

27 KAPITEL 3. NEWTON-MECHANIK 6 (b) β > ω 0 (Krechfall): c = β ± } β ω0 {{} reell (3.86) x = x 0 e (β β ω 0 )t. (3.87) De allgemene Lösung lautet x = x 1 e (β β ω 0 )t + x e (β+ β ω 0 )t. (3.88) Das st ene Überlagerung von zwe exponentellen Zerfällen mt Zerfallsraten β β ω 0. x (β β ω0) x 1 e }{{} t t klene Rate, langsamer Prozess (c) β = ω 0 (Aperodscher Grenzfall): c = β x = x 0 e βt. (3.89) Wr erhalten nur ene Lösung. De allgemene Lösung muss aber de Superposton von zwe Lösungen sen. We bekommen wr de zwete? Wr betrachten de Dfferentalglechung für desen Fall: mt β = ω 0, also ẍ + α mẋ + k m x = ẍ + βẋ + ω 0x = 0 (3.90) ẍ + ω 0 ẋ + ω 0x = 0. (3.91) Wr gehen nun vom Fall (b), β > ω 0, aus und führen den Grenzübergang β ω 0 aus. De beden unabhänggen Lösungen snd e (β β ω 0 )t und e (β+ β ω 0 )t. (3.9) Wr können aber zwe belebge, unabhängge Lnearkombnatonen von desen als unabhängge Lösungen wählen, z.b. e (β β ω0 )t e (β β ω0 )t e (β+ β ω0 )t und. (3.93) β ω0 Nun se β ω 0, dann werden dese Lösungen zu e (β β ω 0 )t e (β+ β ω 0 )t β ω 0 e (β β ω 0 )t e ω0t, (3.94) = e βt e klen { }}{ β ω 0 t e β ω 0 klen {}}{ β ω0 t = e βt 1/ + β ω 0 t 1/ + β ω 0 t β ω 0 = te βt = te ω0t. (3.95)

28 KAPITEL 3. NEWTON-MECHANIK 7 Das st ene zwete unabhängge Lösung für β = ω 0. De allgemene Lösung st daher Der Graph von x(t) unterschedet sch qualtatv ncht von Fall (b) Getrebener harmonscher Oszllator x = (x 0 + v 0 t) e ω0t. (3.96) Wrkt ene zetabhängge äußere Kraft F (t) auf das gedämpfte Federpendel, so lautet de Bewegungsglechung ẍ + βẋ + ω 0x = F (t) m. (3.97) Dese Dfferentalglechung st nhomogen. De allgemene Lösung st de bekannte allgemene Lösung der homogenen Glechung plus ene spezelle Lösung der nhomogenen Glechung. Nun snd alle Lösungen der homogenen Glechung für β > 0 gedämpft und verschwnden daher für große Zeten t. Nach enem Enschwngvorgang blebt also nur noch de spezelle Lösung übrg. Dese können wr z.b. durch Fourer-Transformaton fnden: Se F (ω) = F (t) = und analog für x(t), x(ω). Fourer-Transformaton der Dfferentalglechung lefert ω x(ω) + βωx(ω) + ω0x(ω) = F (ω) m x(ω) = 1 F (ω) m ω0 ω + βω x(t) = e ωt F (t) (3.98) dω π e ωt F (ω) (3.99) (3.100) (3.101) dω 1 F (ω) π e ωt m ω0 ω + βω. (3.10) Bespel: F (t) = F 0 cos Ωt. Wr gehen zur komplexen Kraft F (t) = F 0 e ωt über und ernnern uns später, dass nur der Realtel der Lösung physkalsch relevant st. Dann st und es ergbt sch F (ω) = e ωt F 0 e Ωt = F 0 e (ω+ω)t = πf 0 δ(ω + Ω) (3.103) x(t) = F 0 m dωe ωt δ(ω + Ω) ω 0 ω + βω = F 0 e Ωt m ω0 Ω + βω = F 0 ω0 Ω + βω m (ω0 Ω ) + 4β Ω eωt = F 0 1 m (ω 0 Ω ) + 4β Ω eφ e Ωt (3.104) mt tan φ = βω/(ω 0 Ω ), wobe wr wegen Im (ω 0 Ω + βω) = βω > 0 de Lösung mt 0 < φ < π wählen müssen. De physkalsche Lösung st x(t) = F 0 1 cos(ωt + φ). (3.105) m (ω 0 Ω ) + 4β Ω